高三数学复合函数的导数2
复合函数求导公式是什么怎么求导
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。
微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算。牛顿和莱布尼兹发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究。这个发现使我们在微分和积分之间互相转换。
复合函数求导公式是什么 怎么求导
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。
3 复合函数的求导法则,反函数的求导法则
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
高等数学（上）
推广 设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
dy 例1 y ln tan x ，求 dx .
y
y’
xα
ex
αxα-1
ex
cos x sin x 2 tan x x sec
ax
lnx ln|x| logax sinx
ax lna
1/x 1/x 1/xlna cosx
cot x csc x sec x x tan x sec
2
csc x csc x cot x
高等数学（上）
第二节 §2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f (u) 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导， 且
dy f (u ) ( x ) 或 dx
高等数学（上）
1 x
f ( x) 2 ，求 题、设 f ( x ) 在 x 3 处连续，且 lim x3 x 3 f ( 3 ) = 2
d 1 1 1 题、若 f ( 2 ) , 求f ( ). dx x x 2
= －1
4 3 2
题、确定a , b, c , d的值, 使曲线y ax bx cx d 与y 11x 5在点(1,6)处相切, 经过点( 1,8)并在 点(0,3)处有一水平的切线 .
y 1 1 f ( x ) lim lim x 0 x y 0 x ( y )
高考数学一轮复习课件：复合函数的导数
CONTENTS
目录
• 复合函数导数的基本概念 • 复合函数的求导法则 • 复合函数导数的应用 • 高考真题解析 • 练习题及答案解析
CHAPTER
01
复合函数导数的基本概念
复合函数的定义
总结词
理解复合函数的概念是掌握复合函数导数的基础。
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成的函数。简单来说，如果函数y=f(u)和函数u=g(x)存在，且g(x)有定义 域和值域，那么由这两个函数可以组成一个新的函数y=f(g(x))，这就是一个复合函数。
$f'(x) = frac{2}{x}$
答案及解析
解析5
利用对数函数的导数公式，对内部进行求导。
答案6
$f'(x) = e^xcos x - e^xsin x$
解析6
利用乘积法则，分别对每一项求导，然后合并同类项。
THANKS
感谢观看
CHAPTER
02
复合函数的求导法则
链式法则
链式法则
对于复合函数$f(g(x))$，其导数 为$f'(g(x)) cdot g'(x)$。
应用场景
当一个复合函数由多个函数嵌套而 成时，链式法则是求导的关键。
示例
若$f(x) = sin(x^2)$，则$f'(x) = 2x cos(x^2)$。
乘积法则
答案及解析
1 2
解析2
利用幂函数的导数公式，对根号下的部分进行求 导。
答案3
$f'(x) = -frac{1}{x^2}$
3
解析3
利用幂函数的导数公式，对分母进行求导。
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
复合函数高阶导数
复合函数高阶导数复合函数是高等数学中一个很常见的概念，在微积分中更是有着广泛的应用。
复合函数的高阶导数是复合函数和其所有导数的组合，对于深入理解和应用复合函数有非常重要的意义。
复合函数的定义是：设y=f(u)，u=g(x)，则复合函数h(x)=f[g(x)]。
在下面的讨论中我们设y=f(u)，u=g(x)，v=f'(u)，w=g'(x)。
我们先计算h'(x)，即h(x)的一阶导数：h'(x)=f'[g(x)]g'(x)这个式子非常重要，它告诉我们复合函数的一阶导数是由内函数的导数和外函数的导数共同推导出来的。
但是，如果我们想求复合函数的二阶导数，该怎么做呢？我们先对h'(x)做一次求导，得到：h''(x)=f''[g(x)]g'(x)^2+f'[g(x)]g''(x)这个式子告诉我们复合函数的二阶导数是由内函数的两阶导数和外函数的一阶和二阶导数共同推导出来的。
接下来，如果我们要计算复合函数的三阶导数，我们就要对h''(x)再做一次求导，得到：h'''(x)=f'''[g(x)]g'(x)^3+3f''[g(x)]g'(x)g''(x)+f'[g(x)]g'''(x)这个式子告诉我们复合函数的三阶导数是由内函数的三阶导数和外函数的一阶、二阶、三阶导数共同推导出来的。
可以看出，随着阶数的增加，复合函数的高阶导数的计算将变得越来越复杂。
当然，如果我们遇到某些特殊函数的复合，高阶导数的计算会变得相对简单。
例如，对于指数函数和对数函数的复合，即f(u)=e^u，g(x)=ln x，则复合函数为h(x)=e^(ln x)=x。
对于这种情况，由于一次求导后，复合函数的结果就只有常数，所以高阶导数均为0。
复合函数的导数求法
幂函数的导数
幂函数是形如$y = x^n$的函数，其 中$n$是实数。
VS
幂函数的导数可以通过幂函数的定义 和极限的定义求得，结果为$y' = nx^{n-1}$。
三角函数的导数
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的导数是余弦函数，即$frac{d}{dx}sin x = cos x$；余弦函数的导数是负的正弦函数，即$frac{d}{dx}cos x = -sin x$； 正切函数的导数是正切函数的平方与1的和的倒数，即$frac{d}{dx}tan x = frac{1}{cos^2 x}$。
探讨未来可能的研究方向
复杂复合函数的求导 方法
对于更为复杂的复合函数，如多 层嵌套、多变量复合等，需要进 一步研究更为高效、简洁的求导 方法。这有助于解决实际应用中 更为复杂的数学问题。
复合函数导数的性质 研究
复合函数的导数具有一些独特的 性质，如连续性、可微性等。未 来可以进一步探讨这些性质在复 合函数求导中的应用，以及它们 对导数求解的影响。
对数函数是形如$y = log_a x$的函数，其中$a > 0$且$a neq 1$。
03 复合函数求导举例
简单复合函数求导
举例1
$y = sin(2x)$
分析
这是一个简单的复合函数，其中内层函数是 $2x$，外层函数是$sin u$。
求导过程
根据链式法则，$frac{dy}{dx} = cos(2x) cdot 2 = 2cos(2x)$。
指数函数和对数函数的导数
指数函数的导数是其本身与底数自然对数的乘 积，即$frac{d}{dx}a^x = a^x ln a$。
对数函数的导数是底数的倒数与自变量对数的倒数之 积，即$frac{d}{dx}log_a x = frac{1}{x ln a}$。
复合函数求导公式大全高等数学
复合函数求导公式大全高等数学高等数学在数学研究和高等教育中扮演着重要的角色。
其中，复合函数求导公式为各类复杂数学问题和多元运算提供了全面而可靠的理论基础。
它可以用来表达多个函数的组合的关系，同时把问题简化成只有一个便于解决的函数。
在复合函数求导公式中，需要用到一系列条件，即傅里叶复合函数变换定理、链式求导法则、隐函数定理和积分定理等。
它们是复合函数求导中最基本的定理，因而在应用上也被用来表明复合函数与它们的变换之间的关系。
傅里叶复合函数变换定理表明，如果一个函数f(x)可以写成若干个函数的复合形式，即f(x)=g(h(x))，则其导数可用欧拉积分运算表明：f'(x)=h'(x)g'(h(x))。
也就是说，当f(x)表示成两个函数的复合形式时，它的导数将变成通过求出h'(x)和g'(h(x))之积得出。
链式求导法则即指当多个函数叠加时，将它们化成有统一关系及次序的形式，然后用数学归纳法则逐一计算每个导数，来求出所有函数最终的导数。
这时，每个复合函数的导数可以用链式求导准则表明：当多个函数叠加时，其导数之积将得出整体函数的导数。
隐函数定理指出，当复合函数中存在非可解的方程时，该函数的求导就会比较复杂。
具体来说，就是在求复合函数的导数时，必须将其变换为一元形式，同时确定当前已知的参数。
只有这样才能求出其导数的值。
最后，积分定理是求导中最重要的公式之一，即该函数的导数可以通过积分反演而得。
它允许复合函数在某一特定范围内积分，以表明其函数结构，并将该范围内的积分值与导数值比较，以求得函数的导数值。
总之，复合函数求导公式包含着若干定理，它们提供了在高等数学中复杂问题的解决方案，并为多元运算提供了可靠的理论依据。
因此，在高等数学和高等教育研究中，都必须恰当地应用这一公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 x x 1 f ( x) .1 3 x
f ( x ) f (1) x2 1 2 lim lim ( x 1) 2; 而 xlim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f ( x ) f (1) 3( x 1) 2 lim lim lim 3 3; x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
在书写时不要把 f x[ ( x)]写成 f [ ( x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量 ( x ) 的求导. 3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间 变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则.
例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度. 解:由已知知:圆半径R=R(t),且 Rt = 2cm/s. 又圆面积S=πR2,所以 St |R10 2R Rt |R10 2 10 2 =40π(cm)2/s. 故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法 则.
我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函 数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加以 证明: 证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x 求导得: f ( x )( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ),故 f ( x )为 奇函数. 同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数 的导函数也是周期函数. 证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x). 两边同时对x求导得: f ( x T )( x T ) f ( x ), 即 f ( x T ) f ( x ). f ( x ) 也是以T为周期的周期函数.
备用
在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线 问题,但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限 的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切 线怎样求的问题,由于它涉及到隐函数的求导问题.我们 不便去过多的去研究. 下面举一个例子使同学们了解一下求一般曲线在任 意点的切线的方法.(说明:这个内容不属于考查范围.) 3 x2 y2 例子:求椭圆 1在点 ( 2, 2 3 )处的切线方程. 16 9 解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x 的函数)得: 1 2 x 1 2 y y 0, y 9 x .
2 k 2 y | x 3 . 3
9 8 x2 9
因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.
例6:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 x 2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x) 2 2 2 ( 1 ) y f ( x ) ( x ) 2 x f ( x ); 解:
x2 1 x 1 例7:求函数 f ( x ) 的导数. 3 x 1 x 1
说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达 式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用 定义来讨论分段点的可导性. 解 :当 x≠ 1时 ,
lim f ( x ) lim f ( x ) f (1) 2 ,故f(x)在x=1处连续. 又x 1 x 1
2 ) cos(2 x ) 2 2 sin( 4x ). 3 2 3 3
(1) y ax bx c ( 2) y
1 1 2x2
( 3) y x 2 x x
3x 4 3 ( 4) y ( ) (5) y sin2 ax cosbx 6x 7 ( 2ax b)3 ax2 bx c 2x ( 2) y 答案: (1) y 2 3(ax bx c ) (1 2 x 2 ) 1 2 x 2 2 1 7 2 1 5 2 ( 3 x 4 ) (3) y ( x x 9 ) 2 (5 x 4 x 2 ) (4) 135 4 2 9 ( 6 x 7 ) 1 1 1 (5) b sinbx ( 2a b) sin( 2a b) x ( 2a b) sin( 2a b) x . 2 4 4
lim
x 1
f ( x ) f (1) f ( x) 1 lim , x 1 x 1 x 1
从而f(x)在x=1处不可导.
2 x f ( x ) 3
x1 . x1
四、小结：
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变 量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由 哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的 复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体, 这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变 量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量 的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.
5
(3) y (1 sin2 x)4 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则: 4 2 3 yx y u v ( u ) ( 1 v ) (sin x ) 4 u 2v cos x u v x u v x
4(1 sin2 x )3 2 sinx cos x 4(1 sin2 x )3 sin2 x .
(5):y=sin2(2x+π/3)
2x 法一: y 2 sin(
练习1:求下列函数的导数:
3 2
1 法二: y 2 [1 cos(4 x 3 )] , 1 2 2 y [0 sin( 4 x ) 4] 2 sin( 4x ) . 2 3 3
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
1 3 1 1 3 2 1 3 3 解: y 4(2 x x ) (2 x x ) 4(2 x x ) (6 x 2 1) . x x x x x 5 3x; (2) y y (2 x 2 3) 1 x 2 (3)y=tan (4) 1 x 4 4 4 6 1 x 5 x 1 x 5 1 1 5 5 ) ( ) ( ) x ( 1 x ) . 解: y ( 2 5 1 x 1 x 5 1 x (1 x) 5
1 1 2 2 2 2 2 y 4 x ( 1 x ) ( 2 x 3 ) ( 1 x ) 2x 解: y ( 2 x 3 ) 1 x 2 1 2 3 2 2 2 x ( 2 x 3 ) 6 x x ( 2 x 3)(1 x ) ; 2 4x 1 x . 2题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1) y (2 x 1) 解:设y=u5,u=2x+1,则:
5 4 4 4 yx y u ( u ) ( 2 x 1 ) 5 u 2 5 ( 2 x 1 ) 2 10 ( 2 x 1 ) . u x u x 1 ( 2) y 解:设y=u-4,u=1-3x,则: 4 (1 3 x ) 12 4 5 5 yx y . u u x ( u ) u (1 3 x ) x 4u ( 3) 12u 5 (1 3 x )
3
2 2 y 3 (tan x ) (tan x ) 3 tan x( 解:
sin x sin x 3 cos x cos x sin x( sin x ) ) 3( ) cos x cos x cos2 x
sin x 2 1 3( ) 2 3 sin2 x se c4 x . cos x cos x
(2) y f ( 1 x )
2
2x 2 1 x2
x 1 x2
f ( 1 x 2 );
( 3) y [ f (sin2 x ) f (cos2 x )] f (sin2 x )(sin2 x ) f (cos2 x )(cos2 x ) f (sin2 x ) 2 sin x cos x f (cos2 x ) 2 cos x( sin x ) sin2 x[ f (sin2 x ) f (cos2 x )].
把x0=0代入曲线方程得:y0=1. 所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交 点处的切线互相垂直. 证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可. 联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨 证明过P点的两条切线互相垂直. x 2 2 2 由于点P在第一象限,故由x -y =5得 y x 5 , y 2 , x 5 3 k1 y | x 3 ; 4 2 4x 2 ; 同理由4x2+9y2=72得 y 8 9 x , y 4
1 例4:在曲线 y 1 x 2上求一点,使通过该点的切线平行于
x轴,并求此切线的方程. 解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知: 切线斜率 k f ( x0 ) ( 1 2 ) | x x 2 x20 2 0, x0 0.