数学奥林匹克问题
一年级奥林匹克竞赛试题
一年级奥林匹克竞赛试题一年级的奥林匹克竞赛试题通常旨在培养学生的逻辑思维、数学技能和解决问题的能力。
以下是一些适合一年级学生的奥林匹克竞赛试题：1. 数学逻辑题：- 问题：小明有5个苹果，他给了小华2个。
请问小明现在还有几个苹果？- 答案：小明现在有3个苹果。
2. 图形识别题：- 问题：下列哪个图形与其他图形不同？- A. 圆形- B. 正方形- C. 三角形- D. 椭圆形- 答案：B. 正方形（因为其他三个选项都是曲线图形）3. 序列推理题：- 问题：观察下列数字序列，找出下一个数字。
- 2, 4, 6, 8, ?- 答案：10（这是一个等差数列，公差为2）4. 空间想象题：- 问题：如果一个立方体的一面是红色，另一面是蓝色，那么这个立方体最多可以有多少面是红色？- 答案：3面（因为立方体有6面，红色和蓝色各占一半）5. 简单计算题：- 问题：计算下列算式的结果。
- 5 + 3 - 2- 答案：66. 模式识别题：- 问题：下列哪个选项可以完成下列模式？- 模式：红，黄，蓝，红，黄，？- A. 绿- B. 蓝- C. 黄- D. 红- 答案：B. 蓝7. 时间推理题：- 问题：如果现在是上午9点，那么3小时后是几点？- 答案：中午12点8. 分类题：- 问题：将下列物品分类为“水果”和“非水果”。
- 苹果，椅子，香蕉，桌子，橙子- 答案：水果 - 苹果，香蕉，橙子；非水果 - 椅子，桌子9. 简单应用题：- 问题：如果每个篮子里有4个鸡蛋，小明有3个篮子，那么小明一共有多少个鸡蛋？- 答案：12个鸡蛋10. 观察与比较题：- 问题：下列哪个数字比10大？- A. 9- B. 11- C. 8- 答案：B. 11这些题目旨在激发一年级学生的好奇心和探索欲，同时帮助他们发展基本的数学和逻辑技能。
数学奥林匹克问题
48中等数学本期仰题高677如图1，A从C中，Z90。
,1>为5C的中点，S E丄4C于点E，C F丄于点厂过点4作狀、4C的垂线，分别与的延长线交于点P、C>.证明：图1高678如图2,0、/分别为不等边锐角A仙C的外心、内心，如与A f i O C外接圆的 第二个交点为D，50与A C(M外接圆的第二个交点为f0与A/l O B外接圆的第二个交点为尺证明：A4/£>、A5仿、A C/F的 外心共线.图2高679如图3,直线/与©0相离，P为 /上的一点,/M J S为©〇的割线•过两点分别作©〇的切线，与Z交于点C、D，5C、/m 分别与©〇交于点瓦、尺过两点分别作©〇的切线，与/交于点C、仗证明：1111PC+ PD= PG+ P H'图3高680如图4,设A 4f l C的外接圆为圆厂，Z似C内角平分线与圆厂交于点Z)，E为弧E c上一点，F为fiC上一点，并且Z似尸 =Z C4E < Z：似£>，点 /、// 在 4Z)上，且a t j rZ ACI= z BCH，点G在I F上，且浩=告.证明:D G与£/的交点在圆厂上.2020年第7期49上期仰题解答高673设a,0=1,2,…，)均为正实数，n彡2_证明：*=1y5 - a•s/n、证明先证明：^J y s-a；R_-，1/_•①yj S—C i^Y/i—1事实上，据不等式①的对称性，不妨设ax^a2^---^a n.则7^==彡7^=彡…彡V5 - a,y S- a2^/S- an由切比雪夫不等式得n aiA彡—n nS^S 2(s- «；)Sn(n -l)i又由柯西不等式知^(s-a^^f s y s->+=i y s~n ^s比较以上三个不等式即得式①成立.故由式①及二元均值不等式得y i1 +a;_ y i ai+Ii=i y S-ai；=i^5- a；<'= i y S-a；_心y>S- a； + 1〉2ni = l K n y/S - ai,- 1命题得证.(宿晓阳四川省成都市晨曦数学工作室，610031)高674证明下列恒等式：⑴c l-c L c K c:—2卜.+(-l)2m C3：C：=0；①(2) (C31)2-C U C U2 +C U C D2 +…+ (-1) W:)2=0; ②(3)(c r j3-c U c r..,)3+C L(C3m m.2)3+•" + (-l)2m(t：(C:)3=C:C L.③证明先考虑下列问题:设有p x?的方格表，每个格里有一盏灯，要求每一行必有灯亮，且每一列恰有r盏灯亮.求亮灯方式数.考虑第一列有/•盏灯亮，则此列亮灯数为C;.类似地,每列有r盏亮灯数均为q.从而W列亮灯数共为（q v.再考虑问题的条件，每一行必有灯亮，可从反面考虑：若某一行全不亮，则亮灯数为(q^r，若某两行全不亮，则亮灯数为(c；_2)9,……若/>-r行全不亮，则亮灯数为 (C：)9.于是，本问题亮灯数为yv=(q)9+g((；_2r+…+(-1 广-r q-r(c:v.④(1 )在式④中，取/>= 3m.，r = = 1，此时对应3m x l的方格表，由问题的实际意义可知/V=0.故式①成立.(2)在式④中，取p = 3m，r二m.，g = 2，此 时对应3m x2的方格表，由问题的实际意义可知/V=0.故式②成立.(3) 在式@中，取；?=3?/1，7'= ?71，9二3，代 人式④可得所证式③左边.又由于第一列亮灯数为C3m…,，第二列亮灯数为C L，第三列亮灯数为C：：，于是，共为C L C L，即式③的右边.故式③成立.(许乃友安徽枞阳中学，246702)高675 如图的内心为/，/!/与万C交于点的外接圆与A/ific的外接圆的第二个交点为尺，A c /z )的外接 4 p e .p k = p b 2_圆与A /lfiC 的外接圆的第二个交点为G •设类似地=P F _P C .B C 上有点E 、F ，使得CE = CA，BA = BF •证因此，四点共圆.明:'四点共圆.（颜亦威北京学策教育科技有限公图5证明辅助线如图5.设f i /与/!£交于点(?.则ZEA/ = Z E A C - y Z B A C =90° -各Z A C B -与Z B A C =y Z A B C = Z IB C、五四点共圆=> Z E A C = Z A E C = Z B ID^ ZKIB = \S 0°-Z K B C - Z B ID =Z K A C - Z E A C = Z K A E四点共圆=> z K D B =ZK 1B^Z K A Q#尺人/)、£四点共圆 => Z B K E = Z A K B - zA K E = \S 0° - ZACB - ZADC= jZBAC.则M经过劣弧&的中点.类似地，F C 经过劣弧&的中点.设劣弧&的中点为则Z P B E = Z P K B司，100080)高676设/^为大于3的素数，《为正整 数，且 = l (mod p )•证明:/)4 丨（％ -n ).证明注意到，(1 +x )n p =(1 ++ c y 2 + …+ C 「丨;^_丨 +z )n.比较两边Y 的系数有i = lc « 2 c PG ；P cJ (m〇d/)•i + j + k = p由于1)，于是，/»IC 3….又 P IC“i = l ，2,…，p -1)，则CP n p ~n = C 2n ^2 C ；C^"l (mod p 4).下面证明：g e〇( m〇d /).这是因为_^|(p -〇(p -2)---(p -i + l )^l 2-22...(i -l )：(，!）2=i 2 (〖为Z 模P 的逆）1 = 1=f ]/(当i 遍历模P 的缩系时，i 也遍 k 模P 的缩系）(p -l )p (2p -l )6=0( mod p ).显然,pic2….从而，- r a =0( mod p 4 )•命题得证.(袁国峰 学而思培优广州分校，=> A P B EA P K B510000)。
数学奥林匹克问题
2
相交于点 Q ,割线 PEF 经过点 Q 交圆于 E 、 F. 证明 :
1
②
PE
+
1
PF
=
2
PQ
.
48
中 等 数 学
《中等数学》 2004 年总目次
数学活动课程讲座 ・ 初中・ 几何计数问题 ( 下) 存在性问题 好玩的平移 构造法在初中数学竞赛中的应用
a a + 8 bc
2
由于 EF ∥BC ,则 EB = FC. 从而 , ∠GAQ = ∠CA P , 即 A P 、 AQ 为 △ABC 的 ∠BAC 的外等角线 . 由三角形外等角线的性质定理得
AB B P・ BQ . 2 = CP・ CQ AC
2
①
又由三角形内角平分线性质定理得
AB BD = . AC CD
2 f ( f ( y ) ) = ( y - y + 1) f ( y ) .
④
f ( y) (y ≠ 在④ 中用 0) 代替 y ,并利用 ③ 得 y f f f ( y) y
=
y
f ( y) y
2
y
f ( y) +1 f y
f ( y) y
平 分
∠BA E , △L FM 、
3 2 ] f ( f ( y ) ) = ( f ( y2) ) - ( f ( y ) ) + f ( y )
由 ①、 ② 得
2 2
BD B P・ BQ , 2 = CP・ CQ CD
2
BD ・ CP・ CQ = CD ・ B P・ BQ , BD ( DP - CD) ( DQ - CD)
高中奥林匹克竞赛试题
高中奥林匹克竞赛试题高中奥林匹克竞赛试题是专为选拔和培养具有特殊数学、物理、化学、生物、信息学等学科才能的学生而设计的。
这些试题通常具有较高的难度和创新性，旨在测试学生对所学知识的深入理解和应用能力。
# 数学奥林匹克竞赛试题1. 问题一：证明对于任意正整数\( n \)，\( \sum_{k=1}^{n} k^3 = ( \frac{n(n+1)}{2} )^2 \)。
2. 问题二：给定一个圆，圆内接四边形的对角线互相垂直，求证这个四边形的面积等于对角线乘积的一半。
3. 问题三：在一个平面上，有\( n \)个点，没有任何三个点共线。
求证至少存在一个点，它与其它所有点构成的线段总和不超过所有点构成的线段总和的一半。
# 物理奥林匹克竞赛试题1. 问题一：一个物体从静止开始自由下落，忽略空气阻力。
求物体在前\( t \)秒内下落的距离。
2. 问题二：两个质量分别为\( m_1 \)和\( m_2 \)的物体通过一根轻质弹簧连接，静止放置在光滑的水平面上。
当弹簧被压缩后释放，求系统达到平衡时，两物体的速度。
3. 问题三：一个质量为\( m \)的物体在水平面上以速度\( v \)运动，受到一个恒定的摩擦力\( f \)作用。
求物体停止运动所需的时间。
# 化学奥林匹克竞赛试题1. 问题一：描述如何通过化学方法区分一氧化碳和二氧化碳。
2. 问题二：给定一个化学反应方程式，求反应物和生成物的摩尔比。
3. 问题三：解释为什么在水溶液中，氯化钠（食盐）和氯化钾的溶解度不同。
# 生物奥林匹克竞赛试题1. 问题一：解释细胞分裂过程中染色体数量的变化。
2. 问题二：描述光合作用的基本过程及其在生态系统中的作用。
3. 问题三：解释基因突变如何影响生物体的表型。
# 信息学奥林匹克竞赛试题1. 问题一：编写一个程序，实现对一个整数数组的排序。
2. 问题二：设计一个算法，找出一个字符串中出现次数最多的字符。
3. 问题三：实现一个函数，计算两个字符串的最长公共子序列。
奥林匹克竞赛数学试题
奥林匹克竞赛数学试题一、选择题1. 已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \)，\( b \)，\( c \) 为常数。
若 \( f(1) = 3 \)，\( f(2) = 7 \)，\( f(3) =15 \)，则 \( a \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 一个等差数列的前五项和为 35，第五项为 7，求该等差数列的公差。
3. 在直角坐标系中，点 \( A(2,3) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点 \( B \) 的坐标是：A. (3,2)B. (2,2)C. (3,3)D. (2,3)4. 已知圆的周长为 \( 4\pi \)，求该圆的面积。
二、填空题5. 一个等比数列的前三项和为 7，且第一项与第二项之和为 4，求该等比数列的第三项。
6. 一个正方形的对角线长度为 10cm，求该正方形的面积。
7. 已知一个三角形的两边长分别为 5cm 和 12cm，且夹角为 60 度，求第三边的长度。
三、解答题8. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots+ n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
9. 一辆汽车从 A 点出发，以每小时 60 公里的速度向 B 点行驶。
同时，另一辆汽车从 B 点出发，以每小时 40 公里的速度向 A 点行驶。
如果两地相距 240 公里，求两辆汽车相遇的时间。
10. 一个无限等差数列的前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，已知\( S_{10} = 110 \)，\( S_{20} - S_{10} = 440 \)，求 \( S_{30} \)。
四、综合题11. 在平面直角坐标系中，点 \( P \) 到原点 \( O \) 的距离为 5，点 \( P \) 到直线 \( y = x \) 的距离为 4，求点 \( P \) 的坐标。
小学数学mo奥林匹克竞赛试题
小学数学mo奥林匹克竞赛试题小学数学奥林匹克竞赛是一项旨在激发学生数学兴趣、培养数学思维能力的竞赛活动。
以下是一些适合小学数学奥林匹克竞赛的试题：一、基础题1. 计算下列各题的结果：- (1) \( 1234 + 5678 \)- (2) \( 9876 - 4321 \)- (3) \( 2345 × 3 \)- (4) \( 6789 ÷ 3 \)2. 判断下列各题的对错，并给出正确答案：- (1) 如果 \( a = 5 \)，那么 \( 3a + 2 = 17 \) 是否正确？ - (2) 如果 \( b = 3 \)，那么 \( 4b - 1 = 11 \) 是否正确？3. 找出下列数列的规律，并填写下一个数：- (1) 2, 4, 8, 16, ____- (2) 3, 6, 11, 18, ____二、应用题1. 一个班级有 45 名学生，如果每 5 名学生组成一个小组，那么可以组成多少个小组？2. 一个长方形的长是 15 米，宽是 10 米。
如果绕着这个长方形的外围跑一圈，需要跑多少米？3. 一个水果店有 120 个苹果，如果每箱装 20 个苹果，那么需要多少个箱子？三、逻辑推理题1. 一个数字，如果把它乘以 3 再加上 10，结果等于 59。
这个数字是多少？2. 一个数字，如果把它加上 100 后，再除以 5，结果等于 30。
这个数字是多少？3. 一个数字，如果把它除以 4，再加上 8，结果等于 20。
这个数字是多少？四、图形题1. 一个正方形的边长是 8 厘米，求这个正方形的周长和面积。
2. 一个等边三角形的边长是 5 厘米，求这个三角形的周长和面积。
3. 一个圆形的半径是 3 厘米，求这个圆的周长和面积。
五、综合题1. 一个班级有 50 名学生，其中 2/5 是男生，剩下的是女生。
如果每 4 名学生组成一个小组，那么可以组成多少个小组？2. 一个数字，如果把它加上 5，再乘以 2，最后减去 3，结果等于31。
数学奥林匹克问题
６ ＝（ ｋ一 ） ２ ＋１ （ ｋ＋ ） ２ ５ ， ２ １ （ ｋ ） ２ ３ （ ｋ＋ ）
其 中 ， ∈ Ｎ＋ ． ｊ ｝ ．
则ｂ ｂ 一 ¨
＝
（ ｋ一１ （ Ｉ＋１ （ ＋ ） ２ ５ ２ ）２ ｉ ） ２ ３ （ ｋ＋ ）一 ｝
令 Ｊ＝１２， ， ， ｃ ， … ｎ 叠加得
高 ３ ５ 设 集合 Ｓ＝｛ ， ， ，６ ． ２ １ ２ … １ ｝ 能否 选 出 的 ２ ０个 四元子 集 ， 并将 它们 分成 ５组 满 足 下列条件 ：
ｂ一。 ８ （ 一 ）２ ＋ ）２ ＋ ） ｂ＝ ∑ ２ １（ｋ １（ｋ ３
证明 设
二１
一
次为 ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ 正 方 形 Ｄ、 Ｆ 围成 的三 ． 、． 、 、 ， Ｅ、
角形 的 三 个 内 角 分 别 为 Ｄ、 Ｅ、 Ｆ
（ 、、 ｄ ｅ ｆ的对角 ） ． 由余 弦定理 得 ｃ ＝ｅ ／ ２ ｔＳ 丁一 Ｄ） ＋ 一 ｅ Ｏ （ ｆ ｃ ＝ ｆ ＋ 咖 Ｏ ２ ｅ ｆ ）一ｄ． ｅ＋ ２ ２ Ｓ Ｄ＝ （ ＋ ２ 同理 ， ＝ （ ＋ ｆ ） ｂ ２ｄ ｅ一 ，
４ ８
中 等 数 学
本
期
问
题
Ａ Ｏ上 ． 已知 Ａ Ｂ＝ Ａ Ｃ 证 明 ： Ｐ Ｐ．
ｓ ８ ｃ＝ ｓ Ｂ． ｃ
初 ３７ 如 图 １ 在 △ Ａ Ｃ中 ，Ｂ＞ Ｃ ２ ， Ｂ Ａ Ａ ． Ｇｏ与边 ｃ及 ｃ、Ｂ的延长线 分别 交 于点 Ａ
Ｄ、 ， 是 边 Ｂ 的 中 点 ， Ｈ 上 Ｂ 、 Ｃ Ａ Ｃ于 点 Ｈ， Ｏ分 别与直线 Ｄ Ｄ Ａ Ｅ、 Ｆ交 于点 、 证 明 ： 厶 四边形 ＭＬ Ｋ 内接 于 圆． Ｈ
3年级数学奥林匹克竞赛题
3年级数学奥林匹克竞赛题一、计算类1. 题目：计算1 + 2 + 3+…+ 98+99+100。
解析：我们可以使用等差数列求和公式：公式，这里公式（表示项数），公式（首项），公式（末项）。
所以公式。
2. 题目：9999+999+99+9。
解析：把每个数凑整，公式，公式，公式，公式。
则原式公式公式公式。
二、图形类1. 题目：一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，如果把长增加3厘米，宽增加2厘米，这个长方形的面积增加了多少平方厘米？解析：原来长方形的面积公式平方厘米。
长增加3厘米后变为公式厘米，宽增加2厘米后变为公式厘米。
新长方形的面积公式平方厘米。
面积增加了公式平方厘米。
2. 题目：有一个正方形花坛，边长为10米。
在它的四周铺一条宽为1米的小路，求小路的面积。
解析：大正方形的边长为公式米（因为小路宽1米，两边都要加）。
大正方形的面积公式平方米。
花坛的面积公式平方米。
小路的面积公式平方米。
三、逻辑推理类1. 题目：甲、乙、丙三人分别是医生、教师和警察。
已知甲比教师矮，丙比警察高，医生比乙矮。
那么甲、乙、丙三人分别是什么职业？解析：由“甲比教师矮”，可知甲不是教师；由“丙比警察高”，可知丙不是警察；由“医生比乙矮”，可知乙不是医生。
我们来整理信息，因为丙比警察高，所以丙的身高大于警察。
又因为医生比乙矮，所以乙的身高大于医生。
再结合甲比教师矮，我们可以列出身高的大致顺序：乙>医生，丙>警察，甲<教师。
所以丙是医生，乙是警察，甲是教师。
2. 题目：A、B、C、D四个小朋友进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要赛一场）。
到现在为止，A已经赛了3场，B赛了2场，C赛了1场，D赛了几场？解析：A赛了3场，说明A和B、C、D都比赛过了。
C只赛了1场，那就是和A赛的。
B赛了2场，是和A、D赛的（因为C已经和A赛过了，所以B的另一场只能和D赛）。
所以D赛了2场，分别是和A、B。
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同理 ， Ｃ Ａ ． Ａ ＜ Ｂ ￣ 故Ａ Ａ． Ｂ＝ Ｃ （ 宿晓 阳 四川 省 成都 市金 牛 区 西林巷
ｌ ８号 华鑫 园 Ａ ０ ，１０ １ ６ １６ ０ ３ ）
分别 为 △ Ａ 、 Ｂ Ｌ的垂 心． 证 ： 点 Ｐ ＭＬ △ Ｎ 求 过 且垂 直 于 Ⅳ 的直线 Ｚ ２ 恒过一 定点． 高 ２８ 设 Ｐ ｑ（ ６ 、 Ｐ＞ｑ 是 质 数 ， 足 ） 满 Ｐ；３ ｍ ｄ４ ， 给 定 大 于 ３的正 整 数． （ ｏ ）ｋ是 求 证 ： 程 ＋ｋ＇＝Ｐ 方 ｙ ｑ最 多 只 有 一 组 正 整
因为 Ｂ Ｄ＝Ｃ Ｏ Ｅ， Ｂ＝Ｏ 所 以 ， Ｃ，
，①
Ｂ Ｃ相 切 ， 点 Ａ 作 过 ｏ０ 切 线 交 Ｂ 的 Ｃ于
又Ｂ Ｅ＞Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ 则 Ｄ， Ｅ＝ Ｄ， Ｃ： Ｃ，
ＥＣＯ ＞
图 １
ＤＢＯ．
点 Ｅ 求 证 ：Ｅ 是 以 ． Ａ
Ｃ 为直径 的 圆的切线． Ｄ
中 等 数 学
本
期
问
题
假设 Ａ Ａ 则 Ｂ＞ Ｃ，
Ｂ Ｐ＞Ｃ ． Ｑ
初 ２ ７ 四位 数 与 它 的 四个 数 字 之 ６
从而 ， Ｎ＞Ｃ Ｂ Ｍ．
和为四位数 Ｗ ，： 与它的四个数字之和为四
位数 ｔ ， ｃ ，与 它 的 四个 数 字 之 和 为 四位 数 ， ， Ｗ ， 与它 的四个 数字 之 和 为 四位 数 ， Ｗ 与它 的 四个数 字之 和为 ２０９ 求 Ｗ ． ０ ．
４ ７
（） １ 当 ＝１ 、７或 ｌ ５１ ８时 ， 应 的 ， 对 ， ２＝ ２０９—５。 ０ ｘ 不是完全 平方数 ， 没有 正整数解 ；
（） ２ 当 ＝１ ６时 ， Ｙ＝２ ，ｘ＝３ ， 时 ， ７２ ２此
ＡＢ ＝３ ＢＣ ＝２ ＡＣ ＝１ ． ２， ７， ６
贝 （ 凡＋３ １ ｎ＋８ ３ ） （９ ） ＞（ ｎ＋ ） （９ ２ ） ３ ２ １ ｎ＋ ７ ．
都成立 ． 试求 ｋ的最大值 ．
２ ２＋） Ｔ （ １ １１
一硫 一 一‘
故 ｋ的最 大值 为 １ ．
解 设 （＋ ） ＝ １ ． 则
＋ ． １ １ ＋ ３，＋３ ｌ — ３ ｎ ＋２
—
（ 宏 礼 安 徽 省 明 光 市 涧 溪 中 学 ， 盛
上 Ａ 于点 Ｐ 则 Ｍ ． Ａ Ａ ＭＱ＝Ⅳ ． Ｑ＝ Ｐ， Ｐ
由 ＜ ２ Ｙ＜ ｘ知
Ｘ ， ２＜ｙ ２＝２ ０ ９ —５ ＜４ ０ ｘ
．
则
＜２ ＜
２ ｘ ￣３ ４ ３＜ ２ ３ ． ＜
故 的取值 范 围局 限在 ｌ 、６ １ 、８ ５ ｌ 、７ １．
２１ ００年第 ２期
故 ＞１
＞１ ） ．
由 Ａ 为△ Ａ Ｃ的角平 分线知 Ｄ Ｂ
２ ＤＣ —Ａ 一 １ ’ Ｃ
ＡＢ
． ． ．— —
．
ＢＤ
— — ． ．．
—
．
—
．
．
．
—
—
因此 ， ／ 是关于 ｎ的单 调递增 函数． ＇ ｔ ）
有
Ｂ Ｄ＝１ ， Ｃ＝ ． ８ Ｄ ９
所 以 ，Ｄ与 Ｄ Ｂ Ｃ的长都是整 数．
初 ２ ８ 如 图 １ ６ ，
已知 半径 为 ｒ的 ０ ０
设 ０ 为 Ｂ 的 中 Ｃ 点， 联结 Ｏ Ｏ ． Ｄ、Ｅ 则
１
ＯＤ ： ＢＭ
二
曰
Ｄ
Ｃ
１
＞ Ｎ Ｏ． ＋ｃ ＝ Ｅ
Ｄ Ｏ＞ Ｅ Ｏ Ｂ Ｃ．
图２
与边 长 为 ４ ｒ的 正 方
形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的两边 Ａ Ｂ、
由 ≥ 丽 睾
都成 立知
对 一 正 数ｎ 于 切 整
（ 田永海 黑龙 江省绥 化市教 育 学院， １２５ ） ５０４ 高 ２ ５ 已知对于一 切正整数 ／ ６ １ ． ，
ｋ ｍｎ， ｎ Ｉ ＜ ￣ ｉ｛（ ） ＝１２ … ｝ １ ，， ＝ ）
耳 ・ ）寺 （ ≥ ＋
证 明 ：Ｄ与 Ｄ Ｂ Ｃ的长 都是 整数．
显然 ， ＜Ｙ＜ ｘ ， ２．
・
依题 意有 （ ＋筇 ＋， ＝ ０ 即 ２ ） ， ２０９，
Ｙ ＝２ ０ ９ —５ Ｏ ｘ．
初 ２５ 在 △ Ａ Ｃ中 ， ６ Ｂ 点 、ｒ Ｊ分别 在边 ７ 、
Ａ 、Ｃ上，Ｍ ＝ Ｎ， 、 ＢＡ Ａ Ａ Ｄ Ｅ分别为 Ｃ Ｂ 的 Ｍ、Ｎ 中点 ， Ｂ 且 Ｄ＝Ｃ ． Ｅ 求证 ：Ｂ＝ Ｃ Ａ Ａ． 证 明 如 图 ２ 作 ＭＱ－ Ａ 于点 Ｑ， Ｐ ， ｌ Ⅳ － Ｎ
数解．
上 期 问 题 解 答
初 ２６ △ Ａ Ｃ 的 三 边 长 都 是 整 数 ， ６ Ｂ Ａ Ｂ＞Ｂ Ｃ＞Ｃ Ａ ２ Ｃ， Ｂ Ｃ的平 分线 交 Ａ，Ｂ＝ Ａ Ａ Ｂ Ｃ于 点 Ｄ 分 别 以△ Ａ Ｃ的 三 边 为一 边 作 ． Ｂ
一
个正 方形 ， 个 正方 形 的面积 和 为 ２０９ 三 ０ ． 证明 设 Ａ ，Ｃ＝ ． Ａ Ｃ＝ Ｂ Ｙ 则 Ｂ＝２． ｘ
的， 不妨 设 口 ≥ｃ ≥ｂ ．
令 ） ２ ＝
ｆ ｎ＋１ （ ） Ｚ ｎｌ ， ｌ
则
，
首先证 明 ： ｎ是正整 数时 ， 证不 等式 当 所 成立 ， 此时 ， 口 ≥６≥ｃ． 有 “
与式①矛盾．
所 以 ，Ｂ＜Ａ ． Ａ ￣ Ｃ
高 ２ ７ 给定 Ｒ △ Ａ Ｃ， Ｃ＝９ 。在 ６ ｔ Ｂ ０， Ａ Ａ Ｃ上 任取一 点 ， Ｂ 在 Ｃ上任 取一点 Ⅳ， 设过 Ｍ与 Ａ Ｃ垂直 的直 线 交过 Ｊ与 Ｂ ７ ＼ ｒ Ｃ垂 直 的 直
线 于点 Ｐ， 结 Ａ Ｂ 交 于 点 ， 日 、 联 Ｎ、 Ｍ 设 １
２ ９６ ） ３４ １
高 ２６ 设 口 ｂｃ ０ 且 Ⅱ＋ ＋ ： Ｓ ６ 、、＞ ， ｂ ｃ ２． 求证 ： 任 意的整数 ， 对 有
２
由
．
≥
丽
， 后 得 ≤
∑ ≥ ．， （ ｓ
其中，∑” 示 和 “ 表 循环 ．
证 明 由于 不 等 式 关 于 口 ６ Ｃ是 对 称 、、