2014年第30届中国数学奥林匹克试题+答案
2014年全国初中数学联赛参考答案
2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）初赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、C 2、B 3、B 4、D 5、D 6、C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、41n - 2、4 3、1 4、3三、（本大题满分20分）解不等式13|2|-<-x x解：（1）当2<x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得43>x ,故此时243<<x ；（2）当2≥x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得21->x ,此时2≥x ．（15分） 综上所述，不等式的解为：34x >．（20分） 四、（本大题满分25分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，DE BC ⊥于E .若3,5DE BD ==，求梯形ABCD 的面积．解：在直角△BDE 中，由勾股定理有：422=-=DE BD BE ；（5分） 过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于F ，连接DF 、CF ，则ACFD 是平行四边形，故CF =AD ，DF AC BD ==，所以DE 是等腰△DBF 底边上的高，故28BF BE ==（15分） 所以1221)(21=⋅=+=DE BF DE AD BC S ABCD （25分）．五、（本大题满分25分）已知正整数a 、b 满足332)(b a b a +=+，试求a 、b 的值．解：由已知得b a b ab a +=+-22，（5分）则2)1()1()(222=-+-+-b a b a ．（10分）因为a 、b 均为正整数，故01≥-a ，01≥-b ，（1）当a=b 时，1)1()1(22=-=-b a ，即a =b=2；（15分）（2）当a b ≠时，2()1a b -=，从而2(1)1a -=且2(1)0b -=；或者2(1)0a -=且2(1)1b -=；所以，2,1a b ==，或者1,2a b ==．（20分）综上所述，所求,a b 的值是：2a b ==；或者1,2a b ==；或者2,1a b ==．（25分）。
2014年中国数学奥林匹克(CMO)试题及其解答
= f(f(k) + 1) − f f(k) ∈ 0，1
即当n = k + 1时，结论也成立。根据数学归纳法，（2）式得证。
最后，我们用数学归纳法证明：对于任意m ∈ N ，m ≥ 2，有
f(2 ) = 2
（3）
根据条件知：
f(3) = f f(2) + f 3 − f(2) = f(1) + f(2) = 2，
（1）我们先证明必要性，即若△DEF 的外心与△ABC 的内心重合，则BE + CF = BC。 若 I 为△DEF 外心，则ID = IE = IF，从而△IDL≌△IFM≌△IEN，于是知DL = FM = EN。又AM = AN，且AE＜AF，所以 E 在线段 AN 上，F 在线段 CM 上，所以BE = BN + EN， CF = CM − FM。于是知BE + CF = BN + CM。又BN = BL，CM = CL，所以BE + CF = BN + CM = BL + CL = BC。
交流知识 共享智慧
文武光华
A
E(E') N
I
M F(F')
综上所述，命题得证。
B
DL
C
二、对大于1的正整数n，定义集合D(n) = a − b|n = ab，a、b ∈ N ，a＞b 。证明：
对任意大于1的整数k，总存在k个互不相同且大于1的整数n 、n 、 … 、n ，使得
|D(n )⋂D(n ) ⋂ … ⋂D(n )| ≥ 2。
且1 ≤ f(k) ≤ k，从而根据归纳假设知：
f(k + 2) − f(k + 1) = f f(k + 1) + f k + 2 − f(k + 1) − f f(k) + f k + 1 − f(k)
2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)参考答案及评分
2014年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 若正数,a b 满足 2362log 3log log ()a b a b ，则11a b的值为．答案：108．解：设2362log 3log log ()a b a b k ，则232,3,6k k k a b a b ，从而23231162310823k k k a b a b ab ．2. 设集合312b a b a中的最大元素与最小元素分别为,M m ，则M m 的值为 ．答案：5 ．解：由12a b 知，33251b a ，当1,2a b 时，得最大元素5M ．又33b a a a ，当a b 时，得最小元素m 因此，5M m3. 若函数2()1f x x a x 在[0,) 上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．答案：[2,0] ．解：在[1,) 上，2()f x x ax a 单调递增，等价于12a，即2a ．在[0,1]上，2()f x x ax a 单调递增，等价于02a，即0a ．因此实数a 的取值范围是[2,0] ．4. 数列{}n a 满足12a ，*12(2)()1n n n a a n n N ，则2014122013a a a a ．答案：20152013．解：由题设 122(1)2(1)21n n n n n n a a a n n n112(1)2232(1)12n n n a n n n ．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则21223242(1)n n S n −=+×+×+++ ，所以 2322223242(1)nn S n =×+×+×+++ ，智浪教育—普惠英才文库将上面两式相减，得 122(1)(2222)n n n nS n −−=+−++++2(1)22n nn n n =+−=．故2013201420131220132201522013a a a a20152013． 5. 正四棱锥P ABCD 中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是 ．答案解：设底面对角线,AC BD 交于点O ，过点C 作直线MN 的垂线，交MN 于点H ．由于PO 是底面的垂线，故PO CH ，又AC CH ，所以CH 与平面POC 垂直，故CH PC ．因此CH 是直线MN 与PC的公垂线段，又CH MN 与PC6. 设椭圆Г的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Г交于点,P Q ．若212PF F F ，且1134PF QF，则椭圆Г的短轴与长轴的比值为．答案．解：不妨设114,3PF QF ．记椭圆Г的长轴，短轴的长度分别为2a ，2b ，焦距为2c ，则2122PF F F c ，且由椭圆的定义知，1212224a QF QF PF PF c ．于是 212121QF PF PF QF c ．设H 为线段1PF 的中点，则12,5F H QH ，且有21F H PF ．由勾股定理知，2222222121QF QH F H F F F H ，即2222(21)5(2)2c c ，解得5c ，进而7a ，b =，因此椭圆Г的短轴与长轴的比值为b a ．7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI ，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为 ．答案． 解：由1PI 知点P 在以I 为圆心的单位圆K 上．设BAP ．在圆K 上取一点0P ，使得 取到最大值0 ，此时0P 应落在IAC 内，且是0AP 与圆K 的切点．由于003，故 001sin sin sin sin 621sin sin sin sin 23336APB APCAP AB S S AP AC， ①其中，006IAP． 由02AP I知，011sin 24IP AI r，于是cot ，所以sin356sin 6．②根据①、②可知，当0P P 时，APB APCS S 35．8. 设A ，B ，C ，D 是空间四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则A ，B 可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为 ．答案：34．解：每对点之间是否连边有2种可能，共有6264 种情况．考虑其中A ，B 可用折线连接的情况数．(1) 有AB 边：共5232 种情况．(2) 无AB 边，但有CD 边：此时A ，B 可用折线连接当且仅当A 与C ，D 中至少一点相连，且B 与C ，D 中至少一点相连，这样的情况数为22(21)(21)9 ．(3) 无AB 边，也无CD 边：此时AC ，CB 相连有22种情况，AD ，DB 相连也有22种情况，但其中AC ，CB ，AD ，DB 均相连的情况被重复计了一次，故A ，B 可用折线连接的情况数为222217 ．以上三类情况数的总和为329748 ，故A ，B 可用折线连接的概率为483644．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x 的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为Q ，R ．(1) 证明R 是一个定点； (2) 求PQ QR的最小值．解： (1)设P 点的坐标为(,)(0)a b b ，易知0a ≠．记两切点A ，B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则PA ，PB 的方程分别为112()yy x x ， ① 222()yy x x ，② 而点P 的坐标(,)a b 同时满足①，②，故A ，B 的坐标11(,)x y ，22(,)x y 均满足方程2()by x a ． ③故③就是直线AB 的方程．直线PO 与AB 的斜率分别为b a 与2b ，由PO AB 知，21b a b，故2a ．………………4分从而③即为2(2)y x b，故AB 与x 轴的交点R 是定点(2,0)． ……………8分(2) 因为2a =− ，故直线PO 的斜率12b k ，直线PR 的斜率24bk ．设OPR ，则 为锐角，且22121211182824tan 2224b b PQ k k b b b b QR k k b b ．当b 时，PQ QR的最小值为 …………………16分10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a，*1arctan (sec )()N n n a a n ．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a． 解：由已知条件可知，对任意正整数n ，1,22n a，且 1tan sec n n a a ．①由于sec 0n a ，故10,2n a．由①得，2221tan sec 1tan n n n a a a ，故 221132tan 1tan 133n n a n a n， 即3tan n n a…………………10分 因此121212tan tan tan sin sin sin sec sec sec m m ma a a a a a a a a12231tan tan tan tan tan tan m m a a a a a a（利用①） 11tan tan m a a1100，得m =3333． …………………20分11. （本题满分20分）确定所有的复数 ，使得对任意复数12121,(,1,z z z z z ≠2)z ，均有211()z z ≠222()z z ．解：记2()()f z z z ．则22121122()()()()f z f z z z z z121212(2)()z z z z z z ．①假如存在复数12121,(,1,z z z z z ≠2)z ，使得12()()f z f z ，则由①知，121212(2)()z z z z z z ，利用121212z z z z z z ≠0知，12122222z z z z ，即2 ． …………………10分另一方面，对任意满足2 的复数 ，令12i,i 22z z，其中012，则1z ≠2z ，而i 122，故12,1z z ．此时将 12z z ，122i z z ，122i 2i z z代入①可得，12()()2i (2i)0f z f z ，即12()()f z f z ．综上所述，符合要求的 的值为 ,2C ． …………………20分。
2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分.） 1.已知x 、y 、z 满足2x =3y-x =5z+x ，则5x-yy+2z的值为（ ）（A ）1 （B ）13 （C ）-13 （D ）12【答】B ．解：设 2x =3y-x =5z+x =1k 则x=2k ，y-z=3k ，z+x=5k ，即x=2k ，y=6k ，z=3k 。
所以5x-y y+2z =5·2k-6k 6k+6k =13，故选B.2.已知等腰三角形的周长为12，则腰长a 的取值范围是（ ）（A ）a ＞3 （B ）a ＜6 （C ）3＜a ＜6 （D ）4＜a ＜7 【答】C.解：腰长为a ，则底长为12-2a ，由2a ＞12-2a 及12-2a ＞0可得3＜a ＜6 故选C. 3.设 21x x 、 是一元二次方程032=-+x x的两根，则 1942231+-x x 等于（ ）（A ）-4 （B ）8 （C ）6 （D ）0 【答】D.解：将21x x 、代入方程，将目标整式降次，利用两根之和求解.4．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）14【答】D.解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=. 故选D.5. 如图，正方形A BCD 和EFGC 中，正方形EFGC 的边长为a ，用a 的代数式表示阴影部分△AEG 的面积为（ ）（A ）232a （B ）223a （C ）212a （D ）2a【答】C ．6.若△ABC 的三条边a,b,c 满足关系式a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）等边三角形（C ）直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【答】D.解法一：原方程左边变形为 （a 4-b 4）+（b 2c 2-a 2c 2）=0， （a 2+b 2）（a 2-b 2）+（b 2-a 2+）c 2=0，∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a=b 或c 2=a 2+b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解法二：应用配方法a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0， （a 4-a 2c 2）-（-b 2c 2+b 4）=0 （a 2-22c ）2 -（22c -b 2）2=0 ∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a 2-b 2=0,或a 2+b 2-c 2=0. ∴a=b 或c 2=a 2+b 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选D.7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第n (n ≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时(参考数据: 51.22.5≈，61.2 3.0≈，71.2 3.6≈)，相应的n 的值为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 【答】D.8．如图：点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD = ∠DAB = 60°，AC = 3 ，AB = 6，则AD 的长度是（ ）（A ）2 （B ）2.5 （C ）3 （D ）3.5 【答】A.解：如图，作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，在Rt △ABE 中， ∠BAE= 60° ∴∠ABE= 30° ∴AE=21AB = 3 由勾股定理得BE =33∴21BCA s △AC ·BE =329 ∵∠CAD = ∠DAB = 60°同理得△ADC 和△ABD 中AD 边上的高分别是323和33 ∴=CD A s △343AD ,=B DA s △323AD 又CD A s △+B DA s △=BC A s △ ∴343AD + 323AD =329 ∴AD = 2 故选A9.若m=20132+20132×20142+20142，则m ( )（A ）是完全平方数，还是奇数 （B ）是完全平方数，还是偶数 （C ）不是完全平方数，但是奇数 （D ）不是完全平方数，但是偶数 【答】A.解 ：原式=20132-2×2013×2014+20142+2×2013×2014+20132×20142=(2013-2014)2+2×2013×2014+(2013×2014)2=1+2×2013×2014+(2013×2014)2=(2013×2014+1)2所以(2013×2014+1)2是一个完全平方数，末尾数字是9，所以也是奇数. 故选A. 10、设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ） （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1 【答】A.解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故 2()0a b c ++=．于是 2221()2ab bc ca a b c ++=-++， 所以22212ab bc ca a b c ++=-++．故选A.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）11.已知整数1234a a a a ⋅⋅⋅，，，，满足下列条件：10a =，21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =-+，…，依次类推，则2012a 的值为 ．【答】1006-12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°， BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝ ．【答】解：.如图，可以通过旋转变换将△ABE 绕点B 逆时针旋转90°，得到△CBF.证明出四边形BFDE 是正方形,且它的面积是8，则边长是或者过点B 作BF ⊥BE ，交DC 延长线于F. 证明△ABE ≌△CBF ，其余思路同上。
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013
解：由题设
an
2(n 1) n
an1
2(n 1) n
2n n 1 an2
2(n 1) n
2n n 1
23 2
a1
2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013
2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ． 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 ， 故 PO CH ， 又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2014B 10、（本题满分 20 分）设 x1, x2 , x3 是多项式方程 x3 10x 11 0 的三个根.
⑴已知 x1, x2 , x3 都落在区间 5,5 之中，求这三个根的整数部分；（5 分）
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（B 卷） 第 4 页 共 10 页
以得到 an3 an 12 ，说明 a3k1,a3k ,a3k1分别是公差为12 的等差数列，首先分别为 a2 5 ， a3 9 ， a4 13 。又 a1, a2 , a3 , a4 成公差为 4 的等差数列，所有 an 也是公差为 4 的等差数列，
an 4n 3。
由过
AD
，
BE
交点的直线系方程为
x0 (x 2) 2(2 x0 2 y0
)
y
x 2
2y0 ( 2 x0
y 1) 2y0
0
，
把 C(2,1)
代入可得
1，此时直线系就变为
x0 (x 2(2 x0
2) 2y0
)
y
x
2
件 A 共包含 45 C153 。由于在 52 张牌随机抽取 5 张的基本事件个数为 C552 ，于是事件 A 发生的概率
为 45 C153
C
5 52
0.5071，从而 P( A) 1 0.5071 0.4929 。
2014B 8、设 g(x) x(1 x) ，是定义在区间[0,1]上的函数，则函数 y xg (x) 的图像与 x
2014年高中数学联赛试题及其解答
加试
一、（本题满分 40 分）设实数a、b、c满足a + b + c = 1，abc＞0，求证：ab + bc + ca＜ √ + 。
证明方法一：因为abc＞0，故a、b、c全为正数，或一正两负。 （Ⅰ）若a、b、c中一正两负，不妨设a＞0，b、c＜0，则ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(b + c) + bc = [1 − (b + c)](b + c) + bc = (b + c) − b − − ＜0＜ √ + 。
解答：我们考虑存在复数z 、z ，|z |、|z |＜1，z ≠ z ，使得(z + α) + αz =
(z + α) + αz 的充要条件。此时
(z + α) + αz = (z + α) + αz
⇔ α(z − z ) = (z − z )(z + z + 2α)
⇔ α[(z − z ) + 2(z − z )] = (z − z )(z + z )
3、若函数f(x) = x + a|x − 1|在[0， + ∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
。
x − ax + a，x ∈ 0，1
解答：根据条件知f(x) =
。f(x)在 0，1 单调递增的充要
x + ax − a，x ∈ 1， + ∞
条件为 ≤ 0 ⇔ a ≤ 0；f(x)在 1， + ∞ 单调递增的充要条件为− ≤ 1 ⇔ a ≥ −2。故实数
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 2 页 共 11 页
2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 4 页 共 11 页
而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m
tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 5 页 共 11 页
2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、 （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别 为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求