2014中考专题复习 三角形

三角形A级基础题1．(2013年湖南衡阳)如图4-2-14，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A的大小是()A．10°B．20°C．30°D．80°图4-2-14图4-2-15图4-2-16 2．(2013年湖北宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是()A．1,2,6 B．2,2,4 C. 1,2,3 D. 2,3,43．(2013年湖南长沙)下列各图中，∠1大于∠2的是()A B C D4．(2013年陕西)如图4-2-15，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对5．(2011年四川绵阳)王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图4-2-16.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条()A．0根B．1根C．2根D．3根6．(2012年山东德州)不一定在三角形内部的线段是()A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线7．(2013年辽宁铁岭)如图4-2-17，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组是()A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC, AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D图4-2-17图4-2-188．(2012年山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图4-2-18，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是()A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等9．(2013年广西柳州)如图4-2-19，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x ＝________图4-2-19 图4-2-2010. (2013年浙江义乌)如图4-2-20，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是____________．11．(2013年湖南邵阳)将一副三角板拼成如图4-2-21所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图4-2-2112．(2013年山东菏泽)如图4-2-22，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC.(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．图4-2-22B级中等题13．(2012年黑龙江)如图4-2-23，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是() A．15°B．20°C．25°D．30°图4-2-23 图4-2-2414．(2012年黑龙江绥化)如图4-2-24所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为________(提示：∠EAD＋∠F AB＝90°)．C级拔尖题15．(2013年山东东营) (1)如图4-2-25(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.证明：DE＝BD＋CE；(2)如图4-2-25(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 拓展与应用：如图4-2-25(3)，点D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．图4-2-25三角形1．C 2.D 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.A 9．2010．AB ＝AC 或AD ＝AE 或BD ＝CE 或BE ＝CD (写出一个即可) 11．解：(1)由三角板的性质可知： ∠D ＝30°，∠3＝45°，∠DCE ＝90°.∵CF 平分∠DCE ，∴∠1＝∠2＝12∠DCE ＝45°.∴∠1＝∠3，∴CF ∥AB .(2)由三角形内角和可得∠DFC ＝180°－∠1－∠D ＝180°－45°－30°＝105°. 12．(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS)．(2)解：∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠ECA ＝45°. ∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠EAC ， ∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°.由①知∠BDC ＝∠BEA ，∴∠BDC ＝75°. 13．D 14.1315．证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°. ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°. ∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD . 又AB ＝AC ，∴△ADB ≌△CEA .∴AE ＝BD ，AD ＝CE .∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE . (2)成立．∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝180°－α. ∴∠DBA ＝∠CAE .∵∠BDA ＝∠AEC ＝α，AB ＝AC ，∴△ADB ≌△CEA .∴AE ＝BD ，AD ＝CE . ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE . (3)由(2)知，△ADB ≌△CEA ， 则BD ＝AE ，∠DBA ＝∠EAC .∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形， ∴∠ABF ＝∠CAF ＝60°.∴∠DBA ＋∠ABF ＝∠EAC ＋∠CAF . ∴∠DBF ＝∠EAF .∵BF ＝AF ，BD ＝AE ，∴△DBF ≌△EAF . ∴DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE .∴∠DFE ＝∠DF A ＋∠AFE ＝∠DF A ＋∠BFD ＝60°. ∴△DEF 为等边三角形．等腰三角形与直角三角形A级基础题1．(2013年新疆)等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为() A．12 B．15 C．12或15 D．182．(2013年湖北武汉)如图4-2-36，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是()A．18°B．24°C．30°D．36°图4-2-363．(2010年广东深圳)如图4-2-37，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B 的度数是()A．40°B．35°C．25°D．20°图4-2-37图4-2-38图4-2-39 4．(2013年山东德州)如图4-2-38，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为()A. 68°B．32° C. 22°D．16°5．(2013年山东滨州)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，则边AC的长为________．6．(2013年山东泰安)如图4-2-39，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE 交AC于点E，交BC的延长线于点F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是________．7．(2012年吉林)如图4-2-40，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A 为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.图4-2-40图4-2-41图4-2-42 8．(2011年江苏无锡)如图4-2-41，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝________ cm.9．(2013年福建莆田)图4-2-42是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是________．10．(2013年湖北荆门)如图4-2-43(1)，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．(1)求证：BE＝CE；(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图4-2-43(2)，∠BAC＝45°，原题设其他条件不变．求证：△AEF≌△BCF.图4-2-43B级中等题11．(2013年浙江绍兴)如图4-2-44所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是__________．图4-2-44 图4-2-4512．(2013年湖北襄阳)在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图4-2-45所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是______________．13．(2013年辽宁沈阳)如图4-2-46，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC 于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF＝2AE;(2)若CD＝2，求AD的长．图4-2-46C级拔尖题14．(2013年江西)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：[操作发现]在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图4-2-47(1)，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论：①AF ＝AG ＝12AB ；②MD ＝ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB ＝∠DMB .其中正确的是____________(填序号即可)．[数学思考]在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图4-2-47(2)，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．[类比探索]在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图4-2-47(3)，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状． 答：____________________.(1) (2) (3)图4-2-47等腰三角形与直角三角形1．B 2.A 3.C 4.B5．2 6 6.27.28.59.1010．证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE.在△ABE和△ACE中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△ABE≌△ACE(SAS)．∴BE＝CE.(2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF.由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF.在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，∴△AEF≌△BCF.11．12°解析：设∠A＝x.∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x.∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，…，∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，即x＋7x＋7x＝180°，∴x＝12°.即∠A＝12°.12．2 13或6 2解析：如图17(1)，以点B为直角顶点，BD为斜边上的中线．在Rt△ABD中，可得BD＝13，∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是2 13；如图17(2)，以点A为直角顶点，AC为斜边上的中线，在Rt△ABC中，可得AC＝3 2，∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是6 2.(1) (2)图1713．(1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°.∴AD＝BD.∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠CBE.又∵∠CDA＝∠BDF＝90°，∴△ADC≌△BDF(ASA)．∴AC＝BF.∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝EC，即AC＝2AE，∴BF＝2AE.(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF＝CD＝ 2.∴在Rt△CDF中，CF＝DF2＋CD2＝2.∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF＝FC＝2.∴AD＝AF＋DF＝2＋ 2.14．解：[操作发现]①②③④[数学思考]MD＝ME，MD⊥ME.证明如下：图18①MD＝ME.如图18，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，∵M 是BC 的中点，∴MF ∥AC ，MF ＝12AC .又∵EG 是等腰直角三角形AEC 斜边上的中线，∴EG ⊥AC ，且EG ＝12AC .∴MF ＝EG .同理可证DF ＝MG . ∵MF ∥AC ，∴∠MF A ＋∠BAC ＝180°.同理可得∠MGA ＋∠BAC ＝180°. ∴∠MF A ＝∠MGA .又∵EG ⊥AC ，∴∠EGA ＝90°. 同理可得∠DF A ＝90°.∴∠MF A ＋∠DF A ＝∠MGA ＋∠EGA ，即∠DFM ＝∠MGE .又MF ＝EG ，DF ＝MG ， ∴△DFM ≌△MGE (SAS)．∴MD ＝ME . ②MD ⊥ME .如图18，设MD 与AB 交于点H ， ∵AB ∥MG ，∴∠DHA ＝∠DMG . 又∵∠DHA ＝∠FDM ＋∠DFH ， 即∠DHA ＝∠FDM ＋90°.∵∠DMG ＝∠DME ＋∠GME ，∴∠DME ＝90°. 即MD ⊥ME .[类比探究]等腰直角三角形解直角三角形A 级 基础题1．(2013年四川乐山)如图6-5-12，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m )，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为( )A.45B. 54C. 35D.53图6-5-12 图6-5-13 图6-5-14 图6-5-152．河堤横断面如图6-5-13，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )A ．5 3米B ．10米C ．15米D ．10 3米 3．(2013年湖北孝感)式子2cos 30°－tan 45°－(1－tan 60°)2的值是( ) A. 2 3－2 B ．0 C. 2 3 D ．2 4．(2013年浙江衢州)如图6-5-14，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为( )A ．3 cm B. 6 cm C ．3 2 cm D ．6 2 cm 5．(2013年四川雅安)如图6-5-15, AB 是⊙O 的直径，C ，D 是 ⊙O 上的点， ∠CDB＝30°，过点C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 E, 则 sin ∠E 的值为( )A.12B.32C.22D.33 6．(2013年山西)如图6-5-16，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道(B ，C在同一水平面上)，为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则BC 两地之间的距离为( )A ．100 3 mB ．50 2 mC ．50 3 m D.100 33m图6-5-16 图6-5-177．(2013年浙江衢州) 如图6-5-17，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB )为1.6 m ，则这棵树的高度为(结果精确到0.1 m ，≈1.73)( )A ．3.5 mB ．3.6 mC ．4.3 mD ．5.1 m 8．(2012年江苏常州)若∠α＝60°，则∠α的余角为__________，cos α的值为 ________.9．(2013年贵州安顺)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为________________．10．(2013年云南曲靖)如图6-5-18，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°∠C ＝θ，AD ＝2，BC ＝4，则AB ＝______(用含θ的三角函数式表示)．图6-5-18 图6-5-1911．(2013年湖北荆州)如图6-5-19，在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝__________米(结果可保留根号)．12．(2013年浙江宁波)天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹，如图6-5-20，从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部A ，B 的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度CD 为51米，A ，B 两点在CD 的两侧，且点A ，D ，B 在同一水平直线上，求A ，B 之间的距离(结果保留根号)．图6-5-20B 级 中等题13．(2012年山东济南)如图6-5-21，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为( )图6-5-21A.13B.12C.22D ．3 14．(2013年辽宁锦州)如图6-5-22，某公园入口处有一斜坡AB ，坡角为12°，AB 长为3 m ．施工队准备将斜坡建成三级台阶，台阶高度均为h cm ，深度均为30 cm ，设台阶的起点为C .(1)求AC 的长度；(2)每级台阶的高度h . (参考数据：sin12°≈0.207 9，cos12°≈0.978 1，tan12°≈0.212 6，结果都精确到0.1 cm)图6-5-22C 级 拔尖题15．如图6-5-23，某防洪指挥部发现长江边一处长600米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD )急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后背水坡EF 的坡比i ＝1∶3.(1)求加固后坝底增加的宽度AF (结果保留根号)；(2)求完成这项工程需要土石多少米3(结果取3≈1.732)?图6-5-23解直角三角形1．A 2.A 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D8．30° 129.24 10.2tan θ 11.7 3＋2112．解：由题意，得∠ECA ＝45°，∠FCB ＝60°， ∵EF ∥AB ，∴∠CAD ＝∠ECA ＝45°，∠CBD ＝∠FCB ＝60°. ∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，且在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，∴BD ＝51tan60°＝17 3米．∵AD ＝CD ＝51米，∴AB ＝AD ＋BD ＝(51＋17 3)米．答：A ，B 之间的距离为(51＋17 3)米． 13．A14．解：(1)如图61，构造Rt △ABD . ∴AD ＝AB ·cos A ＝300×cos12°≈300×0.978 1＝293.43. ∴AC ＝AD －CD ＝293.43－2×30≈233.4(cm)． 答：AC 的长度约为233.4 cm. (2)在Rt △ABD 中，BD ＝AB ·sin A ＝300×sin12°≈300×0.207 9＝62.37.∴h ＝13BD ＝13×62.37≈20.8(cm)．答：每级台阶的高度h 约为20.8cm.图6115．解：(1)作EM ⊥BF 于M ，DN ⊥BF 于N (如图62)，则MN ＝DE ＝2米，EM ＝DN ＝10米，在Rt △AND 中AN ＝DN ＝10米．∵i ＝EM FM ＝13，∴FM ＝10 3米．∴AF ＝FM ＋MN －AN ＝(10 3－8)(米)．图62(2)∵S 梯形ADEF ＝(DE ＋AF )·DN2＝(50 3－30)(米2)，∴(50 3—30)×600≈33 960(米3)．答：完成这项工程需要土石约33 960米3.图形的相似A 级 基础题1．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为( ) A ．1,2,3,4 B ．1,2,2,4 C ．3,5,9,13 D ．1,2,2,3 2．(2013年北京)如图6-4-14，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得BE ＝20 m ，EC ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB ＝( )A. 60 mB. 40 mC. 30 mD. 20 m图6-4-14 图6-4-153．(2013年上海)如图6-4-15，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB ＝( )A. 5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．2∶54．若两个相似三角形的面积之比为1∶16，则它们的周长之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶5 D ．1∶16 5．(2013年江苏无锡)如图6-4-16，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于O ，AD ＝1，BC ＝4，则△AOD 与△BOC 的面积之比等于( )A.12B.14C.18D.116图6-4-16 图6-4-176．(2013年山东威海)如图6-4-17，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD .下列结论错误的是( )A ．∠C ＝2∠AB ．BD 平分∠ABCC ．S △BCD ＝S △BOD D ．点D 为线段AC 的黄金分割点7．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是________________．8．(2013年四川雅安)如图6-4-18, 在▱ABCD ，E 在AB 上，CE ，DB 交于F ，若AE ∶BE ＝4∶3，且BF ＝2，则DF ＝________.图6-4-18 图6-4-199．(2013年江苏泰州)如图6-4-19，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(3,0)，(2，－3)，△AB ′O ′是△ABO 关于点A 的位似图形，且O ′的坐标为(－1,0)，则点B ′的坐标为________．10．(2012年湖南株洲)如图6-4-20，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，沿直线MN 对折，使A ，C 重合，直线MN 交AC 于点O .(1)求证：△COM ∽△CBA ； (2)求线段OM 的长度．图6-4-20B级中等题11．(2013年山东淄博)在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图6-4-21，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC 的相似线最多有__________条．图6-4-2112．如图6-4-22，大江的同一侧有A，B两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，AD，BE的长度分别为3千米和2千米，且两条小路之间的距离为5千米．现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管路最短，则供水站应建在距E处多远的位置？图6-4-2213．(2012年湖南株洲)如图6-4-23，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5米，AC＝12米．点M在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时点N在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒．(1)当t为何值时，∠AMN＝∠ANM；(2)当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．图6-4-23C级拔尖题14．(2013年山东滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图6-4-24.其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm,8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长(材质及其厚度等暂忽略不计)?图形的相似1．B 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.②③ 8.143 解析：AB ∥CD ⇒△BEF ∽△DCF ⇒BE CD ＝BF DF ，又∵AE BE ＝43，∴BE AB ＝37，即BE CD ＝37，则有37＝2DF ，DF ＝143.9.⎝⎛⎭⎫53，－4 10．(1)证明：∵A 与C 关于直线MN 对称， ∴AC ⊥MN .∴∠COM ＝90°. 在矩形ABCD 中，∠B ＝90°，∴∠COM ＝∠B . 又∵∠ACB ＝∠MCO ， ∴△COM ∽△CBA .(2)解：∵在Rt △CBA 中，AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，∴OC ＝5. ∵△COM ∽△CBA ， ∴OC CB ＝OM AB ，OM ＝154. 11．312．解：如图55，作出点B 关于江边的对称点C ，连接AC ，则BF ＋F A ＝CF ＋F A ＝CA . 根据两点之间线段最短，可知当供水站在点F 处时，供水管路最短． ∵△ADF ∽△CEF ，∴设EF ＝x ，则FD ＝5－x ， 根据相似三角形的性质，得 EF FD ＝CE AD ，即x 5－x ＝23，解得x ＝2. 故供水站应建在距E 点2千米处．图5513．解：(1)由题意，得AM ＝12－t ，AN ＝2t . ∵∠AMN ＝∠ANM ，∴AM ＝AN ，从而12－t ＝2t ， 解得t ＝4秒．∴当t 为4秒时，∠AMN ＝∠ANM .(2)如图56，过点N 作NH ⊥AC 于点H ， ∴∠NHA ＝∠C ＝90°.∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA . ∴AN AB ＝NH BC ，即2t 13＝NH 5，∴NH ＝10t 13. 从而有S △AMN ＝12(12－t )·10t 13＝－513t 2＋6013t ，∴当t ＝6时，S 有最大值为18013.图56 图5714．解：如图57，过点C作CM∥AB，交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，交EF，AD 于Q，P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20 cm.∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240.解得NF＝24 cm.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为44 cm.。