2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章 第六节 几何概型 含解析

一、填空题
1．已知地铁列车每10 min 一班(上一班车开走后10分钟下一班车到)，在车站停 1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是________．
解析：试验的所有结果构成的区域长度为11 min ，而构成事件A 的区域长度为 1 min ，故P (A )＝1
11. 答案：1
11
2．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，则弦长超过半径的概率为________．
解析：当弦长等于半径时对应的圆心角为π
3，
设A ＝{弦长超过半径}，则P (A )＝2π－23π2π
＝23.
答案：23
3．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1表示焦点在
x 轴上且离心率小于3
2的椭圆的概率为________．
解析：方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于3
2的椭圆，
故⎩⎨⎧
a 2>
b 2，
e ＝c a ＝
a 2－
b 2a <32，
即⎩⎨⎧
a 2>
b 2，a 2<4b 2，
化简得⎩
⎨⎧
a >
b ，a <2b ，
又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为15
4，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.
答案：1532
4．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋3
4m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________． 解析：由Δ＝m 2－4(3
4m ＋1)＜0得－1＜m ＜4. 即A ＝{m |－1＜m ＜4}． 由 lg m 有意义知 m ＞0， 即使lg m 有意义的范围是(0,4)， 故所求概率为 P ＝4－04－(－1)
＝4
5.
答案：45
5．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．
解析：长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，
因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π
4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4. 答案：1－π
4
6．在区域M ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨
⎪⎧
0<x <2
0<y <4
}内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧
x ＋y <4
y >x
x >0
}
内的概率是________．
解析：画出区域M 、N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N
为图中阴影部分． S 阴影＝1
2×4×2＝4， 故所求概率P ＝44×2
＝12. 答案：12
7．如图，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘的序号是
________．
解析：图(1)的概率为38，图(2)的概率为14，图(3)、(4)的概率都是1
3，故选择(1)． 答案：(1)
8．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5
6，则m ＝________. 解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .
当m ≤2时，由题意得2m 6＝5
6，解得m ＝2.5，矛盾，舍去． 当2<m <4时，由题意得m －(－2)6
＝5
6，解得m ＝3.即m 的值为3. 答案：3
9．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果在该矩形内随机找一点P ，那么使得△ABP 与△CDP 的面积都不小于1的概率为________． 解析：取AD 的三等分点E ′、F ′，取BC 的三等分点E 、
F ，连结EE ′、FF ′，如右图所示．因为AD ＝3，所以可知BE ＝EF ＝FC ＝AE ′＝E ′F ′＝F ′D ＝1.又AB ＝2，所以当点P 落在虚线段EE ′上时，△ABP 的面积等于1，
当点P 落在虚线段FF ′上时，△CDP 的面积等于1，从而可知当点P 落在矩形EE ′F ′F 内(包括边界)时△ABP 和△CDP 的面积均不小于1，故可知所求的概率为P ＝1×22×3＝13.
答案：13 二、解答题
10．已知棱长为2的正方体的内切球O .若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？
解析：球的直径就是正方体的棱长2. ∴球O 的体积V 球＝4
3π， 正方体的体积为V ＝23＝8.
由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能的，在正方体内每个位置上，由
几何概型公式，这点不在球O 内(事件A )的概率为 P (A )＝V －V 球V ＝8－43π
8＝1－π6. ∴所求概率为1－π
6.
11．在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧
－1≤x ≤2
0≤y ≤2，
从区域W 中随机取点M (x ，y )．
(1)若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第一象限的概率； (2)若x ∈R ，y ∈R ，求|OM |≤2的概率．
解析：(1)若x ，y ∈Z ，则点M 的个数共有12个，列举如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)． 当点M 的坐标为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)时，点M 位于第一象限， 故点M 位于第一象限的概率为1
3. (2)如图：
若x ，y ∈R ，则区域W 的面积是3×2＝6. 满足|OM |≤2的点M 构成的区域为
{(x ，y )|－1≤x ≤2，0≤y ≤2，x 2＋y 2≤4}，即图中的阴影部分．易知E (－1，3)，∠EOA ＝60°，
所以扇形BOE 的面积是4π3，△EAO 的面积是32. 所以|OM |≤2的概率为43π＋326＝29π＋3
12.
12．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .
(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率； (2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：
⎩⎨⎧
x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0
所表示的平面区域内的概率．
解析：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .
∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3
＋i ，－3
＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，
其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝1
6.
(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪
(x ，y )⎩⎨⎧⎭⎬⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图
形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12. 而所求事件构成的平面区域为 ⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y )
⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ＋2y －3≤0x ≥0y ≥0，
其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．
又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，3
2)， ∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝9
4. ∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝3
16.。