2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)
§2.4.2抛物线的简单几何性质(1)(1)
结论得证.
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 1 1 2 问题6 : 求证 : FA FB p
解法1 : 过A, B作x轴的垂线, 垂足分别为R, S , 直线l的倾斜角为 , P , 1 cos 1 1 cos 1 1 cos 1 1 2 ,同理 , . AF P BF P FA FB p ER EF FR P AF cos AF AF 解法 2 : 若直线l的斜率不存在, 结论显然成立, p y k( x ) 若直线l的斜率存, 设为k , 则 2 y 2 2 px 2 2 k p k 2 x 2 p( k 2 2 ) x 0 4 1 1 1 1 2 p p p FA FB x1 x2 2 2
例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题7 : 过A, B分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , 则AF1 BF1 .
解 : AA1 AF ,AA1F AFA1 AA1 / / OF AA1F A1FO A1FO A1FA, 同理B1FO B 1 FB , A1FB1 90, AF1 BF1 .
O
P ( x 0 , y0 )
F
x
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
例1.设M x0 , y0 是抛物线y 2 px上的任一点,
2.4.2 抛物线的简单几何性质1
2．4.2 抛物线的简单几何性质整体设计教材分析“抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用．本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一．对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用．研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论．已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.课时分配本节分两课时进行教学．第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图、例3及其他例题；第二课时主要内容为焦半径公式、例4、例5、例6.第1课时教学目标知识与技能1．抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．过程与方法1．使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出的条件求抛物线的标准方程．2．掌握抛物线的画法．情感、态度与价值观1．培养学生数形结合及方程的思想．2．训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用．重点难点教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用．教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用．教学过程复习引入1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称. 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的14，即2p 4＝p2.不同点：(1)图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为±2px、左端为y 2；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为±2py，左端为x 2.(2)开口方向为x 轴(或y 轴)正向时，焦点在x 轴(或y 轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口为x 轴(或y 轴)负向时，焦点在x 轴(或y 轴)的负半轴上，方程右端取负号．讲解新课 唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”．提出问题1：如果测得酒杯口宽4 cm ，杯深8 cm ， 试求酒杯轴截面所在曲线的方程．活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导，再由一名学生板演．解：如图建立平面直角坐标系， 则可知A(－2,8)，B(2,8)． 所以设抛物线的方程为： x 2＝2py(p>0)A 、B 点在抛物线上，代入抛物线方程，可得p ＝ 14，则所求的抛物线方程为：x 2＝12y.提出问题2：这一节我们来研究抛物线的标准方程y 2＝2px(p>0)的几何性质．请同学们思考：类比椭圆、双曲线的几何性质，你应从哪几个方面进行研究？学情预测：学生会给出很多方面，此时教师引导学生观察图象给出性质．1．范围2．对称性3．顶点4．离心率5．通径探索研究活动设计：先由学生合作讨论，再由一、两名学生代表发言，教师适时补充．1．范围学情预测：一般情况下，学生会从图像观察到：x≥0，y∈R.此时教师可引导学生从方程角度思考，可得到：因为p＞0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性学情预测：一般情况下，学生会从图象观察到：关于x轴对称．此时教师可引导学生从方程角度思考，可得到：以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y2＝2px(p>0)中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线y2＝2px(p>0)的顶点就是坐标原点．4．离心率活动设计：此处可由教师给出定义．抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e＝1.多媒体给出下表的第1、2行和第1列，由学生得出其他几种形式的方程的几何性质：注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离．补充说明：1.抛物线只位于半个平面坐标内，虽然它可以无限延伸但它没有渐近线．因此抛物线不是双曲线的一支．2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心． 3．抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线． 4．抛物线的离心率是确定的且为1.附：抛物线不存在渐近线的证明．(反证法)假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A(x ，y)为抛物线上的一点， A 0(x ，y 1)为渐近线上与A 横坐标相同的点．如图， 则有y ＝±2px 和y 1＝mx ＋n. ∴ |y 1－y|＝|mx ＋n 2px| ＝|x|²|m＋nx2p x|. 当m≠0时，若x→＋∞，则|y 1－y|→＋∞.当m ＝0时，|y 1－y|＝|n 2px|，当x→＋∞，则|y 1－y|→＋∞.这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线．提出问题：椭圆的圆扁程度、双曲线的张口大小由e 的大小决定，那么抛物线的开口大小由什么决定？下面我们来看一个例题．在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：(1)y 2＝12x ；(2)y 2＝x ；(3)y 2＝2x ；(4)y 2＝4x.活动设计：由学生自己完成，教师可将学生所画的图象投影展示．学情预测：从图象观察到抛物线标准方程中的p 越大，开口越开阔． 探究问题：在抛物线的标准方程中2p 的几何意义是什么？通径的定义：通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫抛物线的通径．提出问题：由学生求出通径的长度．通径的长度：2p.反思应用1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－22)，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px，因为它过点M(2，－22)，所以(－22)2＝2p²2，即 p＝2.因此，所求的抛物线方程为y2＝4x.将已知方程变形为y＝±2x，根据y＝2x计算抛物线在x≥0的范围内几个点的坐标，得点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．提出问题：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2，－22)的抛物线有几条？求出它们的标准方程．活动设计：先由学生独立完成或合作讨论，再由一名学生上黑板板演．学情预测：易得到结果：y2＝4x或x2＝－2y.2若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．解：设抛物线方程为y2＝±2px或者x2＝±2py(p>0)，∵通径长2p＝7，所以所求抛物线方程y2＝±7x或者x2＝±7y.3过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD 、EH 、BC ，垂足为D 、H 、C ，则 |AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH⊥l，因而圆E 和准线l 相切．达标检测 1．抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，则其通径的长为( )A ．－12 B.12 C.14D ．12．已知M 为抛物线y 2＝4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点P(3,1)，则|MP|＋|MF|的最小值为( )A ．3B ．4C ． 5D ．63．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是____________________．4．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．答案：1.B 2.B 3.y 2＝2(x －1) 4.M(54，±22)，M 到y 轴距离的最小值为54.本课小结 1．抛物线的性质；2．灵活运用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程及描点法画图. 布置作业 课本习题2.4A 组4. 补充练习1．过抛物线x ＝ay 2的焦点的一条直线和抛物线交于A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝______________.2．下列说法中，错误的是( ) A ．任何抛物线的离心率都是1B ．在抛物线上所有的点中，顶点到焦点的距离最短C ．过一定点的所有直线中，与抛物线恰有一个公共点的直线最多有两条D ．抛物线的所有焦点弦中，通径的长最短3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2、B 2，则∠A 2FB 2等于________．4．以椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆的右准线所得的弦长．答案：1.116a2 2.C 3.90° 4.4 5设计说明二次曲线是平面解析几何的主要研究对象，在教学时，注意挖掘它们之间的内在联系和区别，不要孤立地和静止地看待抛物线．因此在研究抛物线的几何性质时采用对比的方法进行教学，让学生对照椭圆、双曲线的几何性质，去探求抛物线的几何性质，在进行对比时，要注意横向和纵向两种对比，也就是既要注意每种曲线内部的对比，同时也要注意几种曲线之间的对比．。
抛物线的简单几何性质
x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；
抛物线课件及练习题含详解
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2
高中数学 第二章2.4.2 抛物线的简单几何性质讲解与例
2.4.2 抛物线的简单几何性质问题导学一、抛物线几何性质的应用活动与探究1已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．迁移与应用1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________．注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．二、抛物线的焦点弦活动与探究2已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．迁移与应用1．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．A ．45°B ．90° C．60° D．120°2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．三、直线与抛物线的位置关系活动与探究3已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．迁移与应用1．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为( )．A ．－1B ．2C ．2或－1D ．42．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若AB 恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程．1．直线与抛物线位置关系的判定：直线方程与抛物线方程联立得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，且只有一个交点；当a ≠0时，两者位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可，即①相交：两个不同交点⇔a ≠0且Δ＞0；②相切⇔a ≠0且Δ＝0；③相离⇔a ≠0且Δ＜0．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．答案：课前·预习导学 【预习导引】1．⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 x ＝－p 2 y ＝p2 x ≤0y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0)预习交流1 提示：抛物线与双曲线的一支不相同．双曲线的一支有渐近线，离心率e ＞1；抛物线没有渐近线，它的离心率是唯一的，e ＝1．2．x 0＋p2x 1＋x 2＋p 2p预习交流2 提示：抛物线方程化为y 2＝13x ，2p ＝13，故其通径长为13．预习交流3 提示：不正确，若直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个公共点时，直线不一定与抛物线相切，还可能是相交，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．这一点与圆、椭圆是不同的，要注意区别．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据题目条件设出抛物线方程，再结合图形，探讨抛物线上的动点P 满足到A ，F 两点距离之和取最小值时的条件，进而列出等量关系．解：设所求的抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2．如图所示，若A 点在“抛物线所包含的区域之内”， 过点P 作准线的垂线，垂足为H ，由抛物线定义可知|PF |＝|PH |． 当H ，P ，A 在同一条直线上时， |PA |＋|PF |取最小值|AH |＝2＋2p ＝4，解得p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2＝8x ． 迁移与应用 1．y 2＝16x 或y 2＝8x 解析：由于抛物线的准线方程是x ＝－p2，而点M 到准线的距离为6，所以M 点的横坐标是6－p2，于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，－42，代入方程得32＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，解得p ＝8或p ＝4，故方程为y 2＝16x 或y 2＝8x ．2．2 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心为(3,0)，半径为4，抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋p 2＝4，得p ＝2或－14(舍)．活动与探究2 思路分析：(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3．又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．迁移与应用 1．B 解析：如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1．又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ． 同理∠BFB 1＝∠B 1FO ．于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1． 故∠A 1FB 1＝90°．2．解：已知抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 对于直线AB ，分两种情况考虑： (1)若直线AB 的倾斜角为90°， 则有|AF |＝|BF |＝p ，所以112||||AF BF p+=； (2)若直线AB 的倾斜角不等于90°， 设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线方程联立并消去y ，整理得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋224k p ＝0，由韦达定理得，x 1＋x 2＝22(2)k p k +，x 1x 2＝24p ．另一方面，由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p． 于是121111||||22p p AF BF x x +=+++ ＝()122121224x x pp p x x x x +++++＝()()22222222=2424k p pk p k p p p pk ++++⋅+． 活动与探究3 思路分析：要求弦AB 的长，只需求出A ，B 两点的坐标．为此，设出A ，B 两点的坐标，利用OA ⊥OB 以及A ，B ，P 三点共线的条件求解．解：∵A ，B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA u u u r ·OB uuu r＝0．由OA u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，OB uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2， 得y 21y 2236＋y 1y 2＝0．∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36．①∵点A ，B 与点P (4,2)在一条直线上，∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24． 将①代入，得y 1＋y 2＝－6．②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610．迁移与应用 1．B 解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2．而AB 中点的横坐标为2， ∴4k ＋8k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2．而当k ＝－1时，方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A ，B 两点重合，∴k ≠－1． 2．解：方法1：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去x ，整理得ky 2－8y －32k ＋8＝0．此方程的两根是弦AB 的端点A ，B 的纵坐标，由韦达定理得y 1＋y 2＝8k．又Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2．∴k ＝4． 故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．方法2：设弦AB 的端点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则有2118y x ＝，2228y x ＝，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 由于Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，于是y 1－y 2x 1－x 2＝4，即直线AB 的斜率k ＝4，故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0． 当堂检测1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么|PF |＝( )．A ．43B ．8C ．83D ．16答案：B 解析：如图，直线AF 的方程为3(2)y x =--，与准线方程x ＝－2联立得A (－2，43)．设P (x 0，43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6． ∴|PF |＝x 0＋2＝8．2．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )． A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．0或1答案：D 解析：联立22,8y kx y x=+⎧⎨=⎩得(kx ＋2)2－8x ＝0．整理得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0．当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2＝0，解得k ＝1． 综上，k ＝0或1．3．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为122p ＝__________．答案：2 解析：如图，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y －2p ＝x ，即y ＝x ＋2p ． 联立x 2＝2py ，得2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＝(1＋2)p ，x 2＝(1－2)p ．∴|AD |＋|BC |＝y 1＋y 2＝x 1＋2p ＋x 2＋2p＝2p ＋p ＝3p ，|CD |＝|x 1－x 2|＝22p ． 由S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)·|CD |＝13221222p p ⋅⋅=，解得p 2＝4，∴p ＝±2．∵p ＞0，∴p ＝2．4．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．答案：－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴212242(2)2y y ⎧=⎨-=⎩,①,② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩∴P (4,8)，Q (－2,2)． 又∵抛物线可化为212y x =， ∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为4'4x y ==． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为2'2x y =-=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2．联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4．5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；答案：解：将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2．故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 5l 的方程；若不存在，说明理由． 答案：假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ．由22,4y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0．∵直线l与抛物线C有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得12t≥-．另一方面，由直线OA与l的距离55d=，可得55=，解得t＝±1．∵11,2⎡⎫-∉-+∞⎪⎢⎣⎭，11,2⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，∴符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。
高中数学选修2-1自主学习导学案：2.4.2 抛物线的简单几何性质
§2.4.2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的图形性质22(0)y px p => ，焦点(,0)2p F ，准线2p x =-（1）顶点：(0,0)O（2）取值范围：0x ≥；（3）对称性：关于x 轴对称； （4）离心率1e =；（5）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB ，称为抛物线的通径，2AB p =，2p 越大，抛物线张口越大．2．抛物线的焦半径与焦点弦（1）连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径，如图所示AF ，BF ． 由抛物线的定义，A 点到焦点的距离等于到准线的距离，设00(,)A x y ，则02p AF x =+（2）过抛物线的焦点的弦叫做焦点弦，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：1212()()22p p AB x x x x p =+++=++． 以上结论可以推广到其他形式的抛物线：20202020122222322422==+=-=+==+=-=+(),||;(),||-(),||(),||-py px PF x py px PF x px py PF y px py PF y 21221221221212223242==++=-=--==++=-=--(),||;(),||(),||(),||y px AB x x p y px AB p x x x py AB y y p x py AB p y y3．关于抛物线的若干结论已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点．则有： （1）若l 的倾斜角为θ，则22sin pAB θ=． （2） 所有焦点弦中，通径最短． （3）求证：2212124⋅=⋅=-,p x x y y p ．（4）以AB 为直径的圆与准线相切．（5）112+=FA FB p．4．直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的位置关系有三种：（1）相离；（2）相切；（3）相交．判断它们的位置关系，可以将直线的方程与抛物线的方程联立，22Ax By C y px++=⎧⎨=⎩，消元，再根据消元后的方程进行判断．※ 典型例题考点1．抛物线定义的直接应用【例1】（1）已知点A （-2，3）与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p =________．（2）抛物线24y x =的弦AB 垂直x 轴，若|AB|= AB =，则焦点到AB 的距离为 ． 变式1．已知(3,2)M ，P 为抛物线22y x =上一点，F 为抛物线的焦点，（1）若P 到焦点的距离为2，则P 点坐标为____________；（2）PM PF +的最小值为______，此时P 点的坐标为_________． 考点2．直线与抛物线的位置关系【例2】已知直线 l ：1y kx =- 和抛物线C ：24y x =，试判断当 k 为何值时，l 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个不同公共点；（3）没有公共点．【方法归纳】直线与抛物线位置关系的判断方法：（1）把直线方程代入抛物线方程；（2）得到一元一次方程，则直线与抛物线的对称轴平行，相交（一个交点）（3）得到一元二次方程，计算判别式，0∆>，相交；0∆=，相切；0∆<，相离 变式1．过点(0,1)M 且和抛物线C: 24y x =仅有一个公共点的直线的方程是________________．考点3．焦点弦与弦长【例3】斜率为1的直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【方法归纳】(1)直线被曲线截得的弦 |AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|；(2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x 1+x 2+p变式1．已知直线l ：y ＝－ x ＋1和抛物线C ：y 2＝4x 交点为A 、B ，求AB 的长．变式2．斜率为1的直线l 被抛物线C: 24y x =截得的弦长|AB|=8,则直线的l 的方程是________．考点4．中点弦有关的问题【例4】已知抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A,B 两点．若P(2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 ．变式1．直线l 和抛物线C: 24y x =交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M （2,1），则直线的l 的方程是_______．变式2．若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A,B 两点,则线段AB 的中点坐标是 ．变式3．已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程；(2)求直线AB 的方程．考点5．与抛物线有关的最值问题【例5】能否在抛物线C ：24y x =上求一点，使得点 P 到直线3y x =+的距离最短．考点6．与抛物线有关的定点(定值)问题【例6】已知点A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,且OA ⊥OB ．(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB 过定点．考点7．与抛物线有关的对称问题【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x-y-2=0，抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 的中点坐标为(2-p ，-p)；②求p 的取值范围．变式1．若抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,且y 1y 2=-1,则实数b 的值为 ( )A ．-3B ．3C ．2D ．-22．已知抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l :y=k(x-1)+1对称,则实数k 的取值范围为 ．1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．82．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 33．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．303B ．6C ．12D ．7 3 5．过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y 2=8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为 ( )A ．2B ．2C ．2D ．26．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( ) A ．15 B ．14 C ．13 D ．127．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．28．过点(-1,0)且与抛物线y 2=x 有且仅有一个公共点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F,直线l 过点F 且与C 交于A,B 两点．若|AF|=3|BF|,则l 的方程为 ( )A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(x-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1) D ．y=(x-1)或y=-(x-1)10．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 11．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．12．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．14．在抛物线y=4x 2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 ．15．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．17．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于10时，求k的值．18．已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB相切．§2.4.2 抛物线的简单几何性质（教师版）1．抛物线的图形性质22(0)y px p => ，焦点(,0)2p F ，准线2p x =-（1）顶点：(0,0)O（2）取值范围：0x ≥；（3）对称性：关于x 轴对称； （4）离心率1e =；（5）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB ，称为抛物线的通径，2AB p =，2p 越大，抛物线张口越大．2．抛物线的焦半径与焦点弦（1）连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径，如图所示AF ，BF ． 由抛物线的定义，A 点到焦点的距离等于到准线的距离，设00(,)A x y ，则02p AF x =+（2）过抛物线的焦点的弦叫做焦点弦，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：1212()()22p p AB x x x x p =+++=++． 以上结论可以推广到其他形式的抛物线：20202020122222322422==+=-=+==+=-=+(),||;(),||-(),||(),||-py px PF x py px PF x px py PF y px py PF y 21221221221212223242==++=-=--==++=-=--(),||;(),||(),||(),||y px AB x x p y px AB p x x x py AB y y p x py AB p y y3．关于抛物线的若干结论已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点．则有： （1）若l 的倾斜角为θ，则22sin pAB θ=．222121212222222212021221πθπθθθθθθθ==∴≠=-=+-⋅-=∴=-+=∴=-=+=:,,,:()tan ,,tan :,tan ,,tan ()tan sin AB p AB p y p l y x x y py p py y p y y pAB y y p 解若则此时为抛物线的通径结论得证若设直线的方程为即代入抛物线方程得（2） 所有焦点弦中，通径最短．()()()2222221221223θθθ=≤∴≥∴:sin sin ,sin ,:;,:;.p AB pp AB p p 解由问题知:的最小值为即通径最短.通径的长度通径越大抛物线开口越大通径是抛物线的所有焦点弦中通径的性最短的质（3）求证：2212124⋅=⋅=-,p x x y y p ．212221212221212222244⋅=-==∴==:,,,()y y p y y x x p p y y P x x P 解由问题的解法知:（4）以AB 为直径的圆与准线相切． （5）112+=FA FB p． 4．直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的位置关系有三种：（1）相离；（2）相切；（3）相交．判断它们的位置关系，可以将直线的方程与抛物线的方程联立，22Ax By C y px++=⎧⎨=⎩，消元，再根据消元后的方程进行判断．※ 典型例题考点1．抛物线定义的直接应用【例1】（1）已知点A （-2，3）与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p =_____4____ （2）抛物线24y x =的弦AB 垂直x 轴，若|AB|= AB =AB 的距离为 2 ． 【答案】（1）4；（2）2；变式1．已知(3,2)M ，P 为抛物线22y x =上一点，F 为抛物线的焦点，（1）若P 到焦点的距离为2，则P 点坐标为____3(,2________； （2）PM PF +的最小值为____72__，此时P 点的坐标为_____(2,2)____．考点2．直线与抛物线的位置关系【例2】已知直线 l ：y ＝kx-1 和抛物线C ：y 2＝4x ，试判断当 k 为何值时，l 与C 有：（1）个公共点；（2）两个不同公共点；（3）没有公共点．解：（1）01k k ==-或；（2）10k k >-≠且；（3）1k <- 【方法归纳】直线与抛物线位置关系的判断方法：（1）把直线方程代入抛物线方程；（2）得到一元一次方程，则直线与抛物线的对称轴平行，相交（一个交点）（3）得到一元二次方程，计算判别式，0∆>，相交；0∆=，相切；0∆<，相离 变式1．过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程是________________． 答案：101或或y x y x ===+．解析：（1）若直线与x 轴垂直，则0x =，满足题意． （2）若直线的斜率存在，设直线方程为：1y kx =+，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得到2440ky y -+=，①若0k =，则1y =，满足题意②若0k ≠，令0∆=，解得1k =，所以1y x =+ 综上所述，所求直线方程为101或或y x y x ===+考点3．焦点弦与弦长【例3】斜率为1的直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解法1：直线AB 的方程为1y x =+，代入抛物线方程得：2610x x -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则126x x +=，121x x =，所以8AB ==．解法2：1212()()62822p pAB x x x x p =+++=++=+= 【方法归纳】(1)直线被曲线截得的弦 |AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|；(2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x 1+x 2+p变式1．已知直线l ：y ＝－ x ＋1和抛物线C ：y 2＝4x 交点为A 、B ，求AB 的长．【解析】︱AB ︱=8变式2．斜率为1的直线l 被抛物线C:24y x =截得的弦长|AB|=8,则直线的l 的方程是________．【答案】y ＝x －1考点4．中点弦有关的问题【例4】已知抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A,B 两点．若P(2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 ．【解析】设抛物线的方程为y 2=2px(p≠0),与y=x 联立方程组,消去y,得x 2-2px=0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，所以x 1+x 2=2p ，又因为P(2,2)为AB 的中点，所以2p=4,所以y 2=4x ．变式1．直线l 和抛物线C:24y x =交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M （2,1），则直线的l 的方程是_______． 【答案】y ＝2x －3变式2．若直线x-y=2与抛物线y 2=4x 交于A,B 两点,则线段AB 的中点坐标是 ．【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，联立直线方程与抛物线方程得方程组整理得x 2-8x+4=0，所以x 1+x 2=8,y 1+y 2=x 1+x 2-4=4，所以线段AB 的中点坐标为(4,2)．变式3．已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛物线E 的焦点为(1,0),线段AB 恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程；(2)求直线AB 的方程． 【解析】(1)由于抛物线的焦点为(1,0),所以12p=，2p =，所求抛物线的方程为y 2=4x ． (2)方法一:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则2114y x = ①, 2224y x =②,且x 1+x 2=4,y 1+y 2=2，由②-①得(y 1+y 2)(y 2-y 1)=4(x 2-x 1), 所以21212y y x x -=-,所以所求直线AB 的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0．方法二:显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y-1=k(x-2),k≠0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由21(2)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得ky 2-4y-8k+4=0,所以y 1+y 2=4k， 又M 点是AB 的中点，所以y 1+y 2=2,所以k=2，故直线AB 的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0．考点5．与抛物线有关的最值问题【例5】能否在抛物线C ：y 2＝4x 上求一点，使得点 P 到直线 y ＝x+3 的距离最短． 【解析】00(.)P x y 解：直线与抛物线无交点，设抛物线上一点，2004y x =则，d ==2004y x =将代入得：d=20)y R =∈，0min 2,y d ∴==当时(1,2)P 此时方法2：0x y m -+=设直线与抛物线相切，2244400y xy y m x y m ⎧=⇒-+=⎨-+=⎩，0:1m ∆==由得，(1,2)P 此时.考点6．与抛物线有关的定点(定值)问题【例6】已知点A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,且OA ⊥OB ．(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证:直线AB 过定点．【解析】(1)设点A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则有k OA= 11y x ,k OB=22y x ． 因为OA ⊥OB,所以k OA ·k OB =-1,所以x 1x 2+y 1y 2=0．因为21y=2px 1,21y=2px 2,所以2212y y2p 2p+y 1y 2=0．因为y 1≠0,y 2≠0,所以y 1y 2=-4p 2,所以x 1x 2=4p 2． (2)因为221122y 2px y 2px ＝，＝，所以(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2),所以12AB 121212y y 2p 2p,k x x y y y y -=-++所以＝，故直线AB 的方程为y-y 1=122p y y + (x-x 1),所以1112122px 2pxy y ,y y y y +-++＝即211121212y 2px y y 2pxy .y y y y -+=+++ 因为21y=2px 1,y 1y 2=-4p 2,所以212122px 4p y ,y y y y -=+++所以y=122p y y + (x-2p),即直线AB 过定点(2p,0)．考点7．与抛物线有关的对称问题【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x-y-2=0，抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 的中点坐标为(2-p ，-p)；②求p 的取值范围．【解析】(1)因为l :x －y －2=0，所以l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，即抛物线的焦点为(2，0)，所以p22=，，所以y 2=8x ． (2)① 设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则211211222222y x y 2px 2p y 2px y x 2p ⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩，， 则12PQ221212y y 2p k y y y y 2p 2p==+－，－又因为P,Q 关于直线l 对称， 所以k PQ =－1，即y 1+y 2=－2p,所以12y y p,2+=－又因为P,Q 的中点一定在直线l 上， 所以1212x x y y 22p,22++=+=－ 所以线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p)．②因为中点坐标为(2-p ，-p)，121222222121212y y 2p y y 2p y y x x 42p y y 8p 4p 2p +=⎧+=⎧⎪+⎨⎨+==+=⎩⎪⎩－，－，即－－， 所以12212y y 2p y y 4p 4p +=⎧⎨=⎩－，－，即方程y 2+2py+4p 2－4p=0有两个不等实根．所以Δ>0,(2p)2－4(4p 2－4p)>0⇒ 4p (0,).3∈ 【方法技巧】应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值．变式1．若抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,且y 1y 2=-1,则实数b 的值为 ( )A ．-3B ．3C ．2D ．-2【解析】选D ．因为抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,所以=-1,所以=-1,所以y 1+y 2=-1．因为y 1y 2=-1,所以x 1+x 2=+=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=3，所以两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)中点坐标为．代入y=x+b,可得b=-2．2．已知抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l :y=k(x-1)+1对称,则实数k 的取值范围为 ．【解析】设抛物线上的点A(y12,y1),B(y22,y2)关于直线l对称．则122212221212y yk1y yy y y yk(1)1 22-⎧-⎪-⎪⎨++⎪=-+⎪⎩＝，，，得12212y y kk11y y2k2+-⎧⎪⎨+-⎪⎩＝，＝，所以y1,y2是方程22k11y ky02k2-＋＋＋＝的两个不同根．所以Δ=k2-42k11()2k2-＋>0,解得-2<k<0．故实数k的取值范围是-2<k<0．答案:-2<k<01．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A．2 B．1 C．4 D．8【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p2，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C．【答案】 C2．(2014·成都高二检测)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A．2 3 B．4 C．6 D．4 3【解析】据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P⎝⎛⎭⎫m24，m，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝＋2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D ．【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p2＝k ＝1，∴p ＝2．∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1． 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．303B ．6C ．12D ．7 3 【解析】 焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C ．5．过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y 2=8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为 ( )A ．2B ．2C ．2D ．2【解析】选B ．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)．由题意知AB 的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2．由得x 2-4x+1=0,所以x 1+x 2=4,x 1x 2=1．所以|AB|====2．6．(2014·湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( )A ．15B ．14C ．13D ．12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13，故选C ．【答案】 C7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D ．【答案】 D8．(2016·郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y 2=x 有且仅有一个公共点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】选C ．点(-1,0)在抛物线y 2=x 的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x 轴．9．(2016·西安高二检测)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过点F 且与C 交于A,B 两点．若|AF|=3|BF|,则l 的方程为 ( )A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(x-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1) D ．y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C ．由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l 与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以|MB|=2x,所以直线l 的倾斜角为60°或120°,即直线l 的斜率为±．【误区警示】本题容易将倾斜角当作45°而错选A ．10．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋x2，由题意有x ＋14＝x 2＋x2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24．【答案】 ⎝⎛⎭⎫18，±2411．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1．【答案】 0或112．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0． 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】 由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为 A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝2 3＋14p 2． 由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6． 【答案】 614．直线y=kx+2与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点,则k= ．【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y 得:k 2x 2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k -2)2-16k 2=0,解得k=1．答案:0或115．在抛物线y=4x 2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 ． 【解析】设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-b,代入y=4x 2得4x 2-4x+b=0．令Δ=16-16b=0,解得b=1，所以与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-1,所以直线y=4x-1与抛物线相切,切点到y=4x-5的距离最短．由4x 2-4x+1=0,解得x=，所以y=1,所求点为．答案:16．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2． ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3，∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p2，解得p ＝2或p ＝4． ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y ．17．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3． 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3． 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．18．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1,0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．【解】 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k x ＋，消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1．设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10， 解得k ＝－16或16．19．(2015·福建高考)已知点F 为抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E 上,且|AF|=3．(1)求抛物线E 的方程．(2)已知点G(-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B,证明:以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB 相切． 【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x ． (2)因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上, 所以m=±2,由抛物线的对称性, 不妨设A(2,2), 由A(2,2),F(1,0)可得直线AF 的方程为y=2(x-1)．由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B．又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．方法二:(1)同方法一．(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1)．由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B．又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==．又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r．这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。
§2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后， 平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点， 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。 的理论依据。
y 2 = 2 px ( p > 0) 2、已知点 （-2，3）与抛物线 、已知点A（ ， ）
的焦点的距离是5， 的焦点的距离是 ，则P=
4
。
例3、斜率为 的直线 l 经过抛物线 y = 4 x 的 、斜率为1的直线 焦点F，且与抛物线相交于A， 两点 y 两点， 焦点 ，且与抛物线相交于 ，B两点，求线 的长。 段AB的长。 的长
解 由题意可知 p = , ,
p
y
= ,
焦点F( , ), 准线l : x = − .如
A`
O
A
图 . − , 设 ( x , y ), B( x , y ), A
B`
F B
x
A, B到 线 的 离 别 dA, dB. 准 l 距 分 为 由 物 的 义 知 抛 线 定 可 图 . −
| AF |= dA = x + ,| BF |= dB = x + .
于 | AB |=| AF | + | BF |= x + x + . 是
由已知得抛物线的焦点为F( , ), 所以直线 AB的 方程为 y = x − .
()
将( ) 代入 y = x , 得( x −
y
)
= x.
A`
O
A
化简得 x − x + = .
由 根 式 求 公 得 x = + ,x = − , 于 | AB |= x + x + = . 是
抛物线的简单几何性质(1)
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）【使用说明】1、课前完成预习学案，掌握基本题型；2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
3、A、B层全部掌握，C层选做。
【学习目标】1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．【问题导学】（预习教材理P68~ P70，文P60~ P61找出疑惑之处）复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是．复习2：双曲线{EMBED Equation.DSMT4 |221169x y-=有哪些几何性质？【合作探究】探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？新知：抛物线的几何性质图形标准方程焦点准线顶点对称轴x轴离心率试试：画出抛物线的图形，顶点坐标（）、焦点坐标（）、准线方程、对称轴、离心率．我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
【深化提高】例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．例2斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长．变式：过点作斜率为的直线，交抛物线于，两点，求．学案编号：B51 第1 页共2 页成功的秘诀公式是其中代表成功，代表艰苦的劳动，代表正确的方法，代表少说空话. ——爱因斯坦4．抛物线的准线方程是．5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则= ．小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．※动手试试练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴顶点在原点，关于轴对称，并且经过点，；⑵顶点在原点，焦点是；⑶焦点是，准线是．【小结】（1）知识与方法方面。
（2）数学思想及方法方面。
【当堂检测】1．下列抛物线中，开口最大的是（）．A．B．C．D．2．顶点在原点，焦点是的抛物线方程（）．A．B．C．D．3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于（）．A．B．C．D．第 2 页共2 页。
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常宁市第一中学尹忠田
复习引入
1 5730 p 2
t
1. 抛物线的几何特征、标准方程和一 般方程分别是什么？ 几何特征： 到焦点的距离和到准线的距离相等 标准方程： y2＝±2px 或 x2＝±2py（p＞0） 一般方程： y2＝mx 或 x2＝my（m ≠ 0）
o
y1 3 o tan30 . 所以 x1 3
y x1 ， 2p
2 1
y
A
x B
y1 2 3 p.
| AB | 2 y1 4 3 p.
O
课堂小结
1 4
1.抛物线只有一条对称轴，没有对称 中心，焦点在对称轴上，抛物线的对 称轴就是焦点与顶点的连线，任何一 条平行于对称轴的直线与抛物线有且 只有一个公共点.
2
关于y 轴 对称，无 对称中心
关于y 轴 对称，无 对称中心
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
探究二：抛物线的拓展几何性质
思考 1: 在抛物线方程 y2 ＝ 2px （ p ＞ 0 ） 中，参数 p 的变化对抛物线的形状产生 什么影响？ p值越大，抛物线开 口也越大． （对同一个x值， p值 越大，| y|也大）
m 2 bx c(a 0) (y ,ax 0) 4
2.椭圆和双曲线都有一些简单的几何性 质，抛物线也有一些简单的几何性质， 本节课对抛物线的几何性质作些探究.
探究一：抛物线的基本几何性质
对于抛物线 y2＝2px（p＞0）
思考 1 ：从图形可以看 出，抛物线位于 y 轴右 侧，并在上下方向可以 无限伸展，你能指出抛 物线上点的横坐标和纵 坐标的取值范围吗？
2.抛物线只有一个顶点和一个焦点， 离心率恒为1，且抛物线没有渐近线.
课后作业
作业：
P72 练习：1，3，4.
y
6
A1
5
4
A
3
2
K
B1
1
F
O
1 2 3 4 5 6
H
7 8
x
-1
B
-2
y 2 16x.
例 2.正三角形的一个顶点在原点，另两 个顶点 A 、 B 在抛物线 y2 ＝ 2px （ p ＞ 0 为 常数）上，求这个正三角形的边长.
y
y 2 16x或x2 8 y.
A
O B
x
设A( x1 , y1 )因为x轴垂直于 AB，且AOx 30 ，
2 2
解法2: F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
⇒x1 + x2 = 6, x1x2 = 1
AB
1 k [ x
2
1
x2 4 x1 x2 ]
2
2 2 = 1 1 6 4 1 8
典例分析
例1.斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x 的焦点 F ，且与抛物线相交于 A 、 B 两 点，求线段AB的长.
y A
O B
F
x
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
y O
把 y 换成 -y 方程不 变，图像关于 x 轴对 称.
F
x
思考 4 ：抛物线与其对称轴的交点叫做 抛物线的顶点，上述抛物线的顶点坐标 是什么？一般情况下，抛物线的顶点、 焦点、准线的相对位置关系如何？ 顶点：(0，0)
e＝ 1
O
y F x
顶点是焦点到准线 的垂线段之中点.
思考5：参照椭圆、双曲线的第二定义， 抛物线的离心率为多少？
y
6
A1
5
4
A
3
2
1
F
O
1 2 3 4 5 6 7 8
x
B1
-1
B
-2
,
,
解法4：
FA = AA1 KH p FA cos
p FA 1 cos p 同理: FB 1 cos
p p AB 1 cos 1 cos 2p 2 2 8 2 2 sin sin 45
解法1：F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
x1 3 2 2 x2 3 2 2 或 y1 2 2 2 y2 2 2 2
AB = (x1 - x2 ) +(y1 - y 2 ) = 8
O y F x
思考2：抛物线 y2＝2px（p＞0）上的点 M(x0，y0)到焦点F的距离有何计算公式？
y
H M
p | MF |= x 0 + 2
O
F
x
抛物线的几何性质特点
（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限 延伸，但没有渐进线。
（2）只有一条对称轴，没有对称中心。 （3）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。 （4）离心率e是确定的，即e =1。 （5）一次项系数的绝对值越大，开口越大。
y O
F x
横坐标：x≥0；纵坐标：y∈R.
对于抛物线 y2＝2px（p＞0）
思考2：如何根据抛 物线的方程，确定 方程中变量 x 、 y 的 取值范围？
y O
F x
横坐标：x≥0；纵坐标：y∈R.
思考3：观察抛物线的形状，抛物线具 有什么对称性？如何通过抛物线的标 准方程说明抛物线的对称性？ 从图形上看：抛物 线关于x轴对称.
解法3： F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
⇒x1 + x2 = 6, x1x2 = 1
|AB | = |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8
图形
标准方程
2
范围
对称性
关于 x 轴 对称，无 对称中心 关于 x 轴 对称，无 对称中心
顶点
离心率
y 2 px x 0, ( p 0) y R
y 2 px x 0, yR ( p 0)
2
(0,0) e=1
(0,0) e=1 (0,0) e=1 (0,0) e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R