第四章平面一般力系
合集下载
第四章平面一般力系
解：研究AB梁，受力如图所示
由 X 0 ,X A 0
mA(F)0;
解得：
RBaqaa2mP2a0
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N Y A P q R B a 2 2 0 0 . 8 0 1 2 2 ( k 4 )N 18
约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动,
MA为限制转动。
11
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
主R 矢 R' F O
主 M O 矩 m O (F i) F ix i
合力作用线的位置为：
24
再研究AB杆，受力如图
由 m C 0 , S B siC n Y A B A 0 C
解 得 :SBB C YA siA nC 0 4.8 9 1 4 .6106.7N
5
与假设方向相反。
25
[例5] 起重机位于连续梁上，已知： P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不 计梁重。 求：支座A ,B和D点的反力。
m＝？
o
m E
解：①以AB杆为研究对象，其受力图为：
YA
m A 0 ,p A H S 1 A B 0
A pH B
30o
D
A
pH B
S1
XA
22
S1
3
p (kN) 3
C
② 再以销钉C为研究对象，其受力图为：
X 0 , S 1 c o s 3 0 o S 3 s i n S 2 c o s 3 0 o 0
工程力学—第四章平面一般力系
面一般力系来处理。
有什么特点？
各力的作用线
不汇交于一点
平面一般力系——各力的作用线都在同一平面内，但既不汇交
于一点，也不平行。
······
｛F1，F2 ，···Fn｝
平面汇交力系和平面力偶系是平面一
般力系的特例。平面一般力系是工程中最
常见的力系。
§4-1 力线平移定理
作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同
例如，道路给轮子的力等。
FN
几种分布荷载：
体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各
点上。例如，构件的自重等。
面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风
压力、雪压力等。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件
的轴线分布。
1、荷载的单位
(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。
分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
合力偶，其力偶矩MO ，作用于刚体平面。
所得平面汇交力系（F1’ , F2’ , ··· Fn’ ）可以合成为一个作用于O点的合矢量F’：
F’=∑Fi’ =∑Fi
合矢量F’称为原平面一般力系对简化中心O的主矢（如图c）。
所得的平面附加力偶系（M1 , M2 , ·
·
·Mn）可以合成为一个的力偶,其力偶矩MO
a
例4-1 题图
m
(
a
b
)
50
(
3
1
.
5
)
1
例题 4-1 m
37
.
5
t
3
c
6
(2) 满载时, m2=25 t , x < a, 由(a) 式得
有什么特点？
各力的作用线
不汇交于一点
平面一般力系——各力的作用线都在同一平面内，但既不汇交
于一点，也不平行。
······
｛F1，F2 ，···Fn｝
平面汇交力系和平面力偶系是平面一
般力系的特例。平面一般力系是工程中最
常见的力系。
§4-1 力线平移定理
作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同
例如，道路给轮子的力等。
FN
几种分布荷载：
体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各
点上。例如，构件的自重等。
面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风
压力、雪压力等。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件
的轴线分布。
1、荷载的单位
(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。
分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
合力偶，其力偶矩MO ，作用于刚体平面。
所得平面汇交力系（F1’ , F2’ , ··· Fn’ ）可以合成为一个作用于O点的合矢量F’：
F’=∑Fi’ =∑Fi
合矢量F’称为原平面一般力系对简化中心O的主矢（如图c）。
所得的平面附加力偶系（M1 , M2 , ·
·
·Mn）可以合成为一个的力偶,其力偶矩MO
a
例4-1 题图
m
(
a
b
)
50
(
3
1
.
5
)
1
例题 4-1 m
37
.
5
t
3
c
6
(2) 满载时, m2=25 t , x < a, 由(a) 式得
第4平面一般力系
1.2m
F
P2
30°
4.8m 1.73m
0 M A (F )
P1 x 1.2 P2 2 x F x sin 30 A
P．1
A’
B
x 1.22m
3m
工程力学电子教案
第4章 平面一般力系
18
3.力系平衡
4FR 0, M O 0
是平面一般力系平衡的充分必要条件。
平面一般力系的平衡问题将在第四节中详细讨论。
F2'' M2 Mn O Fn'
第4章 平面一般力系
10
F1' M1
(c)
FR'
o MO
(d)
FR F1 F2 Fn F1 F2 Fn F 事实上，可直接根据原力系(F1、F2、...Fn)，忽略原力系中各力的作
用线的位置，认为各力均通过某一点O ，根据汇交力系求出合力F'R， F'R称为原力系的主矢，作用点在O点。 由此可见，主矢与简化中心的位置无关。
y
F'x
α
MA
F"R
MA
x．
x A d α A'
4.8m 1.73m
第4章 平面一般力系
16
C
D 1m
1.2m
F
P2
30°
P．1
A
A’
B
3m
d M A 1.09m FR
x d 1.22m
s in
F'R
F'y
F'R
FR
工程力学电子教案
第4章 平面一般力系
17
合力矩定理：平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用面内 任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。
工程力学(人民交通出版社)第4章 平面一般力系
MA( F ) 0
可解得
W3 W 3 max a W 1(e b ) 0 a
e
C
W1 L
W 3 max
W 1( e b ) a
那么，就有：
A b
FNA d
B
W 1 e W L W 1( e b ) W 3 (e b ) a
例题7： 水平外伸梁的支承和载荷如图。L=1(m)，q=1 (kN/m)，
P=2(kN)，=30，m=30(kN· m)，不计梁自重，求支座D和E处约 束反力。 q m P D E 解：取AB梁画其受力图。 A B C
Fx 0 , FDx P cos 0
MD( F ) 0
( 1)
y
L
2L
L
qQ m 0.5L Q m 2L FE 3L P sin 0 HD A C FDX Fy 0 , 0 FDy FE P sin 0 FDY 代入数据，可解得
解得
FAx 316.4kN
Fy 0
FAy P Fsin30 0
解得 FAy 300kN
M
A
0
MA M F 1 l F sin 30 l F cos 30 3l 0
解得
MA 1188kN m
§3-5 静定与静不定问题.物体系统的平衡
一个合力，FR =FR´，显然，可进一 步简化为一个离开o点的力。作 用线到O点的距离为h=MO/ R´ 。 y R h
O
MO=0 MO0
平面力系简化的最终结果，只有三种可能： 一个力；一个力偶；或为平衡力系。
FR'
MO
x
第4章 平面一般力系
B d F A F″ B d F′ F
§4-1 力线平移定理
A
F′ B M=Fd d A
(a)
(b)
(c)
M B (F ) Fd M M B (F )
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的
力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力
偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一
个位于力偶作用面内的力来等效替换。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构 件的轴线分布。 1. 荷载的单位 (1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。 分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
(2) 体分布荷载的单位： N/m3 ，
(3) 面分布荷载的单位： N/m2 ，
(4) 线分布荷载的单位： N/m 。 2. 分布荷载的计算方法 (1) 均布荷载：集度为常数的分布荷载。 例如图中的均布荷载的合力为：
FR
y xc x A l
由此可见，分布荷载合力
q0
的大小等于荷载集度图的面积。
x
x
C
B
合力作用线的位置为：
MA 2 xc l FR y q 0 l / 2 3 q 0 l 2 / 3
例题 4-2
已知水坝的坝前水深 h=10 m , 求1 m长的坝面 上水压力的合力之大小和作用线的位置。
FR′
O
MO
合力矩定理 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系 作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之 矩的代数和。
证明： 如下图所示，显然有
M O ( FR ) FR d M O , M O M O ( F ), M O ( FR ) M O ( F )
FR′ FR′ O MO O′ FR
§4-1 力线平移定理
A
F′ B M=Fd d A
(a)
(b)
(c)
M B (F ) Fd M M B (F )
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的
力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力
偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一
个位于力偶作用面内的力来等效替换。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构 件的轴线分布。 1. 荷载的单位 (1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。 分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
(2) 体分布荷载的单位： N/m3 ，
(3) 面分布荷载的单位： N/m2 ，
(4) 线分布荷载的单位： N/m 。 2. 分布荷载的计算方法 (1) 均布荷载：集度为常数的分布荷载。 例如图中的均布荷载的合力为：
FR
y xc x A l
由此可见，分布荷载合力
q0
的大小等于荷载集度图的面积。
x
x
C
B
合力作用线的位置为：
MA 2 xc l FR y q 0 l / 2 3 q 0 l 2 / 3
例题 4-2
已知水坝的坝前水深 h=10 m , 求1 m长的坝面 上水压力的合力之大小和作用线的位置。
FR′
O
MO
合力矩定理 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系 作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之 矩的代数和。
证明： 如下图所示，显然有
M O ( FR ) FR d M O , M O M O ( F ), M O ( FR ) M O ( F )
FR′ FR′ O MO O′ FR
第四章平面一般(任意)力系
解决物系的平衡问题的基本方法是将物系拆开成若干个单个物体,对 每个物体列平衡方程,联立求解.
例1:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。 q M 再研究AB：（或整体ABC） B l l C M
A
A
B
XA-XB=0 YA-YB=0
解：先以BC为研究对象，做受力图 q B C 列平衡方程
y x q2 B
q1 解：研究AB，受力如图：X 建坐标如图
A
A
YA
NB X 0 XA=0 q1l q2l =0 Y 0 YA+ NB 2 1 2 l m 0 o N B 2l q1l l q2l (l ) 0 A
2
3
2
下面讨论分布载荷合力Q的大小： c
Q
qx q1
O
x
x l dx
Q q x dx
q1 qx x l
l
q1l = 分布载荷的面积 2
0
q1 xdx l
分布载荷合力Q的作用位置：
Qc q x dx x
q1l 而Q 2
l
0
1 q1 2 2 q l x dx 1 3 l
mA 0 或 mB 0
o AB ∥ Fi
x
注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的 平衡方程的个数只有两个，对一个物体来讲,只能 解两个未知量,不得多列！
§6.静定与超静定问题, 物系的平衡 静定问题: 未知数全部能够由平衡方程来求得的问题 静不定问题: 未知数的个数多于(独立的)平衡方程的个数, 不能够由 平衡方程来求得全部的未知数的问题,也称之为超静定 问题. 超静定次数 = 未知量的总数－平衡方程的个数 例:
例1:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。 q M 再研究AB：（或整体ABC） B l l C M
A
A
B
XA-XB=0 YA-YB=0
解：先以BC为研究对象，做受力图 q B C 列平衡方程
y x q2 B
q1 解：研究AB，受力如图：X 建坐标如图
A
A
YA
NB X 0 XA=0 q1l q2l =0 Y 0 YA+ NB 2 1 2 l m 0 o N B 2l q1l l q2l (l ) 0 A
2
3
2
下面讨论分布载荷合力Q的大小： c
Q
qx q1
O
x
x l dx
Q q x dx
q1 qx x l
l
q1l = 分布载荷的面积 2
0
q1 xdx l
分布载荷合力Q的作用位置：
Qc q x dx x
q1l 而Q 2
l
0
1 q1 2 2 q l x dx 1 3 l
mA 0 或 mB 0
o AB ∥ Fi
x
注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的 平衡方程的个数只有两个，对一个物体来讲,只能 解两个未知量,不得多列！
§6.静定与超静定问题, 物系的平衡 静定问题: 未知数全部能够由平衡方程来求得的问题 静不定问题: 未知数的个数多于(独立的)平衡方程的个数, 不能够由 平衡方程来求得全部的未知数的问题,也称之为超静定 问题. 超静定次数 = 未知量的总数－平衡方程的个数 例:
第四章 平面一般力系 苏炜 武汉理工
1 n
合力偶矩M0称为原力系对简化中心O的主矩，他等于原力系 中各力对简化中心之矩的代数和。
4 平面一般力系
4.1.1 平面一般力系向平面内一点的简化 平面一般力系的主矢可以应用解析法计算。
（1）将平面汇交力系可以进一步合成一个合力FR’
Y F1
F2
FR' F 1 F 2 Fn Fi
（1）若FR’ ≠0，M0 = 0,此时，作用于简化中心的力
FR ' F就是原力系的合力。 i
（2）若FR’ = 0，M0 ≠ 0,此时，原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对于简化
中心的主矩。
（3）若FR’ = 0，M0 = 0,此时，原力系不存在合力和合力偶，物体在原力系作用KN ) 2 r (2 KN ) 2 r 35 FR ' FRx' )M 0( (F FRy ' ) 2M F (35 .78 .84KN M 0 ( ) 1 F 2 F 3 2 2 2 FRy' 2 tan .0 KN m 15KN 00 .0559 6 .6 m 24KN 0.6m 10KN 0.6m FRx' 35.78KN 17.4 KN m 0 3012'
FAY F FB sin 450 5.33KN
4.1.2 简化结果的讨论
【例4.3】如图4.8(a)所示，水平梁AB由三根连杆支承，受集中力F与力偶M作用。
已知F=100KN,M=50KN· m,求每个连杆所受的力。
F M 1 3 2 450 2m 2m 4m A
450
y
F
D
450
M
B
各物体之间的联系称为内约束，物体系统内部各物体之间的相互作用力称为系统的内力； 体系与其他物体的联系称为外约束，外界物体作用于物体系统的力称为该物体系统的外力。
合力偶矩M0称为原力系对简化中心O的主矩，他等于原力系 中各力对简化中心之矩的代数和。
4 平面一般力系
4.1.1 平面一般力系向平面内一点的简化 平面一般力系的主矢可以应用解析法计算。
（1）将平面汇交力系可以进一步合成一个合力FR’
Y F1
F2
FR' F 1 F 2 Fn Fi
（1）若FR’ ≠0，M0 = 0,此时，作用于简化中心的力
FR ' F就是原力系的合力。 i
（2）若FR’ = 0，M0 ≠ 0,此时，原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对于简化
中心的主矩。
（3）若FR’ = 0，M0 = 0,此时，原力系不存在合力和合力偶，物体在原力系作用KN ) 2 r (2 KN ) 2 r 35 FR ' FRx' )M 0( (F FRy ' ) 2M F (35 .78 .84KN M 0 ( ) 1 F 2 F 3 2 2 2 FRy' 2 tan .0 KN m 15KN 00 .0559 6 .6 m 24KN 0.6m 10KN 0.6m FRx' 35.78KN 17.4 KN m 0 3012'
FAY F FB sin 450 5.33KN
4.1.2 简化结果的讨论
【例4.3】如图4.8(a)所示，水平梁AB由三根连杆支承，受集中力F与力偶M作用。
已知F=100KN,M=50KN· m,求每个连杆所受的力。
F M 1 3 2 450 2m 2m 4m A
450
y
F
D
450
M
B
各物体之间的联系称为内约束，物体系统内部各物体之间的相互作用力称为系统的内力； 体系与其他物体的联系称为外约束，外界物体作用于物体系统的力称为该物体系统的外力。
第4章 平面一般力系
第四章 平面一般力系学习目标：1.理解力的平移定理和平面一般力学向一点简化。
2.能用力的平移定理和平面一般力学向一点简化解决实际问题。
在前面两章中已经研究了平面汇交力系和平面力偶系的合成与平衡，本章将在此基础上讨论平面一般力系的简化与平衡问题。
所谓平面一般力系，是指位于同一平面内的诸力，其力的作用线既不汇交于一点，也不互相平行的情况。
工程计算中的很多实际问题都可简化为平面一般力系问题来处理。
图4-1a 所示的房架，它所承受的恒载、风载以及支座约束力可简化为如图4-1b 所示的平面一般力系。
图4-2a 所示的吊车，横梁AB 的自重P 、荷载F 、拉杆BC 的拉力N F 以及支座约束力Ax F 、Ay F ，也可视为一个平面一般力系，如图4-2b 所示。
第一节 力的平移定理图4-1图4-2平移定理 作用在刚体上某点的力F ，可以平行移动到该刚体上任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F 对平移点之矩。
如图4-3所示，设力F 作用于刚体上的A 点。
如在刚体上任取一点B ，在该点加上等值、反向且与力F 平行的力F '和F '',并使F F F =''='，如图4-3b 。
显然，力系（F ，F '，F ''）与力F 是等效的。
但力系（F ，F '，F ''）可看作是一个作用在B 点的力F '和一个力偶（F , F ''）。
于是原来作用在A 点的力F ，现在被一个作用在B 点的力F '和一个力偶（F , F ''）等效替换，如图4-3c 。
这就是说，可以把作用于A 点的力F 平移到另一点B ，但必须同时附加一个力偶，其矩为Fd M =。
其中，d 为附加力偶的力偶臂。
由图易见，d 就是点B 到力F 作用线的垂直距离，所以乘积Fd 也就是原力F 对于点B 之矩，即B M (F ) Fd =因此得=M B M (F ) （4-1） 即力线向一点平移时所得附加力偶矩等于原力对平移点之矩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
①三矩式
MC ( F ) 0
条件：A、B、C 不在同一直线上
C x
R B
A
§4-3
平面一般力系的平衡条件及其应用
二、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
Y 0 M (F ) 0
O i
y
一矩式
F2
Fn F3
M
A
(Fi ) 0
二矩式
第四章
力的平移定理 平面一般力系向作用面内任意点的简化 平面一般力系平衡条件及其应用 习题课
第四章
平面一般力系：各力的作用线在同一平面内， 既不完全汇交为一点又不完全相互平行的力 系。
[例]
第四章
当物体所受的力对称于某一平面时， 也可简化为在对称平面内的平面一般力系。
力系的简化：把未知力系（平面一般力系） 变成已知力系（平面汇交力系和 平面力偶系）
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
一、力系向一点简化
一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ，R’ (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
A F´´
=
d
=
M O ( F ) Fd
MO ( F ) Fd
O
A
F F F
第四章
§4-1 力的平移定理
说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系： 力 力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关， m=F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
二、主矢和主矩
1、主矢 —— 原力系的主矢量（ R' ）
R F1 F2 Fn Fi
即：平面任意力系的主矢R' 为原力系的矢量和
大小： R
( X ) ( Y )
2
2
Y 方向：tan X
与“O ”无 关
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
计算无误。
结论：对于悬臂梁和悬臂刚架均适合于采用一矩式平衡方程求解支座反力 。
例题4
解:
X 0
MA 0
MB 0
XA 0
RB 6 6 10 2 0
YA 6 10 4 6 0
RB 2.33kN
YA 7.67kN
XA 0
Y YA RB 10 7.67 2.33 10 0
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
结论 1
平面一般力系的简化原理和方法：
平 面 力线平移 任 意 向“O” 简化 力 系 平面 汇交 力系 平面 力偶 系
R´( 过“O” 但与“O” 无关） MO (与“O” 有关）
描述力系对物 体转动效果的 物理量 主矢 + 主矩 描述力系 对物体移 动效果的 物理量
G2
A
MO
O
R x
主矢的投影
AB ACB arctan 16.7 CB
A
R X F1 F2 cos 232.9 kN x
R y
R Y G1 G2 F2 sin 670.1 kN y
R
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
固定端约束力 固定端约束 —— 物体受约束的一端既不能沿 任何方向移动，也不能转动。如深埋在地底下 的电线杆、牢固浇筑在基础上的水泥柱及车站 的雨棚等。
RA 雨棚 MA
XA A 雨棚 MA YA
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
简化结果分析 1.
X 0, X A 0
YA
q A M
RB
C
B x
Y 0, YA q 2a G RB 0
M A F 0, RB 4a G 2a q 2a a M 0
5. 求解未知量
XA
2a
G 4a
X A 0, RB
YA
G 3 qa ( ) 4 2
二、 主矢和主矩
2、主矩 —— 附加力偶系的合力偶矩（MO )
MO MO ( F1 ) MO ( F2 ) MO ( Fn ) MO ( Fi )
即：平面任意力系的主矩MO 为力系中各个力对
点“O”力矩的代数和。
很明显，一旦“O ”的位置改变，各力偶矩的 大小和转向也随之而变，因此，MO 与“O ”有关。
说明计算无误。
例 题5
YA 6.13kN
YB 10.27kN
MA 0 MB 0
YB 4.2 5 4.2 2 1.2 3.6 3 3 1.5 0 YA 4.2 3 3 2.7 2 1.2 0.6 0
结论：对于简支梁、简支刚架均适合于采用二矩式平衡方程求解支座反力。
Q ql
X 0 Y 0
MA 0
XA 0 YA ql 0
l mA ql 0 2 ql 2 mA 2
XA 0
YA ql
求得结果为正，说明假设力的指向与实际相同。 校核 2 2
M B mA YA l ql l ql ql ql 2 0 2 2 2
O
=
O
d
R
=
R O d O'
R" O'
MO d R R R R 合力矩定理 Rd M O ( R) M O ( F )
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
结 论 2 主矢 主矩 MO´ 0 R´ 0 MO´= 0 MO´ 0 R´= 0 MO´= 0 简化结果 合力R(不过“O”)
例题6
MB 0
Mc 0
MA 0
T 4sin30 G 2 P 3 0
YA 4 G 2 P 1 0
X A 4tan 30 G 2 P 3 0
结论：对于三角支架适合于采用三矩式平衡方程求解约束反力。
例题7
O
MB (Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
x 平行力系
X 0
实质上是各力在x 轴上的投影恒等于零，即
恒成立，
所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。
例 题 3 悬臂梁AB受荷载作用如图(a)所示。 梁的自重不计。
求支座A的反力
【解】取梁AB为研究对象，受力分析如图 (b)所示，支座反力的指向均为假设 梁上的均布荷载可先合成为合力Q，
例 题 2
所以力系合力R 的大小
R R (X )2 (Y )2 709.4 kN
C
方向
Y tan 2.877 X
70.84
2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 d。 因为力系对O点的主矩为
MO MO F = F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
R R' d
MO R'
合力R´(过“O”)
合力偶(其矩与“O”无 关) 力系平衡
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
例 题 2
y
3m
重力坝受力情况如图所示。
C
设 G1=450kN ， G2=200kN ， F1=300 kN，F2=70 kN。求力系
F2 的合力FR 的大小和方向,合力与
第四章
§4-1 力的平移定理
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F 平行
移到 任一点B,但必须同时附加一个力偶。这个 力偶
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
须注意：1、平移点可以任选；
2、附加力偶矩与平移点的位置有关。
§4-1 力的平移定理
证明：
F
F´
F
F´
M = MO (F )
O
A
=
O
MO
O
Rx
70.84
A
Ry
R
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
例 题 2
C
MO MO R Rd
解得
d O
O1 A
70.84
M O 2355 d 3.32m R 709.4
R
§4-3
平面一般力系的平衡条件及其应用
一、平衡条件
由于
R’ = 0 ，为力平衡
R 0 , MO 0
MO
即原力系与一合力偶等效,其 矩为 M=MO。故只有在此时主矩与 “O”的位置 无关。 2.
O
R 0 , MO 0
O
R´
即原力系与R′等效，所以称R′为原 力系的合力，且过点“O ” 。
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
简化结果分析
3.
R 0 , MO 0
9m
1.5m
F1
3m
G1
3.9m
90
B O
5.7m
G2Leabharlann Ax基线OA的交点到O点的距离x。
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
例 题 2
y
3m
C
解： 1. 求力系的合力R的大小和方向。
将力系向O点简化，
C
9m
1.5m
得主矢和主矩，如 G1
90
F1
3m
3.9m
F2
MC ( F ) 0
条件：A、B、C 不在同一直线上
C x
R B
A
§4-3
平面一般力系的平衡条件及其应用
二、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
Y 0 M (F ) 0
O i
y
一矩式
F2
Fn F3
M
A
(Fi ) 0
二矩式
第四章
力的平移定理 平面一般力系向作用面内任意点的简化 平面一般力系平衡条件及其应用 习题课
第四章
平面一般力系：各力的作用线在同一平面内， 既不完全汇交为一点又不完全相互平行的力 系。
[例]
第四章
当物体所受的力对称于某一平面时， 也可简化为在对称平面内的平面一般力系。
力系的简化：把未知力系（平面一般力系） 变成已知力系（平面汇交力系和 平面力偶系）
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
一、力系向一点简化
一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ，R’ (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
A F´´
=
d
=
M O ( F ) Fd
MO ( F ) Fd
O
A
F F F
第四章
§4-1 力的平移定理
说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系： 力 力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关， m=F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
二、主矢和主矩
1、主矢 —— 原力系的主矢量（ R' ）
R F1 F2 Fn Fi
即：平面任意力系的主矢R' 为原力系的矢量和
大小： R
( X ) ( Y )
2
2
Y 方向：tan X
与“O ”无 关
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
计算无误。
结论：对于悬臂梁和悬臂刚架均适合于采用一矩式平衡方程求解支座反力 。
例题4
解:
X 0
MA 0
MB 0
XA 0
RB 6 6 10 2 0
YA 6 10 4 6 0
RB 2.33kN
YA 7.67kN
XA 0
Y YA RB 10 7.67 2.33 10 0
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
结论 1
平面一般力系的简化原理和方法：
平 面 力线平移 任 意 向“O” 简化 力 系 平面 汇交 力系 平面 力偶 系
R´( 过“O” 但与“O” 无关） MO (与“O” 有关）
描述力系对物 体转动效果的 物理量 主矢 + 主矩 描述力系 对物体移 动效果的 物理量
G2
A
MO
O
R x
主矢的投影
AB ACB arctan 16.7 CB
A
R X F1 F2 cos 232.9 kN x
R y
R Y G1 G2 F2 sin 670.1 kN y
R
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
固定端约束力 固定端约束 —— 物体受约束的一端既不能沿 任何方向移动，也不能转动。如深埋在地底下 的电线杆、牢固浇筑在基础上的水泥柱及车站 的雨棚等。
RA 雨棚 MA
XA A 雨棚 MA YA
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
简化结果分析 1.
X 0, X A 0
YA
q A M
RB
C
B x
Y 0, YA q 2a G RB 0
M A F 0, RB 4a G 2a q 2a a M 0
5. 求解未知量
XA
2a
G 4a
X A 0, RB
YA
G 3 qa ( ) 4 2
二、 主矢和主矩
2、主矩 —— 附加力偶系的合力偶矩（MO )
MO MO ( F1 ) MO ( F2 ) MO ( Fn ) MO ( Fi )
即：平面任意力系的主矩MO 为力系中各个力对
点“O”力矩的代数和。
很明显，一旦“O ”的位置改变，各力偶矩的 大小和转向也随之而变，因此，MO 与“O ”有关。
说明计算无误。
例 题5
YA 6.13kN
YB 10.27kN
MA 0 MB 0
YB 4.2 5 4.2 2 1.2 3.6 3 3 1.5 0 YA 4.2 3 3 2.7 2 1.2 0.6 0
结论：对于简支梁、简支刚架均适合于采用二矩式平衡方程求解支座反力。
Q ql
X 0 Y 0
MA 0
XA 0 YA ql 0
l mA ql 0 2 ql 2 mA 2
XA 0
YA ql
求得结果为正，说明假设力的指向与实际相同。 校核 2 2
M B mA YA l ql l ql ql ql 2 0 2 2 2
O
=
O
d
R
=
R O d O'
R" O'
MO d R R R R 合力矩定理 Rd M O ( R) M O ( F )
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
结 论 2 主矢 主矩 MO´ 0 R´ 0 MO´= 0 MO´ 0 R´= 0 MO´= 0 简化结果 合力R(不过“O”)
例题6
MB 0
Mc 0
MA 0
T 4sin30 G 2 P 3 0
YA 4 G 2 P 1 0
X A 4tan 30 G 2 P 3 0
结论：对于三角支架适合于采用三矩式平衡方程求解约束反力。
例题7
O
MB (Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
x 平行力系
X 0
实质上是各力在x 轴上的投影恒等于零，即
恒成立，
所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。
例 题 3 悬臂梁AB受荷载作用如图(a)所示。 梁的自重不计。
求支座A的反力
【解】取梁AB为研究对象，受力分析如图 (b)所示，支座反力的指向均为假设 梁上的均布荷载可先合成为合力Q，
例 题 2
所以力系合力R 的大小
R R (X )2 (Y )2 709.4 kN
C
方向
Y tan 2.877 X
70.84
2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 d。 因为力系对O点的主矩为
MO MO F = F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
R R' d
MO R'
合力R´(过“O”)
合力偶(其矩与“O”无 关) 力系平衡
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
例 题 2
y
3m
重力坝受力情况如图所示。
C
设 G1=450kN ， G2=200kN ， F1=300 kN，F2=70 kN。求力系
F2 的合力FR 的大小和方向,合力与
第四章
§4-1 力的平移定理
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F 平行
移到 任一点B,但必须同时附加一个力偶。这个 力偶
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
须注意：1、平移点可以任选；
2、附加力偶矩与平移点的位置有关。
§4-1 力的平移定理
证明：
F
F´
F
F´
M = MO (F )
O
A
=
O
MO
O
Rx
70.84
A
Ry
R
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
例 题 2
C
MO MO R Rd
解得
d O
O1 A
70.84
M O 2355 d 3.32m R 709.4
R
§4-3
平面一般力系的平衡条件及其应用
一、平衡条件
由于
R’ = 0 ，为力平衡
R 0 , MO 0
MO
即原力系与一合力偶等效,其 矩为 M=MO。故只有在此时主矩与 “O”的位置 无关。 2.
O
R 0 , MO 0
O
R´
即原力系与R′等效，所以称R′为原 力系的合力，且过点“O ” 。
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
简化结果分析
3.
R 0 , MO 0
9m
1.5m
F1
3m
G1
3.9m
90
B O
5.7m
G2Leabharlann Ax基线OA的交点到O点的距离x。
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
例 题 2
y
3m
C
解： 1. 求力系的合力R的大小和方向。
将力系向O点简化，
C
9m
1.5m
得主矢和主矩，如 G1
90
F1
3m
3.9m
F2