电子科技大学2010级微积分(下)期末复习

三重积分的计算
一、三重积分在直角坐标系下的计算 二、三重积分在柱面坐标系下的计算 三、三重积分在球面坐标系下的计算
三重积分在直角坐标系下的计算： 三重积分在直角坐标系下的计算：
先一后二法” 投影法) 法1: “先一后二法”(投影法 先一后二法 投影法
∫∫ dxdy ∫
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
D
(C ) x ( Ax + B )e x sin 2 x;( D ) xe x [ ( Ax + B )cos 2 x + (Cx + D )sin 2 x ] .
解：r 2 − 2r + 5 = 0
2 ± −16 = 1 ± 2i r= 2
是特征根， λ + iw = 1 + 2i是特征根，
∴ y = xe [ ( Ax + B )cos 2 x + (Cx + D )sin 2 x ] .
max
(1,0)
= 5
x y 3.设L为椭圆 + = 1, 其周长为a，则 4 3
2
2
∫ （2 xy + 3 x
L
2
+ 4 y )ds =
2
12a
−y −1
4.交 换 二 次 积 分 的 次 序 ∫ dy ∫
0
1
∫
0 −1
dx ∫
−x 0
f ( x , y )dx = y
y = −x
f ( x , y )dy
−1
x
0,-2 < x ≤ 0 5.设函数f ( x)以4为周期, 在(-2, 2]上函数f ( x) = x , e ,0 < x ≤ 2 . 则f ( x)的傅里叶级数在[-2, 2]上的和函数表达式S( x) =
0, − 2 < x < 0 x e , 0 < x < 2 1 . 解 ： S( x ) = , x = 0 2 e2 , x = ±2 2
∂z 若求： = ? ∂y
=2
2.函数f ( x, y) = x2 y + xe y在(1,0)处方向导数的最大值等于___.
fx
= 2 xy + e y = 1, (1,0) r (1,0)r gradf (1,0) = i + 2 j
fy
(1,0)
= x 2 + xe y
(1,0)
∂f ∂l
= gradf
注意： 注意：
1. 线、面积分的被积表达式中的(x,y,z) 面积分的被积表达式中的 满足积分曲线或曲面的方程。 满足积分曲线或曲面的方程。 故可由曲线(曲面 方程进行等值代换 曲面)方程进行 故可由曲线 曲面 方程进行等值代换 来化简被积表达式化简!! 来化简被积表达式化简 （但二重积分与三重积分没有此特性！） 但二重积分与三重积分没有此特性！）
−2
2
二.选择题(15分, 每题3分, 只有一个正确) 1. f ( x, y)在点( x0 , y0 )处两个偏导数存在是f ( x, y)在点( x0 , y0 )处可微( ( A)必要条件; ( B)充分条件; (C )充分必要条件;
A).
( D)以上都不是.
∂2z 2.设函数z = f ( x , xy ), f 具有二阶连续偏导数, = (D ). ∂x ∂y ( A) f12 + yf22 ; ( B ) xf12 + xyf22 ; (C ) f12 + f2 + yf22 ; ( D ) xf12 + f2 + xyf22 .
( A) lim f ( x, y )必不存在；
x → x0 y → y0
( B ) f ( x0 , y0 )必不存在； (C ) f ( x, y )在( x0 , y0 )必不可微；
( D ) f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )必不存在；
可微是 在该点的两个偏 2、 z = f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微是 f 在该点的两个偏 都存的 导数 f x , f y 都存的（ B ）
( A)必要而非充分条件； ( B)充分而非必要条件； (C )充分必要条件； ( D)即非充分又非必要条件；
二重积分的计算步骤
1、作积分区域图. 作积分区域图. 根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系； 2、根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系； 化二重积分为二次积分； 3、化二重积分为二次积分； (1)直角坐标系中 需确定是先对 后对x积分还是先 直角坐标系中， 先对y (1)直角坐标系中，需确定是先对y后对x积分还是先 后对y积分; 对x后对y积分; (2)极坐标系中 一般是先对 后对θ积分. 极坐标系中， 先对r (2)极坐标系中，一般是先对r后对θ积分. 注意: 注意: (1)坐标系选择不当 不仅会增加计算难度, 坐标系选择不当, (1)坐标系选择不当,不仅会增加计算难度,而且还可 能导致积不出来； 能导致积不出来； (2)直角坐标系中 积分次序选择不当, 直角坐标系中， (2)直角坐标系中，积分次序选择不当,也可能会增加 计算难度,甚至积不出来； 计算难度,甚至积不出来；
2
x = ρ sinφ cosθ , y = ρ sinφ sinθ , z = ρ cosφ
0 ≤ θ ≤ 2π, (-π ≤ θ ≤ π) 0 ≤ φ ≤π 0 ≤ ρ < +∞
平面上的第二类线积分的计算： Pdx + Qdy ∫
L
∂Q ∂P 及 ， ∂x ∂y 注意: 必须是单连通区域!) (注意:积分无关的区域 D 必须是单连通区域!)
方法一、积分与路径无关 方法一、积分与路径无关, 需计算 方法二、格林公式 方法二、格林公式:
∫L Pdx + Qdy = ∫∫
D
∂Q ∂P ( )dxdy . − ∂x ∂y
要封闭; (注意:(1)积分曲线 L 要封闭; 注意:(1)积分曲线 :(1) (2)P,Q函数要在区域 内有连续偏导.) 函数要在区域D (2)P,Q函数要在区域D内有连续偏导.) 方法三、 直接法 化为定积分。 直接法) 方法三、(直接法 化为定积分。
* x
4.设上半球V = {( x, y, z)| x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0},则以下等式错误的是( ( A)∫∫∫ xdV = 0;
V
C ).
(B)∫∫∫ ydV = 0;
V
(C)∫∫∫ zdV = 0;
2. 利用对称性可简化积分的运算 利用对称性可简化积分的运算.
(但第二类线、面积分的对称性不仅与被 积 但第二类线、 但第二类线 函数及积分区域有关而且还与积分区域的方 函数及积分区域有关而且还与积分区域的方 向有关！ 向有关！)
电子科技大学期末微积分（下）试题
一.填空题(15分, 每题3分) ∂z 2 y−1 y 1.设z = (1 + xy) , 则 = y (1 + xy ) ∂x
二重积分 5、计算二重积分、三重积分、第一类曲面积分、 计算二重积分、三重积分、第一类曲面积分、 第二类曲面积分． 第二类曲面积分． ６、用格林公式计算第二类曲线积分； 格林公式计算第二类曲线积分； 计算第二类曲线积分 高斯公式计算第二类曲面积分 计算第二类曲面积分． 用高斯公式计算第二类曲面积分． 或二型线积分与路径无关. 或二型线积分与路径无关. ７、求幂级数的收敛域及其和函数; 求幂级数的收敛域及其和函数; 收敛域及其和函数 将函数f(x)展开为幂级数、傅立叶级数． 将函数f(x)展开为幂级数、傅立叶级数． f(x)展开为幂级数
Dz
三重积分在柱坐标下的计算： 三重积分在柱坐标下的计算：
被积函数为f(x 若 (1)被积函数为 2+y2) ； 被积函数为 (2)区域 的边界面的方程含 2+y2 ； 区域V的边界面的方程含 区域 的边界面的方程含x 如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等） （如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等） 则可选用柱坐标系. 则可选用柱坐标系 方法： 先一后二法” 方法： (1) “先一后二法”(投影法 先一后二法 投影法 z2 ( r ,θ ) rdrdθ ) f ( r cos θ , r sin θ , z )dz .
∂z 分析: 分析: = f1 + yf 2 , ∂x
∂ z = f12 x + f 2 + xf 22 y ∂x ∂y
2
3.非齐次线性微分方程y ′′ − 2 y ′ + 5 y = xe x sin 2 x的特解形式为( ). ( A)( Ax + B )e x sin 2 x; ( B )e x [ ( Ax + B )cos 2 x + (Cx + D )sin 2 x ] ;
三重积分在球面坐标下的计算： 三重积分在球面坐标下的计算：
球坐标最佳适用情况： 球坐标最佳适用情况： 被积函数为f(x ↸ 被积函数为 2+y2 +z2 )； ； ↸ ＊ 区域V的边界面为球面、圆锥面等 区域 的边界面为球面、圆锥面等. 的边界面为球面 球面坐标的体积元素
dv = ρ sinϕd ρdϕdθ
∫∫
∫
Drθ
z1 ( r ,θ )
(2) “先二后一法”(截面 先二后一法” 截面 先二后一法 ccosθ , r sinθ , z)rdrdθ
Dz
实质： 将直角坐标系中的“先一后二” 实质： 将直角坐标系中的“先一后二”法或 “先二后一”法中的“二”在极坐标系中计算. 先二后一”法中的“ 先二后一 在极坐标系中计算
f ( x , y , z )dz .
先二后一法” 截面法) 法2: “先二后一法”(截面法 先二后一法 截面法