广东省各地2014届高三数学上学期 期末考试试题分类汇编 平面向量
2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编 专题05 平面向量
一．基础题组1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且∠AOB＝π3．若点C 是圆O 上任意一点，则→OA ▪→BC 的取值范围为 ．2. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知向量(1,3),(4,2)a b =-=- ，若()//a b b λ+ ，则λ= ．3.【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】 在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 .【答案】23- 【解析】4. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 在ABC ∆中，已知9=⋅，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB y CA x +=xy 的最大值为 ▲_ ．5. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】 已知||1a = ，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++= ，则a 与c的夹角为 ．6. 【苏州市2014届高三调研测试】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ,若b ·c = 0，则实数t 的值为 ▲ ．7. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则 ．8. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】 在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)A ，(0,1)B ，点C 在第一象限内，6AOC π∠=，且2OC =，若O C O A O B λμ=+，则λ+μ的值是 ．1 【解析】试题分析：根据平面向量基本定理，cos 2cos6OC AOC πλ=∠==，sin 2sin16OC AOC πμ=∠==，所以1λμ+=.考点：平面向量基本定理.9. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且a ，b 的夹角为3π，则+=a b ．10. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】 设向量),cos ,(sin x x =),sin 3,(sin x x =x ∈R ，函数)2()(x f +⋅=.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合．试题解析：(1) )2()(x f +⋅=222sin cos 2(sin cos )x x x x x =++二．能力题组1. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO --→--→⋅的范围是_____________.2220,c b b =->解得02b <<,结合2BC AD b b ⋅=- 可求得1<24BC AD -≤⋅ ,考点：1.向量数量积;2.二次函数的性质2. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE = ，3BC BF = ，若向量AD 与DC的夹角为060，则AB EF ⋅的值为 .3. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．(1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．三．拔高题组1.2.3.。
2019年广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：平面向量
广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编平面向量一、选择、填空题1、（潮州市高三上学期期末）已知向量a ，b 满满足|a |=5，|b |=3，a •b =﹣3，则a 在b 的方向上的投影是 ﹣1 ．2、（东莞市高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则3、（佛山市高三教学质量检测（一））一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2=，3=，)(R ∈=λλ，则=λ（ ）A ．2B ．25C ．3D ．5 4、（广州市高三12月模拟）已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3=，则=MN (Ａ)221(Ｂ)332 (Ｃ) 10 (Ｄ) 115、（惠州市高三第三次调研）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) （A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）正三角形 （D ）等腰直角三角形 6、（江门市高三12月调研）在中，是边的中点，，，则A ．B ．C ．D ．7、（揭阳市高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC + （C ）4133AB AC + （D ）2533AB AC + 8、（茂名市高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线，切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+，则双曲线的离心率为（ ） A ．7224- B ．7224+ C ．231+ D ．251+9、（清远市清城区高三上学期期末）已知向量 b a , 3且、,)(b b a ⊥+则a与b 的夹角β为10、（汕头市高三上学期期末）在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443B ．449 C. 43637+ D ．433237+11、（韶关市高三1月调研）已知平面非零向量,a b 满足()1b a b ⋅+=，且1b =，则a 与b 的夹角为12、（肇庆市高三第二次模拟）已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且AB AC AP ABAC=+，当t 变化时，PB PC ⋅ 的最大值等于（A ）-2 （B ）0 （C ）2 （D ）413、（珠海市高三上学期期末）已知平面向量a ，b 满足a （a ＋b ）=5，且|a |=2， |b |＝1，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3πC.23πD.56π 14、（东莞市高三上学期期末）设向量a ＝(,2)x ，b ＝（1，－1），且a 在b 方向上的投影为，则的值是_________.15、（广州市高三12月模拟）已知菱形A B C D 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=________．16、（江门市高三12月调研）如图，空间四边形中，点分别上，，则A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（潮州市高三上学期期末）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，→m =（a ，c ）与→n =（1+cosA ，sinC ）为共线向量． （1）求角A ；（2）若3bc=16﹣a 2，且S △ABC =，求b ，c 的值．2、（江门市高三12月调研）已知是锐角三角形，内角所对的边分别是，满足．（Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求的周长．3、（茂名市高三第一次综合测试）设,x y R ∈，向量,i j 分别为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(3)a x i y j =++, (3)b x i y j =-+,且||||4a b +=．（Ⅰ）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆22:1164x y E +=，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线=+y kx m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：∆OAB 的面积为定值.参考答案 一、选择、填空题1、【解答】解：由向量、满足||=5，||=3， •=﹣3则在的方向上的投影是==﹣1，故答案为：﹣12、A3、D4、B5、【解析】因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选A. 6、D 7、A8、D 解：如图9，∵21M (OP)2O OF =+，∴M 是2F P 的中点.设抛物线的焦点为F 1，则F 1为（- c ，0），也是双曲线的焦点. 连接PF 1，OM .∵O 、M 分别是12F F 和2PF 的中点，∴OM 为 △PF 2F 1的中位线.∵OM=a ，∴|PF 1|=2 a.∵OM ⊥2PF ，∴2PF ⊥PF 1，于是可得|2PF 2b =，设P （，y ），则 c - =2a ，于是有=c-2a ， y 2=4c （c 2 a ），过点2F 作轴的垂线，点P 到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y 2+4a 2=4b 2， 即4c(c-2a)+4 a 2=4(c 2- a 2)，变形可得c 2-a 2=ac ，两边同除以a 2有 210e e --=, 所以12e += ,负值已经舍去. 故选D . 9、65π 10、B 11、2π12、B 13、B 14、4 15、6 16、B二、解答题1、【解答】解：（1）由已知得asinC=c （cosA +1），∴由正弦定理得sinAsinC=sinC （cosA +1），． …（2分）∴sinA ﹣cosA=1，故sin （A ﹣）=．…由0＜A ＜π，得A=； …（2）在△ABC 中，16﹣3bc=b 2+c 2﹣bc ， ∴（b +c ）2=16，故b +c=4． ①…（9分）又S △ABC ==bc ，∴bc=4．②…（11分）联立①②式解得b=c=2．…（12分） 解：⑴……⑵由，得①……7分由⑴知3π=A ，所以bc=24 ②……8分由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bccosA ，将72=a 及①代入可得c 2+b 2=52③……10分 ③+②×2，得（c+b ）2=100，所以c+b=10，△ABC 的周长是7210+……12分 3、 (Ⅰ)解：∵ (3)a x i y j =++ ， (3)b x i y j =-+ ，且||||4a b +=4=∴ 点M （，y ）到两个定点F 1（0），F 2，0）的距离之和为4…………2分 ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>则c =, 2a = ∴2221b a c =-= ………………3分 其方程为2214x y += …………………………………………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将=+y kx m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得222(14)84160+++-=k x kmx m 显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，由韦达定理则有,0>∆∴：122814+=-+kmx x k，212241614-=+m x x k . ……………………………………………5分所以122||14-=+x x k …………………………………………………6分因为直线=+y kx m 与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以∆OAB 的面积1221|||||214=-=+m S m x x k …………………7分== …………8分 设2214=+m t k将=+y kx m 代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440+++-=k x kmx m ………10分由0∆=，可得2214=+m k 即1=t ， …………………………………………11分又因为==SS为定值. …………………………………………………………………12分故。
广东省各地2014届高三数学上学期 期末考试试题分类汇编 三角函数
5π12-π32Oy x广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题题1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））设函数sin 23cos2y x x =+的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,2A =B . T π=,2A =C ．2T π=,2A =D ．2T π=,2A = 答案：C2、（广州市2014届高三1月调研测试）．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为 A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭答案：A3、（增城市2014届高三上学期调研）已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x xx+=-（A ）2875- （B ）2875 （C ）21100- （D ）21100答案：A4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）函数()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>的部分图象如图所示，则()f x = A ．π2sin(2)6x - B. π2sin(2)3x -C. π2sin(4)3x +D. π2sin(4)6x +答案：B5、（江门市2014届高三调研考试）在ABC ∆中，3=c ，045=A ，075=B ，则=a ．答案：26、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（ ）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-对称C ．两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像答案：C7、（中山市2014届高三上学期期末考试）已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos答案：410+8、（珠海市2014届高三上学期期末）已知1cos 3ϕ=-()0ϕπ<<,则sin 2ϕ=答案：9、（珠海市2014届高三上学期期末）在△ABC 中，A ：B ：C ＝1：2：3，则a ：b ：c 等于（ ） A 、1：2：3 B 、3：2：1C 、1 2D 、2 1 答案：C10、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，那么a 等于（ C ）A.2B.－2C.1D.－1答案：C 二、解答题 1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………2分又a =， 所以222cos 2a c b B ac+-=， ……………………………3分23b = ………………………………………………4分=……………………………………………5分 解法2：∵a =，∴sin A B =…………………………………2分∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………3分又2sin cos B B B =……………………4分 ∵sin 0B ≠，∴cos B =.………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==，…………………………………………7分 （注：直接得到sin B =） 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………………………………………8分 sin cos cos sin 33B B ππ=+ ……………………………10分12=………………………………11分=………………………………………12分 2、（广州市2014届高三1月调研测试）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 2A C += （1）求cos B 的值；（2）若3a =，b =c 的值．解：（1）在△ABC 中，A B C π++=．………………………………………1分所以coscos 22A C Bπ+-= …………………………………………………2分sin23B ==．………………………………………………3分 所以2cos 12sin2BB =- …………………………………………………………5分 13=．………………………………………………………………7分（2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，……………………………………………9分 得2210c c -+=．…………………………………………………………………11分 解得1c =．………………………………………………………………………12分 3、（增城市2014届高三上学期调研） 已知函数()()2sin cos sin .f x x x x =-（1）当0x π<<时，求()f x 的最大值及相应的x 值； （2）利用函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.解（1）()()22sin cos sin 2sin cos 2sin f x x x x x x x =-=- 1分sin 2cos 21x x =+- 3分214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 5分∵0x π<<，∴92444x πππ<+<6分 所以当242x ππ+=时，即8x π=时 7分f(x)1所以f(x)1，相应的x 的值8x π= 8分（2）函数y=sin x 的图象向左平移4π个单位， 9分 把图象上的点横坐标变为原来的12倍， 10分11分最后把图象向下平移1个单位得到y 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象 12分方法2：把函数y=sin x 图象上的点横坐标变为原来的12倍 9分 把函数x 的图象向左平移8π个单位， 10分11分最后把图象向下平移1个单位得到y 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象 12分4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）在ABC 中,三个内角,,A B C 所对的边分别为,a ,.b c222)2b c a bc +-=，2B A =. (1) 求tan A ； (2) 设ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-求m n ⋅的值. 解： (1)2223()2,b c a bc +-=222cos2b c a A bc +-∴== (2)分0π,A <<sinA ∴==…………………………………………… 4分sintan cos AA A== ………………………………………………………6分(2)(解法一)ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-ππ2sin()sin()144m n B B ∴⋅=-+- (7)分2(cos sin )(cos sin )122B B B B =⨯-⨯+-22cos sin 1B B =-- (9)分22sin .B =- (10)分2B A =,sin sin 22sin cos 3B A A A ∴===16.9m n ⋅=- (12)分(2)(解法二)ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-ππ2sin()sin()144m n B B ∴⋅=-+- (7)分πππ2cos ()sin()1244B B ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦ππ2cos()sin()144B B =++-πsin(2)12B =+-cos 21B =- (9)分22sin .B =- (10)分2B A =,sin sin 22sin cos B A A A ∴===16.9m n ⋅=- (12)分(2)(解法三)2B A =,sin sin 22sin cos B A A A ∴===21cos cos 212sin .3B A A ==-=- (9)分π4(2sin(),1)sin ),1)(,1),43m B B B ∴=-=-=- (10)分π4(sin(),1)(cos ),1)(1).426n B B B =+-=+-=- (11)分4161.39m n +∴⋅=--=- ………………………12分5、（江门市2014届高三调研考试）已知1)2cos 2sin 3(2cos2)(-+=xx x x f ，R x ∈． ⑴ 求)(x f 的最小正周期；⑵ 设α、)2, 0(πβ∈，2)(=αf ，58)(=βf ，求)(βα+f 的值． 解：⑴x x x f cos sin 3)(+=……2分，)6sin(2π+=x ……4分，)(x f 的最小正周期π2=T ……5分⑵因为2)6sin(2=+πα，1)6sin(=+πα，3266ππαπ<+<……6分， 所以26ππα=+，3πα=……7分，58)6sin(2=+πβ，54)6sin(=+πβ，3266ππβπ<+<……8分，因为2354<，所以266ππβπ<+<，53)6cos(=+πβ……9分，所以ββππβαβαcos 2)2sin(2)6sin(2)(=+=++=+f ……10分， 6sin)6sin(26cos)6cos(2]6)6cos[(2ππβππβππβ+++=-+=……11分，5433+=……12分。
2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10：平面向量
2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编10：平面向量一、填空题 1 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知非零向量，a b 满足(2)(2)-⊥-⊥，，a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为______.【答案】π32 ．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC的中点. F 为边AB 上. 的,且,则x+y 的值为____【答案】523 ．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知O 是ABC ∆的外心,10,6==AC AB ,若ACy AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ,则=∠BAC cos _____________.【答案】314 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,若22()||5CA CB AB AB +⋅= ,则tan tan AB= ________. 【答案】735 ．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知在ABC∆中,3==BC AB ,4=AC ,设O 是ABC ∆的内心,若AC n AB m AO +=,则=n m :__★__.【答案】3:4 提示一:利用夹角相等,则有ACAC AO AB AB AO ⋅=⋅||.提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得AC AB AO 103104+=6 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a 与b 夹角为120°,则向量b 的模为________.【答案】17 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB = , 若12BD AC ⋅=- , 则AB CE ⋅=_____.【答案】43-8 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）在ABC ∆中,M 为AB 的的三等分点,:1:3,AM AB N =为AC 的中点,BN 与CM 交于点E ,,AB m AC n ==,则AE =_____________________.【答案】1255m n +9 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）在平面直角坐标系中,O是坐标原点,()2,0A ,()0,1B ,则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的平面区域的面积是________.【答案】410．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）设向量a 、b 满足:|a |3=,|b |1=,a·b 23=,则向量a 与b 的夹角为__★__. 【答案】6π 11．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线(其中,,0m m n R n n∈≠且）则等于_.【答案】21-12．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知a 、b 、c都是单位向量,且a b c += ,则a c ⋅的值为_________.【答案】1213．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,6BC =,BC 边上的高为2,则AB AC ⋅的最小值为________.【答案】5-14．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知ABC ∆是边长为4的正三角形,D 、P 是ABC ∆内部两点,且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+,则APD ∆的面积为__________.【答案】3415．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）P 是ABC ∆所在平面内一点,若PB PA CB +=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在(A)ABC ∆内部 (B)AC 边所在直线上 (C)AB 边所在直线上 (D)BC 边所在直线上【答案】B16．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知)2s i n ,2(),sin ,1(2x b x a ==,其中()0,x π∈,若a b a b ⋅=⋅,则tan x =_____. 【答案】1;17．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）在平面直角坐标系x O y 中,已知=(3,﹣1),=(0,2).若•=0,=λ,则实数λ的值为__________.【答案】218．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）如图,,,A B C 是直线上三点,P 是直线外一点,1==BC AB ,︒=∠90APB ,︒=∠30BPC ,则PA PC ⋅=________.【答案】74-19．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知向量a 的模为2,向量e 为单位向量,)(e a e -⊥,则向量a 与e 的夹角大小为_______.【答案】3π; 20．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）已知向量a 与b 的夹角为60º,300lABCP且|a |=1,|b |=2,那么2()+a b 的值为________.【答案】721．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知O 为△ABC 的外心,,120,2,20=∠==BAC aAC a AB 若AC AB AO βα+=,则βα+的最小值为____【答案】222．（江苏省泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷）已知平面向量(1,2)a = ,(1,3)b =-,则a 与b 夹角的余弦值为___________【答案】22; 23．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知b a ,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2,b a b ⊥-)(2,则a 与b 的夹角是________.【答案】3π24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为 ▲ .【答案】125．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）若向量→a 、→b 满足|→a |=1,|→b|=2,且→a 与→b 的夹角为π3,则|→a +2→b |=_______【答案】2126．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |52=,则|b |=__________【答案】527．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）设向量(1,),(3,4)a x b ==- ,若//a b,则实数x 的值为________.【答案】43-28．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知向量(1,3)=a ,(2,1)=-b ,(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线,则实数k =________. 【答案】1-29．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）若等腰梯形ABCD中,//AB CD ,3AB =,2BC =,45ABC ∠=,则AC BD ⋅的值为____________【答案】330．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）设x ∈R,向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ,则x = ______. 【答案】2331．（江苏省无锡市洛社高级中学2014届高三10月月考数学试题）设平面向量(1,2)a =,与向量(1,2)a =共线的单位向量坐标为_______.【答案】525(,)55或255(,)55-- 32．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知向量(12,2)a x =-,()2,1b - =,若→→b a //,则实数x =______.【答案】25 二、解答题33．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）设(,1)a x = ,(2,1)b =- ,(,1)c x m m =--(,x m ∈∈R R ). (Ⅰ)若a 与b的夹角为钝角,求x 的取值范围; (Ⅱ)解关于x 的不等式a c a c +<- .【答案】(1)由题知:210a b x ⋅=-< ,解得12x <;又当2x =-时,a 与b 的夹角为π,所以当a 与b 的夹角为钝角时, x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-(2)由a c a c +<-知,0a c ⋅< ,即(1)[(1)]0x x m ---<;当2m <时,解集为{11}x m x -<<; 当2m =时,解集为空集;当2m >时,解集为{11}x x m <<-34．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角.(1)若136a b ⋅= ,求sin cos θθ+的值;(2)若//a b ,求sin(2)3πθ+的值.【答案】解:(1)因为a ·b =2 + sin θcos θ =136 , 所以sin θcos θ = 16, 所以(sin θ +cos θ)2= 1+2sin θcos θ = 34 .又因为θ为锐角,所以sin θ + cos θ =233(2)因为a ∥b ,所以tan θ = 2,所以sin2θ = 2sin θcos θ = 2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ = 2tan θtan 2θ+1 = 45 , cos2θ = cos 2θ-sin 2θ = cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ = 1-tan 2θtan 2θ+1 = — 35所以sin(2θ+ π3 ) = 12 sin2θ + 32 cos2θ = 12 ×45+32 ×(-35) = 4-331035．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知在等边三角形ABC中,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB =≤≤λλ.(1)若等边三角形边长为6,且13=λ,求CP ; (2)若CP AB PA PB ⋅≥⋅,求实数λ的取值范围.【答案】(1)当13=λ时,13AP AB = , 2222221()262622282CP CA AP CA CA AP AP =+=+⋅+=-⨯⨯⨯+= .∴||27CP =(2)设等边三角形的边长为a ,则221()()2CP AB CA AP AB CA AB AB a a ⋅=+⋅=+λ⋅=-+λ ,222()()PA PB PA AB AP AB AB AB a a ⋅=⋅-=λ⋅-λ=-λ+λ即2222212a a a a -+λ≥-λ+λ,∴21202λ-λ+≤,∴222222-+≤λ≤. 又00≤λ≤,∴2212-≤λ≤. 36．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）已知向量,m n的夹角为45︒,则||1,||2m n == ,又2,3a m n b m n =+=-+ .(1)求a 与b 的夹角;(2)设,2c ta b d m n =-=-,若//c d ,求实数t 的值.【答案】37．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<< 是平面上的两个向量,若向量a b + 与a b -互相垂直.(Ⅰ)求实数λ的值;(Ⅱ)若45a b ⋅= ,且4tan 3β=,求tan α的值.【答案】(Ⅰ)由题设可得()()0,a b a b +⋅-=即220,a b -= 代入,a b 坐标可得22222cos +(1)sin cos sin 0αλαββ---=.222(1)sin sin 0,λαα∴--=0,0,22παλλ<<>∴= .(Ⅱ)由(1)知,4cos cos sin sin cos(),5a b αβαβαβ⋅=+=-=02παβ<<<∴ 02παβ-<-<33sin(),tan()54αβαβ∴-=--=-.34tan()tan 743tan tan[()]=341tan()tan 241()43αββααββαββ-+-+∴=-+==--⋅--⨯. 7tan 24α∴= 38．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）已知平面向量a =(1,2sin θ),b =(5cos θ,3).(1)若a ∥b ,求sin2θ的值; (2)若a ⊥b ,求tan(θ+π4)的值.【答案】 (1)因为a ∥b ,所以1×3-2sin θ×5cos θ=0,即5sin2θ-3=0,所以sin2θ=35(2)因为a ⊥b ,所以1×5cos θ+2sin θ×3=0 所以tan θ=-56所以tan(θ+π4)=tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4=11139．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知,,a b c是同一平面内的三个向量,其中(1,2)a =(1)若||25c =,且//c a ,求:c 的坐标(2)若5||2b = ,且2a b + 与2a b - 垂直,求a 与b 的夹角【答案】解:设(,)c x y = 由//||25c a c =及得2212022,4420y x x x y y x y ⋅-⋅===-⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或 所以,(2,4)(2,4)c c ==-- 或 (2)∵2a b + 与2a b - 垂直,∴(2)(2)0a b a b +⋅-=即222320a a b b +⋅-= ;∴52a b ⋅=-∴cos 1||||a ba b θ⋅==- ,∵[0,]θπ∈∴θπ=40．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈,使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且d c ⊥.(Ⅰ)求)(θf m =的关系式; (Ⅱ)若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 【答案】解: (Ⅰ)∵dc ⊥,且1,2,0===⋅b a b a ,∴0)tan 3(tan 232=-+-=⋅b a m d c θθ∴)2,2(),tan 3(tan 41)(3ππθθθθ-∈-==f m (Ⅱ)设θtan =t ,又∵]3,6[ππθ-∈,∴]3,33[-∈t ,则)3(41)(3t t t g m -== )1(43)(''2-==t t g m 令0)('=t g 得1-=t (舍去) 1=t ∴)1,33(-∈t 时0)('<t g ,)3,1(∈t 时0)('>t g ,∴1=t 时,即4πθ=时, )1(g 为极小值也是最小值,)(t g 最小值为21- 41．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）如图,在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的一点,.OP x OA y OB =⋅+⋅(1)若BP PA =,求x ,y 的值;(2)若3BP PA = ,||4OA = ,||2OB =,且OA 与OB 的夹角为60°时,求OP AB ⋅ 的值.【答案】(1)∵BP PA =,∴BO OP PO OA +=+ ,即2OP OB OA =+ ,∴1122OP OA OB =+ ,即12x =,12y =(2)∵3BP PA = ,∴33BO OP PO OA +=+,即43OP OB OA =+∴3144OP OA OB =+∴34x =,14y =31()()44OP AB OA OB OB OA ⋅=+⋅-131442OB OB OA OA OA OB =⋅-⋅+⋅221311244294422=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-。
广东省各地学校2011高三数学上学期期末考试题分类汇编 平面向量
2011广东各地高三上期末考试题分类汇编—平面向量一、选择题1、（佛山2011普通高中高三教学质量检测（一））已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角的余弦值为A B ． C ．2D ．2-2、（高州长坡中学2011高三上期末考试）已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ ）A ．(5,10)--B ．(4,8)--C ．(3,6)--D ．(2,4)--3、（高州市大井中学2011高三上期末考试）在ABC ∆中，AB 3=，BC 1=，cos cos AC B BC A =，则AC AB ⋅=（ ）A ．32或2 B ．32C ．2D 或2 4、（广州2011高三上期末调研测试）设向量(2,0)=a ,(1,1)=b ,则下列结论中正确的是 A ． ||||=a b B ． 21=⋅b a C ．//a b D ．()-⊥a b b5、（惠州2011高三第三次调研考试）已知向量12||,10||==b a ,且60-=⋅b a ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．060B ．0120C ．0135D ．01506、（江门2011高三上期末调研测试文）已知点)0 , 1(-P 、)3 , 1(Q ，向量)2 , 12(-=k a ，若a PQ ⊥，则实数=kA ．2B ．1C ．2-D ．1-7、（江门2011高三上期末调研测试理）已知 1e 、 2e 互相垂直，2| |2| |21==e e ，21e e a +=λ， 2 21e e b -=，且 a 、 b 互相垂直，则实数λ的值为A ．21 B ．41C ．1D ．28、（茂名2011高三上期末考试）若M 为ABC ∆所在平面内一点，且满足()()(MB MC MB MC MB -⋅+⋅2MC +-)0MA =，则∆ABC 的形状为A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 9（汕头10-11学年普通高中毕业班教学质量监测）已知方程20ax bx c ++=，其中a 、b 、c 是非零向量，且a 、b 不共线，则该方程( )A ．至多有一个解B ．至少有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解10（肇庆中小学教学质量评估10-11学年高三上期末）已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且a ∥b ，则x =A ．1B ．5C ．6D ．911（中山2011届高三上期末统考）已知向量),1();,1(n b n a -==，若b a +2与b 垂直，=A ．1 BC D ．4答案：1、C2、B3、A4、D5、B6、D7、A8、C9、由于a ，b 不共线，所以(,,,)c ma nb m n R m n =+∈且是唯一的，则2,x mx n⎧=-⎨=-⎩故该方程至多有一个解，选A ； 10、C 11、C 二、填空题1、（高州市大井中学2011高三上期末考试）已知向量=(1,3)a ,=(3,)b n ，如果a 与b 共线， 那么实数n 的值是______．2、（惠州2011高三第三次调研考试）已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为AD ，则AD →的坐标是：_______ 3、（珠海2011届高三上期末考试题）已知△ABC ，D 为AB 边上一点，若12,,3AD DB CD CA CB λλ==+=则 ．答案： 1、92、【解析】设D (x ，y )，则AD →＝()x －2，y ＋1， BD →＝()x －3，y －2，BC →＝()－6，－3，∵AD →⊥BC →，BD →∥BC →，∴⎩⎨⎧－6()x －2－3()y ＋1＝0－3()x －3＋6()y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，所以AD →＝()－1，2.答案：(－1,2) 3、23三、解答题1、（高州三中2011高三上期末考试试题）设向量(sin ,cos )a x x =，(cos ,cos )b x x =，x ∈R ，函数()()f x a a b =•+． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 在[]0π，上的单调增区间．2、（广州2011高三上期末调研测试） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知向量=m 2cos,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, =n cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.1-=⋅n m (1) 求cos A 的值;(2) 若a =, 2b =, 求c 的值.3、（揭阳市2011届高三上学期学业水平考试）已知函数()cos f x x x ππ=+, x R ∈． （1）求函数()f x 的最大值和最小值；（2）设函数()f x 在[1,1]-上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高点为P,求PM 与PN 的夹角的余弦．4（汕头10-11学年普通高中毕业班教学质量监测）已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x xb x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b =a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．答案： 1、．解：（Ⅰ）∵222f (x)a (a b)a a a b sin x cos x sinxcosx cos x=•+=•+•=+++ 2分=1+)42x (sin 2223)1cos2x (21sin2x 21π++=++ 4分 ∴最小正周期是22ππ=，最小值为32- 6分（Ⅱ）解：因为3())224f x π=++， 令222()242k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈ 8分 得函数在[]0π，上的单调增区间为5[0,][,]88πππ和。
11市县2014届高三上学期期中试题分类汇编：平面向量
11市县2014届高三上学期期中试题分类汇编平面向量一、填空题1、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = ▲ 答案：－12、（海安县2014届高三上学期期中）如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =3，点Q 在BC 边上，且BQ=33，点P 在矩形内（含边界），则AP AQ 的最大值为 ▲ ．答案：23、（扬州市2014届高三上学期期中）已知向量OA ，OB 满足||1OA = ，||2OB =，||7AB = ，()()AC OA OB R λλ=+∈ ，若||7BC =，则λ所有可能的值为 ▲． 答案：0、24、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）已知非零向量，a b 满足(2)(2)-⊥-⊥，，a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为 ▲ . 答案：π35、（兴化市2014届高三上学期期中）已知在ABC ∆中，3==BC AB ，4=AC ，设O 是ABC ∆的内心，若AC n AB m AO +=，则=n m :3:4．答案：3:4提示一：利用夹角相等，则有ACAC AO AB AB AO ⋅=⋅||．提示二：利用角平分线定理，根据相似比求得AC AB AO 103104+=． 6、（无锡市2014届高三上学期期中）在ABC ∆中，M 为AB 的的三等分点，:1:3,AM AB N =为AC 的中点，BN 与CM 交于点E ，,AB m AC n ==，则AE =。
答案：1255m n +7、（兴化市2014届高三上学期期中）设向量a 、b 满足：|a |3=,|b |1=,a ·b 23=，则向量a 与b 的夹角为＿＿＿＿． 答案：6π8、（徐州市2014届高三上学期期中）已知O 是ABC ∆的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ，则=∠BAC cos 。
广东版2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编：专题05 平面向量(解析版)
一．基础题组1.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】已知向量(1,1)a =- ，(3,)b m =，//()a a b +，则m =（ ）A ．错误！未找到引用源。
2B ．2-C ．3-D ．32.【广东省汕头四中2014届高三上学期第一次月考（理）】已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则|2|+=a b （ ）A.2 C. D.3.【广东省东莞市2013届高三模拟考试一（理）】已知(1,2)= a ，(0,1)= b ，(,2)k =- c ，若(2)+⊥a b c ，则k =( )A ．2B ．8C ．2-D ．8- 【答案】B4.【广东省湛江市2014届高三普通高考调研测试（理）】向量()1,2a =-- ，()0,1b =，则a b +=（ ）A.()1,1--B.()1,3--C.()1,3-D.()0,2-5.【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考（理）】已知单位向量,i j满足(2)j i i -⊥ ，则,i j夹角为（ ）A ．4π B ．6πC ．3π D ．23π二．能力题组1.【广东省韶关市20914届高三摸底考试（理）】若||2||||a b a b a=-=+，则向量a b+（ ） A ．6πB.3πC.32π D.65π2.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检（理）】若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】b a b a b a b a ⊥⇔=⋅⇔-=++0)()(22. 考点：向量运算，充分必要条件判断.3.【广东省十校2014届高三第一次联考（理）】平面四边形ABCD 中0AB CD +=，()0AB AD AC -=⋅，则四边形ABCD 是 （ ）A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形 【答案】D 【解析】试题分析：0AB CD += AB CD DC ⇒=-=ABCD ⇒是平行四边形，()0AB AD AC DB AC -∙=∙=DB AC ⇒⊥，所以平行四边形ABCD 是菱形.考点：向量的加减运算和向量的垂直.4.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试（理）】如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =（ ）ABCDA ．2133AB AC - B ．1233AB AC +C ．2133AB AC +D ．1233ABAC -5.【广东省广州市越秀区2014届高三入学摸底考试（理）】在△ABC 中，3sin 5A =，8AB AC ⋅=，则△ABC 的面积为 （ ）A.3B.4C.6D.125【答案】A 【解析】试题分析：cos 80AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=> ，由于0AB > ，0AC > ，故c o s 0A >，cos A ∴=45==，85810cos 4AB AC A ∴⋅==⨯= ，1sin 2ABC S AB AC A ∆∴=⋅⋅1310325=⨯⨯=，即ABC ∆的面积为3. 考点：平面向量的数量积、同角三角函数之间的关系、三角形的面积三．拔高题组1.【广东省十校2014届高三第一次联考（理）】已知函数1()sin πcos π22f x x x =+, x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值和最小值；（2）设函数()f x 在[1,1]-上的图象与x 轴的交点从左到右分别为,M N ，图象的最高点为P ,求PM 与PN的夹角的余弦．∴3cos ,5||||PM PN PM PN PM PN ∙<>==∙． ………12分。
2019年广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：平面向量
广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编平面向量一、选择、填空题1、（潮州市高三上学期期末）已知向量a ，b 满满足|a |=5，|b |=3，a •b =﹣3，则a 在b 的方向上的投影是 ﹣1 ．2、（东莞市高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则3、（佛山市高三教学质量检测（一））一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2=，3=，)(R ∈=λλ，则=λ（ ）A ．2B ．25C ．3D ．5 4、（广州市高三12月模拟）已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3=，则=MN (Ａ)221(Ｂ)332 (Ｃ) 10 (Ｄ) 115、（惠州市高三第三次调研）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) （A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）正三角形 （D ）等腰直角三角形 6、（江门市高三12月调研）在中，是边的中点，，，则A ．B ．C ．D ．7、（揭阳市高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC + （C ）4133AB AC + （D ）2533AB AC + 8、（茂名市高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线，切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+，则双曲线的离心率为（ ） A ．7224- B ．7224+ C ．231+ D ．251+9、（清远市清城区高三上学期期末）已知向量 b a , 3且、,)(b b a ⊥+则a与b 的夹角β为10、（汕头市高三上学期期末）在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，PM =，则2||的最大值是（ ） A ．443B ．449 C. 43637+ D ．433237+11、（韶关市高三1月调研）已知平面非零向量,a b 满足()1b a b ⋅+=，且1b =，则a 与b 的夹角为12、（肇庆市高三第二次模拟）已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且AB AC AP ABAC=+，当t 变化时，PB PC ⋅ 的最大值等于（A ）-2 （B ）0 （C ）2 （D ）413、（珠海市高三上学期期末）已知平面向量a ，b 满足a （a ＋b ）=5，且|a |=2， |b |＝1，则向量a 与b 的夹角为 A.6π B.3πC.23πD.56π 14、（东莞市高三上学期期末）设向量a ＝(,2)x ，b ＝（1，－1），且a 在b 方向上的投影为_________.15、（广州市高三12月模拟）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=________．16、（江门市高三12月调研）如图，空间四边形中，点分别上，，则A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（潮州市高三上学期期末）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，→m =（a ，c ）与→n =（1+cosA ，sinC ）为共线向量． （1）求角A ；（2）若3bc=16﹣a 2，且S △ABC =，求b ，c 的值．2、（江门市高三12月调研）已知是锐角三角形，内角所对的边分别是，满足．（Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求的周长．3、（茂名市高三第一次综合测试）设,x y R ∈，向量,i j 分别为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(3)a x i y j =++, (3)b x i y j =-+,且||||4a b +=．（Ⅰ）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆22:1164x y E +=，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线=+y kx m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：∆OAB 的面积为定值.参考答案一、选择、填空题1、【解答】解：由向量、满足||=5，||=3， •=﹣3则在的方向上的投影是==﹣1，故答案为：﹣12、A3、D4、B5、【解析】因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选A. 6、D 7、A8、D 解：如图9，∵21M (OP)2O OF =+，∴M 是2F P 的中点.设抛物线的焦点为F 1，则F 1为（- c ，0），也是双曲线的焦点. 连接PF 1，OM .∵O 、M 分别是12F F 和2PF 的中点，∴OM 为 △PF 2F 1的中位线.∵OM=a ，∴|PF 1|=2 a.∵OM ⊥2PF ，∴2PF ⊥PF 1，于是可得|2PF 2b =，设P （，y ），则 c - =2a ，于是有=c-2a ， y 2=4c （c 2 a ），过点2F 作轴的垂线，点P 到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y 2+4a 2=4b 2， 即4c(c-2a)+4 a 2=4(c 2- a 2)，变形可得c 2-a 2=ac ，两边同除以a 2有 210e e --=, 所以12e += ,负值已经舍去. 故选D . 9、65π 10、B 11、2π12、B 13、B 14、4 15、6 16、B二、解答题1、【解答】解：（1）由已知得asinC=c （cosA +1），∴由正弦定理得sinAsinC=sinC （cosA +1），． …（2分）∴sinA ﹣cosA=1，故sin （A ﹣）=．…由0＜A ＜π，得A=； …（2）在△ABC 中，16﹣3bc=b 2+c 2﹣bc ， ∴（b +c ）2=16，故b +c=4． ①…（9分）又S △ABC ==bc ，∴bc=4．②…（11分）联立①②式解得b=c=2．…（12分） 解：⑴……⑵由，得①……7分由⑴知3π=A ，所以bc=24 ②……8分由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bccosA ，将72=a 及①代入可得c 2+b 2=52③……10分 ③+②×2，得（c+b ）2=100，所以c+b=10，△ABC 的周长是7210+……12分 3、 (Ⅰ)解：∵ (3)a x i y j =++ ， (3)b x i y j =-+ ，且||||4a b +=4=∴ 点M （，y ）到两个定点F 1（，0），F 20）的距离之和为4…………2分 ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>则c =, 2a = ∴2221b a c =-= ………………3分 其方程为2214x y += …………………………………………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将=+y kx m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得222(14)84160+++-=k x kmx m 显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，由韦达定理则有,0>∆∴：122814+=-+kmx x k，212241614-=+m x x k . ……………………………………………5分所以122||14-=+x x k …………………………………………………6分因为直线=+y kx m 与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以∆OAB 的面积1221|||||214=-=+m S m x x k …………………7分== …………8分 设2214=+m t k将=+y kx m 代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440+++-=k x kmx m ………10分由0∆=，可得2214=+m k 即1=t ， …………………………………………11分又因为==SS. …………………………………………………………………12分故。
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广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编
平面向量
一、选择题
1、（广州市2014届高三1月调研测试）已知向量(3,1)=a ，(,2)x =-b ，(0,2)=c ，若
()⊥-a b c ，则实数x 的值为
A ．
43 B ．34 C ．34- D ．4
3
- 答案：A
2、（江门市2014届高三调研考试）已知平面向量)3 , (-=λa ，)2 , 4(-=b ，若b a ⊥，
则实数=λ A ．2
3
-
B ．23
C ．6-
D ．6
答案：A
3、（揭阳市2014届高三学业水平考试）向量(1,2),(3,4),BA BC =-=
则AC =
A.(4,2)
B.(4,2)--
C.(2,6)
D.(4,2)- 答案：A
4、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）已知21,e e 是不共线向量，212e e +=，
21e e b -=λ，当a ∥b 时，实数λ等于
A .1-
B .0
C . 2
1
- D . 2- 答案：D
5、（中山市2014届高三上学期期末考试）已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，
则a +b 等于( ) A ．()2,1--
B ．()2,1
C ．()3,1-
D ．()3,1- 答案：A
6、（珠海市2014届高三上学期期末）已知
均为单位向量，它们的夹角为60°，那么
答案：C
7、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c
=（－1，2），则c 等于（ B ）
A.1322
a b -+
B. 1322a b -
C. 3122
a b -
D. 3122
a b -+
答案：B
8、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）平面直角坐标系xoy 中，已知A （1,0），B （0,1），C （－1，c ）（c>0），且｜OC ｜＝2，若
，则实数
的值分别是
答案：D
二、填空题
1、（增城市2014届高三上学期调研）已知()()4,2,6,a b y == ，且a 与b
共线，则y=
答案：3
2、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）若向量(1,2),(4,)BA CA x == ，
且BA 与CA
的夹角为0,︒则BC =
答案：(3,6)--
3、（惠州市2014届高三第三次调研考）已知向量(0,1,1)a =- ，
(4,1,0)b = ，||a b λ+=
且0λ>，则λ=
答案：3 4、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆
2
2
40x y x +-=(24)x ≤≤ 上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20
OA OC ∙= 时，则点C 的纵坐标的取值范围是 答案：[5,5]-
5、（中山市2014届高三上学期期末考试）如图, //AB MN ，
且2OA OM =，若OP xOA yOB =+
，（其中,x y R ∈），
则终点P 落在阴影部分（含边界）时，
2
1
y x x +++的取值范
围是 答案：4[,4]3
三、解答题 1、（惠州市2014届高三第三次调研考）
在ABC ∆中，角A 为锐角,记角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，设向量
(cos ,sin ),m A A = (cos ,sin )n A A =- ，且m 与n 的夹角为3
π
．
（1）计算m n ⋅
的值并求角A 的大小；
（2）若a c =
=ABC ∆的面积S ．
解：（1）1,=
= m 1,==n
∴⋅⋅m n=m n π1
cos
.32
⋅= ··················· 3分 22cos sin cos 2A A A ⋅-= m n=，
1
cos 2.2A ∴= ························· 5分 π
0,02π,2A A <<<<
ππ
2,.36
A A ∴== ······················ 7分
（2）(法一) a c == π,6
A =及222
2cos a b c bc A =+-,
2733b b ∴=+-, 即1b =-(舍去)或 4.b =
········· 10分
故1
sin 2
S bc A =
= ··················
12分
(法二) a c == π,6A =及sin sin a c
A C
=
,
sin sin c A C a ∴=
=················· 7分 a c > ,
π
2C ∴<<,cos C ==
π1sin sin(π)sin()cos
62B A C C C C =--=+=+=
sin 4sin a B
b A ∴==.
···················· 10分
故1
sin 2
S bc A == ·················· 12分
2、（中山市2014届高三上学期期末考试）
设平面向量)sin ,(cos x x =，)2
1
,23(
=，函数1)(+⋅=x f 。
（Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;
（Ⅱ）当9()5f α=
,且263ππα<<时,求2sin(2)3
πα+的值.
解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos x x 11
()1cos sin 12222
x x +=++………（2分） sin()13
x π
=+
+ ………………………………………………（4分）
（Ⅰ） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分） 令ππ
π
ππ
k x k 22
3
22
+≤
+
≤+-
，解得52266
k x k ππ
ππ-
+≤≤+………………（7分）
所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππ
ππ-++∈.……………………（8分） （Ⅱ）由9()sin()1,35f παα=++=得4
sin()35
πα+=,
因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35
πα+=-,………………………（10分）
2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯ 24
25
=-。