高考一轮第五章__第一节__数列的概念与简单表示法[1]
高考数学大一轮复习 第五章 第1节 数列的概念与简单表示法课件
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5 ． 若 数 列 nn＋423n 中 的 最 大 项 是 第 k 项 ， 则 k
＝
.
【答案】 4
6．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an
＋13，则{an}的通项公式是 an＝
.
【答案】 (－2)n－1
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考向一 [083] 由数列的前几项归纳数列的通项公式 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项
A．30 B．31
C．32 D．33
【答案】 B
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3．已知数列{an}的通项公式为 an＝n＋n 1，则这个数列是
A．递增数列
B．递减数列
()
C．常数列
D．摆动数列
【答案】 A
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4．数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋1，则 an＝
.
【答案】
2 2n－1
n＝1 n≥2
解析法．
四、an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，
则
an＝SS1n， －Sn－1，
n＝1， n≥2.
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8
已知 Sn 求 an 的注意点 利用 an＝Sn－Sn－1 求通项时，注意 n≥2 这一前提条件， 易忽略验证 n＝1 致误，当 n＝1 时，a1 若适合通项，则 n＝1 的情况应并入 n≥2 时的通项；否则 an 应利用分段函数的形 式表示．
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考向二 [084] 由递推关系求通项公式 根据下列条件，求数列的通项公式 an.
(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n； (2)在数列{an}中，an＋1＝n＋n 2an，a1＝4； (3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1.
2022版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案理北师大版
2022版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案理北师大版第一节数列的概念与简单表示法[考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念概念数列数列的项数列的通项通项公式前n项和2.数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．3．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，含义按照一定顺序排列的一列数数列中的每一个数数列{an}的第n项an数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n 项和Sn－Sn－1，n≥2.4．数列的分分类标准项数类型有穷数列无穷数列递增数列项与项间的大小关系[常用结论]an≥an－1，求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用an≥an＋1.an≤an－1，或an≤an＋1满足条件项数有限项数无限an＋1＞anan＋1＜anan＋1＝an其中n∈N某递减数列常数列(n≥2，n∈N)某(n≥2，n∈N)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．[基础自测]某1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“某”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(2)一个数列中的数是不可以重复的．(3)所有数列的第n项都能使用公式表达．(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．[答案](1)某(2)某(3)某(4)√1112．已知数列，，，…，1某22某33某4nA.n＋，…，下列各数中是此数列中的项的是()()()()()1111B．C.D．35424854nn＋2B[该数列的通项an＝，结合选项可知B正确．]3．设数列{an}的前n项和Sn＝n，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64A[a8＝S8－S7＝8－7＝15.故选A.]4．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋3582A.B．C.D．2353D[∵a1＝1，∴a2＝1＋－222－nan－1(n≥2)，则a5等于()a1＝1＋1＝2；a3＝1－＝1－＝；a222a4＝1＋＝1＋2＝3；a3a5＝1－＝1－＝.]a4335．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.21115n－4[{an}是以1为首项，5为公差的等差数列，∴an＝1＋(n－1)某5＝5n－4.]由an与Sn的关系求通项公式1221．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n＋n＋3，则数列{an}的通项公式an＝________.434712，n＝1152n＋12，n≥21247[当n＝1时，a1＝S1＝＋＋3＝.4312又当n≥2时，an＝Sn－Sn－11221n－＝n＋n＋3－43415＝n＋.2124712，n＝1，∴a＝15n＋212，n≥2.n22＋n－3＋3]212．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.33(－2)n－121[由Sn＝an＋得3321当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，331212∴an＝Sn－Sn－1＝an＋－an－1＋333322＝an－an－1.33即an＝－2an－1，(n≥2)．21又a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.33∴数列{an}是以首项为1，公比为－2的等比数列，∴an＝(－2) n－1.]23．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n－2n＋1，求an.[解]设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，当n＝1时，a1＝T1＝3某1－2某1＋1＝2，当n≥2时，2nan＝Tn－Tn－1＝3n－2n＋1－[3(n－1)－2(n－1)＋1]＝6n－5，226n－5因此an＝，n显然当n＝1时，不满足上式．2，n＝1，故数列的通项公式为an＝6n－5，n≥2.n[规律方法]已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式．易错警示：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．由递推关系式求数列的通项公式【例1】分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N)；(2)a1＝1，an＝某nn－1an－1(n≥2，n∈N某)；某(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N)．[解](1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝nn＋2(n≥2)．当n＝1时，a1＝某(3某1＋1)＝2符合公式，232n∴an＝n＋.22(2)当n≥2，n∈N时，某a2a3anan＝a1某某某…某a1a2an－123n－2n－1n＝1某某某…某某某＝n，12n－3n－2n－1当n＝1时，也符合上式，∴该数列的通项公式为an＝n.(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3－1.[规律方法]由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且an＝f(n)，可用“累乘法”求an.an－1(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an ＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列．易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式．1(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋，则an等于() nA．2＋lnnC．2＋nlnn(2)若a1＝1，an＋1＝3an＋3(1)A(2)n·3－2·3nn－1n＋1B．2＋(n－1)lnnD．1＋n＋lnn，则an＝________.1n＋1，[(1)∵an＋1－an＝ln1＋＝lnnn23n，n≥2，∴a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，…，an－an－1＝ln12n－1∴a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝ln某某…某＝lnn，n－112∴an－a1＝lnnan＝2＋lnn(n≥2)．将n＝1代入检验有a1＝2＋ln1＝2与已知符合，故an＝2＋lnn.(2)因为an＋1＝3an＋3n＋1，所以n＋1＝n＋1，33an＋1anan＋1ana11所以n＋1－n＝1，又＝，3333an1所以数列n是以为首项，1为公差的等差数列．33an12所以n＝＋(n－1)＝n－，333所以an＝n·3－2·3数列的性质nn－1.]。
第五章 第一节 数列的概念与简单表示法1
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奇数项为2－1，偶数项为2＋1， 2＋－1n 所以an＝(－1) · n .
n
1 －n n为正奇数， 也可写成an＝ 3 n为正偶数. n
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[冲关锦囊] 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每 一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为 一些常见数列的通项公式来求．
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2 3 4 5 1．(教材习题改编)数列1，3，5，7，9„的一个通项公式是 A．an＝ n 2n＋1 B．an＝ n 2n－1
(
)
n C．an＝ 2n－3
n D．an＝ 2n＋3
答案： B
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2．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋1，则这个数列是 ( A．递增数列 C．常数列 答案： A B．递减数列 D．摆动数列 )
式的求法以及数列的性质．
2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一 问，难度不大.
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一、数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列，数列中
的每一个数叫做这个数列的 项 ．排在第一位的数称为
这个数列的第1项(通常也叫做 首项 )．
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二、数列的分类 分类原则 按项数分 类 类型 有穷数列 满足条件 项数 有限
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[精析考题] [例 2] (2011· 四川高考)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1， ( )
an＋1＝3Sn(n≥1)，则 a6＝ A．3×44 C．45 B．3×44＋1 D．45＋1
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[自主解答]
a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48
无穷数列
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
第5篇 第1讲 数列的概念与简单表示法
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
2．三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数 列、摆动数列，如(4)． 二是数列的通项公式不唯一，如 (3) 中还可以表示为 an ＝
1，n为奇数， 0，n为偶数.
三是已知 Sn 求 an 时，一定要验证 n＝1 的特殊情形，如(5)．
所以an＝3×2n－1－2.
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规律方法
给出 Sn 与 an 的递推关系，求 an ，常用思路是：一
是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项 公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系， 再求an.
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培养解题能力
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解析 (1)由题意得， 当 n≥2 时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„ n－12＋n nn＋1 ＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋„＋n)＝2＋ ＝ 2 ＋ 2 1. 1×1＋1 又 a1＝2＝ ＋1，符合上式， 2 nn＋1 因此 an＝ ＋1. 2
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考点二 由an与Sn的关系求通项an
【例 2】
(2012· 广东卷 ) 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，数列
{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式．
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an＋1＋1 (2)an＋1＝3an＋2，即 an＋1＋1＝3(an＋1)，即 ＝3， an＋1 a2＋1 a3＋1 a4＋1 an＋1＋1 法一 ＝3， ＝3， ＝3，„， ＝3.将这些 a1＋1 a2＋1 a3＋1 an＋1 an＋1＋1 n 等式两边分别相乘得 ＝3 . a1＋1 an＋1＋1 n 因为 a1＝1，所以 ＝3 ，即 an＋1＝2×3n－1(n≥1)，所以 1＋1 an＝2×3n 1－1(n≥2)，又 a1＝1 也满足上式，故 an＝2×3n 1－
高考数学一轮复习 第5篇 第1节 数列的概念与简单表示法课件 文 新人教版(1)
n
1 2 3 4
(3)奇数项为负,偶数项为正,故第 n 项的符号为(-1) ;各 项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,…;而各项绝对值的 分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1,偶数项为 2+1, 所以 an=(-1) ·
n
n
2 1 n
2
3
4
反思归纳
时主要观察:
(1)已知数列的前几项,归纳通项公式
①分式中分子、分母的特征,②相邻项的变化特征, ③拆项后的特征,④各项符号特征,并对此进行归 纳、猜想. (2)对于正、 负符号的变化,用(-1) 或(-1) 来调整.
n n+1
即时突破 1 根据数列的前几项,写出数列的一个通
项公式:
D )
3.(2013 广东六校高三第二次质检)数列{an}满足
1 2an ,0 an , 3 2 an+1= 若 a1= ,则数列的第 2013 项为( 5 2a 1, 1 a 1, n n 2
C
)
1 (A) 5
2 (B) 5
3 (C) 5
4 (D) 5
n
,也可写为
1 , n为正奇数， n an= 3 , n为正偶数. n
9 99 999 9999 (4)将数列各项改写为: , , , ,…,分母 3 3 3 3
都是 3,而分子分别是 10-1,10 -1,10 -1,10 -1,….
1 所以 an= (10n-1). 3
5 n 1 , ∴an= n 1 2 n 2 . 5 n 1 答案: n 1 2 n 2
高考一轮第五章 第一节 数列的概念与简单表示法PPT课件
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一、数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．
二、数列的通项公式 如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式
an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
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三、数列与函数的内在联系 从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义
域为正整数N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数， 即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 ，而 数列的 通项公式也就是相应函数的解析式．
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4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是an＝22n·3－n－51nn为为偶奇数数， 则a4·a3＝________.
解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：54
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5．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋nq，且a2＝32，a4＝32，则
a8＝________.
A．第7项
B．第8项
C．第9项
D．第10项
解析：易于观察前5项可写成 4， 7， 10， 13， 16，故而 可归纳通项公式为 3n＋1，故令 3n＋1＝2 7，∴n＝9.
答案： C
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2．写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，…..
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解：(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1. (2) 每 一 项 的 分 子 比 分 母 少 1 ， 而 分 母 组 成 数 列 21,22,23,24，…，所以 an＝2n2－n 1. (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n； 各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，…；而各项绝对值的 分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即
高三一轮复习第五章 第一节数列的概念与简单表示法
课时作业1．在数列{a n }中，a n ＝n 2－9n －100，则最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项【解析】 ∵a n ＝(n －92)2－814－100，∴n ＝4或5时，a n 最小．【答案】 D2．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋)【解析】 观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D ．【答案】 D3．(2022·福建福州质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 019＝( )A ．1B ．0C ．2 019D ．－2 019【解析】 ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 019＝a 1＝1．【答案】 A4．(2022·大庆二模)已知数列{a n }满足：a n ＝{（3－a ）n －3，n ≤7a n －6，n >7(n ∈N *)，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3)C ．(1，3)D ．(2，3)【解析】 根据题意，a n＝f(n)＝{（3－a）n－3，n≤7a n－6，n>7，n∈N*，要使{a n}是递增数列，必有{3－a>0a>1（3－a）×7－3<a8－6，据此有：{a<3a>1a>2或a<－9，综上可得2<a<3．【答案】 D5．(2022·黄冈模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2－2n＋2，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝2n－3 B．a n＝2n＋3C．a n＝{1，n＝12n－3，n≥2D．a n＝{1，n＝12n＋3，n≥2【解析】 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－3，由于a1的值不适合上式，故选C．【答案】 C6．(多选)(2022·常州期末)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝1＋a n1－a n，使a n＝－12的n可以是( )A．2 019 B．2 021C．2 022 D．2 023【解析】 由题意可知，a1＝2，a2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a5＝2，a6＝－3，a7＝－12，a8＝13，可得数列{a n}的周期为4，所以a2 019＝a3＝－12，a2 021＝a1＝2，a2 022＝a2＝－3，a2 023＝a3＝－12，所以使a n＝－12的n可以是2 019，2 023，故答案选AD．【答案】 AD7．(2022·石家庄二模)在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝7，a n＋2等于a n a n＋1(n∈N*)的个位数，则a2 015＝( )A．8 B．6C．4 D．2【解析】 由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8．所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2．【答案】 D8．(多选)已知数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，则下列各数是{a n}的项的有( )A．－2 B．2 3C．32D．3【解析】 ∵数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，∴a2＝11－(－12)＝23，a3＝11－a2＝3，a4＝11－a3＝－12＝a1，∴数列{a n}是周期为3的数列，且前3项为－12，23，3，故选BD．【答案】 BD9．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A．数列{n＋1n}的第k项为1＋1kB．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝2n－1D．数列{a n}的通项公式为a n＝nn＋1，n∈N*，则数列{a n}是递增数列【解析】 对于A，数列{n＋1n}的第k项为1＋1k，A正确；对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{b n}，则其通项公式为b n＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝b n＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；对于D，a n＝nn＋1＝1－1n＋1，则a n＋1－a n＝1n＋1－1n＋2＝1（n＋1）（n＋2）>0，因此数列{a n}是递增数列，D正确．故选ABD．【答案】 ABD10．(2022·太原二模)已知数列{a n}满足a1＝1，a n－a n＋1＝na n a n＋1(n∈N*)，则a n＝________．【解析】 由已知得1a n＋1－1a n＝n，∴1a n－1a n－1＝n－1，1a n－1－1a n－2＝n－2，…，1a2－1a1＝1，∴1a n －1a1＝n （n －1）2，∴1an ＝n 2－n ＋22，∴a n ＝2n 2－n ＋2．【答案】 2n 2－n ＋211．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．【解析】 由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116． 【答案】 611612．数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5，n ∈N *，则a n ＝________．【解析】 在12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5中，用n －1代换n 得12a 1＋122a 2＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5 (n ≥2)，两式相减得12n a n ＝2，a n ＝2n ＋1，又12a 1＝7，即a 1＝14，故a n＝{14，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.【答案】 {14，n ＝1，2n ＋1，n ≥213．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ； (3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n)．【解】 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1．(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1an ＝n ＋1．∴a nan －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1，…a 3a 2＝3，a 2a1＝2，a 1＝1． 累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n! 故a n ＝n!(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n )，∴a n ＋1－a n ＝ln (1＋1n )＝ln n ＋1n．∴a n －a n －1＝ln nn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…a 2－a 1＝ln 21，∴a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n ．又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2．14．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【解】 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )， 又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *． (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2[12·(32)n －2＋a －3]，当n≥2时，a n＋1≥a n 12·(32)n－2＋a－3≥0 a≥－9．又a2＝a1＋3＞a1．综上，所求a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。
2022数学第五章数列第一节数列的概念与简单表示法教师文档教案文
第一节数列的概念与简单表示法授课提示：对应学生用书第88页［基础梳理］1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列｛a n｝的第n项a n通项公式数列{a n｝的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f（n）表示,这个公式叫作数列的通项公式前n项和数列{a n｝中,S n＝a1＋a2＋…＋a n叫作数列的前n项和2。
数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图像法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和a n＋1＝f(a n）或a1,a2和a n＋1＝f（a n，a n－1)等表示数列的方法3.a n与S n的关系若数列{a n｝的前n项和为S n，则a n＝错误!4．数列的分类1．与函数的关系：数列是一种特殊的函数，定义域为N＋或其有限子集数列的图像是一群孤立的点．2．周期性：若a n＋k＝a n(n∈N＋，k为非零正整数)，则{a n}为周期数列，k为｛a n｝的一个周期．[四基自测］1．（基础点：数列的项)已知数列｛a n｝的通项公式为a n＝9＋12n，则在下列各数中,不是｛a n}的项的是()A．21B．33C．152 D．153答案：C2．（基础点:数列递推关系）在数列{a n｝中，a1＝1，a n＝1＋错误!（n≥2）,则a4＝（）A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!答案：B3．（基础点：数列的前n项和）设S n为数列{a n}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则S5为________．答案：54．（易错点：数列的通项公式)数列1,错误!，错误!，错误!，错误!,…的一个通项公式a n＝________．答案：错误!授课提示：对应学生用书第89页考点一数列的项与通项公式挖掘1判断通项公式/ 自主练透［例1］（1）下列公式可作为数列{a n｝:1，2,1，2，1，2，…，的通项公式的是（）A．a n＝1 B．a n＝错误!C．a n＝2－错误!D．a n＝错误![解析]由a n＝2－错误!可得a1＝1,a2＝2，a3＝1，a4＝2，…。
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2．数列中最大项和最小项的求法 求数列中最大(小)项均须借助数列的通项公式，求最大项的方
an≥an－1； 法：设an为最大项，则有 an≥an＋1 an≤an－1， 为最小项，则有 an≤an＋1.
；求最小项的方法：设an
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[精析考题] [例1] (2012· 天津南开中学月考)下列可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2 ( －1n＋1 B ． an ＝ 2 －1n－1＋3 D．an＝ 2 )
式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法．
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an＋1 2．对于形如“ a ＝g(n)”型的递推关系式求通项公式，只要g(n) n 可求积，便可利用累积或迭代的方法． 3．对于形如“an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)”型递推关系求通项公 式，可用迭代法或构造等比数列法．
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[考题范例] (2011· 江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm ＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝ A．1 C．10 B．9 D．55 ( )
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6．分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N＋)； n (2)a1＝1，an＝ a － (n≥2，n∈N＋)． n－ 1 n 1
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[冲关锦囊] 由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般 常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等． 1．对于形如“an＋1＝an＋f(n)”型的递推关系式求通项公
(
)
n C．an＝ 2n－3
n D．an＝ 2n ＋ 3
答案： B
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3．在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，
则a6的值是 A．－3 C．－5 B．－11 D．19 ( )
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答案： A
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3n－1n为偶数， 2· 4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是an＝ 2n－5n为奇数
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[冲关锦囊] (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每 一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为 一些常见数列的通项公式来求．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归
纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳 得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符 号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
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(3)观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的， 观察出项与n之间的关系、规律，利用我们熟知的一 些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联 想、转换而使问题得到解决一
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[精析考题] [例2] (2011· 四川高考)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝ ( B．3×44＋1 D．45＋1 )
则 a4 · a3＝________.
解析：a4· a3＝2×33· (2×3－5)＝54. 答案：54
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q 3 3 5．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋n，且a2＝2，a4＝2，则 a8＝________.
q 3 2 p ＋ 2＝2， 解析：由已知得 4p＋q＝3， 4 2 1 2 9 则an＝4n＋n，∴a8＝4.
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[精析考题] [例3] (2012· 郑州质检)已知数列{an}满足a1＝33， an＋1－an n ＝2， ( B．10.6 D．9.6 )
an 则 n 的最小值为 A．9.5 C．10.5
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[答案] C
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
1 5．(2012· 沈阳模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1－ nn－1 (n≥2)，则a16＝________.
1 p＝ ， 4 解得 q＝2.
9 答案：4
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1．求通项公式的技巧
根据数列的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观察、 归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各项相同 的部分(不变量)，再找出不同的部分(可变量)与序号之间 的关系，并用n表示出来．不是所有的数列都有通项公式，
一个数列的通项公式在形式上可以不唯一．
域为正整数N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，
即当自变量从小到大依次取值时对应的一列 函数值 ，而 数列的 通项公式 也就是相应函数的解析式．
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四、数列的分类 分类原则 按项数分 类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项与项 间的 大小关系 分类 摆动数列 递减数列 常数列 满足条件 项数 有限 项数 无限 an＋1 > an an＋1 < an an＋1＝an 其中n∈ N＋
一、数 列
华中师范大学 数统学院 余丽欢
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一、数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．
二、数列的通项公式
如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式 an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
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三、数列与函数的内在联系 从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义
„的通项公式的是 A．an＝1 nπ C．an＝2－|sin 2 |
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[答案]
C
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．已知数列2， 7， 10， 13，4，„，则2 7是该数列的 ( A．第7项 C．第9项 B．第8项 D．第10项 )
答案： C
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2．写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2)2，4，8，16，32，„； 3 1 3 1 3 (3)－1，2，－3，4，－5，6，„； (4)3,33,333,3 333，„..
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[快速得分] ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1. 令m＝1得Sn＋1＝Sn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝1.
即当n≥1时，an＋1＝1， ∴a10＝1. 答案： A
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[高手点拨]
本题欲求a10，则要先求an，而题目提供的是Sn的关 系式，联想到an与Sn的关系，则只要求出Sn即可．本题 提供关系式表面上显得复杂，但考虑到我们需要的，只 要令m＝1，问题便可轻松解决．
从第二项起，有些项大
于它的前一项，有些项 小于它的前一项 返回
五、数列的递推公式(选学)
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或 某一项)开始的 任一项an 与它的 前一项an－1 (或前几项) 间 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式．
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2 3 4 5 1．(教材习题改编)数列1，3，5，7，9„的一个通项公式是 A．an＝ n 2n＋1 B．an＝ n 2n－1
(
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答案：D
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4．已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝4n＋b.
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当b≠－1时，a1＝4＋b不适合an＝3· 4n 1，
－
4＋b，n＝1， ∴an＝ n3· 4n－1；
4＋b，n＝1， 当b≠－1时，an＝ n－1 4 ，n≥2. 3·
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[冲关锦囊]
数列的通项an与前n项和Sn的关系是：
S1，n＝1， an＝ Sn－Sn－1，n≥2.
此公式经常使用，应引起重视．当n＝1
时，S1若适合an＝Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通 项an中；当n＝1时，S1若不适合an＝Sn－Sn－1，则用分段函数 的形式表示.
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解析：由an＝an－1－
1 (n≥2)． nn－1
1 1 得an＝an－1＋n－ (n≥2)． n－1 1 1 1 1 1 ∴a2＝a1＋2－1，a3＝a2＋3－2，a4＝a3＋4－3，„， 1 1 1 1 a15＝a14＋15－14，a16＝a15＋16－15. 1 1 相加得a16＝a1＋16－1＝16. 1 答案：16
3Sn(n≥1)，则a6＝ A．3×44 C．45
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[自主解答]
a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48
＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44.
[答案]
A
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012· 聊城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ 1 a5＝ 5 A.6 1 C.30 6 B. 5 D．30 n ，则 n＋1 )