球内切外接问题
球的内切和外接问题
接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，
即内切球的半径为
h 4
(h 为正四面体的高)，且外接球的
半径 34h，从而可以通过截面图中RtOBE建立棱长与半径之
间的关系。
(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”．
(3)正V多四面 体S表内切R球内半切 径 1是3 高的
3 3
, 从而SO1
SA2 AO12
1 1 3R2
2 3
R
3 3
，解得R
6, 4
V球
4 R3 3
4 3
6 4
3
6 . 8
几何体的内切球
正四面体的棱长为a，则其内切球和外 接球的半径是多少？
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
正方体的内切球直径等于棱长。
B1
S甲 4 R12 =
D A
D1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
设棱长为1
球与正方体棱相切：球的直径等 于正方形的面对角线。
球的内切与外接问题
线长的一半
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15
.
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16
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一球过 正方体的各顶点,求这三个球的体积 之比.
1:2 2 :3 3
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17
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同
一球面上，则该球的表面积为
等的三棱锥可补成长（正）方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
SA=BC SC=AB SB=AC
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33
小结2
求棱锥外接球半径的方法： （1）补形法（适用特殊棱锥） （2）勾股定理法 （通法）
关键是找球心，画出截面图，构造与R有关 的直角三角形。
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34
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 3 、 5 、1 ，
.
R3 3, 2
解：S表
4
(3 3)2 2
27
变式题：一个正方体的各顶点均在同
一球的球面上，若该正方体的表面积
为24，则该球的体积为
.
4 3
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18
§2长方体与球
长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长分 、别 宽a为 、 、 b、 高 c，则
l a2b2c2 2R
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r 1h 4
h 6a 3
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r 6a 12
26
精选ppt课件
27
r 6a 12
R＝ 2 a 4
R:r=3:1
R＝ 6 a 4
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
立体几何中球的内切和外接问题完美版
性质
内切球的球心位于旋转体 的轴线上，且球的半径等 于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内 切球常用于研究旋转体的 体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋 转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体 外侧，且球的半径等于旋 转体轴线到旋转体外侧的 垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外 接球常用于研究旋转体的 空间位置和关系。
立体几何中球的内 切和外接问题完美 版
目 录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面 体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的 每个面为$S_i$，内切球的半径
03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切 。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切 定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与 多面体的每个顶点都相切 ，且外接球的直径等于多 面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、 物理和工程领域中，外接 球的概念被广泛应用于研 究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何外接球和内切球十大题型
立体几何中的外接球和内切球是常见的题型，下面我将列举十个常见的题型并进行解答。
1. 求立方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于立方体的对角线的一半，内切球的半径等于立方体的边长的一半。
2. 求正方体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正方体的对角线的一半，内切球的半径等于正方体的边长的一半。
3. 求圆柱体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆柱体的底面半径，内切球的半径等于圆柱体的高的一半。
4. 求圆锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于圆锥的底面半径，内切球的半径等于圆锥的高的一半。
5. 求球的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于球的半径的根号3倍，内切球的半径等于球的半径的一半。
6. 求棱锥的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱锥的底面边长的一半，内切球的半径等于棱锥的高的一半。
7. 求棱柱的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于棱柱的底面边长的一半，内切球的半径等于棱柱的高的一半。
8. 求四面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于四面体的外接圆的半径，内切球的半径等
于四面体的内切圆的半径。
9. 求正六面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正六面体的对角线的一半，内切球的半径等于正六面体的边长的一半。
10. 求正八面体的外接球和内切球的半径。
外接球的半径等于正八面体的对角线的一半，内切球的半径等于正八面体的边长的一半。
以上是关于立体几何中外接球和内切球的十个常见题型及其解答。
希望能对你有所帮助。
与球有关的内切、外接问题
(2)三棱锥A－BCD，侧棱长为2 5 ，底面是边长为2 3 的等边三角形， 125
则该三棱锥外接球的体积为___6__π__.
解析 如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面 BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上， O′为外接球球心， 令 O′A＝O′D＝R，OD＝23DE＝23×2 3× 23＝2， AD＝2 5，
(2) 三 棱 锥 A － BCD 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ， 且 侧 棱 AB 垂 直 于 底 面
BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝
4 3
，则该三棱锥A－BCD外接
球的体积为__4___3_π__.
解析 因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径. 设外接球的半径为R. ∵VA－BCD＝13×12×BC×CD×AB＝16×2×CD×2＝43， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝2 3，∴R＝ 3， 外接球体积为 V＝43πR3＝4 3π.
B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为___3__.
解析 如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆， 外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中，由 SA＝SC＝ 2，AC＝2，
得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴A2C＝1 是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故 V 球＝43π.
∴AO＝ AD2－OD2＝4，∴OO′＝4－R，
又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得 R＝52，∴V 球＝43πR3＝1625π.
反思 感悟
关于球的内切外接问题
一、直接法1.求正方体的外接球的有关问题例1.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为答案：27π变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为.2.求长方体的外接球的有关问题例2.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则此球的表面积为.答案：14π变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π球与棱柱的组合体问题例1.甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为（）A. 1:2:3B.C.D.答案：选择A二、构造法 1. 构造正方体例4.，则其外接球的表面积是答案：9π变式题（浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA AB BC ===O 的体积等于答案：92π例5.求棱长为a 的正四面体P ABC -的外接球的表面积。
变式题：1.一个四面体的所有棱长都为（ ）A. 3πB. 4πC.D. 6π 答案：选A2.在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，60oDAB ∠=，E 为AB 的中点，将ADE 与BEC分布沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ）A.B. C. D. 答案：C2. 构造长方体例.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，AB BCD ⊥平面，BC DC ⊥，AB=6，AC=AD=8，则B 、C 两点间的球面距离是 答案：43π三、确定球心位置法在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D--，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A. 12512π B.1259π C.1256π D.1253π答案：C四、公式法一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱术的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为答案：五、构造直角三角形例13.求棱长为1的正四面体外接球的体积.答案：六、寻求轴截面圆半径法例14.正四棱锥S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 ，点S,A,B,C,D 都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质， 可得1OO ABCD ⊥平面,又1SO ABCD ⊥平面∴球心O 必在 SO 所在的直线上. ∴ASO 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC 中，由SA SC ==2AC =得222SA SC AC +=.ASC ∴是以AC 为斜边的RT12AC ∴=是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 (h 为正四面体的高)，且外接球的半径 ，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。
处理球的“内切”“外接”问题
处理球的“内切”“外接”问题一、正多面体（即各个面都是全等的正多边形）的内切、外接球球心一定重合。
例： 1.正六面体（即正方体）：球心在体对角线的中点。
设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图1为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
2.正四面体（四个面全等的正三棱锥）设高为h ，内切球半径为r,外接球半径为R 。
内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为r=4h ，R= 43h ，R=3r. 例.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：（方法一）运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．图1图2图3在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= （方法二）正四面体四个面全等，是一种侧棱与底面边长都相等的特殊正三棱锥。
可以用补形法补成正方体，取正方体的六条面对角线为正四面体棱长， 再由正方体外接球球心在体对角线上来求出半径。
二、构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题1、正棱柱的外接球，底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
(直棱柱例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r=，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.2、长方体体对角线中点，直径等于体对角线长。
球的内切、外接问题
P
球的表面积．
解1：作出截面图如图示. 由图可知，
3
AD
a,
2
2
3
AO AD
a.
3
3
a
6
2
2
∴PO PA AO
a.
3
6
∴OO PO PO
a R.
3
P
a
R
R
A
A
R O•
O•
•
O′
解得R
时，球内切于圆锥，如图所示，
O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，
设球O的半径为R，底面圆E的半径为r，
因为圆锥侧面积为2π，
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
例8 正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，若该正
四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2 6，求这个球
P
的表面积. 36π
PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
2 6
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
•
O′
R
R
A
O
O•
•
O′
O′
•
O
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值
d= |h －R |
P
3. R 2 r 2 (h R ) 2
4
9
O
1
， 解得r= 3
轴截面法
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则α截球得大圆，截正四棱锥得 △PAC，
且 △PAC 内接于圆 O，如图所示 P ∵ PA = PC = a AC 2a ∴ △ PAC 是等腰 Rt △ 即 AC 为球的直径
A
O
C
2 球半径R a 2 2 3 V球 a 3
2
9 66 3
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A 1 O B O1 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OO1 = 1 －r
3 ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E F
r 1 r r 6 2 E 2 3
E 在 Rt △ OO E 中 OO 1 1
O1
62
2
S球 8 5 2 6
例3、求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外 接球的表面积
6 a 3
过侧棱 PA 和球心 O 作截面α 则α截球得大圆，截正四面体得△PAD P
3 a 2
如图所示, 连 AO 延长交 PD 于 G
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
A
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D G 6 O aR R 6 3 R a D O1 3 3 4 a a 3 2 2 6 S 表 a 3 E 2 a
6
练习2、求棱长为 a 的正四棱锥的外接球的体积。
过正四棱锥的相对侧棱作截面α
A. 3 6
A
27 B. 2
C
D. 9
设正方体棱长为 a，
球半径为 R
O
A1
a3 3 3 则 3a 2 R C1 3 3 9 4 3 a V 球 R 2 3 2
变题：长方体的共顶点的三个侧面积分别 为 3 、 5 、 15 ，则它的外接球的表面积
9 为 __________
五分钟练习： 1、若球的大圆面积扩大为原来的 2 倍，则
2 2 1 倍； 球的体积比原来增加了 ___________
2、两个半径为 1 的铁球，熔化后成铸成一
3
2 。 个球，这个大球的半径为 _________
思考：体积为 3 3 的正方体内接于球，则
球的体积为 ( C )
9 C. 2
过正方体的与半球底面垂直的对角面作截面α，
则α截半球面得半圆，截正方体得一矩形，且
矩形内接于半圆，如图所示。 A1
1 C1 CC1 6 OC 2 AC 3 球半径R OC1 3
O C
A
故S表 27，V 球 18
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A 1 O B O1 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ) 在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
BC 2 6 O1 E 2 且AE 3
E S 3 1 2 6 3 3 2 6 全 2 4
2ຫໍສະໝຸດ 3 2A设长方体的长宽高分别为a、b、c
O
A1
ab 3 a 3 C 则有 bc 5 b 1 ca 15 c 5 1 3 球半径R A1C 2 2 C1 S 球 4R 2 9
例1、半球内有一个内接正方体，正方体的
一个面在半球的底面圆内，若正方体的一 边长为 6 ，求半球的表面积和体积。
2
S球 8 5 2 6
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全 面积和球的表面积。
A 1 O B 在 Rt △ AO1E 中
θ
3 6 sin cos 3 3 3 1 cos tan 3 2 2 sin