球的内切和外接问题
立体几何中球的内切和外接问题完美版
性质
内切球的球心位于旋转体 的轴线上，且球的半径等 于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内 切球常用于研究旋转体的 体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋 转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体 外侧，且球的半径等于旋 转体轴线到旋转体外侧的 垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外 接球常用于研究旋转体的 空间位置和关系。
立体几何中球的内 切和外接问题完美 版
目 录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面 体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的 每个面为$S_i$，内切球的半径
03
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球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切 。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切 定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与 多面体的每个顶点都相切 ，且外接球的直径等于多 面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、 物理和工程领域中，外接 球的概念被广泛应用于研 究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
2 3 A． 3
B． 3 3
3 3 C． 2
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦 （我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦） ， P 为正方体表面上 的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM PN 的取值范围是 ．
，∴ ， ，∴
，
， .
∴外接球的半径为
，∴球的表面积等于
解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小 圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利 c 用正弦定理得到小圆半径 sin C 2r ，从而解决问题。
5
A．
正棱锥的外接球的球心是在其高上
,侧棱 PA 与底面 ）
例 5 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC=
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2， SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
B.
C.1
D.
S
O
，即 .
C M B
A
7
，
解： 因为 所以 在 且
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
D
1 r S全 3 2 2 3 r 3
E
r
6 2 S球 85 2 6
1 1 V多面体 S 全 r V S全 内切球 多 面 体3
3
r内 切 球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截 面的可能图形是（ ）
考点三 4
组合体的表面积与体积
与球有关的内切、外接问题
(2)三棱锥A－BCD，侧棱长为2 5 ，底面是边长为2 3 的等边三角形， 125
则该三棱锥外接球的体积为___6__π__.
解析 如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面 BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上， O′为外接球球心， 令 O′A＝O′D＝R，OD＝23DE＝23×2 3× 23＝2， AD＝2 5，
(2) 三 棱 锥 A － BCD 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ， 且 侧 棱 AB 垂 直 于 底 面
BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝
4 3
，则该三棱锥A－BCD外接
球的体积为__4___3_π__.
解析 因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径. 设外接球的半径为R. ∵VA－BCD＝13×12×BC×CD×AB＝16×2×CD×2＝43， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝2 3，∴R＝ 3， 外接球体积为 V＝43πR3＝4 3π.
B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为___3__.
解析 如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆， 外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中，由 SA＝SC＝ 2，AC＝2，
得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴A2C＝1 是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故 V 球＝43π.
∴AO＝ AD2－OD2＝4，∴OO′＝4－R，
又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得 R＝52，∴V 球＝43πR3＝1625π.
反思 感悟
球的内切、外接问题
6a
内切球的半径为 12
新课导入
• 例2.已知△ABC为等边三角形，边长为a.⊙O为
△ABC的外接圆，求⊙O的半径.
解：设⊙O的半径为R，连结OA,OC，
过A做三角形的高AD，点O在AD上.
A
3 AD= a OA=OB=R
2
OD=AD-OA= 3 a-R
2
O
在RtODC中OB2 =OD2 +DC2
S1S2 S2 )
球（半径为r）
S=4 r2
V= 4 r3
3
课前检测
• 二、做得对 • 1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半
径等于（ C）
• A. 1 B.2 C.3 D.4 • 2．火星的半径约是地球的一半，地球表面积是
火星表面积的_4__倍． • 3．若一个球的体积为4 3 ，则它的表面积为
3 32
3
PE= PA2 -AE2
O
PE= 2 3 3
OA=R OE=PE-OP= 2 3 -R
3
A
在RtOAE中OA2 =OE2 +AE2
E
D
F
B
即R2 =（ 2 3 -R）2 + 2
3
3
R= 3 S=4 R2 =3
2
课堂小结
解决与球有关的内切与外接问题的
关键是：
1、将多面体分割成多个三棱锥 2、通过寻找恰当的过球心的截面,把立体问 题转化为平面问题,通过解三角形求出球的 半径R.
1_2_π___. • 4．已知球的半径为 10 cm，若它的一个截面圆
的面积是36π cm2，则球心与截面圆周圆心的距 离是__8_c_m__.
球的内切外切解题技巧
球的“内切”、“外切”的解题技巧【方法技巧】类型一 球的内切问题 使用情景：有关球的内切问题解题模板：第一步 首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面； 第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 第三步 得出结论. 类型二 球的外切问题 使用情景：有关球的外切问题解题模板：第一步 首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面； 第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 第三步 得出结论.【应用举例】【例题1】在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为3的圆柱． （1）求：圆柱表面积的最大值；（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．【答案】（1）π）（312+；（2）π7=S ，677π=V ．【解析】 试题分析：（1）我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案；（2）求出圆柱的外接球半径，即可求该圆柱外接球的表面积和体积．试题解析：（1）当圆柱内接与圆锥时，圆柱的表面积最大．设此时，圆柱的底面R 半径为r ，高为h′．圆锥的高h 2242-3312h ．∴2r 23323，∴r ＝1．∴S 表面积＝2S底＋S 侧＝2πr 23＝2（13）π．（2）设圆柱的外接球半径为R ，72R =，7S π=， 76V π=考点：1、球内接多面体；2、球的表面积和体积．【难度】较易【例题2】求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．【答案】964∶∶∶∶锥柱球=V V V ． 【解析】试题分析：设球的半径为R ，则外切圆柱的半径为R ，高为2R ；外切等边圆锥底面半径为R 3,高为3R ， 所以334R V π=球 ,32R v π=柱, 33R V π=锥 9:6:4=∴锥柱球：：V V V考点：本题考查空间几何体的体积。
点评：本题的关键是由球的半径求出外切圆柱、外切等边圆锥的半径和高。
考查了空间想象力。
首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系． 【难度】一般【例题3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 【答案】3622+． 【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高362)332(222=⋅-=h ．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622+． 【点评】关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2． 考点：空间几何体的球体积和表面积. 【较易】【例题4】正三棱锥ABC P -的侧棱长为l ，两侧棱的夹角为α2，求它的外接球的体积．【答案】322334sin 2(34sin )l παα--．【解析】解：如图，作PD 底面ABC 于D ，则D 为正△ABC 的中心。
微专题17 球的切、接、截问题
微专题17球的切、接、截问题1.球的切接问题(1)长方体的外接球①球心：体对角线的交点；②半径：r＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高).(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(a为正方体的棱长)①外接球：球心是正方体中心，半径r＝32a，直径等于体对角线长；②内切球：球心是正方体中心，半径r＝a2，直径等于正方体棱长；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心，半径r＝22a，直径等于面对角线长.(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分，a为正四面体的棱长)①外接球：球心是正四面体的中心，半径r＝64a；②内切球：球心是正四面体的中心，半径r＝6 12a.2.平面截球平面截球面得圆.截面圆的圆心与球心的连线与截面圆圆面垂直且R2＝d2＋r2(R为球半径，r为截面圆半径，d为球心到截面圆的距离).类型一外接球问题考向1墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝a2＋b2＋c2.常见的有以下三种类型：例1 已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A.86πB.46πC.26πD.6π答案D解析因为点E，F分别为P A，AB的中点，所以EF∥PB.因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面P AC，所以PB⊥平面P AC，所以PB⊥P A，PB⊥PC，因为P A＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以P A⊥PC，即P A，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示.因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝62，所以球O的体积V＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎪⎫623＝6π，故选D.考向2对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽高分别为a，b，c)，即R2＝18(x2＋y2＋z2)，如图.例2 在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为________.答案29π2解析构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长方体的长宽高分别为a，b，c，则a2＋b2＝9，b2＋c2＝4，c2＋a2＝16，所以2(a2＋b2＋c2)＝9＋4＋16＝29，即a2＋b2＋c2＝4R2＝292，则外接球的表面积为S＝4πR2＝29π2.考向3汉堡模型汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，由对称性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2的连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝h2，所以R2＝r2＋h24.例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为()A.6 3B.3 3C.3 2D.3答案B解析如图，设三棱柱上、下底面中心分别为O1，O2，则O1O2的中点为O，设球O的半径为R，则OA＝R，设AB＝BC＝AC＝a，AA1＝h，则OO 2＝12h ，O 2A ＝23×32AB ＝33a .在Rt △OO 2A 中，R 2＝OA 2＝OO 22＋O 2A 2＝14h 2＋13a 2≥2×12h ×33a ＝33ah ， 当且仅当h ＝233a 时，等号成立， 所以S 球＝4πR 2≥4π×33ah ， 所以43π3ah ＝4π， 所以ah ＝3，所以该三棱柱的侧面积为3ah ＝3 3. 考向4 垂面模型垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O 的位置是△CBD 的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径CO 1＝r ，OO 1＝h2，则R ＝r 2＋h 24.例4 (2022·广州模拟)已知四棱锥S －ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD 且满足AB ＝2AD ＝2DC ＝2，且∠DAB ＝π3，SC ＝2，则球O 的表面积是( ) A.5π B.4π C.3π D.2π答案 A解析 依题意，得AB ＝2AD ＝2，∠DAB ＝π3，由余弦定理可得BD ＝3，则AD 2＋DB 2＝AB 2，则∠ADB ＝π2. 又四边形ABCD 是等腰梯形，故四边形ABCD 的外接圆直径为AB ，半径r ＝AB2＝1，设AB 的中点为O 1，球的半径为R ，因为SD ⊥平面ABCD ， 所以SD ＝SC 2－CD 2＝1，R 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫SD 22＝54，则S ＝4πR 2＝5π. 考向5 切瓜模型切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥模型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，设三棱锥的高为h ，外接球的半径为R ，球心为O ，△BCD 的外心为O 1，O 1到BC 的距离为d ，O 与O 1的距离为m ，△BCD 和△ABC 外接圆的半径分别为r 1，r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝r 21＋m 2，R 2＝d 2＋（h －m ）2，解得R ，可得R ＝r 21＋r 22－l 24(l 为两个面的交线段长).例5 (2022·济宁模拟)在边长为6的菱形ABCD 中，∠A ＝π3，现将△ABD 沿BD 折起，当三棱锥A－BCD的体积最大时，三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________.答案60π解析边长为6的菱形ABCD，在折叠的过程中，当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥的体积最大；由于AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠C＝∠A＝π3.所以△ABD和△CBD均为正三角形，设△ABD和△CBD的外接圆半径为r，则2r＝BDsin C，所以r＝2 3.△ABD和△CBD的交线段为BD，且BD＝6.所以三棱锥A－BCD的外接球的半径R＝（23）2＋（23）2－624＝15.故S球＝4·π(15)2＝60π.训练1 (1)(2022·青岛一模)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.5πB.πC.113π D.73π(2)在三棱锥P－ABC中，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，且P A＝4，底面△ABC的外接圆的半径为3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为________.答案(1)D(2)52π解析(1)由三棱柱所有棱的长a＝1，可知底面为正三角形，底面三角形的外接圆直径2r＝1sin 60°＝233，所以r＝33，设外接球的半径为R ，则有R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝13＋14＝712，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝73π，故选D.(2)因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面ABC ， 所以P A ⊥平面ABC .设三棱锥P －ABC 的外接球的半径为R ，结合底面△ABC 的外接圆的半径r ＝3， 可得R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A 22＋r 2＝22＋33＝13，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为S 表＝4πR 2＝52π. 类型二 内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －P AB ＋V O －P AC ＋ V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13S △ABC ·r ＋13S △P AB ·r ＋13S △P AC ·r ＋13S PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △P AB ＋S △P AC ＋S △PBC )r ； 第三步：解出r ＝3V P －ABCS △ABC ＋S △P AB ＋S △P AC ＋S △PBC.例6 (1)(2022·成都石室中学三诊)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P －ABC 为鳖臑，P A ⊥平面ABC ，P A ＝BC ＝4，AB ＝3，AB ⊥BC ，若三棱锥P －ABC 有一个内切球O ，则球O 的体积为( ) A.9π2 B.9π4 C.9π16D.9π(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是( )A.16πB.24πC.36πD.64π答案 (1)C (2)A解析 (1)设球O 的半径为r ， 则三棱锥P －ABC 的体积V ＝13×12×3×4×4＝13×(12×3×4＋12×4×3＋12×5×4＋12×4×5)×r ， 解得r ＝34，所以球O 的体积V ＝43πr 3＝9π16，故选C.(2)由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，因为底面三角形的边长分别为6，8，10，所以底面三角形为直角三角形， r ＝AB ＋BC －AC 2＝6＋8－102＝2.又因为AA 1＝6，2r ＝4<6，所以该三棱柱内能放置的最大球半径为2，此时S 表面积＝4πr 2＝4π×22＝16π. 训练2 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________. 答案 23π解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面P AB ，如图所示，则△P AB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△P AB 中，P A ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点， 则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π.类型三 球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).例7 (2022·杭州质检)在正三棱锥P －ABC 中，Q 为BC 中点，P A ＝2，AB ＝2，过点Q 的平面截三棱锥P －ABC 的外接球所得截面面积的取值范围为________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2解析 因为正三棱锥P －ABC 中，PB ＝PC ＝P A ＝2，AC ＝BC ＝AB ＝2，所以PB 2＋P A 2＝AB 2，即PB ⊥P A ， 同理PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，因此正三棱锥P －ABC 可看作正方体的一角，如图.记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，点O 即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P －ABC 外接球的球心，记外接球半径为R ， 则R ＝122＋2＋2＝62，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过点Q 的平面截三棱锥P －ABC 的外接球所得截面的面积最大为S max ＝πR 2＝3π2.又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得OQ ＝12P A ＝22；由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过点Q 的截面时，截面圆半径最小为 r ＝R 2－OQ 2＝1，所以S min ＝πr 2＝π.因此，过Q 的平面截三棱锥P －ABC 的外接球所得截面面积的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2.训练3 (1)设球O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( ) A.3π B.4π C.5πD.6π(2)(2022·武汉质检)已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 与该正方体的各个面相切，则平面ACB 1截此球所得的截面的面积为________. 答案 (1)B (2)2π3解析 (1)当球O 到截面圆心连线与截面圆垂直时，截面圆的面积最小， 由题意，正方体棱的中点与O 的距离为22，球的半径为23， ∴最小截面圆的半径为12－8＝2，∴最小截面面积为π·22＝4π.(2)∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，球O 与该正方体的各个面相切，则球O 的半径为1，设E ，F ，G 分别为球O 与平面ABCD 、平面BB 1C 1C 、平面AA 1B 1B 的切点，则等边三角形EFG 为平面ACB 1截此球所得的截面圆的内接三角形， 由已知可得EF ＝EG ＝GF ＝2， ∴平面ACB 1截此球所得的截面圆的半径 r ＝22sin 60°＝63，∴截面的面积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝2π3.一、基本技能练1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4 C.π2 D.π4答案 B解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球的半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 2.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.12π B.24π C.36π D.144π答案 C解析由题意知球的直径2R＝（23）2＋（23）2＋（23）2＝6，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.故选C.3.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()A.3πB.4πC.33πD.6π答案A解析构造棱长为1的正方体，该四面体的外接球也是棱长为1的正方体的外接球，所以外接球半径R＝32，所以外接球表面积为S＝4πR2＝3π.4.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172 B.210C.132 D.310答案C解析将直三棱柱补为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球.∴体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R＝32＋42＋122＝13，则R＝132.5.(2022·南阳二模)已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的∠BDC＝π2，则过A，B，C，D四点的球的表面积为()A.3πB.4πC.5πD.6π答案 C解析 折后的几何体构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，1，3，所以2R ＝1＋1＋3＝5，球的表面积S ＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5π.6.(2022·青岛模拟)如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球O 的球面上，若十四面体的棱长为1，则球O 的表面积为( )A.2πB.4πC.6πD.8π答案 B解析 根据图形可知，该十四面体是由一个正方体切去八个角得到的， 如图所示，十四面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，建立空间直角坐标系，∵该十四面体的棱长为1，故正方体的棱长为2， ∴该正方体的外接球球心的坐标为O ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，22，设十四面体上一顶点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，0，所以十四面体的外接球半径 R ＝OD ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－222＝1，故外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π.故选B.7.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 上且AB ＝AC ＝BC ＝BD ＝CD ＝4，AD ＝26，则球O 的表面积为( ) A.70π3 B.80π3 C.30π D.40π答案 B解析 如图，取BC 的中点M ，连接AM ，DM ，由题意可知，△ABC 和△BCD 都是边长为4的等边三角形. ∵M 为BC 的中点，∴AM ⊥BC ，且AM ＝DM ＝23， 又∵AD ＝26，∴AM 2＋DM 2＝AD 2， ∴AM ⊥DM ，∵BC ∩DM ＝M ，BC ，DM ⊂平面BCD ， ∴AM ⊥平面BCD ，∵AM ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ， △ABC 与△BCD 外接圆半径r ＝23DM ＝433， 又△ABC 与△BCD 的交线段BC ＝4. 所以四面体外接球半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4332－424＝2153， 四面体ABCD 的外接球的表面积为4π×R 2＝803π.8.已知三棱锥P －ABC 的棱AP ，AB ，AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A.2π3 B.5π6 C.π D.3π2答案 D解析 如图，∠APC ＝π4，AP ＝3，AN ＝1，∠APN ＝π6，∠NPM ＝π12，MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2，GM ︵＝2π3， 故四段弧长之和为π6＋π6＋π2＋2π3＝3π2.9.(多选)(2022·石家庄调研)已知一个正方体的外接球和内切球上各有一个动点M 和N ，若线段MN 长的最小值为3－1，则( ) A.该正方体的外接球的表面积为12π B.该正方体的内切球的体积为π3 C.该正方体的棱长为1D.线段MN 长的最大值为3＋1 答案 AD解析设该正方体的棱长为a，则其外接球的半径R＝32a，内切球的半径R′＝a2，该正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同，可得MN的最小值为3a2－a2＝3－1，解得a＝2，故C错误；所以外接球的半径R＝3，表面积为4π×3＝12π，故A正确；内切球的半径R′＝1，体积为43π，故B错误；MN的最大值为R＋R′＝3＋1，故D正确.故选AD.10.(多选)设圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B，C)，若BC＝43，三棱锥A－PBC的外接球表面积为64π，则圆锥的体积为()A.4πB.8πC.16πD.24π答案BD解析如图，设圆锥AO的外接球球心为M，半径为r，则M在直线AO上，4πr2＝64π，解得r＝4.由勾股定理得BM2＝OM2＋OB2，即42＝(23)2＋OM2，可得OM＝2，即OM＝|AO－r|＝|AO－4|＝2，解得AO＝6或AO＝2.当AO＝6时，圆锥AO的体积为V＝13π×(23)2×6＝24π；当AO＝2时，圆锥AO的体积为V＝13π×(23)2×2＝8π.故选BD.11.在三棱锥A－BCD中，△BCD和△ABD均是边长为1的等边三角形，AC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为________.答案2π解析取AC的中点O，连接OB，OD，在△ABC中，AB＝BC＝1，AC＝2，所以∠ABC＝90°，所以OA＝OB＝OC＝22，同理得OD＝22，故点O为该三棱锥外接球的球心，所以球O的半径r＝22，S球＝4πr2＝2π.12.如图，已知球O是棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________.答案3π2解析根据题意知，平面ACD1是边长为9＋9＝32的正三角形，且所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径r＝13（32）2－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝62，所以平面ACD 1截球O 的截面面积为S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝3π2.二、创新拓展练13.(多选)(2022·华大新高考联考)已知三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AC ＝2，点E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，直线AF ，CE 相交于G ，则过点G 的平面α截三棱锥S －ABC 的外接球O 所得截面面积可以是( ) A.23π B.89π C.π D.32π答案 BCD解析 因为AB 2＋BC 2＝AC 2，故AB ⊥BC ， 故三棱锥S －ABC 的外接球O 的半径R ＝2＋2＋22＝62，取AC 的中点D ，连接BD 必过G ， 因为AB ＝BC ＝2，故DG ＝13BD ＝13，因为OD ＝22，故OG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1118，则过点G 的平面截球O 所得截面圆的最小半径r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622－1118＝89，故截面面积的最小值为89π，最大值为πR 2＝32π，故选BCD.14.(多选)(2022·济南模拟)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 上，AB ＝BC ＝AC ＝1，∠APC ＝π6，平面P AC ⊥平面ABC ，则( ) A.直线OA 与直线BC 垂直B.点P 到平面ABC 的距离的最大值为1＋32C.球O 的表面积为13π3D.三棱锥O －ABC 的体积为18 答案 ACD解析 设△ABC 外接圆的圆心为O 1，连接OO 1，O 1A . 因为O 为三棱锥P －ABC 外接球的球心， 所以OO 1⊥平面ABC ，所以OO 1⊥BC ，因为AB ＝BC ＝AC ＝1， 所以O 1A ⊥BC ，所以BC ⊥平面OO 1A ， 所以OA ⊥BC ，故A 选项正确； 设△P AC 外接圆的圆心为O 2， AC 的中点为D ，连接O 2D ， 由于AC ＝1，∠APC ＝π6， 所以圆O 2的半径r 2＝12×1sin π6＝1，则易知O 2D ＝32，所以点P 到平面ABC 的距离的最大值为1＋32(此时P ，O 2，D 三点共线)，故B 选项错误；由于AB ＝BC ＝AC ＝1，平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ， 所以圆O 1的半径r 1＝12×1sin π3＝33，圆O 2的半径r 2＝1，△ABC 与△P AC 的交线段AC ＝1， 所以三棱锥P －ABC 外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋12－14＝1312.故球O 的表面积S ＝4π×1312＝13π3，故C 选项正确；由于OO 1⊥平面ABC ，且OO 1＝O 2D ＝32，S △ABC ＝34，所以三棱锥O －ABC 的体积为13×OO 1×S △ABC ＝13×32×34＝18，故D 选项正确，故选ACD.15.在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠ABC ＝60°，若将菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小为60°的二面角B －AC －D ，则四面体DABC 的外接球球O 的体积为________. 答案 5239π27解析 如图，设M ，N 分别为△ABC ，△ACD 的外心，E 为AC 的中点，则EN ＝EM ＝13BE ＝1，在平面BDE 内过点M 作BE 的垂线与过点N 作DE 的垂线交于点O .∵BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，BE ∩DE ＝E ，∴AC ⊥平面BDE .∵OM ⊂平面BDE ，∴OM ⊥AC ，∵OM ⊥BE ，BE ∩AC ＝E ，∴OM ⊥平面ABC ，同理可得ON ⊥平面ACD ，则O 为四面体DABC 的外接球的球心，连接OE ，∵EM ＝EN ，OE ＝OE ，∠OME ＝∠ONE ＝90°，∴△OME ≌△ONE ，∴∠OEM ＝30°，∴OE ＝EM cos 30°＝233.∵AC ⊥平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴OE ⊥AC ，∴OA ＝OE 2＋AE 2＝393，即球O 的半径R ＝393.故球O 的体积V ＝43πR 3＝5239π27.16.(2022·湖南三湘名校联考)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1＝4，M 为棱AB 的中点，N 是棱BC 的中点，O 是三棱柱外接球的球心，则平面MNB 1截球O 所得截面的面积为________.答案 8π解析 如图1，将直三棱柱补形成正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1， 连接BD 1，则直三棱柱的外接球也是正方体的外接球，球心O 是BD 1的中点，半径R ＝2 3.连接BD 交MN 于点E ，连接B 1E 交BD 1于点F ， 过点O 作OO 1⊥B 1E 于点O 1，连接B 1D 1，因为MN ∥AC ，AC ⊥平面BB 1D 1D ，所以MN ⊥平面BB 1D 1D ，所以OO 1⊥MN ，所以OO 1⊥平面MNB 1.如图2，在矩形BB 1D 1D 中，BF FD 1＝BE B 1D 1＝14，所以BF OF ＝23，过点B 作BG ⊥B 1E 于点G ， 则BG ＝BE ·BB 1B 1E ＝43， BG OO 1＝BF OF ＝23，所以OO 1＝2， 设截面圆的半径为r ， 则r 2＝R 2－OO 21＝(23)2－22＝8， 所以截面的面积为8π.。
如何确定外接(内切)球的球心
如何确定外接（内切）球的球心球与其他几何体的切接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养．“切”“接”问题的处理规律：(1)“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到．[例1] 若正三棱柱ABC-A′B′C′的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为．. [解析] 如图，H ′，H 分别为上、下底面的中心，HH ′的中心 O为外接球的球心．由题意得，在 Rt △OAH 中，AH ＝2 3，OH ＝1，3 2则外接球的半径 R ＝OA ＝ AH 2＋OH 2＝19，12表面积 S ＝4πR 2＝19π 3[答案] 19π 32．构造长方体或正方体确定球心①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；③若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体；④若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．[例 2] 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外接球的体积是 ．[解析] 三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则可将三棱锥补形成正方体．从而其外接球的直径为 3，半径为3，故所求24π 9π外接球的体积 V ＝ 3 ＝ . 2[答案] 9π2[点评]一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a ，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径，即2R＝a2＋b2＋c2.3．由球的性质确定球心[典例3] 正三棱锥A-BCD 内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为．[解析] 如图，设三棱锥A-BCD 的外接球的半径为rM 为正△BCD 的中心，因为BC＝CD＝BD＝3，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝3，又OA＝OD＝r，所以( 3－r)2＋1＝r2，解得r＝2 3，所以球O 的表面积S＝4πr2 316π＝3.[答案] 16π3[点评]本题运用公式R2＝r2＋d2(r 为三棱锥底面外接圆的半径，R 为三棱锥外接球的半径，d 为球心到三棱锥底面中心的距离)求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式．本题的思路是探求正棱锥外接球半径的通法，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．。
球的内切、外接问题
P
球的表面积．
解1：作出截面图如图示. 由图可知，
3
AD
a,
2
2
3
AO AD
a.
3
3
a
6
2
2
∴PO PA AO
a.
3
6
∴OO PO PO
a R.
3
P
a
R
R
A
A
R O•
O•
•
O′
解得R
时，球内切于圆锥，如图所示，
O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，
设球O的半径为R，底面圆E的半径为r，
因为圆锥侧面积为2π，
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
例8 正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，若该正
四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2 6，求这个球
P
的表面积. 36π
PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
2 6
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
•
O′
R
R
A
O
O•
•
O′
O′
•
O
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值
d= |h －R |
P
3. R 2 r 2 (h R ) 2
4
9
O
1
， 解得r= 3
轴截面法
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例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
作截面α 解法1： 解法 ： 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α 则α截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示, 截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示, 连 AO 延长交 PD 于 G
1
O B O1 C
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高 是正△ 的中心， 的中心
F D E
， 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6。求棱锥的 、 ， 全面积和它的内切球的表面积。 全面积和它的内切球的表面积。 ， 解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD = 解法 ： A VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
2 1 3 VA−BCD = ⋅ ⋅ 2 6 ⋅1 = 2 3 3 4 1 D = ⋅ r ⋅ S全 = 3 2 + 2 3 ⋅ r 3
O
•
( ) (
B C
∴r = 6 − 2 S球 = 8 5 − 2
(
)
6π
)
1 ⋅ S全 ⋅ r内切球 注意： 割补法， 注意：①割补法，② V 多面体 = 3
练习
1、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的 、半球内有一个内接正方体， 底面圆内， 底面圆内，若正方体的边长为 6 ，求半球的表面积和体 积。
P
•O
A O1
G D
2、求棱长为 a 的正四面体 、 P – ABC 的外接球的表面积。 的外接球的表面积。
第二题截图Eຫໍສະໝຸດ 3. A1. C2. C
沿对角面截得： 沿对角面截得：
A
C
O
A1
C1
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 、 ， 全面积和它的内切球的表面积。 全面积和它的内切球的表面积。
A
。求棱锥的
解法1： 过侧棱AB与球心 作截面( 与球心O作截面 解法 ： 过侧棱 与球心 作截面 如图 ) 在正三棱锥中， 是正△ 的高， 在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高， 的高
⇒
设为1 设为1
A1
球的外切正方体的棱长等于球直径。 球的外切正方体的棱长等于球直径。 B1
S甲 = 4π R 2 =π 1
D A B
C
球内切于正方体的棱
中截面
⇒
O D1 C1
.
S乙 = 4π R =2π
2 2
A1
B1 正方形的对角线等于球的直径。 正方形的对角线等于球的直径。
球外接于正方体
D A O D1 A1 B1 B
C 对角面
A
C
⇒
设为1 设为1 C1
A1
2R = 3
O
C1
2
球的内接正方体的对角线等于球直径。 球的内接正方体的对角线等于球直径。
S丙 = 4π R =3π
2 3
练习： 练习：
1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直， 三棱锥P ABC中 PA，PB，PC两两垂直， 两两垂直 PA=1， PA=1， P B = P C = 2 ，已知空间中有一 个点到这四个点距离相等，求这个距离； 个点到这四个点距离相等，求这个距离；
A B O D
求正方体外接球的半径
球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。 、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上， 重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 、体积分割是求内切球半径的通用做法。
6 a 3
P
3 a 2
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG ， ∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
•O
A O1 E
G
D
3 a 6
6 a− R R 6 3 ∴ = ∴R = a 3 3 4 a a 2 6
3 2 S表 = πa 2
解法2： 解法 ：
A B O D C C 求正多面体外接球的半径
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 定义 ：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 外切多面体， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 多面体的内切球 这个球是这个多面体的内切球 。
甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为 A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27 D C A B 中截面 O D1 C1
球与多面体的内切、 球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 球的半径 和正方体 的棱长a有什么关系 有什么关系？ 的棱长 有什么关系？ r
.
a
一、 球体的体积与表面积
4 3 ① V = πR 球 3
二、球与多面体的接、切 球与多面体的接、
②
S球面 = 4π R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 定义 ：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 内接多面体， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。 多面体的外接球