山东省威海市2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题
2016年山东省高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年山东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|x2﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．[﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，2]D．（﹣2，﹣1）∪（1，2]2．（5分）已知复数z满足，则z＝（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知命题p：∀x∈（0，π），x＞sin x．则下列说法正确的是（）A．命题p为假命题；￢p：∃x∈（0，π），x＞sin xB．命题p为假命题；￢p：∀x∈（0，π），x≤sin xC．命题p为真命题；￢p：∃x∈（0，π），x≤sin xD．命题p为真命题；￢p：∀x∈（0，π），x≤sin x4．（5分）若，，且，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）＝sin（ln）的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上．山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为（）A．432B．456C．534D．7208．（5分）已知x，y满足，z＝2x+y的最大值为m，若正数a，b满足a+b＝m，则的最小值为（）A．3B．C．2D．9．（5分）已知直线与圆O：x2+y2＝1交于A、B两点，若△AOB为直角三角形，记点M（m，n）到点P（0，1）、Q（2，0）的距离之和的最大值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数，若m＜n，且f（m）＝f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2]C．[e﹣1，2]D．[e﹣1，2）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]上，其频率分布直方图如图所示，已知各个小方形按高度依次构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98，102）上的产品件数是．12．（5分）已知函数（a∈R）为奇函数，则的解集为．13．（5分）如图，若n＝4时，则输出的结果为．14．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P（x，y），则点P落在阴影部分内的概率为．15．（5分）对∀a，b∈R，定义运算：a⊕b＝a（a﹣b），a⊗b＝b（a+b）．则下列判断正确的是．①2016⊕2017＝2017；②（x+1）⊕1＝1⊗x；③f（x）＝x⊗（x⊕1）的零点为1，；④a⊕b＝b⊕a的必要不充分条件是a＝b；⑤a⊗b＝b⊗a的充要条件是a⊕b＝b⊕a．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且，，．（Ⅰ）求B，C及△ABC的面积；（Ⅱ）已知函数f（x）＝sin B sin2πx+cos C cos2πx，把函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，然后把所得函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得函数y＝g （x）的图象，求函数y＝g（x）在[0，2]上的单调递增区间．17．（12分）2016年微信宣布：微信朋友圈除夕前后10天的所有广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到9位数．某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男性表2：女性（Ⅰ）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”；参考数据与公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：（Ⅱ）若从样本中的女性中随机抽取3人，求恰有2人非喜欢的概率；（Ⅲ）若以样本的频率估计概率，从参加调查问卷的人中随机抽取2名男性和1名女性，求其中非喜欢的人数X的分布列和数学期望．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝AD＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面P AC；（Ⅱ）求平面APD与平面PBC所成二面角（锐角）的余弦值．19．（12分）已知正数数列{a n}满足：a1＝1，a n+12﹣2a n+1＝a n2+2a n．数列{b n}满足b n•b n+1＝3n且b2＝9．（I）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）已知c n＝2n a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）已知双曲线M：的渐近线方程为，抛物线N的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，点E（2，2）为双曲线M与抛物线N的一个公共点．（Ⅰ）求双曲线M与抛物线N的方程；（Ⅱ）过抛物线N的焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，与抛物线分别交于点A、B，C、D．（ⅰ）若直线EA与直线EB的倾斜角互补（点A，B不同于E点），求直线l1的斜率；（ⅱ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|＝λ|AB|•|CD|？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx．（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线；（Ⅱ）若函数y＝f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，若，且f（x1）≥t+f（x2）恒成立，求实数t的取值范围．2016年山东省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|x2﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．[﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，2]D．（﹣2，﹣1）∪（1，2]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即A＝[﹣1，2]，由B中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即B＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则A∩B＝（1，2]．故选：C．2．（5分）已知复数z满足，则z＝（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【解答】解：，则＝＝＝＝2+3i，∴z＝2﹣3i，故选：B．3．（5分）已知命题p：∀x∈（0，π），x＞sin x．则下列说法正确的是（）A．命题p为假命题；￢p：∃x∈（0，π），x＞sin xB．命题p为假命题；￢p：∀x∈（0，π），x≤sin xC．命题p为真命题；￢p：∃x∈（0，π），x≤sin xD．命题p为真命题；￢p：∀x∈（0，π），x≤sin x【解答】解：：∀x∈（0，π），x＞sin x．是真命题，因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈（0，π），x＞sin x．命题p为真命题；￢p：∃x∈（0，π），x≤sin x故选：C．4．（5分）若，，且，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：||＝＝1，∴||＝3，∵，∴+＝﹣2．即+1＝﹣2．∴＝﹣．∴cos＜＞＝＝﹣．故选：C．5．（5分）如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体（可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体）．该几何体的体积＝+＝．故选：D．6．（5分）函数f（x）＝sin（ln）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin（ln）的定义域为：x＞1或x＜﹣1，排除A，f（﹣x）＝sin（ln）＝sin（﹣ln）＝﹣sin（ln）＝﹣f（x），函数是奇函数排除C，x＝2时，函数f（x）＝sin（ln）＝﹣sin（ln3）＜0，对应点在第四象限，排除D．故选：B．7．（5分）为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上．山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为（）A．432B．456C．534D．720【解答】解：第一类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把2号品种，插入到中间空中，再把4号插入到1，2，3，5，所形成的4个空的中的一个，然后把6号再插入到其中，故有A32A22A41A51＝240种，第二类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把4或6号，插入到中间空中，再把剩下的一个插入到所形成的4个空的中的一个，然后把2号插入前面所成的3个空（不包含两端）的1个，故有A32A22A21A41A31＝288种，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个排列，把2，4，6号捆绑在一起并插入到其中，有A32A22A33＝72种，故编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为240+288﹣72＝456种，故选：B．8．（5分）已知x，y满足，z＝2x+y的最大值为m，若正数a，b满足a+b＝m，则的最小值为（）A．3B．C．2D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A（3，0）时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z＝2x+y得z＝2×3＝6．即m＝6．则a+b＝6，即+＝1，则＝（）（+）＝+++≥+2＝+2×＝，当且仅当＝，即b＝2a时取等号，故选：B．9．（5分）已知直线与圆O：x2+y2＝1交于A、B两点，若△AOB为直角三角形，记点M（m，n）到点P（0，1）、Q（2，0）的距离之和的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点），∴圆心到直线的距离d＝＝，整理得m2+2n2＝8，即＝1，焦点为F1（﹣2，0），F2（﹣2，0）则点M（m，n）到点P（0，1）、Q（2，0）的距离之和＝|MP|﹣|MF1|+2a≤|PF1|+2a＝4+，故选：D．10．（5分）已知函数，若m＜n，且f（m）＝f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2]C．[e﹣1，2]D．[e﹣1，2）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m＜n，且f（m）＝f（n），则当ln（x+1）＝1时，得x+1＝e，即x＝e﹣1，则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，则ln（n+1）＝m+1，即m＝2ln（n+1）﹣2，则n﹣m＝n+2﹣2ln（n+1），设h（n）＝n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1则h′（n）＝1﹣＝＝，当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，当h′（x）＜0得0＜n＜1，即当n＝1时，函数h（n）取得最小值h（1）＝1+2﹣2ln2＝3﹣2ln2，当n＝0时，h（0）＝2﹣2ln1＝2，当n＝e﹣1时，h（e﹣1）＝e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）＝1+e﹣2＝e﹣1＜2，则3﹣2ln2≤h（n）＜2，即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]上，其频率分布直方图如图所示，已知各个小方形按高度依次构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98，102）上的产品件数是100．【解答】解：根据题意，设各个小方形按高度依次构成的等差数列公差为x，则0.050+a+b+c+d＝5×0.050+×5×4x＝0.5，解得x＝0.025，所以a＝0.075，b＝0.10，c＝0.125，d＝0.15；所以该批产品中净重在区间[98，102）上的频率为：2（b+d）＝2×（0.10+0.15）＝0.5，故所求的产品件数是100×0.5＝100．故答案为：100．12．（5分）已知函数（a∈R）为奇函数，则的解集为（log23，+∞）．【解答】解：f（x）为R上的奇函数；∴f（0）＝0；即；∴a＝﹣2；∴由得，；整理得，2x＞3；∴x＞log23；∴的解集为（log23，+∞）．故答案为：（log23，+∞）．13．（5分）如图，若n＝4时，则输出的结果为．【解答】解：模拟执行程序，可得n＝4，k＝1，S＝0S＝，满足条件k＜4，k＝2S＝+，满足条件k＜4，k＝3S＝++，满足条件k＜4，k＝4S＝+++，不满足条件k＜4，退出循环，输出S的值．由于S＝+++＝[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）]＝．故答案为：．14．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P（x，y），则点P落在阴影部分内的概率为．【解答】解：AD对应的方程x+y＝1，即y＝﹣x+1，∵点（1，e）在y＝a x，∴a＝e，即函数为y＝e x，则由积分的几何意义得阴影部分的面积S＝∫（e x﹣1+x）dx＝（e x﹣x+x2）＝e﹣1+﹣1＝e﹣，长方形OABC的面积S＝1×e＝e，则点P落在阴影部分内的概率P＝＝，故答案为：15．（5分）对∀a，b∈R，定义运算：a⊕b＝a（a﹣b），a⊗b＝b（a+b）．则下列判断正确的是④⑤．①2016⊕2017＝2017；②（x+1）⊕1＝1⊗x；③f（x）＝x⊗（x⊕1）的零点为1，；④a⊕b＝b⊕a的必要不充分条件是a＝b；⑤a⊗b＝b⊗a的充要条件是a⊕b＝b⊕a．【解答】解：①2016⊕2017＝2016×（2016﹣2017）＝﹣2016，不正确；②（x+1）⊕1＝（x+1）x，1⊗x＝1•（1﹣x）＝1﹣x，所以不正确；③f（x）＝x⊗（x⊕1）＝x3（x﹣1）的零点为0，1，所以不正确；④a＝b，则a⊕b＝b⊕a；a⊕b＝a（a﹣b），b⊕a＝b（b﹣a），若a⊕b＝b⊕a，则a（a﹣b）＝b（b﹣a），∴a＝b或a＝﹣b，所以a⊕b＝b⊕a的必要不充分条件是a＝b，正确；⑤a⊗b＝b⊗a，则b（a+b）＝a（a+b），∴a＝b或a＝﹣b，由④知道a⊕b＝b⊕a，所以a⊗b＝b⊗a的充要条件是a⊕b＝b⊕a，正确．故答案为：④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且，，．（Ⅰ）求B，C及△ABC的面积；（Ⅱ）已知函数f（x）＝sin B sin2πx+cos C cos2πx，把函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，然后把所得函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得函数y＝g （x）的图象，求函数y＝g（x）在[0，2]上的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，，，∴由正弦定理，可得：sin C＝＝＝，∵C，B为锐角，可得：C＝，B＝π﹣A﹣C＝，b＝c＝∴S△ABC＝bc sin A＝＝．（Ⅱ）∵B＝，∴f（x）＝sin B sin2πx+cos C cos2πx＝sin2πx+cos2πx＝sin（2πx+），∴把函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，可得函数解析式：y＝sin[2π（x﹣）+]＝sin（2πx﹣），然后把所得函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得函数y＝g（x）＝sin（πx﹣），∴由2kπ﹣≤πx﹣≤2kπ+，k∈Z，解得2k≤x≤2k+，k∈Z∵x∈[0，2]，∴可得函数的增区间为[0，]∪[，2]．17．（12分）2016年微信宣布：微信朋友圈除夕前后10天的所有广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到9位数．某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男性表2：女性（Ⅰ）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”；参考数据与公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：（Ⅱ）若从样本中的女性中随机抽取3人，求恰有2人非喜欢的概率；（Ⅲ）若以样本的频率估计概率，从参加调查问卷的人中随机抽取2名男性和1名女性，求其中非喜欢的人数X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵男性500人，女性400人，为了了解性别对“抢红包”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了45人的测评结果，∴抽取男性人数为：500×＝25，抽取的女性人数为：400×＝20，∴x＝25﹣15﹣5＝5，y＝20﹣15﹣3＝2，由表中统计数据得到2×2列联表：∵1﹣0.9＝0.1，P（K2≥2.706）＝0.10，K2＝＝1.125＜2.706，∴没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”．（Ⅱ）∵样本中有20名女性，其中15人喜欢，5人非喜欢，∴样本中的女性中随机抽取3人，基本事件总数n＝＝1140，恰有2人非喜欢包含的基本事件个数m＝＝150，∴恰有2人非喜欢的概率P＝＝＝．（Ⅲ）以样本的频率估计概率，参加调查问卷的男性喜欢抢红包的概率为，女性喜欢抢红包的概率为，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝（）2（）＝，P（X＝1）＝+＝，P（X＝2）＝+＝，P（X＝3）＝＝，∴非喜欢的人数X的分布列为：EX＝+1×+2×+3×＝．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝AD＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面P AC；（Ⅱ）求平面APD与平面PBC所成二面角（锐角）的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴AC⊥BD，P A⊥BD，∵P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC．解：（Ⅱ）设AC∩BD＝O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（，0，0），P（，0，2），D（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），＝（0，0，2），＝（﹣，﹣1，0），＝（，﹣1，2），＝（﹣，﹣1，0），设平面APD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得，0），设平面PBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，﹣，﹣），cos＜＞＝＝＝．∴平面APD与平面PBC所成二面角（锐角）的余弦值为．19．（12分）已知正数数列{a n}满足：a1＝1，a n+12﹣2a n+1＝a n2+2a n．数列{b n}满足b n•b n+1＝3n且b2＝9．（I）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）已知c n＝2n a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵﹣2a n+1＝+2a n，∴（a n+a n+1）（a n+1﹣a n﹣2）＝0，∵a n＞0，∴a n+1﹣a n＝2，故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，故a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∵b n•b n+1＝3n且b2＝9，∴b1＝，＝3，故数列{b n}隔项成等比数列，公比为3，故b n＝；（Ⅱ）记数列{2n a n}的前n项和为S n，S n＝1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，2S n＝1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n+1，两式作差可得，S n＝﹣2﹣2•22﹣2•23﹣2•24﹣…﹣2•2n+（2n﹣1）•2n+1，故S n＝﹣2﹣+（2n﹣1）•2n+1＝（2n﹣3）•2n+1+6；记数列{b n}的前n项和为F n，当n为偶数时，F n＝（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b n﹣1+b n）＝（+9）•＝•（﹣1）；当n为奇数时，F n＝F n﹣1+b n＝•（﹣1）+•＝5•﹣；而T n＝S n+F n，故T n＝．20．（13分）已知双曲线M：的渐近线方程为，抛物线N的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，点E（2，2）为双曲线M与抛物线N的一个公共点．（Ⅰ）求双曲线M与抛物线N的方程；（Ⅱ）过抛物线N的焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，与抛物线分别交于点A、B，C、D．（ⅰ）若直线EA与直线EB的倾斜角互补（点A，B不同于E点），求直线l1的斜率；（ⅱ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|＝λ|AB|•|CD|？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由双曲线M：的渐近线方程为y＝±x，可得＝，代入（2，2）可得﹣＝1，解得a＝，b＝2，即有双曲线M的方程为﹣＝1；设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），代入（2，2）可得4＝4p，解得p＝1，即有抛物线N的方程为y2＝2x；（Ⅱ）（ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y12＝x1，y22＝x2，由直线EA与直线EB的倾斜角互补，可得k EA+k EB＝0，即有+＝0，即有+＝0，可得y1+y2＝﹣4，即有直线l1的斜率为＝＝＝﹣；（ⅱ）假设存在常数λ，使得|AB|+|CD|＝λ|AB|•|CD|．设直线直线l1的方程为y＝k（x﹣），l2的方程为y＝﹣（x﹣）．联立，可得k2x2﹣（k2+2）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝，由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p═+1＝，将k换为﹣，可得|CD|＝2k2+2，即有λ＝＝+＝+＝．故存在常数λ＝，使得|AB|+|CD|＝λ|AB|•|CD|．21．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx．（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线；（Ⅱ）若函数y＝f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，若，且f（x1）≥t+f（x2）恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝2时，f（x）＝x2﹣2x+2lnx，f′（x）＝2x﹣2+，∴f（1）＝﹣1，f′（1）＝2，过（1，﹣1），斜率是2的直线方程是：y+1＝2（x﹣1），即：2x﹣y﹣3＝0；（Ⅱ）f′（x）＝2x﹣a+＝，（x＞0），若函数y＝f（x）在定义域上单调递增，则2x2﹣ax+2≥0在（0，+∞）恒成立，即a≤2（x+），而x+的最小值是2，故a≤4；（Ⅲ）∵f（x）＝x2﹣ax+2lnx，∴h′（x）＝，（x＞0），∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴x1，x2为f′（x）＝0的两个根，即2x2﹣ax+2＝0的两个根，∴x1x2＝1，∵x1∈（0，]，且ax i＝2+1（i＝1，2），∴x2∈[e，+∞），∴f（x1）﹣f（x2）＝（﹣ax1+2lnx1）﹣（﹣ax2+2lnx2）＝（﹣﹣1+2lnx1）﹣（﹣﹣1+2lnx2）＝﹣+2ln＝﹣﹣2ln，（x2＞1），设u（x）＝x2﹣﹣2lnx2，x≥e，∴u′（x）＝≥0，u（x）在[e，+∞）递增，∴u（x）≥u（e）＝e2﹣﹣4，∴t∈（﹣∞，e2﹣﹣4]．。
山东省威海市2016届高三数学二模试卷(理科) 含解析
山东省威海市2016年高考数学二模试卷(理科）（解析版)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z=的实部与虚部互为相反数，则实数a=(）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣32．已知集合A=｛x｜x2﹣2x﹣3＜0}，B=｛x|y=ln(2﹣x）}，定义A﹣B={x｜x∈A，且x∉B}，则A﹣B=（）A．（﹣1,2）B．［2，3) C．(2,3）D．（﹣1，2]3．已知|｜=｜｜=2，（ +2)（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．命题p：若2x≥2y,则1gx≥1gy；命题q：若随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2），P（ξ≤6）=0。
72，则P（ξ≤0）=0。
28．下列命题为真命题的是（)A．p∧q B．￢p∧q C．p∨￢q D．￢p∧￢q5．如图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果（)A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2cos（ωx+θ)（0＜θ＜π，ω＞0）为奇函数，其图象与直线y=2相邻两交点的距离为π,则函数f（x）（）A．在[，]上单调递减B．在[，］上单调递增C．在[﹣，］上单调递减D．在[﹣，］上单调递增7．若对任意实数x使得不等式|x﹣a|﹣｜x+2｜≤3恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，5］B．［﹣2，4］C．[﹣1，1］D．[﹣5，1]8．已知等腰△ABC满足AB=AC，BC=2AB，点D为BC边上一点且AD=BD，则sin ∠ADB的值为（）A．B．C．D．9．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点,若=λ+u(λ，μ∈R），λ2+u2=，则双曲线的离心率为(）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=,若存在x∈N＊使得f（x）≤2成立，则实数a的取值范围为(）A．[﹣15，+∞）B．(﹣∞,2﹣12］C．（﹣∞，﹣16］D．(﹣∞，﹣15］二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分．11．正四棱锥的主视图和俯视图如图所示，其中主视图为边长为1的正三角形，则该正四棱锥的表面积为．12．在二项式(9x﹣）n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256,则展开式中x的系数为．13．若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为．14．抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为C上一点．若|MF｜=2p，△MOF的面积为4，则抛物线方程为．15．已知函数f（x）=，若关于x的方程f(x）=x+m有两个不同的实根，则实数所的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．16．(12分）（2016威海二模）已知f（x）=cosx（λsinx﹣cosx）+cos2(﹣x）+1（λ＞0）的最大值为3．（I)求函数f（x）的对称轴；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,且=，若不等式f （B)＜m恒成立,求实数m的取值范围．17．(12分)（2016威海二模)已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为平行四边形,PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，DC=，E，F分别为PD，PC的中点,且BE与平面ABCD所成角的正切值为．（I)求证：平面PAB⊥平面PBD；（Ⅱ）求面PAB与面EFB所成二面角的余弦值．18．（12分）（2016威海二模)2015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成．为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有680人．（I）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占．现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因,并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X）；（III）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=）19．（12分）(2016威海二模)设单调数列{a n}的前n项和为S n，6S n=a n2+9n﹣4，a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列｛a n}的通项公式;（Ⅱ)设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）（2016威海二模）已知函数f（x)=ln（x+1）,g（x)=，a＞1．（I）若函数f（x)与g（x）在x=1处切线的斜率相同,求a的值：（Ⅱ）设F（x)=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间:（Ⅲ）讨论关于x的方程｜f(x）｜=g(x）的根的个数．21．（14分）（2016威海二模)已知椭圆C： +=1（{a＞b＞0｝),F1，F2是左右焦点,A,B 是长轴两端点，点P（a,b）与F1,F2围成等腰三角形，且=．（I)求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q是椭圆上异于A,B的动点,直线x=﹣4与QA，QB分别交于M，N两点．（i)当=λ时,求Q点坐标；（ii）过点M，N，F1三点的圆是否经过x轴上不同于点F1的定点?若经过,求出定点坐标，若不经过,请说明理由．2016年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位,复数z=的实部与虚部互为相反数,则实数a=（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由已知列式求得a值．【解答】解：∵z==的实部和虚部互为相反数,∴a﹣2=﹣（﹣2a﹣1),即a=﹣3．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A=｛x｜x2﹣2x﹣3＜0｝,B=｛x｜y=ln(2﹣x）}，定义A﹣B=｛x|x∈A,且x∉B｝，则A﹣B=(）A．（﹣1，2）B．[2，3) C．（2，3) D．(﹣1，2］【分析】根据条件求出集合A,B的等价条件,结合定义进行求解即可．【解答】解：A={x｜x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3},B={x|y=ln（2﹣x）｝=｛x|2﹣x＞0｝={x|x＜2},则A﹣B=｛x｜x∈A,且x∉B｝=[2,3），故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，正确理解定义是解决本题的关键．3．已知|｜=｜|=2，（ +2)（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】把已知的向量等式左边展开，代入向量数量积公式即可求得与的夹角．【解答】解：由(+2）（﹣）=﹣2,得,∴，又||=||=2，∴，即cos=,∵两向量夹角的范围为［0°,180°]，∴与的夹角为60°．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求斜率的夹角，是中档题．4．命题p：若2x≥2y，则1gx≥1gy；命题q：若随机变量ξ服从正态分布N（3,σ2），P（ξ≤6)=0.72，则P（ξ≤0）=0。
山东省2016届高三下学期综合测试(2)数学(理)Word版含答案
侧（左）视图俯视图正（主）视（第3题图）数学理本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页．满分150分．考试用时120分钟．答题前，请务必将班级、姓名和考试号填写（或填涂）在答题卡的规定位置．注意事项：１. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案写在试卷上的无效．２. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．1、已知集合{|21}xA x =>,{|1}B x x =<,则A B = ( )A ．{|01}x x <<B ．{|0}x x >C ．{|1}x x >D ．{|1}x x <2. 复数=-+i i123 （ ） A ．i 2521+ B ．i 2521-C ．i 2521+-D ．i 2521--3. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径 组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．20π3B ．6πC ．10π3D ．16π3 4.设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）①()f x 的图象关于直线3x π=对称； ②()f x 的图象关于点(,0)4π对称；③()f x 的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象； ④()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数．A. ①③ B . ②④ C. ①③④ D . ③5. 甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A ．1212,x x s s >< B ． 1212,x x s s == C ．1212,x x s s =< D ．1212,x x s s <>6.函数cos ln xy x=的图象是（ ） 3275538712455698210乙甲7.若在231(3)2nx x -的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（ ） A ．1352- B ． 135- C ．1352D ．1358．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ∆，若边1MF 的中点在双曲线上，则此双曲线的离心率是 ( )A．4+1C.D. 1 9. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y z 的取值范围是（ ）A ． ]31,1[- B. )1,21[-C. ]31,21[-D. ),21[+∞- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若等比数列}{n a 的首项是32，且dx x a )21(414+⎰=，则公比等于 ．12．执行右边的程序框图，输出的结果是 ． 13．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，点E 为线段CD 上的任意一点，则AE BD ⋅的最大值为 ． 14. 已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为)(1x f-,且有，8)()(11=⋅--b fa f若0>a 且0>b ，则ba 41+的最小值为 ．15. 给出下列四个命题：① 命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；② “2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；③ 设圆22220(40)x y D x E yF D E F ++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为1212(,0),(,0),(0,),(0,)A x B x C y D y ，则12120x x y y -=；④ 关于x 的不等式13x x m ++-≥的解集为R ，则4m ≤. 其中所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16（本题满分12分）已知函数n m x f ⋅=)(,且(sin cos )m x x x ωωω=+,(cos sin ,2sin )n x x x ωωω=-,其中0>ω,若函数)(x f 相邻两对称轴的距离大于等于2π. （1）求ω的取值范围；（2）在锐角三角形ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，当ω最大时，1)(=A f ，且3=a ，求b +c 的取值范围．17（本题满分12分）为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20. (I)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的人数; (II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望. 18（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面A B C D 是菱形，60=∠ABC ，2==PC AB ,2==PD PA ．（I ）求证：ABCD PAD 平面平面⊥； （II ）求二面角A PC B --的余弦值． 19. （本题满分12分）岁0．0．0．0．数列{}n a 的通项n a 是关于x 的不等式2x x nx -<的解集中正整数的个数，111()12n n n f n a a a n=++++++…． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7()112f n ≤<． 20（本题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，长轴12A A ,短轴12B B ,四边形1122A B A B 的面积为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于P Q 、,直线12,A P A Q M 与交于 12AQ A P N 与交于．(i) 证明：MN x ⊥轴，并求直线MN 的方程； （ii ）证明：以MN 为直径的圆过右焦点F ．21（本题满分14分） 已知函数()()ln 1x f x x +=．（1）当0x >时，求证： ()22f x x >+；（2）当10x x >-≠且时，()11kxf x x+<+恒成立，求实数k 的值．三、解答题16、详细分析：（1）x x x x x f ωωωωcos sin 32sin cos )(22+-=⋅= )62sin(22sin 32cos πωωω+=+=x x x ……………………2分22π≥Tπ≥∴T 10≤<∴ω…………………………4分 （2）当ω最大时，即1=ω，此时)62sin(2)(π+=x x f ……………………5分1)(=A f 1)62s i n (2=+∴πA 3π=∴A …………………………7分由正弦定理得23sin 3sin sin sin ====πC c B b A aB b sin 2=∴,C c sin 2= B C b c sin 2sin 2+=+∴B C B B sin 3cos 3sin 2)32sin(2+=+-=π)6sin(32π+=B …………………………9分在锐角三角形ABC ∆中,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<2020ππC B 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<<232020πππB B 得26ππ<<B …………10分3263πππ<+<∴B 1)6s i n (23≤+<∴πB 32)6s i n (323≤+<∴πB c b +∴的取值范围为]32,3(…………………………12分17、解:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70,06.0570.01=-=∴x ………………2分 500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的人数为150500506.0=⨯⨯(人). …………4分(II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名, “年龄不低于35岁”的人有8名. ……………………6分 故X 的可能取值为0,1,2,3,B()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P , ()9544232018212===C C C X P ,()57113320312===C C X P , ………………10分 故X所以5739529512850⨯+⨯+⨯+⨯=EX 18、解：（1）取AD 的中点O ，连接,PO CO0,60PA PD ABCD ABC =∠=为菱形，,ABC ACD ∆∆都是正三角形 ,PO AD CO AD ⊥⊥------------2分POC ∠是二面角P AD C --的平面角21,PA PD AD AC CD PO CO =====∴==222PC PO OC PO OC =+∴⊥，090AOD ∠=所以 ，PAD ABCD ⊥面平面-------------------5分 （2）建系{,,}OC OD OP ,所以 ()())()0,1,0,0,1,0,,0,0,1AD CP -()()(3,0,1),0,2,0,3,1,0CP BC AD CA =-===--设平面APC 的法向量为()1,,n x y z=(101,0z n y ⎧+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩ (8)分 设平面BPC 的法向量为()2,,n x y z =(2020z n y ⎧+=⎪⇒=⎨=⎪⎩,-------------------------------------------10分 设二面角A PC B --的大小为θ，12cos |cos ,|7n n θ=<>==-----12分（3）111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++ (111)1n n n n<+++=项………………………………9分 由111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++…… 知11111(+1)++2322122f n n n n n n =+++++++… 于是111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7()(2)12f n f ∴≥=……………………………………11分 综上可知7()112f n ≤<……………………12分 20、解（1）2213,24bb e a a=∴==即1122A B A B S ab ==------------------------------------2分 2,a b ==，椭圆方程为22143x y +=----------------------3分同理可得:4N x =, MN x ⊥轴，直线MN 的方程为4x =………………10分 (ii)1212664,,4,22y y M N x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()121212123636992233y y y y FM FN x x my my ⋅=+=+++++()212221212222229363634999639393434369909182736y y m m m m y y m y y m m m m m m -⨯+=+=+--+++++++⨯=-=--++………………12分 FM FN ⊥,以MN 为直径的圆过定点F . ……………………13分21、解： （1）0x >， ()()22ln 122x f x x x x >⇔+>++--------------1分 ()()()()()()222214ln 1'021212x x g x x g x x x x x x =+-∴=-=>+++++-------3分()g x 递增，所以()()00g x g >=，所以()2ln 12xx x +>+-------------------4分 （2）当10x -<<不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<⇔++->+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-， 因为110,011,11x x x -<<<+<∴>+ 若1212k k ≤≤即，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h <= ()h x ↓，()()00h x h >=----------------------------------------------7分若21k >，存在()01,0x ∈-，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()0,0x x ∈，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >=()h x ↑，()()00h x h <=这与()()21ln 1x x x kx ++->矛盾-------------9分当0x >不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<⇔++-<+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-， 10,11,011x x x >+>∴<<+ 若1212k k ≥≥即，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >=()h x ↑，()()00h x h <=，所以不等式成立---------------------------12分若21k <，存在()00,x ∈+∞，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()00,x x ∈，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h >=()h x ↑，()()00h x h >=这与()()21ln 1x x x kx ++-<矛盾综上所述：()()111110,;0,1212kx kx x f x k x f x k x x ++-<<<⇒≥><⇒≤++ 1,0x x ∀<-≠且，()11kx f x x +<+恒成立时 ，12k =----------------------14分。
山东省2016届高三数学模拟试卷 理(含解析)
2016年山东省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．62．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．23．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B． C．﹣D．±4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．75．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A． B． C． D．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B． C． D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣810．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B． C．﹣D．﹣二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n （x2﹣mx+4）的最大值等于．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？2016年山东省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．6【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a﹣1+2，解得a=2．故选：B．2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．2【考点】子集与真子集．【分析】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数．【解答】解：∵集合={2}，∴集合A的真子集只有一个为∅．故选：C．3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B． C．﹣D．±【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=（﹣1）2=1，则由f（﹣1）=2f（a），得1=2f（a），即f（a）=，若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=，若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=﹣或（舍），综上a的值等于或﹣，故选：A．4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为121～400的个体中应抽取的个体数即可．【解答】解：把这800个个体编上001～800的号码，分成20组，则组距为=40；所以编号为121～400的个体中应抽取的个体数为=7．故选：D．5．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】等差关系的确定．【分析】数列{a n}成等比数列，公比为q．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．即可判断出结论．【解答】解：∵数列{a n}成等比数列，公比为q．∴a n=．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．∴“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的必要不充分条件．故选：B．6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A． B． C． D．【考点】直线的斜率．【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，∵直线l的斜率不小于1，∴﹣≥1，即a≤﹣2，∵且a∈[﹣5，4]，∴﹣5≤a≤﹣2，∴直线l的斜率不小于1的概率为=，故选：C．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图易得这个几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为：3，求出棱锥的高，即可求解四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知，这是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为3，棱锥的高： =2，∴四棱锥的体积是：×1×2×2=．故选：D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．【解答】解：∵向量，∴||==1，||=1， =﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos（π﹣θ），∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π），∵θ∈（π，2π），∴θ﹣π∈（0，π），∴φ=θ﹣π，故选：C．9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8【考点】基本不等式．【分析】不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，利用基本不等式的性质可得2（x﹣1）+的最小值，即可得出．【解答】解：不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=8，当且仅当x=3时取等号．∵不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，∴﹣m﹣2＜8，解得m＞﹣10，故选：A．10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B． C．﹣D．﹣【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．【解答】解：由题意设===k，（k＞0），则a=6k，b=4k，c=3k，∴由余弦定理可得cosA===﹣，∴由正弦定理可得====﹣，故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是11 ．【考点】循环结构．【分析】按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果【解答】解：依此程序框图，变量a的变化依次为1，12+2=3，32+2=11不满足循环条件a＜10，故输出11故答案为1112．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为20 ．【考点】计数原理的应用．【分析】根据0的特点，分三类进行，当0在个为和十位时，当没有0参与时，根据分类计数原理可得．【解答】解：若三位数的个位为0，则有2×2×A22=8个；若十位为0，则有C21•C21=4个；若这个三位数没有0，则有C21•C21A22=8个．综上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4=20个，故答案为：20．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于﹣15 ．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】解出不等式|2x+a|＜b，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值，从而求出ab 即可．【解答】解：∵|2x+a|＜b，∴﹣b＜2x+a＜b，∴﹣a﹣b＜2x＜b﹣a，∴﹣＜x＜，由不等式的解集为{x|1＜x＜4}，则，解得：a=﹣5，b=3则ab=﹣15，故答案为：﹣15．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值等于﹣1 ．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】求出m、n，然后利用对数函数的性质，以及二次函数的性质求解函数的最值．【解答】解：函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），可知m=﹣2，n=，函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）=log（x2+2x+4）=log [（x+1）2+3]≤﹣1．函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值：﹣1．故答案为：﹣1．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为\frac{{x}^{2}}{5}﹣\frac{{y}^{2}}{20}=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得p=， =2，求得M （3，4）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得=，即p=，=2，即b=2a①又M的坐标（x0，4），可得16=2px0=x0，解得x0=3，将M（3，4）代入双曲线的方程可得﹣=1②由①②解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由f（+）=，可解得cosθ，又0＜θ＜，可由同角三角函数关系式即可求sinθ，tanθ的值．（2）由f（x）=sin（2x﹣），根据周期公式可求T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+ =cosx（sinx﹣cosx）+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∵f（+）=，故有： sin[2（+）﹣]=sin（θ+﹣）=sin （θ+）=cosθ=，∴可解得：cosθ=，∵0＜θ＜，si nθ==，∴tanθ===．（2）∵f（x）=sin（2x﹣），∴T==π．∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z∴函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．17．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜3局或前3局两胜1负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（1）∵根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为，∴在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率：p=+=．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）=，∴中国队获得积分X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出面ABE∥面CDF，由此能证明AE∥面CDF．（2）以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．【解答】证明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，FC∩CD=C，∴面ABE∥面CDF，又AE⊂面ABE，∴AE∥面CDF．解：（2）∵∠BCF=，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，∵，且=λ，∴AB=（）λ，∴A（，（）λ，0），E（，0，），F（0，0，），B（，0，0），=（0，（1﹣）λ，），=（﹣，0，），∵直线AE与BF所成角的大小为60°，∴cos60°==，由λ＞0，解得λ=1，∴当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由于数列{a n}的前n项和S n=a n+，可得a1+a2=a2+﹣2，解得a1．当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1+﹣2，可得：a n=a n﹣a n﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，化简整理即可得出．（2）b n=，可得b2n﹣==．b2n=．即可得出．1【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n=a n+，∴a1+a2=a2+﹣2，解得a1=3．当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1+﹣2，可得：a n=a n﹣a n﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，解得a n﹣1=n+1．∴a n=n+2，当n=1时也成立．∴a n=n+2．（2）b n=，∴b2n﹣===．1b2n==．∴数列{b n}的前2n项和T2n=+=﹣﹣．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①求出O到直线的距离，由圆的弦长公式可得2，解方程可得m的值，进而得到直线的方程；②将直线y=x+m代入椭圆方程，运用判别式大于0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，将M的坐标代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=c=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，由弦长公式可得2=2，解得m=±，可得直线的方程为y=x±；②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，化简可得m2＜12，由直线和圆相交的条件可得d＜r，即有＜，即为m2＜4，综上可得m的范围是（﹣2，2）．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，即有弦长|AB|=•=•=•，|CD|=2=，即有λ==•=•，由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，即有λ≥．则λ的取值范围是[，+∞）．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得函数的定义域和导函数f′（x），依题意可知f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，构造辅助函数，g（x）=，求导，利用导数法求得g（x）的单调区间及最小值，即可求得a的取值范围；（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和x1•x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a的值，判断是否满足a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣，依题意可知：f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=4，且1＜x＜4时，g′（x）＜0，当x＞4时，g′（x）＞0，所以g（x）在x=4时取极小值，也为最小值，g（4）=12，故实数a的取值范围是a≤12；（2）f′（x）=﹣=，函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，即方程x2+（4﹣a）x+（4+a）=0，在（1，+∞）上由两个不同的实根，∴解得：a≥12，由韦达定理：x1+x2=a﹣4，x1•x2=a+4，于是，f（x1）+f（x2）=ln（）++ln（）+，=ln[]+a[]，=ln[]+a[]，=ln（）+a（），=，=3，解得a=9，但不满足a＞12，所以不存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3．。
山东省威海市数学高三理数第二次模拟试卷
山东省威海市数学高三理数第二次模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·海南期末) 集合A={y|y= ，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A . [2，+∞）B . [0，1]C . [1，2]D . [0，2]2. （2分） (2018高二下·临汾期末) 已知复数满足，则（）A .B . 5C .D . 103. （2分）若点，，当取最小值时，x的值等于（）．A . 19B .C .D .4. （2分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，则tan2B等于（）A .C . -D . -5. （2分）阅读如图所示的程序框图，若输入变量n为100，则输出变量S为（）A . 2500B . 2550C . 2600D . 26506. （2分）(2017·河北模拟) 已知双曲线C：的渐近线方程为y=± x，左、右焦点分别为F1、F2 ， M为双曲线C的一条渐近线上某一点，且∠OMF2= ，则双曲线C的焦距为（）A .B . 16C . 8D .7. （2分）在区间上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）B .C .D .8. （2分） (2017高二上·大连期末) 若函数在内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A . [﹣1，0]B . [﹣1，+∞）C . [0，3]D . [3，+∞）9. （2分） (2017高二下·彭州期中) 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A . 2B .C .D . 310. （2分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A .B .C .D . 111. （2分）如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1上的动点，下列说法：①AP⊥B1C；②BP与CD1所成的角是60°；③三棱锥的体积为定值；④B1P∥平面D1AC；⑤二面角P-AB-C的平面角为45°.其中正确说法的个数有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个12. （2分）设f为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕方程式相异实根的个数f（x）﹣20=01f（x）﹣10=03f（x）=03f（x）+10=01f（x）+20=01关于f的极小值a﹐试问下列哪一个选项是正确的（）A . ﹣20＜a＜﹣10B . ﹣10＜a＜0C . 0＜a＜10D . 10＜a＜20二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·长沙模拟) （2﹣）（1﹣2x）4的展开式中x2的系数为________14. （1分）在等比数列{an}中，首项为a1 ，公比为q，Sn表示其前n项和．若，=9，记数列{log2an}的前n项和为Tn ，当n=________时，Tn有最小值．15. （1分）已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，则集合A表示的图形的面积为________．16. （1分）已知点A（﹣2，2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P坐标满足x2+y2≤4，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高二上·吉林期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2 +acos2 = c．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C= ，△ABC的面积为2 ，求c．18. （10分） (2017高三下·黑龙江开学考) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．19. （10分） (2017高三上·威海期末) 某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：人文科学类自然科学类艺术体育类课程门数442每门课程学分231学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．（Ⅰ）甲至少选1门艺术体育类课程，同时乙至多选1门自然科学类课程的概率为多少？（Ⅱ）求甲选的3门课程正好是7学分的概率；（Ⅲ）设甲所选3门课程的学分数为X，写出X的分布列，并求出X的数学期望．20. （10分）(2019·肇庆模拟) 已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于两点，是坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.21. （10分） (2016高二上·福州期中) 已知函数f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=ax﹣a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．22. （10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+ ）=2 （ρ＞0，0＜θ＜2π）．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）P是C1上的任意一点，过P点作与C2的夹角为45°的直线交C2于点A．求|PA|的最大值．23. （10分） (2017高一下·鹤岗期末) 已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
山东省威海市高考数学二模试卷(理科)
山东省威海市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）集合，集合，若集合，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D . R2. （2分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）对100只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表雄性雌性总计敏感502575不敏感101525总计6040100由附表：P（）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828则下列说法正确的是（）A . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；B . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“对激素敏感与性别无关”；C . 有95%以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；D . 有95%以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”；4. （2分）在各项为正数的等比数列{an}中，a1=3，前三项的和S3=21，则a3+a4+a5的值为（）A . 33B . 72C . 84D . 1895. （2分） (2017高一下·天津期末) 若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A . ﹣5B . 1C .D . 36. （2分）下列关于程序框图的描述①对于一个算法来说程序框图是唯一的；②任何一个框图都必须有起止框；③程序框图只有一个入口，也只有一个出口；④输出框一定要在终止框前．其中正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分）已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·腾冲模拟) 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二下·临漳期中) 已知（x•cosθ+1）n（n≤N*）的展开式中，所有项的二项式系数之和为32，且展开式中含x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则锐角θ的值是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·辽宁模拟) 函数的部分图象大致是（）A .B .C .D .11. （2分）设斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线离心率e的取值范围是（）A . e＞B . e＞C . 1＜e＜D . 1＜e＜12. （2分）已知a>1，若函数，则f[f(x)]-a=0的根的个数最多有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·深州月考) 在直角中，点是斜边的中点，且，则________.14. （1分） (2017高三上·蓟县期末) 在的展开式中，x﹣3的系数为________．（用数字作答）15. （1分） (2018高一下·北京期中) 正四棱柱的高为，对角线长为，则正四棱柱的侧面积为________．16. （1分）(2017·衡水模拟) 若函数f（x）的表达式为f（x）= （c≠0），则函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，），现已知函数f（x）= ，数列{an}的通项公式为an=f（）（n∈N），则此数列前2017项的和为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·苏州模拟) 已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，，求角B的大小．18. （15分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y （单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi=1;2…8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.656.3 6.8289.8 1.61469108.8表中wi=，=（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回归线v=的斜率和截距的最小二乘估计分别为：19. （10分）(2016·黄山模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；（2）设点N是线段CD上一动点，且=λ ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．20. （10分） (2018高二下·双流期末) 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为 .（1）求椭圆的方程；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率的取值范围；21. （5分）(2017·鄂尔多斯模拟) 已知函数f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．22. （10分）(2017·新余模拟) 已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）点Q（a，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，求使为定值的值．23. （10分）(2018·郑州模拟) 设函数， .（1）解不等式；（2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14、答案：略15-1、16、答案：略三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
山东省威海市2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文
2016年威海市高考模拟考试文科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共5页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第I 卷(选择题共50分) 注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数12i z a i -=+的实部与虚部互为相反数，则实数a = (A)-1 (B)1 (C)3 (D) 3-2．已知集合{}2230A x x x =--<，(){}ln 2B x y x ==-,定义{},A B x x R x B -=∈∉且，则A B -=(A)(一1，2) (B) [)2,3 (C)(2，3) (D) (]1,2-3．已知()()2,22a b a b a b ==+⋅-=-u u r u u r r r r r ，则a b r r 与的夹角为 (A)30° (B)45° (C)60° (D)120°4．已知变量x,y 满足关系y =0.2x-1，变量y 与z 负相关，则下列结论正确的是(A)x 与y 正相关，x 与z 负相关(B)x 与y 负相关，x 与z 正相关(C)z 与y 正相关，x 与z 正相关(D)x 与y 负相关，x 与z 负相关5．下列命题的逆命题为真命题的是(A)若x>2，则()()210x x -+>(B)若224x y +≥，则2xy = (C)若2x y +=，则xy ≤l (D)若a b ≥，则22ac bc ≥6．右图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果(A)7 (B)8 (C)9 (D)107．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωθθπω=+<<>为奇函数，其图象与直线y=2相邻两交点的距离为π，则函数()f x(A)在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 (B)在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 (C)在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 (D)在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 8．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线，与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于点A ，P ，若3a AP =，则双曲线的离心率为 (A) 233 (B) 355 (C) 322 (D) 989．已知等腰ABC ∆满足,32AB AC BC AB ==，点D 为BC 边上一点且AD=BD ，则sin ADB ∠的值为(A) 36 (B) 23 (C) 223 (D) 6310．设函数()()()2log ,0112f x x a b f b f a a b =<<<=++若且，则的取值范围为(A) [)4,+∞ (B) ()4,+∞ （C ）[)5,+∞ (D) ()5,+∞第II 卷(非选择题共100分)注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．正四棱锥的主视图和俯视图如图所示，其中主视图为边长为1的正三角形，则该正四棱锥的表面积为__________．12．函数()222x x f x -=的值域为___________．13．若变量,x y 少满足约束条件32930,0x y x y y ≤+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z=x+2y 的最大值为__________．14．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为C 上一点．若2,MF p MOF =∆的面积为43，则抛物线方程为____________． 15．已知函数()31,1,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若关于x 的方程()f x x m =+有两个不同的实根，则实数所的取值范围为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)已知()()2cos 23sin cos cos 12f x x x x x π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭． (I)求函数()f x 的对称轴；(II)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2A a B c b=-，若不等式()f B m <恒成立，求实数m 的取值范围．17．(本小题满分12分)2015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成．为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有680人．(I)求等级为非常满意的人数：(II)现从等级为不满意市民中按评分分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改监督员，求3人中恰有1人评分在[40，50)的概率；(III)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．(注：满意指数=100满意程度的平均分) 18．(本小题满分12分)设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，126,,a a a 成等比数列．(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设()226131n n n b n a -=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．(本小题满分12分)已知直四棱柱11111,2,1,ABCD A B C D AD DD BC DC DC BC -====⊥，//,,AD BC E F 分别为11,CC DD 的中点．(I)求证：11BF A B ⊥；(II)求证：面BEF//面11AD C ．20．(本小题满分13分) ()22ln f x mx m x x =-+，(I)若函数()1f x x =在处取得极小值，求m 的值：(II)求函数()f x 的单调区间：(III)当10,,m x e ⎡⎫>∈+∞⎪⎢⎣⎭时，曲线()y f x =上总存在经过原点的切线．试求m 的取值范围．21．(本小题满分14分)已知椭圆()221222:10,,x y C a b F F a b+=>>是左右焦点，A ，B 是长轴两端点，点()12,,P a b F F 与围成等腰三角形，且123PF F S ∆=．(I)求椭圆C 的方程；(II)设点Q 是椭圆上异于A ，B 的动点，直线QA 、QB 分别交直线()2l x m m =<-：于M ，N 两点．(i)当1QF MN λ=u u u r u u u u r 时，求Q 点坐标；(ii)是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆经过点1F ?若存在，求出实数m 的值，若不存在。
山东省威海市高考数学第二次模拟试题理
高三理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足2(2)1i z -⋅=，则z 的虚部为 （A ）325i （B ）325 （C ）425i （D ）4252.已知集合2{|},{1,0,1}A x x a B ===-，则1a =是A B ⊆的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 3.设单位向量12,e e 的夹角为120，122a e e =-，则 ||a = （A ）3 （B（C ）7 （D4.已知等差数列{}n a 满足61020a a +=，则下列选项错误的是（A ）15150S = （B ）810a = （C ）1620a =（D ）41220a a +=5.双曲线22124x y -=的顶点到其渐近线的距离为 （A（B（C（D6.已知,x y 满足约束条件224220220x y x y x y ⎧+≤⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（A ）2 （B（C ）4 （D）7.周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则(2014)+(2015)f f =（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥；③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥； （A ）②③ （B ）③ （C ）②④ （D ）③④9.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC∆C = （A ） （B ） （C ） （D ）10.设()f x '为函数()f x 的导函数，已知21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则下列结论正确的是（A ）()f x 在(0,)+∞单调递增 （B ）()f x 在(0,)+∞单调递减 （C ）()f x 在(0,)+∞上有极大值 （D ）()f x 在(0,)+∞上有极小值第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案． 2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行 抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型 号产品总数为1800，则该批次产品总数为________. 12.右面的程序框图输出的S 的值为_____________. 13.已知0,0x y >>且2x y +=，则 的 最小值为______.14.若 ， 则1()f x dx =⎰_________.15.函数213()|2|122f x x x x =-+-+的零点个数为___________.22111x y xy++1()()f x f x dx x +=⎰3π23π6π56π三、解答题:本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知向量)2,cos (sin ),1,cos 2(x x x ωωω-=-=)0(>ω， 函数3)(+⋅=x f ，若函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）若将函数)(x f 的图象先向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到函数)(x g 的图象，当]2,6[ππ∈x 时，求函数)(x g 的值域.17.（本小题满分12分）一汽车4S 店新进A,B,C 三类轿车,每类轿车的数量如下表:同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率; （Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A,B,C 三种型号的车辆数分别记为,,a b c ，记ξ为,,a b c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）已知 {}n a 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. （Ⅰ）求证：数列2{}n S 为等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1),nn nb a -=求{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图：BCD 是直径为O 为圆心，C 是BD 上一点，且2BC CD =.DF CD ⊥，且2DF =，BF =Q 为BE 的中点，R 为FC 上一点,且3FR RC =.(Ⅰ) 求证：QR ∥平面BCD ；（Ⅱ）求平面BCF 与平面BDF 所成二面角的余弦值.20.（本小题满分13分）已知函数(),ln xf x ax x=+1x >. （Ⅰ）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2a =，求函数()f x 的极小值；（Ⅲ）若存在实数a 使()f x 在区间1(,)(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不同的极值点，求n 的最小值.21.（本小题满分14分）如图，过原点O 的直线12,l l 分别与x 轴，y 轴成30︒的角，点(,)P m n 在1l 上运动，点(,)Q p q 在2l 上运动，且||PQ =（Ⅰ）求动点(,)M m p 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设,A B 是轨迹C 上不同两点，且13OA OB k k ⋅=-， （ⅰ）求OA OB ⋅的取值范围；(ⅱ)判断OAB ∆的面积是否为定值？若是,求出该 定值，不是请说明理由.ED高三理科数学试题参考答案一、选择题 D A D C B, D B B A B 二、填空题 11. 4800； 12.2512； 13. 3 ； 14. 14； 15. 2；三、解答题16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）32)cos (sin cos 23)(+--=+⋅=x x x x f ωωω2sin 22cos 1sin 2cos 2)4x x x xx ωωωωπω=-+=-=-， ----------------------2分由题意知，πωπ==22T ，1=∴ω， ----------------------3分)42sin(2)(π-=∴x x f . ----------------------4分由Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解得：Z k k x k ∈+≤≤-,838ππππ, ----------------------5分∴)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],83,8[ππππ. ----------------------6分（Ⅱ）由题意，若)(x f 的图像向左平移4π个单位，得到)4y x π=+，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到)44sin(2)(π+=x x g ，------8分]2,6[ππ∈x ，]49,1211[44πππ∈+∴x ， ----------------------10分∴22)44sin(1≤+≤-πx ， ----------------------11分∴函数()g x的值域为[. ---------------------12分17．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P ,2224322963153618c c c P c ++++=== ----------------------4分 （Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4. ----------------------6分∴44491(4)126c p c ξ===∴313145362920613(3)12663C C C C P C ξ++==== ∴1269911(2)1(4)(3)112612612614P P P ξξξ==-=-==--== ∴其分布列为----------------------10分数学期望为111312023414631269E ξ=⨯+⨯+⨯= ----------------------12分 18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意知12n n nS a a =+，即221n n n S a a -=，① ----------------------1分 当1n =时，由①式可得11S =; ----------------------2分又2n ≥时,有1n n n a S S -=-，代入①式得2112()()1n n n n n S S S S S -----=整理得2211,(2)n n S S n --=≥． ----------------------3分 ∴ 2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列. ----------------------4分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）可得211n S n n =+-=， ----------------------5分∵{}n a是各项都为正数，∴n S = ----------------------6分∴1n n n a S S -=-=2n ≥）， ----------------------7分 又111a S ==,∴n a ----------------------8分（Ⅲ）(1)(1),n nnn n b a -===- ----------------------9分当n 为奇数时，11)(1n T n=-+-++--=当n 为偶数时，11)(1n T n =-+-+--+=∴{}n b 的前n 项和(1)n T =- ----------------------12分19．（本小题满分12分）解:(Ⅰ)连接OQ ，在面CFD 内过R 做RM ⊥CD∵O,Q 为中点，∴OQ ∥DF ,且12OQ DE =∵DF CD ⊥ ∴RM ∥FD ,又3FR RC =,∴14RM CR DF CF ==,∴14RM DF = ∵E 为FD 的中点，∴12RM DE =. ----------------------4分∴OQ ∥RM ,且OQ RM = ∴OQRM 为平行四边形，∵RQ ∥OM又RQ ⊄平面BCD , OM ⊂平面BCD , ∴QR ∥平面BCD . ----------------------6分（Ⅱ）∵2DF =,BF =BD =∴222BF BD DF =+,∴BD DF ⊥,又DF CD ⊥,∴DF ⊥平面BCD . ----------------------7分以O 为原点，OD 为y 轴建立如图空间直角坐标系∵2BC CD =，∴DBC ∠＝300，∴在直角三角形BCD中有CD =∴(0,B C F ----------------------8分 ∴632(,,0),(0,222BC BF ==，设平面BCF 的法向量为(,,),m x y z =∴020x z +=⎨⎪+=⎩，令1y =，则zx ==∴(3,1,m =- ----------------------10分面BDF 的一个法向量为(1,0,0)n =则cos ,2m n <>=-=- ∴平面BDF 与平面BCF ----------------------12分 说明：此题也可用传统的方法求解，第一问也可用向量法证明. 20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）2ln 1()ln x f x a x-'=+,由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立；----------------------1分∴2211111()ln ln ln 24a x x x ≤-=--， ----------------------2分 ∵()1,x ∈+∞，∴()ln 0,x ∈+∞， ----------------------3分∴110ln 2x -=时函数t =2111()ln 24x --的最小值为14-， ∴14a ≤- ----------------------4分(Ⅱ) 当2a =时，()2ln xf x x x=+ 222ln 1ln 12ln ()2ln ln x x xf x x x--+'=+= ----------------------5分 令()0f x '=得22ln ln 10x x +-=，解得1ln 2x =或ln 1x =-（舍），即12x e = ----------------------7分当121x e <<时，()0f x '<，当12x e >时，()0f x '>∴()f x 的极小值为11112222()2412ef e e e =+= ----------------------8分 （Ⅲ）原题等价于()0f x '=在1(,),(,n ne e n N *∈且1)n >上有两个不等的实数根；由题意可知222ln 1ln 1ln ()ln ln x x a xf x a x x--+'=+= ---------------------9分 即2ln ln 10a x x +-=在1(,)nne e 上有两个不等实根. ----------------------10分法一：令1ln ,()x u u n n=<<，2()1g u au u =+- ∵(0)10g =-<，根据图象可知：01401121()0()0a a n n a g n g n ⎧⎪<⎪∆=+>⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<⎪⎪<⎪⎩，整理得2210412211a n a n a n n a n n ⎧-<<⎪⎪⎪-<<-⎪⎨⎪<-⎪⎪<-⎪⎩ ----------------------11分 即2min 21111{,,}24n n n n n --->-，解得2n >， ∴n 的最小值为3. ----------------------13分法二： 令1ln ,()x u u n n =<<，22111111(),()24u a n u u n u-=-=--<< ----------------------11分由题意可知22112141114n n a n n a n n ⎧<<⎪⎪⎪-<<-⎨⎪⎪-<<-⎪⎩解得2221()0211()02n n n ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪->⎪⎩解得2n >，∴n 的最小值为3. ----------------------13分21. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意知12:,:,3l y x l y == ----------------------1分∴(),(,)P m Q p，由||PQ =22())8m p -+=，整理得22162p m +=1212121212221212133()()3(13)3()30OA OB y y k k x x y y kx m kx m x x k x x km x x m ⋅==-⇒=-=-++⇒++++=所以动点M 的轨迹C 的方程22162m p +=. ----------------------3分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y 所在直线为l ，当l 斜率不存在时，则11111111(,),(,),,OA OB y y A x y B x y k k x x -∴==- 由22211121133OA OB y k k x y x ⋅=-=-⇒=，又2211162x y +=，211y ∴= 21212122OA OB x x y y y ∴⋅=+== ---------------------5分 当l 斜率存在时，设l 方程y kx m =+，联立2236y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(13)6360k x k m x m +++-= ----------------------6分 2222223612(31)(2)12(62)0.........()k m k m k m a ∴∆=-+-=-+> 且2121222636,.3131km m x x x x k k --+==++ ----------------------7分由 整理得2213................()m k b =+ ----------------------9分 221212122222242442313m m OA OB x x y y x x k m m--∴⋅=+====-+ 由(),()a b 得2224131,04m k m=+≥∴<≤，22OA OB ∴-≤⋅< 综上：22OA OB ∴-≤⋅≤. ----------------------111221||||213OABS AB d x x mk ∆==-=+分（2）由（1）知，l斜率不存在时，2111||OABS x y∆==--------------------12分当l斜率存在时，将2213m k=+带入整理得OABS∆所以OAB∆----------------------14分。
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2016年威海市高考模拟考试
理科数学
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共5页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．
第I 卷(选择题 共50分)
注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i 为虚数单位，复数12i z a i -=
+的实部与虚部互为相反数，则实数a = (A)-1 (B)1 (C)3 (D) 3-
2．已知集合{}22
30A x x x =--<，(){}ln 2B x y x ==-,定义{},A B x x R x B -=∈∉且，则
A B -= (A)(-1，2) (B) [)2,3 (C)(2，3) (D) (]1,2-
3．已知()()
2,22a b a b a b ==+⋅-=- ，则a b 与的夹角为 (A)30° (B)45°
(C)60° (D)120° 4．命题p ：若22x y ≥，则11gx gy ≥；命题q ：若随机变量ξ服从正态分布
()()23,,60.72N P σξ≤=，则()00.28P ξ≤=.下列命题为真命题
的是
(A) p q ∧ (B) p q ⌝∧ (C) p q ∨⌝ (D) p q ⌝∧⌝
5．右图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果 (A)7 (B)8 (C)9
(D)10 6．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωθθπω=+<<>为奇函数，其
图象与直线y=2相邻两交点的距离为π，则函数()f x
(A)在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 (B)在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 第5题图
(C)在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 (D)在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增 7．若对任意实数x 使得不等式23x a x --+≤恒成立，则实数a 的取值范围是
(A) []1,5- (B) []2,4- (C) []1,1- (D) []5,1-
8．已知等腰ABC ∆
满足2AB AC AB ==，点D 为BC 边上一点且AD=BD ，则sin ADB ∠的值为
(A) 6
(B) 3
(C) 3
(D) 3
9．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()225OP OA OB ,,8
u R u λλμλ=+∈+=uu r uuu r uu u r ，则双曲线的离心率为
(A)
(B)
(C) (D) 98
10．已知函数()23261
x ax f x x ++=+，若存在x N *∈使得()2f x ≤成立，则实数a 的取值范围为
(A) [)15,-+∞
(B) (,2-∞- （C ）(],16-∞- (D) (],15-∞-
第II 卷(非选择题共100分)
注意事项：
1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．
2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．正四棱锥的主视图和俯视图如图所示，其中主视图为边长为1的正三角
形，则该正四棱锥的表面积为__________．
12
．在二项式9n
x ⎛ ⎝的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256
，
则展开式中x 的系数为___________．
13．若变量,x y 少满足约束条件32930,0x y x y y ≤+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
则z =x +2y 的最大值为__________．
14．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为C 上一点．若2,MF p MOF =∆
的面积为____________．
15．已知函数()31,1,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
，若关于x 的方程()f x x m =+有两个不同的实根，则
实数m 的取值范围为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)已知()()()2cos sin cos cos 102f x x x x x πλλ⎛⎫=-+-+> ⎪⎝⎭
的最大值为3．
(I)求函数()f x 的对称轴；
(II)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2A a B c b
=-，若不等式()f B m <恒成立，求实数m 的取值范围．
17. (本小题满分12分)
已知四棱锥P A B C D -，底面ABCD 为平行四边形，PD ⊥底面ABCD
，2,AD PD DC ==E,F 分别为PD ，PC 的中点，
且BE 与平面ABCD
. （I ）求证：平面PAB ⊥平面PBD ；
（II ）求面PAB 与面EFB 所成二面角的余弦值.
18．(本小题满分12分)
2015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成．为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
已知满意度等级为基本满意的有680人．
(I)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度.现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；
(II)在等级为不满意市民中，老年人占13
.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导
员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分
布列及数学期望E （X ）；
(III)相关部门对项目进行验收，验收的硬性
指标是：市民对该项目的满意指数不低于
0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的
统计知识，判断该项目能否通过验收，并说
明理由．(注：满意指数=
100
满意程度的平均分)
19．(本小题满分12分)设单调数列{}n a 的前n 项和为n S ，2694n n S a n =+-，126,,a a a 成等比数列．
(I)求数列{}n a 的通项公式；
(II)设()226131n n n b n a -=
+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．(本小题满分13分) 已知函数()()()ln 1,, 1.ax f x x g x a x a
=+=>+ (I)若函数()()1f x x x =与g 在处切线的斜率相同，求a 的值：
(II)设()()()()=,F x f x g x F x -求的单调区间：
(III)讨论关于x 的方程()()f x g x =的根的个数．
21．(本小题满分14分)已知椭圆()22
1222:10,,x y C a b F F a b
+=>>是左右焦点，A ，B 是
长轴两端点，点()12,,P a b F F 与围成等腰三角形，且12PF F S ∆=
(I)求椭圆C 的方程；
(II)设点Q 是椭圆上异于A ，B 的动点，直线4x QA QB =-与，分别交于M,N 两点．
(i)当1QF MN λ= 时，求Q 点坐标；
(ii)过点M,N ，1F 三点的圆是否经过x 轴上不同于点1F 的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由.。