职高_基础模块_第三章函数全教案

课题§3.1 函数的概念（1）

【教学目标】1. 培养从图表中获得函数关系的能力，明确自变量、因变量；

2. 理解函数的“集合式”定义及符号表达；

3. 理解函数的定义域和值域 .

【教学重点】函数的概念：对应法则、定义域和值域

【教学难点】从集合的观点对函数概念的理解。

【教学过程】

一、引入

同学们，我们生活的这个世界，有各种各样的事物，而每个事物间又是相互联系、相互依赖的。如：随着时间的变化，太阳东升日落，气温也在悄悄变化，我国的国民生产总值在不断增长等等。试问：我们如何刻画这些变化着的现象？怎样找到这些现象中变量之间的关系？

二、探究活动

在现实生活中，我们会遇到下列问题：

1．

⑴上午8时的气温约是多少？图中的A点表示了什么信息？

⑵请指出这一天气温相同的两对时间点。

⑶这一天的最高气温是多少？最低气温是多少？分别在几时？

⑷图3-1表示了该城市什么时间段的气温变化情况？这一天的温差是多少？气温从最低上升到最高经过了多长时间？

⑸这段时间段内气温在上升？哪些时间段内气温在下降？

＃对任一时刻t ，都有惟一的温度θ与之对应。

2．（书P39）问题解决

上述三个问题中，都反映出两个变量之间的关系，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值也随之惟一确定。

回忆初中学习的函数的概念？（书P39页脚）

考察上述函数关系，回答下列问题：

⑴各个函数关系中自变量取值的集合分别是什么？其中有空集？

● 每个问题均涉及两个非空数集A ，B 。

⑵各个函数关系中对于自变量的每一个取值，按什么规则找到唯一的因变量值与之对应？

● 存在某种对应法则，对于A 中任意元素x ，B 中总有一个元素y 与之对应。

〖单值对应〗 对于A 中的任一个元素x ，B 中有惟一的元素y 与之对应。 或一个输入值对应到惟一的输出值。 【练习1】

1． 问题1中的对应t →θ，是否为单值对应？ θ→t 是否为单值对应？ 2． 完成教材第39页练习，这些对应是单值对应吗？ 3． 完成教材第40页例题1，这些对应是单值对应吗？ 〖总结1〗单值对应为一对一，多对一，而不能一对多。

〖函数的概念〗 ⑴ 设A 、B 是一个非空的数集，如果对于集合A 中的任何一个元素x ，

按照某个确定的法则f ，在B 中都有惟一确定的元素y 与它对应，那么这种对应关系f 就称为从A 到B 的函数，记为y=f （x ）,其中x 为自变量，y 为因变量。

函数y=f （x ）也可简记为f （x ）。函数y=f （x ）在x=a 时的函数值记作f （a ）。

问题2 问题1

所有自变量x 组成的集合A 叫函数的定义域，因变量y 的取值集合叫做函数的值域。

⑵ 函数是建立在两个非空的数集上的单值对应。 ⑶ 函数的三要素：定义域、对应法则、值域。

⑷ 一一对应函数：如果y 是x 的函数，并且对于值域中任 一y ，在定

义域A 中存在惟一的x ，使y ＝f(x)，则这样的函数叫做一一对应函数．

三、例题

例1.判断下列对应是否为函数，若是，是否为一一对应函数： （1—4备选《教与学新方案》P58例1） ⑴

{}0,2

≠∈→x x x x

x

⑵ R y N x x y y x ∈∈=→,,,2

这里 ⑶ R y N x x y y x ∈∈=→,,,2

这里

⑷ {

}{}6,4,3,2,0,5,4,3,2,1,1∈∈+=→y x x y x ⑸ 如下图所示的对应x →y ，能表示函数的是 。

〖小结2〗

判断对应是否为函数，一般从两方面入手：

（1）D 中的每一个值是否对对应关系都有意义？ （2）由对应法则f 得到的值是否唯一？

函数概念的要点：

⑴ 两个非空数集A 、B 。

⑵ A 中的任一个元素，B 中都有惟一的元素与之对应；而B 中的元素在A 中的对

应元素可以不惟一，也可以没有。

x

A

B

x C x D

例2.（书P40 例2）已知函数

1

27)(-+

=x x f ，求当x=－1,0,2时的函数值。

点拨：当()x f 中的x 用一具体值代人时，可直接求出函数式的值，当()x f 中的x 用一代数式代入时，可求得另外一个解析式。

提高练习：(1)用上例求()x f 3

(2)已知

()5312

--=-x x x f ，求()x f 的解析式。

【练习2】完成教材第40页练习2.

四、课堂练习 见上练习1、2 五、课堂小结

1.理解函数的概念。

2.把握函数的“对应关系”，确定自变量，因变量。

六、布置作业

1.完成教材第42页习题 1 , 3

2.完成《学习指导用书》及《教与学》中《函数的概念（1）》中练习。

七、板书设计

八、教后反思

课题 §3.1 函数的概念（2）

【教学目标】1.会求一些最基本函数定义域、值域、最大值、最小值

2.能对以往学过的知识理性化思考，对事物间的联系有一种数学化的思考。 【教学重点】求最基本函数的定义域和值域 【教学难点】求最基本函数的函数的值域 【教学过程】

一、复习

1.函数的概念？

设A 、B 是一个非空的数集，如果对于集合A 中的任何一个元素x ，按照某个确定的法则f ，在B 中都有惟一确定的元素y 与它对应，那么这种对应关系f 就称为从A 到B 的函数，记为y=f （x ）,其中x 为自变量，y 为因变量。

其中，所有自变量x 组成的集合A 叫函数的定义域，因变量y 的取值集合叫做函数的值域。

2.①函数是单值对应，一个输入值对应惟一的输出值，即“一对一”或“多对一”的对应。

②函数的三要素：定义域、对应法则、值域；只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

二、新课讲授

从书P40表3-1、P39图3-3、P39（3）问题中我们可以看出,函数可以用列表,图象,解析式来表示。

对给定的函数时必须要指明定义域，对于用解析式表示的函数如果没指明定义域，则认为函数的定义域是指使解析式有意义的所有实数组成的集合。（书P41）

三、例题

例1.求下列函数的定义域： （1）

827)(23-+=x x x f （2）x

x x f 13)(-= （3）2)(+=

x x f

（4）

()

1)(+=x x f (5)

2

31)(+=

x x f (6)

211)(--

+=x x x f （7）若函数f(x)的定义域[0,3]，求下列函数的定义域 ①

)4(+x f ②)1(2-x f

分析：(1)函数的定义域是指函数表达式有意义的输入值的集合。

(2)函数的定义域必须用集合或区间来表示，不能只用不等式表示。

〖总结1〗：一.求函数定义域的原则（1）0

1

≠

（2）偶

0≥

（3）

()0

0≠

（4）函数表达式由几个式子构成，则定义域是使各个部分

式子都有意义的实数集合的交集。

二．求抽象函数的定义域时，应将f(x)中处于x 位置的表达式视为整体。

例2．试比较下列两个函数的定义域和值域 （1）}3,2,1,0,1{,1)1()(2

-∈+-=x x x f （2）1)1()(2+-=x x f

例3.求下列函数的值域 （1）y=2x-1 (2) (]3,1,53-∈-=x x y

(3)422+-=x x y

(4)]4,1[,422-∈+-=x x x y （5）}0{,1

≠∈=x x x x

y

分析:(1)直接法 (2)图像法（3）配方法 （4）图像法 (5)图像法

〖总结3〗：（1）一次函数R x b kx y

∈+=,时的值域为：R ；

（2）一次函数D x b kx y ∈+=,时的值域与集合D 的取值有关，可代入； （3）二次函数R x c bx ax y ∈++=,2的值域时可以配方，x ∈D 的值域时可以用图像法

（4）反比例函数}0{,≠∈=x x x x

k

y 的值域为}0{≠∈y y y

例4判断下列各组中两个函数是否为同一个函数：（备《教与学新方案》P58例2） （1）3

)

5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y

（2）

()

11-=x y

12=y

（3） x x f =)( 2

)(x x g =

（4） x x f =)( 33

)(x x F =

（5）2

1)52()(-=x x f 52)(2-=x x f

分析：两个函数是否表示同一函数，主要看三要素：定义域、对应法则、值域是否相同。

〖总结2〗：若两个函数的定义域，对应法则一致，则它们的值域一定相同，所以判断函数是否相同只要判断函数的定义域和对应法则是否相同即可。

四、课堂练习

《导学与同步训练》P54-55 试金石

五、课堂小结

1.理解函数的定义域和值域的概念。

2.会求简单函数的定义域和值域。

六、布置作业

完成《学习指导用书》及《导学》中《函数的概念（3）》P55中练习。

七、板书设计

八、教后反思

课题 §3.2 函数的表示方法

【教学目标】1. 能从不同方式表示的函数关系中获得函数的基本特征；

2. 掌握函数的三种表示法。 【教学重点】能用几种方法表示函数 【教学难点】理解解析式、图像法表示函数 【教学过程】

一、阅读并划出三种表示法的定义的关键词

函数的表示法（书P43-44,46-47） （1）列表法

定义：列出表格来表示两个变量的函数关系。 它的优点是：不必通过计算就能知道函数对应值。

例：初中接触过的平方表，平方根表，立方表，立方根表，三角函数表，汽车、火车站的里程价目表等等。

又如：1990-1994年国民生产总值表（略）。

（2）图象法

定义：用函数图象表示两个变量之间的关系。

例：平时作的函数图象：二次函数、一次函数、反比例函数图象。 又如：气象台温度的自动记录器，记录的温度随时间变化的曲线（略） 人口出生率变化曲线（略）

它的优点是：直观形象地表示出函数变化情况。

注意：函数的图象可以是直线（如：一次函数）、曲线（如：抛物线），也可以是折线及一些孤立的点集（或点）。

（3）解析法

定义：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式。 它的优点是：关系清楚，容易求函数值、研究性质。 例：匀速直线运动公式： vt s = （如 t s 60=）

圆面积公式： π=A 2

r

圆柱表面积： rl s π2=

二次函数

c bx ax y ++=2

)0(≠a 2-=x y （x ≥2）

二、例题讲解

例1. 一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度。

1. 由记录表推出这5小时中水位高度y （米）随时间t （时）变化的函数解析式，并画出函数图像。

2.

据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预计再过2小时水位高度将达到多少米？

（《教与学新方案》P62例1）

〖总结1〗：函数的图像通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。

例2.把长为a 的铁丝折成矩形，设矩形的长一边为x ，面积为s ，求矩形面积s 与一边长x 的函数关系式。（《教与学新方案》P62例2）

〖总结2〗：在解决实际问题时，求出函数解析式后，要写出定义域。

三、课堂练习

1.《导学与同步训练》P57-59 试金石

2.画出x y

的图像。

四、课堂小结

1.理解函数三种表示法；

2.会三种函数的表示法间的转化。

五、布置作业

1.完成《教与学》P63-65

2.完成《导学》中《函数的表示方法（1）（2）》P57-60

六、板书设计

七、教后反思

课题§3.3 函数的单调性（1）

【教学目标】1.渗透数形结合的数学思想。

2.理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。【教学重点】函数单调性概念。

【教学难点】函数单调性概念。

【教学过程】

【探究活动】

一、创设情境

问题1：观察下列函数的图象，并指出图象变化趋势。

(4)（书P38图3-1）

问题2：这四个函数在定义域范围内，哪些区间上随自变量x的增大，因变量y也增大，哪些区间上随自变量x的增大，因变量y减小？

二、师生探究

问题3：如何用数学语言来准确表达函数的单调性？

例如，怎样表述当x的值在区间（0，+ ）上增大时，函数y的值也增大？

能否说，由于x=1时，y=3 ; x=2时，y=5就说随着x的增大，函数值y也随着增大？

能否说，由于x=1,2,3,4,5,…时，相应地y=3,5,7,9,…就说随着x的增大，函数值y也随着增大？

那么单调增函数如何精确定义呢？

一般地，设函数()f x 的定义域为A,区间A I ?.

如果对于区间I 内的任意．．

两个值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间．．I 上．是单调增函数，I 称为()f x 的单调增区间。

练习：指出问题1中各函数的单调增区间。

问题4：如何定义单调减函数？

如果对于区间I 内的任意．．

两个值1x 、2x ,当1x <2x 时都有)()(21x f x f >，那么就说()f x 在这个区间．．I 上．

是单调减函数，I 称为()f x 的单调减区间。

练习：指出问题1中各函数的单调减区间。

如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。

练习：指出问题1中各函数的单调区间。

说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性； （3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：

①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数；

②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <．

三、数学应用

例1画出下列函数的图象，并写出单调区间： （1）27)(+=x x f （2）2

x

y = （3）)0(,1

≠=

x x

y

思考：能不能说，函数)0(,1

≠=x x

y 在定义域),0()0,(+∞?-∞上是单调减函数？

例2求证：函数11

)(--=x

x f 在区间)0,(-∞上是单调增函数

拓展：判断函数11

)(--

=x

x f 在定义域上的单调性？ 析：（1）判断 （通过画图）

（2）证明：1.在)0,(-∞上单调增 设()0,,21∞-∈

?x x 且12x x <

?

12()()f x f x -=

2

121122111)11()11(x x x x x x x x -=-=-----

Θ021<

∴021<-x x ，021>x x

0)(2

12

121<-=

-x x x x x x f 即12()()f x f x <。 因此函数11

)(--

=x

x f 在)0,(-∞上单调增 (注意：通分后分别判断21

x x -和21x x 与0的大小关系)

2.在),0(+∞上单调减 与上类同

〖总结1〗：判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤： ①取值：在给定区间上任取两个值1x ，2x ，且12x x <；

②作差变形：作差12()()f x f x -，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；

（一般写出因式相乘的形式）

③定号：判断上述差12()()f x f x -的符号，若不能确定，则可分区间讨论； ④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。

四、课堂练习 书P51、54练习

五、课堂小结

1． 函数单调性如何定义的？单调增函数、单调减函数分别要满足什么条件？

2． 怎样判断函数单调性？有哪些方法？

六、布置作业 ㈠

1、书P54习题1 （1）-（6）

2、下列说法正确的有（ ）

①若I x x ∈21,，当21x x <时，)()(21x f x f <，则)(x f y =在I 上是增函数 ②函数2

x y =在R 上是增函数 ③函数x

y 1

-=在定义域上是增函数 ④x

y 1

=

的单调区间是),0()0,(+∞?-∞ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

3、设函数b x a x f +-=)12()(在R 上是减函数，则有 A.21≥

a B.21≤a C.21>a D.2

1

㈡、完成《学习指导用书》及《导学》中《函数的单调性》P61-63中练习。

课题 §3.3 函数的单调性（2）

【教学目标】1.进一步掌握单调性，会求复合函数的单调区间； 2. 会应用单调性解题。

3. 学会根据函数单调性的判断进而求解函数的最值。

【教学重点】1.复合函数单调性的判断。 2. 函数最值的求解。 【教学难点】1.复合函数单调性的判断。 2. 函数最值的求解。 【教学过程】 【学前准备】

我们知道x y 1=)0(≠x 的单调区间是),0()0,(+∞-∞和，那么21

x

y =)0(≠x 的单调区间与x

y 1

=

)0(≠x 相同吗？其单调性也是一样吗？ 【探究活动】 四、创设情境

函数单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质。判断函数的单调性的方法有：①定义法；②图象法。

练习：证明)1,0(是函数x

x y 1

+=的单调递减区间。

五、师生探究

例1．判断下列函数的单调区间：2

1x y =

〖总结1〗：复合函数的单调性的判断：

设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数。

①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）

例2．已知函数

22)13()(a x a ax x f +--=在区间[)+∞-,1上是增函数，求实数a 取

值范围； （《教与学》P71例1）

析：分一次函数，二次函数分别讨论

例3下图为函数]7,4[),(-∈=x x f y 的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。

例4求下列函数的最小值：

（1）x x y 22

-= （2）]3,1[,1

∈=x x

y （3）x x y +-=12

变式延伸：（1）[]3,1,22

-∈-=x x x y

（2）??????∈-=3,23,22x x x y

你能总结出求解函数最值的方法吗？

（先画图，然后看图结合单调性判断）

四、课堂练习 1．（1）函数24x y -=

的单调递减区间是 ，

单调递增区间为 ．