苏州大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试1
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版).doc
96
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100
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2014年考研数学一真题及答案解析
(B)充分非必要条件. (D)既非充分也非必要条件.
1 0 【解析】由 (α 1 + kα 3, α 2 + lα 3) = (α 1, α 2, α 3) 0 1 知， k l
当 α 1, α 2, α 3 线性无关时，因为
1 0 ≠0 0 1
所以 α 1 + kα 3, α 2 + lα 3 线性无关 反之不成立 如当 α 3 = 0 ,
}
， 则
a1 cos x + b1 sin x =
（A） 2π sin x . 【解析】 解析】令 Z ( a, b) = (B) 2 cos x . (C) 2π sin x . (D) 2π cos x .
∫
π
−π
( x − a cos x − b sin x) 2 dx
π Za ′ = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− cos x)dx = 0 π ′ Zb = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− sin x)dx = 0
针方向，则曲面积分 [ ] zdx + ydz =___________.
∫
x = cos t 【解析】 解析】令 y = sin t z = − sin t
∴
t : [0,2π]dz =
∫ [− sin t (− sin t ) + sin t (− cos t )]dt
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完 整精准版)
一、选择题： 选择题：1~8 小题， 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中， 下列每题给出四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的， 符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 （1）下列曲线中有渐近线的是 （A） y = x + sin x . (B) y = x 2 + sin x . (C) y = x + sin
2014考研数学一真题及答案
（23） 【答案】 （1） EX
ˆ （2）
（3）存在
1 n X i2 n i 1
6( y )2 y 3 y 2 y 2 yy 2 yy x 2( y )2 x 2 yy 2 y 2 xy 2 xy x 2 y 0 12 y( 1 ) 4 y( 1 ) 4 y( 1 ) 0 9 y( 1 ) 4 y( 1 ) 9 0 4
y 2x 1 x
（12） （13）[-2,2] （14）
2 5n
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、 ．．． 证明过程或演算步骤. （15） 【答案】
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
x
lim
x
1
[ t ( e 1 ) t ] dt x 2 ln( 1
2E 2E f ( e x cos y )e 2 x ( 4 E e x cos y )e 2 x x 2 y 2 f ( e x cos y ) 4 f ( e x cos y ) e x cos y
令 e x cos y u ， 则 f ( u ) 4 f ( u ) u ， 故 f ( u ) C1e 2 u C 2 e 2u 由 f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 0 , 得
（21） 【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
0, y 0, 3 y, 0 y 1, 4 （22） 【答案】 （1） FY y 1 1 1 y ,1 y 2, 2 2 1, y 2.
（2）
3 4 1 , EX 2 2
1 x x
苏州大学数学分析试题集锦(2000-2012年)
7. 设 f 在0, 上单调递减，且 f x dx 收敛。证明 lim xf x 0 。
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
8.
（1） 设 f 在有限闭区间a, b 上连续。证明 f 可以连续地延拓到 上，即存在 上
的连续函数 F ，使 x a,b 时，有 F x f x 。
（2） 设二元函数 f x, y 在闭圆盘 B x, y : x2 y2 1 上连续。证明存在 2 上
（2） x R ， f x 2 。
2
2008 年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题 1. 求下列极限。
（1） lim
1
1
1
；
n n2 1 n2 2
n2 n
（2） lim ex3 1 x3 。 x0 sin2 2x
2.
计算积分
2 0
a2
cos2
dt t
b2
sin2
苏州大学
2012 年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题 一、下列命题中正确的给予证明，错误的举反例或说明理由。共 4 题，计 30 分。
1.
设
f
x
在
a,
b
上连续，且
b
a
f
x dx 0 ，则 x a,b ，
f
x 0。
2. 在有界闭区间a,b 上可导的函数 f x 是一致连续的。
3. 设 f x 的导函数 f x 在有限区间 I 上有界，则 f x 也在 I 上有界。
1. 设 f x 在a,b 上可微，证明：存在 a,b ，使成立
2 f b f a b2 a2 f 。
2. 设 f x ex2 sin x ，求 f 2012 0 。
苏州大学数学分析考研部分试题答案
1、设)(x f 是以T 为周期的周期函数且⎰=TC x f T 0)(1，证明⎰+∞∞→=n n C dx x x f n 2)(lim 。
证明：由⎰=T C x f T 0)(1，得到⎰=-Tdx C x f T 00])([1，从而有⎰=-T dx C x f 00])([ （*）本题即证明⎰+∞∞→=-n n dx x C x f n 0)(lim 2（此因⎰+∞=n n dx x112） 注意到21x 是递减的正函数，应用积分第二中值定理，对ξ∃>∀,n A 介于n 与A 之间，使⎰⎰-=-A n n dx C x f n dx xC x f n ξ])([1)(2 k ∃为非负整数使T kT n <--<ξ0，于是由（*），dx C x f dx C x f dx C x f dx C x f kTn kTn kTn nn⎰⎰⎰⎰+++-=-+-=-ξξξ])([])([])([])([于是有dxC x f n dx C x f n dx C x f n dx x C x f nTkT n kT n An⎰⎰⎰⎰-≤-≤-=-++02)(1)(1])([1)(ξξ令∞→A 有dx C x f n dx xC x f nTn⎰⎰-≤-∞+02)(1)( 故⎰+∞∞→=-nn dx x C x f n0)(lim 2，即⎰+∞∞→=n n C dx x x f n 2)(lim 。
2、设函数f(x)在整个实数轴有连续的三阶导数，证明存在实数a 使0)()()()(''''''≥a f a f a f a f 。
证明：由于f 的三阶导数连续，故若'''''',,,f f f f 有一个变号的话，利用根的存在性原理便知，使a ∃0)()()()(''''''＝a f a f a f a f ，结论得证。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析.doc
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。
（1）下列曲线中有渐近线的是 （A ）sin y x x =+.(B)2sin y x x =+.(C)1sin y x x =+.(D)21sin y x x=+.【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]limsin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线【答案】C(2)设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ） (A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥. (B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(D)当0f '≥时，()()f x g x ≤【解析】当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()() f x g x ≤ 【答案】D(3)设(),f x y是连续函数，则110(,)ydy f x y -=⎰⎰（A）11110(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰.（B）1101(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰.（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin ).d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin ).d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰【解析】积分区域如图 0≤y ≤1.1x y ≤≤-用极坐标表示，即：D 1:,012r πθπ≤≤≤≤ D 2: 10,02cos sin r πθθθ≤≤≤≤+【答案】D （4）若{}2211,(cos sin )(cos sin )mina b Rx a x b x dx x a x b x dxππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（A ）2sin x π.(B)2cos x .(C) 2sin x π. (D)2cos x π. 【解析】令2(,)(cos sin )Z a b x a x b x dx ππ-=--⎰2(cos sin )(cos )0(1)2(cos sin )(sin )0(2)a b Z x a x b x x dx Z x a x b x x dx ππππ--⎧'=---=⎪⎨'=---=⎪⎩⎰⎰由（1）得 202cos 0axdx π=⎰故10,0a a ==由（2）得 0120sin 22sin x xdx b b xdxππ===⎰⎰【答案】A(5)行列式00000000a b abc d c d= （A ）（ad-bc ）2（B ）-（ad-bc ）2。
2014年考研数学试题详解及评分参考
有
ò ò ò EY1 =
+¥ -¥
y
×
1 2
[
f1( y) +
f2 ( y)]dy
=
1 2
+¥ -¥
y
×
f1( y)dy
+
1 2
+¥ -¥
y
×
f2 ( y)dy
=
1 2
(m1
+
m2 ),
EY2
=
1 2
(EX1
+
EX 2
)
=
1 2
(m1
+
m2
)
，可见
EY1
=
EY2
；
ò ò ò 又 E(Y12 ) =
+¥ -¥
x + sin x
1 x
= 1，且 lim[(x+ sin x®=
0
，故
y
=
x
是其斜渐近线.
综上所述，应选 (C) .
(2) 设函数 f (x) 具有 2 阶导数， g(x) = f (0)(1- x) + f (1)x ，则在区间[0,1] 上
(A) 当 f ¢(x) ³ 0 时， f (x) ³ g(x)
y2
×
1 2
[
f1( y) +
f2 ( y)]dy=
1 2
+¥ -¥
y2
f1 (
y)dy
+
1 2
+¥ -¥
y2
f2
(
y)dy
=
1 2
(s12
+
m12 )
+
2014年考研数一真题及答案解析(完整版)
2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B）（8）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
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苏州大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题
数学分析
一、 下列命题中正确的予以证明，错误的举反例或说明理由(30分)。
1. 若级数∑∞
=1
n n n a sin 收敛，则级数∑∞
=1
n n a 一定收敛.
2. 设函数()x f 在区间(0,1)上连续有界，则()x f 在(a,b )上一致连续.
3. 设函数()x f 在闭区间[a,b ]上连续，且()02=⎰dx x f b
a ，则()0=x f . 4. 设函数()x f 在闭区间[a,
b ]上可微，则()x f '在[a,b ]上有界. 5. 存在闭区间[0,1]上的函数，仅在两点x =14⁄与x =12⁄连续.
二、 (60分) 1. 计算下列极限：
⑴n s n
s s n
n ln lim 1
2121++++∞
→ ,其中数列{}n s 满足s s n n =+∞→lim . ⑵2
1
02233x x x x x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→ln ln lim .
2. 以ω为新的函数，ζηξ、、为新的自变量，变换方程
z xy
u z u z y u y x u x +=∂∂+∂∂+∂∂
其中z
u z z
y z
x
====ωζηξ,,,.
3. 过椭圆3x 2+2xy +3y 2=1上任意点作此椭圆的切线，求切线与两坐标轴围成的三角形面积最小者.
4. 计算重积分
()()
⎰⎰⎰
≤++⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++--2
2
2
2
3
2
2
2
a
z y x z y x b dxdydz
x b ，其中0>>a b . 三、 (36分)
1. 试确定正项收敛级数∑∞
=1n n a 满足的充分必要条件，使得存在正项收
敛级数∑∞
=1
n n b ，满足:∑
∞
=1n n
n
b a 收敛. 2. 对于0>x ，证明不等式:()()()32221
20
2
++≤
-⎰n n tdt t t n
x
sin
.
3. 设()x f 在(0,+∞)上二阶可微,且已知()
()x f M x +∞∈=,sup 00和
()
()x f M x ''=+∞∈,sup 02为有限数.证明: ()
()x f M x '=+∞∈,sup 01也是有限数,并
满足不等式2012M M M =. 四、 (24分)
1. 设()x f 在区间[0,+∞)上连续可微，且()10=f .证明:若对任意0>x 有()x e x f -≤,则存在00>x ,使得
()000=+'-x e x f
2. 设函数()x u 在(0,+∞)上二阶连续可导，且满足()()122+=''x
x u x u ,证明：
⑴要么lim x→0
+u (x )存在有限，要么lim x→0
+u (x )=+∞.
⑵若lim x→0
+xu ′(x )=0,则lim x→0
+
u (x )=0.。