福建工程学院线性代数试卷(21)
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
福建工程学院数字逻辑电路期末考试试卷及答案
福建工程学院2022-2022学年第一学期期末考试试题〔答案〕考试科目：数字逻辑电路 试卷类别：3卷 考试时间：110 分钟 XXXX 学院 ______________系 级 班姓名 学号 毛题号 一 二 三 四 总分 得分一、选择题〔每题2分，共20分〕1． 八进制〔273〕8中，它的第三位数2 的位权为___B___。
A ．(128)10B ．(64)10C ．(256)10D ．(8)102. 逻辑表达式C B C A AB F ++=，与它功能相等的函数表达式_____B____。
A ．AB F = B ．C AB F += C ．C A AB F +=D ．C B AB F +=3. 数字系统中，采用____C____可以将减法运算转化为加法运算。
A ． 原码B ．ASCII 码C ． 补码D ． BCD 码4．对于如下图波形,其反映的逻辑关系是___B_____。
A ．与关系B ． 异或关系C ．同或关系D ．无法判断得分 评卷人装订线内请勿答题5． 连续异或1985个1的结果是____B_____。
A ．0B ．1C ．不确定D ．逻辑概念错误6. 与逻辑函数D C B A F +++= 功能相等的表达式为___C_____。
A ． D C B A F +++= B ． D C B A F +++=C ．D C B A F = D ．D C B A F ++=7．以下所给三态门中，能实现C=0时，F=AB ；C=1时，F 为高阻态的逻辑功能的是____A______。
8. 如下图电路，假设输入CP 脉冲的频率为100KHZ ，那么输出Q 的频率为_____D_____。
A ． 500KHzB ．200KHzC ． 100KHzD ．50KHz9．以下器件中，属于时序部件的是_____A_____。
A．计数器B．译码器C．加法器D．多路选择器10．以下图是共阴极七段LED数码管显示译码器框图，假设要显示字符“5”，那么译码器输出a～g应为____C______。
2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A试卷解答
北 方 交 通 大 学2000-2001学年第二学期线性代数期末考试试卷（A 卷）一．填空题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121xA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，且BA AB =，则=x _______；=y _______． 解：由BA AB =，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121012012121xy y x ， 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2142124y xy xy x y ． 即112,4=--=x y y ，解方程组，得2,1==y x ．且当2,1==y x 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1121A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0122B ， 验证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=212401221121AB ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212411210122BA 此时有BA AB =． 应填：2,1==y x ．2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ，其中0,0≠≠i i b a ()3,2,1=i ，则()=A r _______．解：由该矩阵的构造，以及行列式的运算性质，可知该矩阵的任意一个1阶子式均不为0，而任意一个二阶子式都为0．因此该矩阵的秩()1=A r ． 应填：()1=A r ．3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且0≠=a A ，则=*A _______．解： 由E A AA=*，两端取行列式，得nAE A AA==*．由于两个n 阶矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积，因此有 nA A A =*，即na a =*A．由题设，0≠=a A ，得11*--==n n aA A．应填：1-n a ． 4．设向量()3,2,11-=α，()5,2,02-=α，()2,0,13-=α，()8,5,44=α，则4321,,,αααα线性_______关．解：根据向量线性相关的性质：1+n 个n 维向量必然线性相关．可知4321,,,αααα线性相关．应填：相关．5．设A 是3阶矩阵，A 有特征值1,1,0321=-==λλλ，其对应的特征向量分别为1ξ，2ξ，和3ξ，设[]321,,ξξξP =，则=-AP P 1___________．解：根据矩阵的相似标准形的理论，我们有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1101AP P 应填：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11． 6．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是___________． 解：根据齐次线性方程组解的结构理论，得齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是()n r =A ．应填：()n r =A ． 7．已知：()()3122232132124,,x x x x x x x x f +++=β是正定二次型，则β的取值范围是___________． 解：此二次型所对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=40001βββA ． 则此二次型为正定二次型的充分必要条件为矩阵A 是正定二次型．而A 是正定二次型的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式皆大于零．即001>=ββ； ()04400012>-=βββββ．因此有不等式组⎩⎨⎧>->0402ββ，解之得20<<β． 应填：20<<β．8．设3阶方阵A 的列分块矩阵为[]321,,αααA =，a 、b 是数，若213αααb a +=，则=A ___________．解：根据行列式的运算性质，得 [][]2121321,,,,αααααααA b a +==[][][]0,,,,,,2211212121=+=+=ααααααααααb a b a ．应填：0．9．设不含零向量的n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，则m 与n 的大小关系为______． 解：因为n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，所以向量组m ααα,,,21 是线性无关的向量组．因此n m ≤． 应填：n m ≤．10．设有一个四元非齐次线性方程组 b AX =，()3=A r ，321,,ααα为其解向量，且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=79911α， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+899132αα， 则此方程组的一般解为____________． 解：由于四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵的秩()3=A r ，因此齐次线性方程组b AX =的导出组0AX =的基础解系中有一个解向量．由于2α与3α都是非齐次线性方程组b AX =的解向量，所以()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+42929212132αα也是非齐次线性方程组b AX =的解向量．因此()13221ααα-+是齐次线性方程组0AX =的解向量．所以()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-+69917991289912132ααα或者⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6991是齐次线性方程组0AX =的基础解系中的一个解向量．因此，非齐次线性方程组b AX =的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ， （其中k 是任意常数）． 应填：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ．二．（本题满分8分）计算n 阶行列式1111111332211------=n n a a a a a a a a D ．解：将行列式按第1列展开，得1111111332211------=n n n a a a a a a a a D ()1211114433221111111-+---+-----=n n n n a a a a a a a a a a a a()1211111-+--+-=n n n a a a D a由此得递推公式：()1211111-+--+-=n n n n a a a D a D于是，()[]()121113222111-+---+-+--=n n n nn n a a a a a a D a a D()()12112212121-+--+-=n n n a a a D a a== ()()()121122212121-+----+-=n n n n a a a n D a a a而1112211----=-=n n n a a a D所以，()()()()1211122121221-+-----+-⋅-=n n n n n n a a a n a a a a D()()122111221111--+----=-=n n n n n n a a a na a a a na ．三．（本题满分8分）已知矩阵X 满足关系式：X B XA 3+=T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1234A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41032B ， 求X ． 解：由X B XA 3+=T ，得T B X XA =-3，即()T B E A X =-3 而 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-2231300312343E A ， 所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---1232412231311E A ． 在等式()T B E A X =-3两端右乘()13--E A ，得()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-12212314884644112324140130231E A BX T． 四．（本题满分10分）设向量组[]Tk ,1,0,01=α，[]Tk 0,1,,02=α，[]T0,0,1,13=α，[]Tk 1,0,0,4=α，问：⑴ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性相关，并求其秩及一个极大无关组．解：⑴ 4维向量组4321,,,αααα线性无关当且仅当4阶行列式0,,,4321≠αααα．而 11000100011101000100011100011010100,,,4321kk k kk k kk k --=-==αααα()1101000100011111000100011-=--=-=k k kk k k k所以，当且仅当0≠k 而且1≠k 时，0,,,4321≠αααα此时向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ 当0=k 或者1=k 时，向量组4321,,,αααα线性相关．当0=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001101000100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．当1=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101001101101100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．五．（本题满分14分）对参数λ，讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=-+λλλλλ3213213211x x x x x x x x x 的解．在有解时，求出其无穷多解． 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0110111011111100110111111111122λλλλλλλλλλλλλλλλλ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----→λλλλλλλλ11101110111⑴ 若0=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10111011011111111λλλλλ此时方程组的系数矩阵的秩为2，而其增广矩阵的秩为3，故此时线性方程组无解． ⑵ 若1=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100101102020011111111111λλλλλ此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧=-=01321x x x ．⑶ 若1-=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001010010100202011111111111λλλλλ 此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧-=-=1231x x x ．⑷ 若0≠λ，且1±≠λ，线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是3，其秩与未知变量的个数相等，故此时线性方程组有唯一解．六．（本题满分16分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=122232221A ，求可逆矩阵P ，使得AP P Λ1-=为对角矩阵，并求kA ． 解：⑴ 矩阵A 的特征多项式为()1221102211122110221122232221---+=--++-=--+--=-λλλλλλλλλλλA E()()()111221002112-+=+--+=λλλλλ所以，矩阵A 的特征值为1,1321=-==λλλ．对121-==λλ，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=++-022202220222321321321x x x x x x x x x ，得解向量[][]TT0,1,1,1,0,121==αα．对13=λ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=+02202420222132132x x x x x x x ，得解向量[]T1,1,13-=α．令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101110111P ，则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ． ⑵ 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ，得1111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P A 所以，()()111111111111---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P P PP PAkk kkk若k 是奇数，则 A P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111k； 若k 是偶数，则 E P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1111k． 七．（本题满分8分）设321,,ααα为线性空间V 的一个基， 3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=．证明：321,,βββ也是线性空间V 的一个基．并求32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量．解：⑴ 由3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=，得[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=22331121,,,,321321αααβββ 由于022245012122331121≠==-，所以矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-220331121是可逆矩阵，因此向量组321,,ααα与321,,βββ等价．这表明，321,,βββ也是线性空间V 的一个基．⑵ []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=312,,32321321ααααααα．由[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=220331121,,,,321321αααβββ，得 [][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-52242232021,,22331121,,,,3211321321ββββββααα 所以，[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2135211,,31252242232021,,312,,321321321ββββββαααα即32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量为T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-213,5,211． 八．（本题满分6分）已知矩阵A 与B 相似，其中2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A 卷解答 第 11 页 共 11 页 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x 10100002A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10010002y B ， 求x 和y ．解：由于相似矩阵有相等的行列式，即100100021*******-===y x B A因此，有y 22-=-，所以有1=y ． 再由相似的矩阵有相等的迹，即有 1202-+=++y x ，因此，有0=x ．由此得1,0==y x ．。
工程数学线性代数题库及答案
文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持一、判断题1.若A,B为n阶对称阵，则AB也是对称阵。
（b）2.整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
（a）3,设1,2是线性方程组AXb的两个不同的解，则i2是对应的齐次线性方程组AX0的解。
（a）4.若A可逆，则A也可逆。
（a）5.若A的顺序主子式都大于0,则A正定。
（bA）6.部分向量组线性无关，则整个向量组线性无关。
（b）7.A和A T具有相同的特征值。
（a）8.若A可逆，则A也可逆。
（a）9.若实对称阵A的特征值全大于零，则二次型fX T AX是正定的。
（a）10.设1,2是线性方程组AXb的两个不同的解，则12是对应的齐次线性方程组AX0的解。
（a）11.设1是线性方程组AXb的两个不同的解，2是齐次线性方程组AX0的解，则12是对应的线性方程组AXb的解。
（bA）12.若A可逆，则A1也可逆。
（a）13.设1,2L s是非齐次线性方程组AXb的s个不同的解，KHL k s为实数，满足k〔k2Lk s1,则xk11k22Lk ss也是它的解。
（a）14.n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
（a）15.设丫1x（x1,x2Lx n）T x1,x2Lx n R满足x1x2Lx n0，则V1是向量空间。
（a）16.A和A T具有相同的特征值。
文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持17.若A可逆，则A也可逆18.若实对称阵A的特征值全大于零，则二次型fX T AX是正定的。
（a）二、选择题k121.行列式0的充分必要条件是（C）2k12.设A与B都是n阶方阵，则必有（C）3.设1，2……s均为n维向量，下列结论不正确的是（）4.设A,B为同阶可逆方阵，则必有（D）5.正定实二次型的矩阵是（）A.实对称且所有元素为正B.实对称且对角线上元素为正数C.实对称且各阶顺序主子式为正数D.实反对称且行列式值为正数6.A是三阶矩阵，特征值为10,21,31,其对应的特征向量分别是1,2,3，设P（1,2,3），则有P1AP（）k217.行列式2k00的充分条件是（）1118.设A是n阶可逆万阵，A是A的伴随矩阵，则（）9.若向量组1,2……s的秩为r,下列结论不正确的是（C）11.已知1, 2是AXb的两个不同的解, 2是其对应的齐次方程组AX0的10.矩阵（）是二次型X126x1X23x2的矩阵KH是任意常数,则（）是以b的通解。
线性代数期中考试题目以及答案
姓名
学号
选课课号
座位号
得分
1. 计算重积分
4.求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y 2 9x 的极值。
e
评卷人
x2 y 2
D
三、重积分计算（共 15 分）
d ，其中 D 是由圆周 x2 y 2 4 所围成的闭区域。
第 2 页 共 2 页
得分 评卷人
1.设 z z ( x, y ) 是由方程 x2 y 2 z ( x y z ) 所确定的函数，其中 具有二阶导数，并且
1。 （1） dz ； （2）记 u ( x, y )
u 1 z z ( ) ，求 。 x x y x y
四、微分学综合题（共 7 分）
姓名
学号
选课课号
座位号
得分 得分 题号
1. 求微分方程 评卷人 一 二 三
2. 求微分方程 y 5 y 6 y 0 的通解。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
福州大学《线性代数》含参考答案
福州大学《线性代数》试卷2014年4月27日一、填空(共30分,每空3分)1. 设1211102,2243x x y t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则t =____________. 2. T (1,2,3),A E A A =-=设则3_______________．3. 313233112103,,3312ij ij D A D a A A A _____.-=-+-=-设表示中元素的代数余子式则.4. ,A B 设都是n 阶方阵，13,2,3______A B A B *-==-=且则.5. 2333231232221131211==a a a a a a a a a M 如果，则=D 111112132121222331313233532532532a a a a a a a a a a a a ----=--__________. 6. 若方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩存在非零解，则.__________=λ7. 设方阵A 的特征值3对应的特征向量为T (1,3,1)-，则T (1,3,1)A-= .8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50413102x 可相似对角化，则x 的值为 .9. 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵表达式为_____________________________________________，可经正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形 123(,,)f y y y =______________.学院 专业 级 班 姓 名 学 号二、单项选择（每小题2分，共10分） n 1.设,,,A B C ABC E =阶方阵满足则必有（ ）.(C) (D)CBA E BAC E ACB E === 2. 设A 是n 阶非奇异矩阵.其伴随矩阵为A *，则( )．2112(A) () (B) () (C) () (D)() n n n n A AA AAA A AA A AA ++--********====3. 设A 是s m ⨯矩阵,B 为n s ⨯矩阵,则使0=ABx 与0=Bx 是同解方程组的一个充分条件是( ).(A) (R A m =) (B ) (R A s =) (C )(R B n =) (D) (R B s =) 4．已知3阶方阵A 的特征值是0，1，1-，则下列命题中不正确的是( ). (A) 方阵A 是不可逆的 (B) 方阵A 与对角矩阵相似(C) 1和1-所对应的特征向量正交 (D) 0=Ax 的基础解系由一个向量组成5. 设1234(,,,)A αααα=是4阶方阵，若T (1,0,1,0)是方程0AX =的一个基础解系，则*0A X =的基础解系可为( ).(A)12,αα (B)13,αα (C)123,,ααα (D)234,,ααα三(10分) 1,6,A B A BA A BA -=+设三阶矩阵满足A =且111(,,),234diag 试求矩阵B ．.四(10分) 11002131101121210111003200110022A B ,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭设； (1)B 求；(2)R 求()AB .五(10分)设矩阵A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1129513151133173113311，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属该最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示．六(10分) 当λ取何值时，线性方程组 ,1)5(4224)5(2122)2(321321321⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-λλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解? (2)无解? (3)有无穷多解? 并求其通解．装 订 线 装 订 线 装 订 线11)6(---=∴E A B ).21,31,41(---=diag -------------10分四、解 (1) .40104222312122200230012121312-=⨯-=-⋅-=--=B ----------5分(2) 由(1)知,040≠-=B 所以B 可逆, 从而有 ).()(A R AB R =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100111011010011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−1100111011100011r ,0000110011100011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−r,3)(=∴A R 因此.3)()(==A R AB R ----------10分 法二 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4100531254122504AB ,0000410001205312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−r .3)(=∴AB R 五、解 记),,,,( 54321ααααα=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1129513151133173113311 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−00000210001121013311r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−00000210003021080101r ---------6分故一个最大无关组为421,,ααα.且有,2213ααα+=.2384215αααα++-=六、解 对方程组的增广矩阵)(b A B =施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------==154224521222)|(λλλλb A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------−→−)4)(1()10)(1(0011101452λλλλλλλλr（或 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-−→−=)4)(1()10)(1(0011101542)|(λλλλλλλλλrb A B ）(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, R (A )=R (B )=3,方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, R (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, R (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.此时,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−rB故方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T=-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,) ---------10分解法二 方程组的系数行列式为λλλ-------=542452222||A ,)1)(10(2--=λλ(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, |A| ≠0, 方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==221121215112)|(b A B ,90000330211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−λrR (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==244224421221)|(b A B ,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−rR (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.得方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T =-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)----------10分七、解(1),000210101000210321622412321),,(21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=r r x x β.221x x --=∴β ----------6分(2) 212121222)2(x x Ax Ax x x A A +-=--=--=β.026⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ----------10分八、证明 “充分性”设T ab A =,其中b a ,为非零列向量,则有.1)()(==T b R a R 由Sylverster 不等式有)},(),(min{)(1)()(T T T b R a R ab R b R a R ≤≤-+即有,1)(1≤≤T ab R 故,1)(=T ab R 即.1)(=A R ----------4分“必要性” 设,1)(=A R 则A 的标准形为n m O O O E F ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1n m ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001 所以存在m 阶可逆阵P , n 阶可逆阵Q , 使得,F PAQ =(1) 从而有,11--=FQ P A 记 ),,,,(211m p p p P =-,211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n q q q Q则),,2,1(m i p i =为m 阶非零列向量, ),,2,1(n j q j =为n 阶非零行向量,112121000000001),,,(q p q q q p p p A n n m m =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⨯令,,11q b p a T ==则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. ----------10分（或(2) 推出 11000000001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A 1111)0,,0,1(001-⨯⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q P n m 记11001⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m P a ,11)0,,0,1(-⨯=Q b n T , 则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. -------10分）。
2021年04月04184线性代数真题及答案
2021年04月《线性代数》真题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的四个备选项汇总，只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
）1.已知4阶行列式D 的某一行元素及其余子式都为()0≠a a ，则=D （） A.0 B.2a C.2a - D.24a2.设3阶矩阵A 可逆，则（） A.()A A A =** B.()A A A 2**=C.()A A A 3**=D.()A A A 4**=3.设向量βα,长度依次为2和3，则向量βα+和βα-的内积()=-+βαβα,（） A.13 B.6 C.5 D.-54.齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是矩阵A 的（） A.列向量线性相关 B.列向量线性无关 C.行向量线性相关 D.行向量线性无关5.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3443A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=5005B ，则A 与B 的关系为（）A.相似但不合同B.合同但不相似C.合同且相似D.不合同也不相似二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
请在每小题的横线上填上正确答案，错填、未填均无分。
） 6.设行列式22211211a a a a 中的元素ij a 的代数余子式为()2,1,=j i A ij ，则=+22122111A a A a ______。
7.设3阶矩阵B A ,满足3=A ，32=B ，则=-12AB ______。
8.设向量()T1,2,2,1--=α与()Tk 3,,1,1=β正交，则数=k ______。
9.已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1234A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110P ，则=PAP ______。
10.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003020100A ，则1-A ______。
11.设A 是3阶非零矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201020201B ，且O AB =，则()=A r ______。
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福建工程学院线性代数试卷(21)
一. 选择题(本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1. n 阶方阵A 能与对角矩阵相似的充分必要条件是( )
(A ) A 是实对称矩阵 (B ) A 的n 个特征值互不相等 (C ) A 具有n 个线性无关的特征向量 (D ) A 的特征向量两两正交 2. 设A ，B 均为n 阶矩阵，下列运算规则正确的是( )
(A ) BA AB = (B ) T T T A B AB =)( (C ) 2222)(B AB A B A ++=+ (D ) 22))((B A B A B A -=-+
3. 设矩阵A =⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-314
2
，则A 的转置矩阵T A 是（ ）
（A ） ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-3142 （B ） ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛3142
（C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-3412
（D ） ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-214
3
101 4．下列矩阵中（ ）是正交矩阵 （A ）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-5/35
/45/45/3 (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2/1222
/1 （C ）⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-0111
（D ）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛5/35/45/45/3 二. 填充题(将正确答案填在题中横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设()1,1,11=α , ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
=31,31,322α , ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=21,21,03α， 试判定向量组 ααα123,, 是否为正交向量组___________.
2. 已知向量()()==+-=-=ξβξαβα则若 ,43 ,1,3,2,1,3,3,2,1
3. 在5阶行列式j i a 中，项3253144521a a a a a 的符号为
4. 已知向量组),0,0,0,1,1(),0,0,1,1,1(),0,1,1,1,1( 321===ααα)0,0,0,0,1(4=α 则该向量组的一个最大线性无关组是____________. 三、计算行列式( 本 题12分 ) 设 ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡---=21
1
121331
,21
1
232
112
B A , 求 .E AB - 四. 解答下列方程组题( 本 题17分 )
1. 齐次线性方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
321321x x x x x x x x x λλ 只有零解， 问λ应满足什么条件? (5分)
2. 用矩阵方法求解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=-+=-=-+=-+0
2300
6820572321
32
321321x x x x x x x x x x x (6分)
3. 试判定方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-+=+-=-+140321
2z y x z y x z y x 是否有解. (6分)
五、 ( 本题8分 ) 求方阵 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=00
2
01000
010
5000A 的逆矩阵. 六、解答下列各题( 本 题14分 )
已知二次型312
322212x x x x x f -++=，(1) 求f 的矩阵A ; (2)求矩阵A 的特征值与特征向量;
(3) 求正交矩阵P ， 使AP P T 为对角阵，并在正交变换x
=P y 下, 写出f 的标准形.
七、解答下列各题( 本 题10分 )
设 ()0,9,0,21,31=α, ()1,2,1,7,12---=α, ()1,6,0,14,23=α, 求向量组ααα123,, 的秩. 八. 证明题( 本 题7分 )
设向量组4321,,,αααα线性无关. 而,,,433422411ααβααβααβ+=+=+= 证明321,,:βββ 线性无关.。