人教版数学选修2-3课件-1.3二项式定理(共21张PPT)
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高中数学选修2-3优质课件：1.3.1 二项式定理
是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具
体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非
负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1____. 解析 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9， k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39 (－a)3＝－84， 解得a＝1.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋ …＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck10(3 x)10－k(－32x)k＝Ck10310－k(－23)k·x10－23k (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究
将例1(1)改为求(2x－
1 x2
)5的展开式.
解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
选修2-3：1.3.2二项式系数的性质-课件(共26张PPT)
拔高练习：
若(2 x 3 )4 a0 x4 a1 x3 a2 x2 a3 x a4 求(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2
解：原式 (a0 a2 a4 a1 a3 ) (a0 a2 a4 a1 a3 ) (a0 a1 a2 a3 a4 ) (a0 a1 a2 a3 a4 )
C
r n
C
0 n
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
C
n n
可看成是集合｛0，1，…，n｝到二项式系数的集合的映射。
二项式系数与函数
从映射、函数的观点看，二项式系数可 以看作是一个定义域为 {0，1，2，…，n} 的函数当自变量从小到大依次取值时对应 的一列函数值。
y f (x)
函数值
C
r n
自变量
r
的系数之和为1024，求它的中间项.
解：∵展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等
∴由已知可得：2n-1=1024
解得 n=11，∴有两个中间项分别为
T6=462x-4，T7=462x
61 15
求解二项式系数和时，灵活运用赋 值法可以使问题简单化。通常选取赋值 时取－1，1，0。
例题讲解 2 例2、已知：(x 3 3x2 )n 的展开式中，各项系数和比它
先增后减
T 即 n 1 2
n
当n是偶数时，中间的一项 的二项式系数
最大值 ；
Cn2取得
C C 当n是奇数时，中间的两项 二项式系数
和 n1 2 n
n 1 2
n
相等，且 同时取得最大值。
即T T 和 n11 2
高中数学选修2-3优质课件2：1.3.1 二项式定理
? ②为什么含an-kbk的项的系数是C
k n
an-kbk是从n个(a+b)中取k个b, n-k个a
到an-kbk ,因此, 该项的系数为C nk.
相乘得到的,有C
k n
种情况可以得
.
概念理解
二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnkankbk Cnnbn
240x 160
60 x
12 x2
1 x3
第三项
第三项的系数
典例分析
例2、化简: (x 1)4 4(x 1)3 6( x 1)2 4( x 1) 1
原式 C40 ( x 1)4 C41( x 1)3 C42 ( x 1)2 C43( x 1) C44
= [( x 1) 1]4 = x4
第一章 计数原理
§1.3.1二项式定理
高中数学选修2-3·精品课件
情景导入
1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的《无穷算术》…
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
? (a b)n
课堂练习
1. 在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项的系数是 (A )
A. -15 B. 85
C. -120
D. 274
2. 求(x+2y+z)6的展开式中含xy2z3项的系数.
探究发现
猜想：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
证明思路： ①为什么每一项都是an-kbk的形式？
Cnk ank bk Cnnbn
高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理》课件
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b2 (a b)4 ?
(a b)n ?
…
探究1、 (a+b)4展开后有哪些项？ 各项的系数分别是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后的每一项形式有何提点？
（1）形如： a xb y
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a b)2
C 20a 2
C
1 2
ab
C
2 2
b2
(a b)3
C
0a
3
3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
b)4
C 40a 4
C
1 4
a
3b
C 42a 2b2
C43ab3
C44b4
(a b)n ?
探究2：请分析(a b)n的展开过程
(a b)n (a b)( ab )(ab)
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
(a b)n ?
…
探究1、 (a+b)4展开后有哪些项？ 各项的系数分别是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后的每一项形式有何提点？
（1）形如： a xb y
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a b)2
C 20a 2
C
1 2
ab
C
2 2
b2
(a b)3
C
0a
3
3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
b)4
C 40a 4
C
1 4
a
3b
C 42a 2b2
C43ab3
C44b4
(a b)n ?
探究2：请分析(a b)n的展开过程
(a b)n (a b)( ab )(ab)
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
人教B版高中数学(选修2-3)1-3《二项式定理》ppt课件
代入， 令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4 ， ﹣
故T5 为常数项，且系数最大。 为常数项，且系数最大。
T5的系数 ≥ T4的系数 ∴ T5的系数 ≥ T6的系数 4 3 C12 a 8 b 4 ≥ C12 a 9 b 3 即 4 8 4 5 C12 a b ≥ C12 a 7 b 5 8 a 9 解得 ≤ ≤ 5 b 4
相等且同时取得最大值
2 n r n n n n
(3)各二项式系数的和 各二项式系数的和
C + C + C +L + C +L + C = 2
0 n
例1.
在 (2x − 3y )
10
展开式中
1024 1
(1)求二项式系数的和 求二项式系数的和; 求二项式系数的和 (2)各项系数的和 各项系数的和; 各项系数的和
T4 = − C a b
3 4 7
3
系数最小
T =Cab
4 7 3 5
4
系数最大
三、例题讲解： 例题讲解：
3
(1 − x )(1 + x) 的展开式中， x 5 的系数 的展开式中， 例 1 ⑴在
10
是多少？ 是多少？
解：⑴原式= 原式
(1 + x) − x (1 + x) 3 10 5 10 可知 x 的系数是 (1 + x) 的第六项系数与 − x (1 + x)
3、特例： 特例： n 1 2 2 r r n n （1 + x） = 1 + Cn x + Cn x + L + Cn x + L + Cn x
高中数学人教A版选修2-3课件1.3.1 二项式定理ppt版本
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于 形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行 必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从 高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是 正负相间,那么是(a-b)n的形式.
⋯+(-1)������C������������ ·(x+1)n-r+…+(-1)������C������������ = [(������ + 1) − 1]������ = ������������.
(3)可设 Sn= C���1��� + 3C���2��� + 9C���3��� + ⋯+3n-1C������������ ,
1 2
8-������ C8������ ������8-43������ (0 ≤k≤8,k∈N).
令
8−
4 3
������
=
0,
得k=6,T7=(-1)6
1 2
8-6 C86
= 7.
(2)展开式的通项为 Tk+1= C9������ ������9 − ������(−������)������
(3)( x − 3 ������)9 展开式中含������的有理项共有_______项.
解析:(1)展开式的通项为 Tk+1= C8������
������ 2
8-������
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
人教版高中数学2019-2020学年选修二 2-3 第一章 1.3 二项式 定理(共17张PPT)
2、 (12x3x2)10展开式中各项系_数 __和 __ 含x奇次项系数的 __和 __为 _含_x,3项的系数
3、 (13x2y)10展开式中 y的不 项含 的 系数和 __为 __
4、 若 多x2项 x1式 0 a0a1(x1)a9(x1)9a1 0(x1)1 0 求a9
二项式系数的性质一：
C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
3 n
Cnn
2n
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 2n1
即：展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和
练习： (1)C 1 11 C 1 31 C 1 51 C 1 11 1 ______ (2)Cn 0C 1 n 0 CC n 1n 1 1 C Cn n 2 2 1 CC n nn n 11 _ _ _ _ _
杨辉三角
C = C (a b)n展开式中的二项式系数，如下m表所示：n-m
n
n
(a b)1
11
(a b)2
121
(a b)3
13 31
(a b)4
14 6 41
(a b)5
1 5 10 10 5 1
(Canr+b1 )=6 Cnr-1 +1 Cn6r 15 20 15 6 1
二项式系数的性质二：
项最大，则n可以是______.
变式3：(a b)7的展开式中二项式系数最 大的项是第______项.
变式4：(x y)1的1 展开式中系数 最小的项是第____项.
1、( x y)11展 开 式 中 （1） 二 项 式 系 数 最 大 的 项； （2） 系 数 的 绝 对 值 最 大 的项 ； （3） 项 的 系 数 最 小 的 项
3、 (13x2y)10展开式中 y的不 项含 的 系数和 __为 __
4、 若 多x2项 x1式 0 a0a1(x1)a9(x1)9a1 0(x1)1 0 求a9
二项式系数的性质一：
C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
3 n
Cnn
2n
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 2n1
即：展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和
练习： (1)C 1 11 C 1 31 C 1 51 C 1 11 1 ______ (2)Cn 0C 1 n 0 CC n 1n 1 1 C Cn n 2 2 1 CC n nn n 11 _ _ _ _ _
杨辉三角
C = C (a b)n展开式中的二项式系数，如下m表所示：n-m
n
n
(a b)1
11
(a b)2
121
(a b)3
13 31
(a b)4
14 6 41
(a b)5
1 5 10 10 5 1
(Canr+b1 )=6 Cnr-1 +1 Cn6r 15 20 15 6 1
二项式系数的性质二：
项最大，则n可以是______.
变式3：(a b)7的展开式中二项式系数最 大的项是第______项.
变式4：(x y)1的1 展开式中系数 最小的项是第____项.
1、( x y)11展 开 式 中 （1） 二 项 式 系 数 最 大 的 项； （2） 系 数 的 绝 对 值 最 大 的项 ； （3） 项 的 系 数 最 小 的 项