新人教版九年级数学上册《一元二次方程》教学课件
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人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
B．4 个
C．5 个
解析：①③④⑦是一元二次方程．
D．6 个
2．当 m 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)(m－1)x2＋3x＝5； (2)4xm＋3－x－1＝0. 解：(1)由题意，得 m－1≠0，∴m≠1. (2)∵m＋3＝2，∴m＝－1.
知识点 2 一元二次方程的一般形式 【例 2】 将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 思路点拨：一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 具有两个特征：(1)方程的右边为 0；(2)左边的二次项系数不能 为 0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项时，不要漏掉其前面的符号． 解：去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18， 移项，得 4x2－26x＋22＝0， 其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善 于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
人教版九年级上册数学《配方法》一元二次方程PPT教学课件
将常数项移到右边，含未 2 2 －3=－1
知数的项移到左边
一移
移项
二化
二次项系数 左、右两边同时除以二次 2 － =
化为1
项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次
项系数一半的平方
利用平方根的意义直接开
平方
四开
开平方
五解
解两个一元 移项，合并
一次方程
2
3 1
即 x
4 16
★ 用配方法解方程
探究交流
怎样解方程x2+6x+4=0？
1.把方程变成（x+n)2=
x2+6x+4=0
移项
二次项系数为1的完全平方式：
x2+6x=-4
常数项等于一次项系数一半的平方.
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
配方
(x+3)2=5
2.用直接开平方法解方程(x+3)2=5
(x+3)2=5
开方
x x
1
2
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=25；
（1） x2=25，
解：
直接开平方，得 x 5,
x1 5 ，x2 5.
(2) x2－900=0.
（2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得 x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
★ 用直接开平方法解方程
对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程（x+2）2=25？
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
5.如图，在R
九年级数学上册(人教版)《一元二次方程》教学课件
1/4/2023
数字与方程
例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这 个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解 :设这个两位数的个位数 字为x,根据题意,得
105 x x10 x 5 x 736.
整理得x2 5x 6 0.
解 :设这种存款的年利率为x,根据题意,得
[500(1 0.8 x ) 50](1 0.8 x ) 461.
整理得 : 解得 :
320x2 760x 11 0.
x 760 591680 760 769.2 ,
640
640
x1 0.144 1.44%; x2 （0 不合题意，舍去）.
当 b 2 4ac 0时 ,
5.开方:根据平方根意义,
x b b2 4ac .
2a
2a
方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
x1/4/2023b b2 4ac . b2 4ac 0 .
2a
4.因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为因 式分解法.
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
数字与方程
例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这 个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解 :设这个两位数的个位数 字为x,根据题意,得
105 x x10 x 5 x 736.
整理得x2 5x 6 0.
解 :设这种存款的年利率为x,根据题意,得
[500(1 0.8 x ) 50](1 0.8 x ) 461.
整理得 : 解得 :
320x2 760x 11 0.
x 760 591680 760 769.2 ,
640
640
x1 0.144 1.44%; x2 （0 不合题意，舍去）.
当 b 2 4ac 0时 ,
5.开方:根据平方根意义,
x b b2 4ac .
2a
2a
方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
x1/4/2023b b2 4ac . b2 4ac 0 .
2a
4.因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为因 式分解法.
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》课件(共8张PPT)
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
一般步骤：
1. 把方程化成一般形式。
(a≠0, b2-4ac≥0)
并写出a，b，c的值。
例1.用公式法解方程4x2+x-3=0
2.
求出b2-4ac的值。
解: a=4 b=1 c= -3
3. 代入求根公式 :
∴ b2-4ac=12-4×4×(-3)=49>0
X=
∴x=
= 1 4 9
24
(a≠0, b2-4ac≥0)
= 1 7
8
即
x1= - 1
3
x2= 4
4. 写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
用公式法解下列方程： 1. x2 +2x =5
小结
由配方法解一般的一元
二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
1. 把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2. 求出b2-4ac的值。 3. 代入求根公式
4. 写出方程的解： x1=?, x2=?
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b x c0（ a0 ） 有实数根．
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3；x2=5
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
【特点】
由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根即为两个相等的 根），根的情况由判别式 △=b2-4ac 决定。
【判别式与根的关系】
利用一元二次方程根的判别式（ △=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的根与判别式 有如下关系：
① 当△﹥0时，方程有两个不相等的实数根；
【例题】
1.解方程 x²+2x+1=0 解：利用完全平方公式 因式分解得：
（x+1)²=0 ∴ x=-1
2.解方程 x(x+1)-2(x+1)=0 解：利用提公因式法解得：
（x+1)(x-2)=0 即 x-2=0 或 x+1=0
∴ x1=2，x2=-1
3.解方程 x²-4=0 解：利用平方差公式 因式分解得：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 ③方法是根据平方根的意义开平方。
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
【特点】
由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根即为两个相等的 根），根的情况由判别式 △=b2-4ac 决定。
【判别式与根的关系】
利用一元二次方程根的判别式（ △=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的根与判别式 有如下关系：
① 当△﹥0时，方程有两个不相等的实数根；
【例题】
1.解方程 x²+2x+1=0 解：利用完全平方公式 因式分解得：
（x+1)²=0 ∴ x=-1
2.解方程 x(x+1)-2(x+1)=0 解：利用提公因式法解得：
（x+1)(x-2)=0 即 x-2=0 或 x+1=0
∴ x1=2，x2=-1
3.解方程 x²-4=0 解：利用平方差公式 因式分解得：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 ③方法是根据平方根的意义开平方。
新人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件PPT
3.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边_相__等__的未知数的值.
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1. 1 +2x-77=0是一元二次方程.( × )
2x 2
2.x2=0是一元二次方程.( √ )
3.x2-3y+2=0是一元二次方程.( × )
4.x2-4x-5=0的二次项系数是0,一次项系数是-4,常数项是-5.
【解析】(1)把x=1代入方程,得1-(2m+1)-(2m-1)=0,即1m. =
4
答案: 1
4
(2)把x=n代入方程得n2+mn+2n=0,即n(n+m+2)=0,
因为n≠0,所以n+m+2=0,即n+m=-2.
答案:-2
(3)把x=p代入方程,得p2-4p-p2+2p+2=0,整理得-2p+2=0, 所以p=1. 答案:1 (4)把x=a代入方程得a2-a-1=0,即a2-a=1,a2=a+1,所以a32a+3=a·a2-2a+3=a(a+1)-2a+3=a2+a-2a+3=a2a+3=1+3=4.
知识点二 一元二次方程的根的判断及应用
【示范题2】(2013·黑龙江中考)若x=1是关于x的一元二次方程
x2+3mx+n=0的解,则6m+2n=
.
【教你解题】
【想一想】 若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求 代数式2014(a-b+c)的值. 提示:把x=-1代入方程得:a-b+c=0,所以2014(a-b+c) =2014×0=0.
初中数学教学课件一元二次方程人教版九年级上ppt
ax2bxc0(a0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b 是一次项系数；c是常数项．
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
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例题
【例1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各 项系数.
（1） x2 360 （2）4x2 90 .
【解析】根据平方根的定义得方程（1）的根为x=±6， 方程（2）的根为x=± . 3
2
2．有人解这样一个方程 (x5)x (1 )7 解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？ 【解析】上述解法是错误的，将 x1、x2 代入原方程等 式两边不相等，因此它们并不是原方程的解.
2
共同特点：（1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
2．归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式 ：
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
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3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，
连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是
（）
A.168（1+a%）2=128
这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b 是一次项系数；c是常数项．
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
例题
【例1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各 项系数.
（1） x2 360 （2）4x2 90 .
【解析】根据平方根的定义得方程（1）的根为x=±6， 方程（2）的根为x=± . 3
2
2．有人解这样一个方程 (x5)x (1 )7 解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？ 【解析】上述解法是错误的，将 x1、x2 代入原方程等 式两边不相等，因此它们并不是原方程的解.
2
共同特点：（1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
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2．归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式 ：
初中数学教学课件- 一元二次方程人教版九年级上ppt（PP T优秀 课件）
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3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，
连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是
（）
A.168（1+a%）2=128
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例 1 下列方程哪些是一元二次方程?
（1） 3x2 2 5y2 3 ；
（2） x2 4 ；
（3）
1 x
x
；
（4） x2 1 x2 x ；
（5） x 12 1；
（6） x2 1 0
答案：（2）（5）（6）
定义新知
我们把一元二次方程按未知数的 降幂排列有： ax2 bx c 0(a 0) ．这 种形式叫做一元二次方程的一般形 式．其中a叫做二次项系数，b叫做一 次项系数，c叫做常数项．
2 x2 2x 1 x2 2x 1 1
2x2 4x 2 x2 2x 2 x2 6x 0
化为一般形 式才能识别相应 的项，准确化简 要注意什么呢？
例 3 关于 x 的方程 2ax2 2bx a 4x2 2x ，在 什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件 下此方程为一元一次方程？
温故知新
我们都学过哪些方程，你能分别举例说明 吗？
我们如何定义方程的“元”和“次”？
温故知新
下列方程分别是什么方程？
2x 4x 1 一元一次方程
2x 4y 1 1 41 x
2xy 1
二元一次方程 分式方程 二元二次方程
温故知新
方程的分类:
整式方程
运 方程 算
分式类方程 型
其它方程
一元方程
等号两边都 是整式，方程只 含有一个未知数， 且未知数的最高 次数为2次．
这三个方程有什么 350 0 x2-x=56
请你说出一 个一元二次方程， 和一个不是一元 二次方程的方 程．
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做 一元二次方程．
一元二次方程
尝试挑战
要设计一座 2m高的人体雕像， 使雕像的上部（腰 以上）与下部（腰 以下）的比，等于 下部与全身的高度 比，雕像的下部应 设计为多高？
尝试挑战
设雕像的下部高x米，则
上部高（2-x）米．
AB BC BC AC
这个方程
2x x x2
属于我们过去 学过的某一种 方程吗？
整理得：x2 2x 4 0
二元增方程 加
三元元方程
其它
一元一次方程
增 加 次
？
集思广益
方程 x2 2x 4 0 属于什么方程？ 其他实际问题中是否也能列出这一类方程呢？ 你能再举出一个例子吗？
集思广益
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，
宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形， 然后将四周突出的部分折起，就能制作一个 无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积 是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
集思广益
问题1
x 设剪去正方形边长为xcm，据题意得：
(100 2x)50 2x 3600
整理得： x2 75x 350 0
集思广益
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个
队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条
件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
你说组织者应该邀请多少个队参赛？
全部比赛共有__2_8___场．
解：原方程可化为 2a 4 x2 2 2b x a 0 ，
当 2a 4 0时，此方程为一元二次方程；
当
2a 4 2 2b
0 0
即
a b
2 1
，此方程为一元一次方程．
巩固练习
教科书第4页练习1，2．
反思收获
１．本节课你学到了什么知识？你怎么看待 这个新知识？ ２．新知识与之前所学什么知识有联系，区 别又在哪？ ３．在学习过程中，有哪些典型的错误值得 我们反思？
例 2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
（1） 3x(x 1) 5(x 2) ； （2） 2(x 1)2 (x 1)2 1．
（1）
3x(x 1) 5(x 2) 3x2 3x 5x 10 3x2 8x 10 0 （2）
2(x 1)2 (x 1)2 1
若设应邀请x 个队参赛，则每个队要与其
他_x_-_1_个队各赛一场，比赛共有_x_(_x-_1_)_/_2 场，
由此，我们可以列出方程__x_(x_-_1_) _/2_=_2_8____，
化简得___x_2_-x_=_5_6________．
为什么要
除以２呢？
分析概括
x2 2x 4 0 x2 75x 350 0 x2-x=56
布置作业
教科书 习题21.1 巩固复习第1，2，3题．