实验四 积分
实验四 积分与微分电路
实验四积分与微分电路一、实验目的1、学会用运算放大器组成积分、微分电路.2、学会积分、微分电路的特点及性能。
二、实验原理1、积分电路是模拟计算机中的基本单元。
利用它可以实现对微分方程的模拟，同时它也是控制和测量系统中的重要单元。
利用它的充、放电过程，可以实现延时、定时以及产生各种波形。
图6-1的积分电路，它和反相比例放大器的不同之处是用C代替反馈电阻R f ，利用虚地的概念可知i1=V iRV0=−V C=−1C∫i C dt=−dV idt即输出电压与输入电压成积分关系。
2、微分电路是积分运算的逆运算。
图6-2为微分电路图，它与图6-1的区别仅在于电容C变换了位置。
利用虚地的概念则有：V0=−i R∙R=−i C∙R=−RC dV Cdt =−RC dV idtdt故知输出电压是输入电压的微分。
三、实验仪器1、数字万用表2、信号发生器3、双踪示波器4、集成运算放大电路模块四、预习要求1、分析图6-1电路，若输入正弦波，V0与Vi相位差是多少?当输入信号为100Hz，有效值为2V时，V=?2、分析图6-2电路，若输入方波，V0与Vi相位差多少?当输入信号为160Hz，幅值为1V时，输出V=?3、拟定实验步骤、做好记录表格。
五、实验内容1、积分电路实验电路如图6-1所示图6-1积分电路(1）将图6-1中7C8换接成7C9，取一根连接导线将电容7C9短路，取Vi=-1V，接通电源后，拿掉短路导线，用示波器观察U0的变化，并测量U的饱和输出电压值。
(2)将电容换为7C8，Ui分别输入f=1000Hz,幅值为2V的方波和正弦波信号，观察并记录ui 和uo的幅值及相位关系。
方波信号：正弦波：(3)改变图6-1电路的频率,观察Vi 与V的相位、幅值关系。
2、微分电路实验电路如图6-2所示。
图6-2微分电路(1)输入正弦波信号f=200Hz有效值为1V，用示波器观察Vi 与V波形并测量输出电压。
(2)改变正弦波频率(20Hz～400Hz)观察Vi与V0的相位、幅值变化情况并记录。
求积分
第四次试验课 求不定积分、定积分、二重积分实验要求： 1. 掌握不定积分计算；2. 掌握定积分与数值积分的计算；3. 了解二次积分的计算。
4.1 实验指导知识 4.1.1 不定积分的计算 求不定积分的函数命令是：Integrate[f ，x] 【用于求f （x ）的一个原函数】 也可以使用输入模板输入⎰f(x)dx例1 计算不定积分：（1）⎰xdx 2，（2）⎰arctgxdx ，（3）⎰-dx x 113，（4）dx x x⎰sin 解：In[1]：=Integrate[2x ，x] Out[1]=x 2In[2]：= ⎰ArcTan[x] dx Out[2]=xArcTan[x]-21Log[1+x 2] In[3]：=⎰-dx x 113 Out[3]=]1[61]1[3133212x x Log x Log x ArcTan ++-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-In[3]：=dx xx⎰sin Out[3]=SinIntegra说明：（1）使用基本输入模板输入积分符号更为方便。
（2）上述运算结果中不加常数C,代表某个原函数，对于结果无法用初等函数表示出来的不定积分，Mathematica 将其表示成特殊函数或原样输出.（3） 求不定积分由于使用的方法不同，可能得到不同的答案，因此Mathematica 求出的答案会出现与教科书上答案不同的情况。
大多没有化简或使用了双曲函数，只要用命令Simplify 、 FullSimplify 或TrigToExp 化简或转换一下就能解决。
但是Mathematica 不会自动化简对数式或某些三角函数式，只能由人工再化简，或者自定义化简法则.（4） 对于与积分变量无关的变量，Integrate 命令总是假定它和积分变量相互独立，计算时把它当做常数对待.另外，Mathematica 假定包含在积分式中的符号具有普通值，不考虑其特殊值. 例2 求不定积分：（1）⎰dx x cos 1，（2）⎰+dx x211，（3）⎰+dx x x sin 1sin 。
河北工业大学数值分析实验三实验四实验报告
数值分析实验报告指导老师：宛艳萍姓名：班级：学号：实验三 复化辛卜生法，龙贝格法1.实验名称：复化辛卜生法，龙贝格法2.实验目的1）通过实际计算体会各种方法的精确度。
2）会编写用复化辛卜生、龙贝格算法求定积分的程序。
3.算法描述1）用复化辛卜生法计算积分 dxx I ⎰+=12)1/(1算法：复化辛卜生公式为S n =h/6∑∑+-=+++)]()2/(4)([11k k kn k x f h x f xf ,计算过程为：1．令,/)(n a b h -= ),2/(1h a f s +=;02=s2．对1,,2,1-=n k计算),2/(11h kh a f s s +++=)(22kh a f s s ++=3．))(24)((6/21b f s s a f h s +++= 。
2）龙贝格算法计算dxxI ⎰+=102)1/(156e ε=-算法)((12/12∑-=++=n k k n n n x f h T T ;/)(n a b h n -= n k h k x )2/1(2/1+=+)(3/122n n n n T T T S -+= )_(15/122n n n n S S S C +=)(63/122n n n n C C C R -+=用事后估计法控制精度2|5e -6n n R R -< 。
4.源程序：1）/* 用复化辛卜生公式求积分 */ #include "stdio.h" float fx(float x){double f;f=1.0/(1.0+x*x); return f; } double fs(int n){double a=0.0,b=1.0,h,s,s1,s2=0; int i;h=(b-a)/n; s1=fx(a+h/2); for(i=1;i<n;i++){s1=s1+fx(a+i*h+h/2); s2=s2+fx(a+i*h);}s=(h/6.0)*(fx(a)+fx(b)+4*s1+2*s2);return s;}void main(){printf("实验三复化辛卜生法计算机112 耿向飞学号：112434\n");printf("s(2)=%lf\ns(4)=%lf\ns(8)= %lf",fs(2),fs(4),fs(8));}2）/* 龙贝格法 */#include "stdio.h"#include "math.h"#define E 2.71828182//被积函数f(x)double fx(double x){double f;f=1/(1+x*x);return f;}//梯形公式求tndouble tx(int n){double s3=0.0,h,t,b=1.0,a=0.0;int i;h=(b-a)/n;for(i=1;i<n;i++)s3=s3+fx(i*h);t=(h/2)*(fx(a)+fx(b)+2*s3);return t;} double s(int n){double s;s=tx(2*n)+(1.0/3.0)*(tx(2*n)-tx(n ));return s;}double c(int n){double c;c=s(2*n)+(1.0/15.0)*(s(2*n)-s(n)) ;return c;}double r(int n){double r;r=c(2*n)+(1.0/63.0)*(c(2*n)-c(n)) ;return r;}void main(){double rr,pp;int n=1;rr=r(n);pp=r(2*n)-r(n);printf("实验三龙贝格法计算机112 耿向飞学号：112434\n");printf("结果为：%.15lf 误差小于等于： %.15lf",rr,pp);}5.运行结果1）复化辛卜生公式2）龙贝格算法6.对算法的理解与分析：复化辛卜生公式和龙贝格算法适用于求数值积分，而且都能提高计算积分的精度龙贝格算法其实是在复化辛卜生公式递推的基础之上生成的一种精度高，而且收敛速度也较快的一种算法。
Matlab实验报告四(矩形法梯形法抛物线法求定积分)
functionf=f1(x)
f=sqrt(1+0.5^2*cos(x).^2);
x=0.9的方程：
functionf=f1(x)
f=sqrt(1+0.9^2*cos(x).^2);
3.结果
f=zuoye(@f1,0,2e1(@f1,0,2*pi,100)
functionf=zuoye(fun,a,b,n)
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
y=x;
fori=2:n+1
y(i)=fun((x(i)+x(i-1))/2);
end
f=h*sum(y(1:end))
梯形法：
functionf=zuoye1(fun,a,b,n)
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
f = 6.2989
f=zuoye3(@f1,0,2*pi,100)
x = 6.2989
4.结论及分析
三、实验小结
y=x;
fori=1:n+1
y(i)=fun(x(i));
end
f=h*(sum(y)-1/2*y(1)-1/2*y(end));
抛物线法：
functionf=zuoye3(fun,a,b,n)
h=(b-a)/(2*n);
x=a:h:b;
y=x;
fori=1:2*n+1
y(i)=fun(x(i));
数学与信息科学系实验报告
实验名称定积分的近似计算
所属课程数学软件与实验
实验类型综合型实验
专业信息与计算科学
班级
学号
姓名
指导教师
一、实验概述
【实验目的】
matlab定积分及应用
实验四 定积分及应用实验的目的1、掌握利用Matlab 进行积分运算；2、掌握积分在计算面积、体积等问题中的应用；3、掌握各种积分指令的区别与特点。
实验的基本理论与方法1、定积分定义：函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分定义为：设函数)(x f 在],[b a 上有界，在区间],[b a 上任取1-n 个分点：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，把],[b a 分成n 个小区间],[1i i i x x -=∆， n i ,,2,1 =。
这些分点构成对区间],[b a 的一个分割，用T 表示。
小区间i ∆的长度为1--=∆i i i x x x 。
记{}i ni x T ∆=≤≤1ma x ，称为分割T 的模。
在区间],[1i i ix x -=∆上取点i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ，做函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),2,1()(n i x f i i =∆ξ，并作和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ。
当0→T 时，和S 总趋于确定的极限，这时这个极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰badx x f )(。
即i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→1)(lim )(ξ。
2、定积分的应用①计算平面图形的面积：由连续曲线)0)()((≥=x f x f y ，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的曲边梯形面积为⎰=badx x f S )(；②计算旋转体的体积：由连续曲线)(x f y =，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所成立体的体积为⎰=badx x f V 2)]([π；③计算平面曲线的弧长：设曲线弧由直线坐标方程))((b x a x f y ≤≤=给出，其中)(x f 在],[b a 上具有一阶连续导数，则曲线弧长dx y l ba⎰'+=21；设曲线弧由参数方程⎩⎨⎧≤≤==)(,)()(βαt t y y t x x 给出，其中)(),(t y t x 在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长dt t y t x l ⎰'+'=βα22)()(；设曲线弧由极坐标方程))((βθαθ≤≤=r r 给出，其中)(θr 在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长θθθβαd r r l ⎰'+=22)()(。
实验四上升沿积分和下降沿微分指令
实验四 上升沿积分和下降沿微分指令一、实验目的：1、 实验目的：熟悉PLC 实验装置。
2、 练习并掌握编程软件的使用。
3、 熟悉控制系统的操作。
通过练习实现与、或、非逻辑功能，初步熟 悉编程方法。
4 、学习PLC 的接线方法，提高动手能力。
5、掌握上升沿和下降沿指令的应用 二、指令讲解梯形图符号B ：位IR ，SR ，AR ，HR ，LRB ：位IR ，SR ，AR ，HR ，LR操作数数据区域DIFU(13)BDIFD(13)B任何一个输出位一般只可用于控制其状态的一条指令DIFU(13)和DIFD(14)仅在一个周期中使指定位置ON 。
无论何时执行，DIFU(13)都将其当前执行条件与先前的执行条件相比较。
如果 先前的执行条件是OFF ，且当前的执行条件为ON ，则DIFU(13)的指定位将变 为ON 。
如果先前的执行条件是ON 并且当前执行条件是ON 或OFF ，则DIFU(13)将置指定位为OFF 或保持OFF 状态（也就是说，如果标志位已经是OFF 状 态）。
因此，假定它每个周期执行，其指定位超过一个周期就不会再为ON （见下面的注意事项 ）。
无论何时执行，DIFD(14)都将其当前执行条件与先前的执行条件相比较。
如果 先前的执行条件是ON ，且当前的执行条件为OFF ，则DIFD(14)的指定位将变为ON。
如果先前的执行条件是OFF并且当前执行条件是ON 或OFF，则DIFD(14)将置指定位为OFF或保持OFF。
因此，假定它每个周期执行，其指定位超过一个周期就不会再为ON（见下面的注意事项）。
当不能用指令微分形式（既，在前面加入一个@），但又希望特殊指令在一个单周期内执行时需要使用这些指令。
当使用这些指令能简化程序时，它们也可以和有微分形式指令的非微分形式一起使用。
下面将举例说明。
DIFU(13)20014DIFD(14)2001500000在这个例子中，当IR00000从OFF变为ON时，IR20014将在一个周期里变为ON；当IR00000从ON变为OFF时，IR20015将在一个周期里变为ON。
实验四.积分分离PID控制实验
实验四.积分分离PID控制实验一、实验原理PID控制是一种最广泛使用的控制策略，通过对控制对象的反馈信号进行处理，控制对象的输出值，从而使其满足设定的控制要求。
PID控制器由三个部分组成，分别是比例控制、积分控制和微分控制。
比例控制是通过控制输入和输出误差的比例关系实现，当误差越大时，控制输出越大；积分控制是通过对误差的累积实现，可以解决比例控制无法完美消除稳态误差的问题；微分控制则可以有效的解决快速反应及过冲等问题。
PID控制器的输出值为：$$u(t)=K_p e(t)+K_i \int_{0}^{t} e(t) dt+K_d \frac{de(t)}{dt}$$其中，Kp、Ki、Kd分别为比例增益、积分增益、微分增益；e(t) 为输入偏差。
为了避免输出值存在不稳定的波动，通常会进行积分分离PID控制设置，即在控制器的输出处加入比例运算器，通过调整比例系数来控制输出值，以保证其稳定性。
二、实验器材1. 电路板2. DC电机3. 示波器4. 模拟信号发生器5. 直流电源三、实验步骤1. 连接电路板，将电流发生器与电机连接2. 调整DC电源，确保提供的电压可以使电机转动3. 通过模拟信号发生器产生电机的负载并进行实验4. 将示波器连接至控制系统的输出端口，调整PID控制器的比例、积分和微分增益，使输出波形尽可能的稳定5. 记录输出值的稳定时间及误差大小，根据数据分析结果并进行调整6. 反复进行实验，直到能够达到理想的控制效果四、实验结果及分析PID控制能够很好的解决控制误差和稳定问题，本实验通过积分分离PID控制，可以进一步提高稳定性，并保证输出值的精度和稳定度。
实验数据的正确性和可靠性对于实验结果的分析至关重要，在实际操作中需要仔细的调整每个参数值，并进行多次实验并进行数据记录分析，才能得出精确的分析结果。
通过反复实验调整，可以得出理想的控制效果，使输出波形尽可能的稳定，并快速达到稳定状态，同时也能够快速响应电机的负载变化，提供更为精确的控制效果。
实验四 用matlab计算积分
实验四 用matlab 计算积分4．1积分的有关理论定积分：积分是微分的无限和，函数)(x f 在区间],[b a 上的积分定义为∑⎰=→∆∆==ni ii x bax f dx x f I i 1)max()(lim)(ξ其中.,,2,1),,(,,1110n i x x x x x b x x x a i i i i i i n =∈-=∆=<<<=--ξ从几何意义上说，对于],[b a 上非负函数)(x f ，记分值I 是曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围的曲边梯形的面积。
有界连续（或几何处处连续）函数的积分总是存在的。
微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式）：)(x f 在],[b a 上连续，且],[),()('b a x x f x F ∈=，则有)()()(a F b F dx x f ba-=⎰这个公式表明导数与积分是一对互逆运算，它也提供了求积分的解析方法：为了求)(x f 的定积分，需要找到一个函数)(x F ，使)(x F 的导数正好是)(x f ，我们称)(x F 是)(x f 的原函数或不定积分。
不定积分的求法有学多数学技巧，常用的有换元积分和分部积分法。
从理论上讲，可积函数的原函数总是存在的，但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示，也就是说这些积分不能用解析方法求解，需用数值积分法解决。
在应用问题中，常常是利用微分进行分析，而问题最终归结为微分的和（即积分）。
一些更复杂的问题是含微分的方程，不能直接积分求解。
多元函数的积分称为多重积分。
二重积分的定义为∑∑⎰⎰∆∆=→∆+∆ijji j i y x Gy x f dxdy y x f i i ),(lim ),(0)max(22ηξ当),(y x f 非负时，积分值表示曲顶柱体的体积。
二重积分的计算主要是转换为两次单积分来解决，无论是解析方法还是数值方法，如何实现这种转换，是解决问题的关键。
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∫
2
4
sin x 2 dx ，MATLIB代码为 若用符号积分法命令int计算积分 若用符号积分法命令int计算积分 ∫0 MATLIB代码为 1+ x
1
>>clear;syms x; >>int(sin(x^2)./(x+1),x,0,1),10) 结果为 ?Warning:Explicit integral could not be found >In D:\Ronghw\matlab\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58 D:\Ronghw\matlab\toolbox\symbolic\@sym\ In D:\Rong\matlab\work\aaa.m at line 3 D:\Rong\matlab\work\ ans=int(sin(x^2)/(x+1),x=0..1) ans=.1807896039 说明int命令求不出符号解，但可求数值解。int的功能虽然很 说明int命令求不出符号解，但可求数值解。int的功能虽然很 强大，但计算速度慢，数值计算效率不高。
实验四 积分
【实验方法与步骤】 实验方法与步骤】 练习1 用符号积分命令int计算积分 代码为 >>clear; syms x; >>int(x^2*sin(x)) 结果为 ans=-x^2*cos(x)+2*x*sin(x)
x 2 sin xdx ，MATLIB ∫
如果用微分命令diff验证积分正确性，MATLIB代码为 >>clear; syms x; >>diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)) 结果为 ans=x^2*sin(x)
∫
2
4
对于变步长数值积分，常用的有quad,quad8 对于变步长数值积分，常用的有quad,quad8 两种命令。quad使用自适应步长Simpson法， 两种命令。quad使用自适应步长Simpson法， quad8使用自适应步长8 Newton-Cotes法。 quad8使用自适应步长8阶Newton-Cotes法。 在计算时用quad8，它不但精度较高，而且 在计算时用quad8，它不但精度较高，而且 对假收敛和假奇异积分具有一定的适应性。
实验四 积分
如果用quad8命令计算积分 x dx，需先编写被积函数 −2 的M函数： f ( x) = x 2 %M函数fun1.m function y=fun1(x) y=x.^4; 保存后，在命令窗口输入以下MATLIB代码： MATLIB >>clear; >>quad8('fun1',-2,2) >>vpa(quad8('fun1',-2,2),10) 结果为 ans=12.8000 ans=12.80000000
数学实验
实验四 积分
河西学院数学系
实验四 积分
【实验目的】 实验目的】 1.了解积分的基本概念。 了解积分的基本概念。 了解积分的基本概念 2.掌握积分在计算面积，体积等问题中的应用。 掌握积分在计算面积， 掌握积分在计算面积 体积等问题中的应用。 3.了解变步长积分和广义积分。 了解变步长积分和广义积分。 了解变步长积分和广义积分 4.学习 掌握 学习,掌握 软件中有关命令。 学习 掌握MATLAB软件中有关命令。 软件中有关命令
【练习与思考】 练习与思考】
习题1. （不定积分）用int计算下列不定积分， 并用diff验证。 dx dx x sin x 2 dx ∫ 1 + cos x ∫ ex +1 ∫ arcsin xdx sec 3 xdx ∫ ∫ 习题2. （定积分）用 算下列定积分。
sin x ∫0 x dx
1
trapz，quad8，int计
实验四 积分
【实验内容】 实验内容】 1.用符号积分int命令计算积分 2.计算数值积分 3.计算数值积分
x 2 sin xdx ∫
∫
,
2
−2
x 4 dx
sin x 2 ∫0 1 + x dx
1
∫∫
x 2 + y 2 ≤1
。
(1 + x + y )dxdy
实验四 积分
【实验准备】 实验准备】 1.积分的有关理论。 1.积分的有关理论 积分的有关理论。 2.积分的数值方法。 2.积分的数值方法 积分的数值方法。 3.积分的MATLAB命令。 3.积分的 积分的MATLAB命令 命令。 主要用int命令进行符号积分 命令进行符号积分, 主要用int命令进行符号积分,用 trapz,dblquad,quad,quad8,可以用 trapz,dblquad,quad,quad8,可以用help 可以用help int,help trapz,help quad等查阅有关这些命令 quad等查阅有关这些命令 的详细信息。 的详细信息。
实验四 积分
练习2 计算数值积分 ∫−2 x dx ， 先用梯形积分法命令trapz计算积分 2
4 2
sin x 2 。 ∫0 1 +x 4 dx
，MATLIB代码为 >>clear;x=-2:0.1:2;y=x.^4； %积分步长为0.1 >>trapz(x,y) 结果为 ans=12.8533
x dx ，MATLIB代码为 若用符号积分命令int计算积分 若用符号积分命令int计算积分 MATLIB代码为 −2 >>clear;syms x; >>int(x^4,x,>>int(x^4,x,-2,2) 结果为 2 1 sin x ans=64/5 ∫0 1 + x dx ，用步长为0.1,0.01的梯形积分命令 对于定积分 ，用步长为0.1,0.01的梯形积分命令 trapz计算的结果分别为 trapz计算的结果分别为 ans=0.1811 ans=0.1808 用quad8命令计算结果为 quad8命令计算结果为 ans=.1807896039
实验四 积分
实际上，积分 的精确值为 ∫−2 x dx 如果取积分步长为0.01，MATLIB代码为 >>clear;x=-2:0.01:2;y=x.^4；%积分步长为0.01 >>trapz(x,y) 结果为 ans=12.8005
4 2
64 。 = 12.8 5
可用不同的步长进行计算，考察步长和精度之间的 关系。trapz是最基本的数值积分命令，精度较低， 使用于数值函数和光滑性不好的函数。
∫x
0
1
x
dx
∫
2π
0
e sin(2 x)dx
x
∫e
0
1
− x2
dx