奥数-不等式-(6)

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奥数之解不等式

奥数之解不等式奥数（奥林匹克数学竞赛）是一项旨在培养学生创造力、逻辑推理和解决复杂数学问题能力的竞赛活动。

在奥数的题目中，解不等式是常见的一种题型。

解不等式需要我们找到一个变量的取值范围，使得不等式成立。

本文将介绍解不等式的方法以及一些常见技巧。

一、一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个变量、一次方程的不等式。

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，只是在求解的过程中需要注意不等式符号的转换。

例如，对于不等式3x-2<5，我们可以按照以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：3x-2=5；2. 解方程：3x=7；3. 求解出x的值：x=7/3；4. 检验解的有效性：将x=7/3带入不等式，验证不等式是否成立。

二、一元二次不等式一元二次不等式是指只有一个变量、二次方程的不等式。

解一元二次不等式的方法相对来说较为复杂，需要我们掌握一些基本的技巧。

1. 图像法：首先将一元二次不等式转化为对应二次函数的图像形式，通过观察图像的开口方向和与x轴的交点来确定不等式的解集。

2. 化简法：对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过化简等式的方法来求解。

化简的关键是对不等式进行因式分解，然后找到各个因式的零点，并根据各个因式在某一区间上的取值情况确定不等式的解集。

三、绝对值不等式绝对值不等式是指以绝对值形式表达的不等式，解绝对值不等式的关键在于找到绝对值函数的取值范围。

1. 绝对值的定义：|x|表示x与0之间的距离，所以对于一个绝对值不等式来说，可以将绝对值不等式分成两个部分，一个是x大于0，一个是x小于0，并根据不等式的符号确定解集。

2. 绝对值的性质：对于绝对值不等式来说，我们需要牢记绝对值的性质，即|a-b|<=c等价于-a+b<=c且a-b<=c。

通过以上的简单介绍，我们了解了一些解不等式的基本方法和技巧。

当然，在实际解题中，有时我们还需要运用其他的数学知识和技巧，如配方法、整体替换法等。

(完整word版)全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导：第六讲不等式的应用、参数取值范围问题

全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第六讲不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I.排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组a1 a2 a n 及b1 b2 b n.则a1b1 a2b2 a n b n （同序和）a1b j1 a2b j2 a n b jn （乱序和）a1b n a2b n 1 a n b1 （逆序和）其中j i, j2, , j n是1 , 2 ,…，n的任一排列.当且仅当a i a2 a.或b i b2 b n时等号（对任一排列j l, j2, , j n）成立•证明：不妨设在乱序和S中j n n时（若j n n，则考虑j n 1）,且在和S中含有项a kb n（k n）, 则a k b n a n b j n a n b jn a n b n. ①事实上,左－右=（a n a k）（b n b j n）0,由此可知，当j n n时，调换S ap i a k b j k 3.6.（j n n）中g与j n位置（其余不动），所得新和S i S-调整好a n及b n后，接着再仿上调整a n 1与b n 1，又得S2 S i.如此至多经n 1次调整得顺序和a ib i a2b2 a n b n a i b ji a2b j2 a n b jn ②这就证得“顺序和不小于乱序和”•显然，当a i a2 a n或b i b? b n时②- 1中等号成立仮之，若它们不全相等，则必存在j n及k,使b n b j n,a n a k.这时①中不等号成立•因而对这个排列②中不等号成立.类似地可证“乱序和不小于逆序和”II •应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n个正数a i,a2, ,a n的算术平均数和几何平均数分别是A n 也上屯和G n a.n此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到a i a2 a n和平方平均（在统计学及误差分析中用到）1~2 2 2亠13i 32 3nQ n V ------------------------- 这四个平均值有以下关系H n G n A Q n. OV n其中等号成立的充分必要条件都是a1 a2 a n •下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：A n G n •a i32a1a2 a n 记x1,X n1 1y1 ,y2 , x1x2,y n1X n由于数组X1,X2, ,X n和数组y1, y2, , y n中对应的数互为倒数，由排序不等式得x* X2『1 x n y n（逆序和）xy X2 y1, X n Y n 1 ,a1a2 a n即nG n G n G n从而代G n.等号当且仅当X1 X2x n或y1y2y n时成立，而这两者都2-3 -显然成立）.2a：，B=、b 2 b ；b ：.且令X ia i詈(i1,2, , n),则X 122 X22 Xnd 2 21, y 1 y 2 2y：1-于是原不等式成为X i y ix ；yX n y n1.即 2(X i y i x ；y ；X n y n )X 12 2 2X n y 1y2y •它等价于III •应用算术平均数一一几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式柯西（Cavchy ）不等式：设a 1、a 2、a 3，…，a n 是任意实数，则可得到a 1a 2a n・下面证明G n1 1H n .对n 个正数，一，a a1宀中 , 应用G n a nA n ，得1 1 1a 1 a 2a n1 11n a 1 a 2a n即G nH n . （符号成立的条件是显然的）•最后证明A n,Q n ,它等价于n(ai2 a2a；) (a 1 a 2a n )20.而上式左边=2 2= (a1 a 2) (a 1a 2)@1a n )22 2(a 2 a 3)@ a n )(a n 1 a n )20 ,于是不等式及等号成立的条件都是显然的了 .从上述证明可见，A nQ n对一切 a 1, a 2,,an R成立.(a 1b 1 a 2b 22/2 2a nb n ) (a 1a2a nb (b i 2 b ；bn).等号当且仅当bka j （k 为常数，i 1,2, ,n ）时成立•证明：不妨设a i （i 1,2,,n ）不全为0, b i 也不全为0 （因为a i 或b i 全为0时，不等式(X i y i)2(X2 y2)2(X n y n)2 0.其中等•号成立的充要条件是X i y i(i i,2, ,n)•从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是b kai(kIV •利用排序不等式还可证明下述重要不等式切比雪夫不等式：若a i a2 a n ,b i b2 b n ,小a-|b则1i a2b2 a n b n a i a2 a n b i b2 b nn n n证明：由题设和排序不等式，有a i b i玄2匕a nb n = a i b i a2b2 a n b n ,a1b1a?b2 a n b n aR? a?b3 a n b i ,a ib i a2b2 a n b n a i b n a2b i a n b n i .将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2,即得欲证的不等式.赛题精讲I •排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题例1：对a,b,c R，比较a3 b3 c3与a2b b2c c2a 的大小.【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析.【略解】取两组数a, b,c; a2,b2,c2.3 3 3 2 2 2不管a, b, c的大小顺序如何，a b c都是同序和a b b c c a都是乱序和故3 , 3 3a b c a b b c c a.【评述】找出适当的两组数是解此类题目的关键.【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组【思路分析】可构造△ ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之【详军】不妨• 设a b c ，于 :是A B C.由排序不等式, 得aAb BcC aA bB cC,aAb B cC bA cB aC,aA bBcC cA aB bC.相加, 得 3(aA bB cC) (ab c)(A B C)(a b c)，由①、②得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明例4：设a 1,a 2, ,a n 是互不相同的自然数，试证1 -2aA bcC得-①a b c3又由0b c a,0 a bc,0a c b,有0 A(b c a) C(a b c) B(a c b) a(B C A) b(A C B) c(A Ba(2A )b( 2B) c( 3C)(a b c) 2(aA bB cC).aA b BcC得②a b c2C)2 2 2 2例 2：a,b,c R ，求证2 2c a2b2abcb 2ca2cab【思路分析】应先将a 、b 、c 三个不失一般性地规定为【略解】由于不等式关于c 对称，可设aa b0.0.由排序不等式, 得a 2b 21-（逆序和） cb 21（乱序和）•ab21及a 2 1a以上两个同向不等式相加再除以a 3b 3c 30,及丄丄bc cab 2a2，即得原式中第一个不等式1 ，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成ab•再考虑数组例3:在厶ABC 中，试证:aA bB cC a b ca 2 22n 2【思路分析】应先构造两个由小到大的排序【略解】将a i ,a 2, ,a n 按由小到大的顺序排成 a j 1 a )21【思路分析】应注意到a i1(i 1,2, ,n)a i【略证】不妨设a 1 a 2a n ,因为a 「a 2, ,a n 都大于0•所以有1 11---- --------- ------------------ ?a1 a 2an1 1 1 1 1 1又一,—,, 是，一，，的任意一个排列，于是得到d b 2 b n a 1 a 2a .1 1 1 111n a 1 — a 2a n a 1a 2 — a n.a 1a 2a nb1b 2b n【评述】此题比较简单，但颇具启发意义,读者应耐心体会1 1 1 例6：设正数a, b, c 的乘积abc 1,试证:(a 1 -)(b1 -)(c 1 -) 1b c a【略解】设 x,byy ,c z-，这里x,y,z 都是正数，则原需证明的不等式化为 x (x y z)(y x)(z x y) xyz,显然x y 乙y z x, z x y 中最多只有一个非负数•若x x y z,y 乙y x,z x y 中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若 .容易验证 (x y z)(y z z x, z x y 均为正数，则x, y,z 是某三角形的三边长 1 2 2 x)(z x y) 3【(x (y z x) y (z x3y) z 2(x y z)]. 故得(x y z)(y z x)( z x y) xy z.a jn其中 j 1, j 2,,j n 是1, 2，…，n 的一个排列，则a j l 1®22, a j nn.于是由排序不等式，得a 2 a1 22a n n 2a j1a jJ22n 2例 5：设 bi,b 2, ,b n 是正数 a 「a 2,a 1 a 2,a n 的一个排列，求证一 -b |b 2a n n.b nabc 1,证明a 2(b c)b 2(c a) c 2(a b)证明：设a!,b x1 1-,c -,则xyz 1，且所需证明的不等式可化为 y z x 23，现不妨设Xx y 2z 2 z ，则，据排序不等式x y两式相加并化简可得2 22(——」y z z x例7:设实数X 1 置换，证明: n (X i i 1 y i )2 【略解】【评述】X 2 (X ii 1 X n , y 1显然所需证不等式等价于应用此例的证法可立证下题:设a k 是两两互异的正整数（k 1,2, 33 xyz y 2nX i y i1证明：设 b 1 ,b 2, , b n 是 a 1, a 2, ,a n3.y n ,Z 1,Z 2, ,Z n 是 y 「y 2, , y n 的一个X i 乙,这由排序不等式可直接得到i 1），证明对任意正整数 n ,均有的一个排列，使db 2b n， a k则从条件知对每个1 k n ,b k k ,于是由排序不等式可知nn鼻a kb k2 2i 1k i 1 k【思路分析】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之【详解】•/ X i ,X 2, , X n 0 ,故由柯西不等式，得【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之 •II .柯西不等式的应用应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式 2 圣X 3例 &设 X i ，X 2， ,X n R ，求证: 2XiX 2 2 Xn 1 X n 2 X nX 1 X 2X i X n .(XX 32、宀XnXi)(— X 2 2X n i X nX nX iX 2 _X 3(X i X 2X n )2 ,2 2X i X 2 X 2 X 322X n iX n为X 2X nX nX iX i X n 1X n i针对性训练题1设a、b、c R ，利用排序不等式证明: (1) a a b b a b b a(a b)；(2 )2a2ba b2c c b a c c a ab c b ；；a b c 3(3b c c a a b 212 .12 12a b c 10 ■ 10 10(4 a b cbc ca ab2.设a、b、c是二角形二边的长，求证：3.已知a、b、c N*，并且b（1 山）a d 詈）b（1 a-b）ca b c* 1 24.设n N ,n 1,求证：C n C n5.若a 0, b 0,且a 2b 6,求Ig aa b c3.b c a cab a b ca b, ab c,求证：1.n 1n 2-C n n 2 2.2lg b的最大值.6.若a 2b 12,求2a 2b1的最小值.7.已知x y 1(x 1),求u(x, y)2 2& x 2y 1,求u(x,y) x 2y 的最值.c a, c。

六年级奥数教程-第04讲估算的技巧通用版

【六年级奥数教程】第4讲估算的技巧在日常生活、科学研究及工程建设中，往往会遇到比较复杂的计算，许多情况下，我们没有必要也不可能算出绝对精确的结果，这时，只需估算一个大致结果就可以了，估算常常运用取近似值、放与缩等技巧进行快速、近似的计算，这是一种十分重要的计算方法．熟练掌握这种算法不仅可以帮助我们解决问题，还可以用来检验计算结果是否正确．例1 试用估算法检验下列计算是否正确．534×78＝543 思维点拨因为一个因数78小于1，所以积应小于另一个因数，而543大于534,所以计算错误．例2 某校六年级三个班举行一次数学考试，六(1)班43人，平均分是81分，六(2)班46人，平均分是83分，六(3)班43人，平均分是85分，这三个班每人的平均分是( )分．A ．81B ．82C ．83D ．85思维点拨根据平均数的意义，三个班每人的平均分既不能低于或等于81分，也不能高于或等于85分，所以答案A ，D 都是错误的，因为六(1)班和六(3)班都是43人，若从六(3)班每个同学中取2分补给六(1)班的每个同学，平均分正好是83分，又与六(2)班的平均分相同，所以应选C ．例3 计算7.8＋7.98＋7.998＋···＋7.9999999998的整数部分是多少．思维点拨这道题有10个加数，分别是7.8，7.98，7.998，…，7.9999999998，从十分位起依次多一个9，两个9……九个9，把这十个数加起来，可以直接计算出结果，再确定整数部分是多少，但这样太烦琐了．实际上，和的整数部分只与十个数的个位、十分位、百分位上各数的和有关，而与百分位以下各位上的数的和没有太多关系，这样就可以减少计算的次数而得出和的整数部分．例4 求下式的整数部分：111112000200120022009+++⋅⋅⋅+.思维点拨先确定分母部分最小不小于几，最大不大于几，便可确定分母部分的值的范围．若这个范围很小，就能算出该式的整数部分，因为分母部分一定比10个12000小，一定比10个12009大，从而可以得到该算式的值在200到200.9之间，从而得出该算式整数部分的确定值．例5 一个四位数66能被134整除，求这个四位数除以134的商，思维点拨原四位数一定在6006到6996之间，容易求出商的范围，再利用整除性求出这个商.例6 3a ，7b 都是真分数，且3a ＋7b ≈1.38，那么a b＝ . 思维点拨先用不等式估计3a ＋7b 的大小，列出不定方程，从而求出整数解．●课内练习1．试用估算法检验下列计算是否正确． 2054×113＝20362．某校六年级三个班举行一次数学考试．五(1)班41人，平均分是82分；五(2)班44人，平均分是83分；五(3)班41人，平均分是84分，这三个班每人的数学平均分是( )分．A ．82B ．84C ．83D ．83.53．求4.5＋4.65＋4.665＋…＋4.6666666665的整数部分．4.求11111100101202109+++⋅⋅⋅+的整数部分．5．求40÷(0.40＋0.41＋0.42＋…＋0.59)的商的整数部分是多少．6．下式是用四舍五入的方法计算得到的三个真分数的和，5a 十7b 十8c ≈1.35，那么，三个自然数a ＝( )，b ＝( )，c ＝( )．●课外作业1．试用估算法检验下列计算是否正确．0.865×5.43＝4.63752．某车间加工一种机器零件，4人6小时能加工104个，照这样计算，10人加工260个零件，需要( )小时．A.6 B ．7 C ．8 D.103．设A ＝999999999999999910100100010000000000+++⋅⋅⋅+，求A 的整数部分．4.求2111110111229+++⋅⋅⋅+的整数部分．5．求10÷70＋11÷71＋12÷72＋…＋20÷80的整数部分．6．有一个算式359++≈1.71，,算式左边方框里都是整数，右边答案是四舍五入后的近似值．求算式中方框里的整数分别是多少.7．六(1)班共44名学生，A ，B ，C ，D ，E 五名同学竞选班长．已知A 得票最多，得23票，B 第二名，C ，D ，E 分别为三、四、五名，E 得3票，问B 最多得几票．8．三个真分数359x y z ++≈1.35，那么x ，y ，y 各是多少？9．比较两式45678÷12345和56789÷23456的大小．10．求1111100101102300+++⋅⋅⋅+的整数部分.你知道吗德国数学家高斯10岁的时候就能很快地算出1＋2＋3＋…＋100＝5050．那么1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝?你能很快算出来吗?宁宁能很快算出来，答案是10000，因为他记住了一个速算的方法.请看： 1＋2＋1＝4＝221＋2＋3＋2＋1＝9＝321＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42…刚有公式： 1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n 2.再看上面那道题目，它的答案就是1002＝10000.如果你记住了这个方法，那么你也能很快地算出这种类型的题目的答案了．第4讲估算的技巧例1 因为78<1，故结果不可能大于534，所以计算错误．例2 选C ．例3 7.8＋7.98＋7.998＋…＋7.9999999998＝8－0.2＋8－0.02＋8－0.002＋…＋8－0.0002⋅⋅⋅9个“0?＝8×10－0.2222⋅⋅⋅10个“2?整数部分是79．例4估算分母部分值的范围11112000200120022009+++⋅⋅⋅+＜102000＝1200，所以 200<111112000200120022009+++⋅⋅⋅+<200.9．故它的整数部分是200.例5这个四位数在6006～6996之间，则6006÷134＝44……110.6996÷134＝52……28，所以商在44～52之间，因商的个位数字与4相乘的积的个位应是6，故商的个位数字必然是9，因此所求的商是49.例6 因为3a ＋7b ≈1.8，所以1.37<3a ＋7b <1.39，两边乘21，得28.77<7a ＋3b<29.19．因为3a ，7b 是真分数，所以a ，b 均为自然数．因此7a ＋3b 必是自然数，可见 7a ＋3b ＝29，2937b a -=＋7b ．当b ＝5时，有整数解a ＝2，所以a b ＝25． ●针对性训练课内练习1．计算错误，因为113＝43>1，故结果不能小于2054． 2．选C ．3．忽略百分位以下各位上数的和可得到4×10＋(0.5＋0.6×9)＋(0.05＋0.06×8)＝46.43，故和的整数部分是46．4．1109×10<1100＋1101＋…＋1109<1100×10，10<1111100101109++⋅⋅⋅+<10.9，因此它的整数部分是10．5.(0.40＋0.59)×20÷2＝9.9,40÷9.9≈4，故商的整数部分是4．6．三个真分数的和四舍五入是1.35，说明1.345<5a ＋7b ＋8c <1.354，化简，得376.6<56a ＋40b ＋35c<379.12.因为a ，b ，c 都是自然数，所以56a ＋40b ＋35c 的取值范围是377，378,379．当56a ＋40b ＋35c ＝377时，a ＝2,b ＝4,c ＝3；当56a ＋40b ＋35c ＝378时，a ，b ，c 没有整数解；当56a ＋40b ＋35c ＝379时，a ＝4,b ＝3,c ＝1．课外作业1．错误．2．选A3．忽略千分位以下各位上数的和得到0.9×10＋0.09×9＋0.009×8＝9.882,故A 的整数部分是9．4．111101129++⋅⋅⋅+ ＝393939102911281920++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯，于是39101920⨯⨯<111101129++⋅⋅⋅+<39101029⨯⨯，所以29239⨯<原式<192239⨯⨯，所以原式的整数部分是1．5．设原式＝A ，A<10÷70＋11÷70＋…＋20÷70＝165÷70,A>10÷80＋11÷80＋12÷80＋…＋20÷80＝165÷80，可知2<A<3．所以原式的整数部分是2．6．1.705<359++<1.714，即1.705<159545⨯+⨯+⨯<1.714, 所以76.725<15×□＋9×□＋ 5×□<77.13,得到15×□＋9×□＋5×□＝77,则2,3,4满足题意．7．B 最多得9票．B,C,D 三人共得票18张,B 最多得9票，最少得7票．8．因为3x ，5y ，9z是真分数，所以x,y,z 必是自然数．由题意可知， 1.345<359xyz++<1.354，所以141.225<35x ＋21y ＋15x<142.17,故35x ＋21y ＋15x ＝141或142,由35x ＋21y ＋15x ＝141,得x ＝3，y ＝1，z ＝1，而333x=，故不合题意．由35x ＋21y ＋15x ＝142,得x ＝2，y ＝2，2＝2．9.45678÷12345＝1＋33333÷12345,56789÷23456＝1＋33333÷23456,可见45678÷12345>56789÷23456.10.原式＝(111100101199++⋅⋅⋅+)＋(111200201300++⋅⋅⋅+) <11100101100200⨯+⨯<1＋200200＝2． 11400100300100300+=⨯>4001200200100=⨯, 11400101299101299+=⨯>4001200200100=⨯, …11400199201199201+=⨯>4001200200100=⨯，所以原式>1100×100＋1200>1，于是有1<原式<2，所以原式的整数部分是1．。

奥数难题知识点总结

奥数难题知识点总结一、概率1.1 排列与组合在奥数难题中，排列与组合是经常出现的概率问题。

排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素按照一定的顺序排列的方法数。

组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素不考虑顺序排列的方法数。

在解决奥数难题中，排列与组合的计算方法是基础中的基础，需要掌握各种情况下的排列组合公式及其应用。

1.2 概率计算在奥数难题中，概率计算也是一个重要的知识点。

概率是指在一次随机试验中，事件A发生的可能性大小。

概率计算涉及到事件的互斥、独立、条件概率、贝叶斯公式等概念，需要掌握概率计算的基本原理和方法，以及在奥数难题中的应用。

1.3 事件的独立性与互斥性在奥数难题中，事件的独立性与互斥性是常见的概率问题。

事件A与事件B独立是指事件A的发生不影响事件B的发生，事件A与事件B互斥是指事件A的发生排除了事件B的发生。

在解决奥数难题中，需要了解事件的独立性与互斥性的概念，并能够灵活运用这些概念解决实际问题。

1.4 随机变量在奥数难题中，随机变量也是一个重要的概率知识点。

随机变量是指可能取多个值的变量，它的每个值发生的概率可以用概率分布来描述。

在解决奥数难题中，需要掌握随机变量的定义、性质、分布函数及其应用，能够灵活运用随机变量解决实际问题。

二、数学思维2.1 极限思想在奥数难题中，极限思想是一种重要的数学思维。

极限是指一个函数在某一点处的极限，它描述了函数在该点附近的变化情况，是数学分析的一种基本概念。

在解决奥数难题中，需要掌握极限的定义、性质、计算方法及其应用，能够运用极限思想解决实际问题。

2.2 推理思维在奥数难题中，推理思维也是一个重要的数学思维。

推理是利用已知条件得出结论的过程，是数学问题求解的基本方法之一。

在解决奥数难题中，需要灵活运用推理思维分析问题，找出问题的关键，从而找到解决问题的方法。

2.3 抽象思维在奥数难题中，抽象思维是一个不可或缺的数学思维。

抽象思维是指将具体问题抽象为一般性问题，通过建立数学模型对问题进行分析和求解。

高一奥数基本不等式知识点

高一奥数基本不等式知识点不等式是数学中重要的概念，奥数中常涉及的一个主题就是基本不等式。

在高一阶段，学生们开始接触不等式的概念和相关的基本知识。

本文将介绍高一奥数中的基本不等式知识点，包括基本不等式的概念、常见的基本不等式以及解决基本不等式问题的方法。

一、基本不等式的概念基本不等式是指在一定条件下，某个数学不等式在所有情况下都成立的不等式。

在高一奥数中，我们会遇到一些常见的基本不等式。

这些基本不等式是根据数学原理和性质得出的，具有普遍性和重要性。

二、常见的基本不等式1. 等差数列的均值不等式等差数列的均值不等式是指，对于一个等差数列，它的任意n个连续项的平均数大于等于这些项的几何平均数。

具体而言，对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，有以下不等式成立：$\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdota_3 \cdot ... \cdot a_n}$2. 平均数-均方差不等式平均数-均方差不等式是指，对于任意一组数的平均数和均方差，平均数的平方大于等于这些数减去平均数的差的平方的平均值。

具体而言，对于一组数$x_1, x_2, x_3, ..., x_n$，平均数记作$\overline{x}$，均方差记作$s$，有以下不等式成立：$(\overline{x})^2 \geq \frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2}{n}$3. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是指，对于两个向量的点积，其绝对值小于等于这两个向量的模的乘积。

具体而言，对于两个向量$a=(a_1, a_2, ..., a_n)$和$b=(b_1, b_2, ..., b_n)$，有以下不等式成立：$|a \cdot b| \leq |a| \cdot |b|$4. 三角形不等式三角形不等式是指，三角形的任意两边之和大于第三边。

奥数辅导之不等式

不等式知识梳理1．不等式的概念与性质（要注意不等式性质成立的条件） 2．基本不等式（1）利用基本不等式证明不等式（2）运用基本不等式求值①“和定积最大”：2()2a b ab +≤；②“积定和最小”：a b +≥. 运用重要不等式最值要注意满足三个条件：“正、定、等”.即a 、b 都是正数，和或积是定值，a 与b 能相等.补充：均值不等式设n a a a ,,,21⋅⋅⋅是n 个正实数，记nn a a a nH 11121+⋅⋅⋅++=；n n n a a a G ⋅⋅⋅=21，n a a a A n n +⋅⋅⋅++=21；na a a Q nn 22221+⋅⋅⋅++=他们分别称为n 个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，这四个平均数具有如下关系：n n n n Q A G H ≤≤≤，上式等号成立的条件是n a a a =⋅⋅⋅==21.3.不等式的证明综合法、分析法、换元法、三角换元法、构造（方程、函数）法、放缩法、反证法4．不等式的解法① 一元一次不等式、一元二次不等式相信同学们都应该能熟练求解了.② 对于分式不等式、对数不等式、指数不等式，我们需进行同解变形为熟悉的不等式后再利用已学过的知识解答.③ 对于含参不等式的求解则需进行必要的讨论. ④ 一元高次不等式用根轴法.⑤ 解不等式的方法中，尤其需要注意的是换元法、图象法、根轴法， 5.不等式的综合应用（1）应用基本不等式求最值（和一定，积最大；积一定，和最小）. （2）“有解”与“恒成立”问题.（3）应用不等式求值范围，在与解析几何的综合考查中较常见.例题选讲．若关于x 的不等式2||2x a x >--至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是____. ．在算式4×□＋9×△＝♡的□和△中分别填入两个正整数，使它们的倒数之和的最小值为65，则正整数♡的值为_________..解关于x 的不等式()()1102a x a x -≥>-.（1）已知1222=++c b a ，求证：121≤++≤-ca bc ab （2）已知2122≤+≤y x ，求证：32122≤+-≤y xy x （3）设1=++c b a ，1222=++c b a ，且c b a >>，求证：031<<-c （4）已知△ABC 的三边长是c b a ,,，且m 为正数，求证：mc cm b b m a a +>+++.证明：（1）121211121<+⋅⋅⋅++++<mm m （2）47131211222<+⋅⋅⋅+++n（3）nnn 2131211<+⋅⋅⋅+++<练习巩固1.已知正数c b a ,,满足3=++c b a ，则181818+++++c b a 的最大值为 A.9 B.33 C.16 D.342.x a x a )24()3(2-<-对)1,0(∈a 恒成立，则x 的取值范围是____________。

小学六年级奥数知识点

1.整数：正整数、负整数、绝对值、相反数、相加减、相乘除、整数
序列等。

2.小数：小数的读法、四则运算、小数与整数的关系、小数的表示、
小数的大小比较等。

3.分数：分数的基本概念、分子分母、约分、通分、分数的四则运算、分数的大小比较等。

4.比例：比例的概念、比例的性质、比例的计算、比例的应用等。

5.百分数：百分数的概念、百分数的转换、百分数的应用等。

6.几何：平面图形的性质、常见平面图形的计算、面积、周长、体积等。

7.代数：代数表达式、方程、不等式、函数等。

其中，可拓展的知识点还包括：
8.组合数学：排列组合、逻辑推理、数列等。

9.概率统计：事件与概率、样本空间与事件、频率与概率、抽样、统
计与图表等。

10.数论：质数与合数、最大公约数与最小公倍数、整除与整除性质、素数与合数等。

11.平面几何：线段、角、相似、全等、三角形、四边形、圆等。

12.立体几何：立体图形的计算、球的计算、体积与表面积等。

对于小学六年级的学生来说，掌握以上的知识点可以帮助他们提高解
决问题的能力，培养逻辑思维和数学推理的能力。

同时，通过奥数的学习，学生还可以提高自己的数学素养，为以后更深入的学习打下基础。

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第六讲不等式
不等式是中学数学的主要内容之一，也是学习数学必不可少的工具。

一、基础知识回顾
1．不等式的性质
（1）若a b >,则a c b c ±>±；
（2）若0a b c >⎧⎨>⎩，则,a b
ac bc c c >>；
（3）若0
a b c >⎧⎨<⎩，则,a b
ac bc c c <<；
（4）若,a b b c >>，则a c >（传递性）；（5）若,a b c d >>，则a c b d +>+（可加性）；（6）若0,0a b c d >>>>，则0ac bd >>（可乘性）；（7）若0,0a b c d >>>>，则
0a b
d c
>>（可除性）； 2．含绝对值的不等式的性质：
(2)｜a ｜-｜b ｜≤｜a+b ｜≤｜a ｜+｜b ｜； (3)｜a ｜-｜b ｜≤｜a-b ｜≤｜a ｜+｜b ｜．
3．两数大小比较的基本方法（1）比差法（2）比商法
二、典型例题 A ）
基本题目
例1 解不等式
2351
5124++->-+
-x x x x
例2 已知有理数x 满足：325372
13x
x x +-≥--，若23+--x x 的最小值为a ，最大值为b ，则ab=
例3 （同步P125）求同时满足6,23a b c a b c ++=-+=和0b c >=>=的a 的最大值和
最小值。

B ）带参数
例4 （同步P117）解关于x 的不等式2
(1)32a x a x -<++
例5 如果关于x 的不等式51232<->-a x
a a x 与同解，则a ( )
A 、不存在
B 、等于-3
C 、等于52-
D 、大于52
-
例6 （同步P117）（1997年，安徽省竞赛题）已知关于x 的不等式(2)50a b x a b -+->的解是10
7
x <
，则0ax b +>的解是（） A 35x >- B 35x <- C 35x > D 3
5
x <
例7 已知m 、n 为实数，若不等式(2m-n) x+3m-4n<0的解集为
94
>
x ，求不等式
(m-4n) x+2m-3n>0 的解。

解：由(2m-n) x+3m-4n<0得：(2m-n) x<4n-3m ，
因为它的解集为94>x ，所以有⎪⎩⎪
⎨⎧=--<-(2) 94234(1) 02n m m n n m
由(2)得
m
n 87=
代入(1)得 m<0
把
m n 87=
代入(m-4n) x+2m-3n>0得 8525m x m >-
∵m<0 ∴
41
-
>x
所以，不等式(m-4n) x+2m-3n>0 的解集为
41-
>x
评注：本题的关键是确定未知数x 的系数，从而才能求出不等式的解。

方法是首先求出
m 、n 的关系，再代入确定未知数x 的系数。

例8 （同步P118）（1998年，全国数学竞赛题）如果不等式组90
80x a x b ->=⎧⎨-<⎩
的整数解仅为1，
2，3。

那么适合这个不等式组的整数a,b 的有序数对（a,b ）共有（）
A 17
B 64
C 72
D 81
C ）与绝对值相关
例9 设
求x+y ．
分析从绝对值的意义知
两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．
解由题设有
把③代入①得
解之得y=-3，所以x=4．故有
x+y=4-3=1．
例10 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．
＜x≤5，x＞5．
-(x-5)-[-(2x+3)]＜1，
-(x-5)-(2x+3)＜1，
(3)当x＞5时，原不等式化为
x-5-(2x+3)＜1，
解之得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．
的解．例11 解不等式1≤｜3x-5｜≤2．
分析与解此不等式实际上是
解对｜3x-5｜≥1：
对｜3x-5｜≤2：
所以①与②的公共解应为
例12 解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3．
解从里往外去绝对值符号，将数轴分为x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组．
即 x≤-3．
即x＞3．
说明本题也可以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意义，解下面两个不等式
分别解出①和②即可，请同学们自己完成这个解法．
例13 （同步P124）在方程组
1 1
2
y x
y x b
=+
⎧
⎪
⎨
=+
⎪⎩
中，b为何值时，原方程组有一解、两解或无解。

三、课后练习题
1．解下列不等式：
(2)5≤｜5x-3｜≤10；
(3)｜x+1｜+｜4-x｜＜6；
(4)｜｜x-1｜-｜x+2｜｜＞1．
2．（同步P123）如果不等式组
2
32
x a
x a
>+
⎧
⎨
<-
⎩
无解，则不等式组
2
2
x a
x a
>-
⎧
⎨
<+
⎩
的解的情况怎样？
3．（同步P116）解不等式组
1
10
23
4352
51 21
714 x x
x x
x x -
⎧
-+>
⎪
⎪
-<=+
⎨
⎪+-⎪->-
⎩。