龙格库塔间断有限元方法在化学反应流动中的应用研究
一维浅水方程的Runge-Kutta间断有限元数值模拟与应用的开题报告
一维浅水方程的Runge-Kutta间断有限元数值模拟与应用的开题报告1.问题背景:随着人类社会的不断发展，各种工程问题对于海洋流动的研究越来越受到关注。
其中，利用数值模拟方法研究一维浅水方程变得越来越重要。
目前，数值模拟方法已经被广泛应用于海洋工程领域。
尤其是近年来，随着计算机技术的飞速发展，数值模拟方法的准确度和计算效率也得到了大幅提高。
然而，到目前为止，还没有一种普适的数值方法能够完美地解决海洋工程中各种复杂的流动问题。
因此，在这样的基础之上，本文将研究一维浅水方程的数值模拟计算方法，探究其在海洋工程领域的应用。
2.研究目的:对于海洋工程领域的问题，数值模拟方法被广泛应用。
因此，本文旨在探究一维浅水方程的数值模拟计算方法，并应用于实际问题中。
具体目的包括以下几点：（1）研究一维浅水方程的基本概念和模型；（2）探究一维浅水方程的有限元数值模拟方法；（3）使用有限元数值模拟方法对一维浅水方程进行数值模拟计算；（4）将有限元数值模拟方法应用于海洋工程领域的问题中，验证其实用性和可行性。
3.研究内容:（1）一维浅水方程的基本概念和模型本文将首先介绍一维浅水方程的基本概念和模型，包括基本方程和边界条件等内容。
（2）一维浅水方程的有限元数值模拟方法一维浅水方程的有限元数值模拟方法是本文的重点研究内容。
本文将介绍基于有限元方法的数值模拟方法，并探究其数值解的收敛性和稳定性等方面的问题。
（3）使用有限元数值模拟方法对一维浅水方程进行数值模拟计算本文将使用有限元数值模拟方法对一维浅水方程进行数值模拟计算，并详细分析计算结果。
（4）将有限元数值模拟方法应用于海洋工程领域的问题中本文将应用有限元数值模拟方法对海洋工程领域的问题进行研究，并详细探究其实用性和可行性。
4.研究方法:本文将主要采用以下研究方法：（1）文献调研：本文将通过查阅相关文献，深入了解一维浅水方程的基本概念和模型，并研究有关数值模拟方法的文献。
间断有限元方法
2016 年夏季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:间断有限元方法及其应用学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:学生姓名:学号学生类别考核结果阅卷人1．引言间断Galerkin(DG)方法兼有有限元与有限体积方法的特征。
如同一般有限元方法那样，DG方法利用单元多项式空间作为近似解和检验函数空间，但是与传统的有限元方法不同,有限元函数空间基函数都是完全间断的分片多项式，各个单元之间的通信也需要像有限体积方法那样通过在单元边界上构造合适的数值流通量来实现。
因此DG方法既保持了一般有限元方法和有限体积方法的优点，又克服了各自的不足。
该方法可采用局部高阶插值的方法构造基函数，具有灵活处理边界条件以及可显式求解间断问题的能力，克服了一般有限元方法不适于间断问题的缺点,以及有限体积方法必须通过扩大模板进行重构来提高精度的不足。
因此间断Galerkin(DG)方法的出现拓展了传统有限元方法的应用范围,改善了人们对传统有限元方法的认识。
2．DG的基本概念间断Galerkin方法最早由Reed和Hill在1973年为解决中子输运方程问题而提出。
随后众多学者对间断有限元方法提出了改进和发展特别是90年代以来,以Cockbum和舒其望为代表提出了Runge-Kutta间断Galerkin(RKDG)方法，该方法结合TVD(TVD:Total Variation Diminishing) Runge-Kutta 时间离散方法和间断有限元求解一维双曲守恒律方程（组）以至于高维双曲守恒律方程（组），能够适合复杂计算区域和边界条件，可以精确的捕捉激波和接触间断。
它不但在光滑区域可以保证高精度，而且在间断区域可以保持数值无振荡，分辨率高，可以证明收敛到熵解。
这些优点使得RKDG成为计算流体力学流行的方法之一，并被广泛应用到气象学、海洋学、湍流、电磁学、石油勘探、水动力学等离子物理和图像处理等领域。
同样是在20世纪70年代,内惩罚(IP: Interior Penalty)类方法被独立地提出来求解摘圆和抛物方程。
一维双曲守恒律的龙格-库塔控制体积间断有限元方法
一维双曲守恒律的龙格-库塔控制体积间断有限元方法
陈大伟;蔚喜军
【期刊名称】《计算物理》
【年(卷),期】2009(26)4
【摘要】给出数值求解一维双曲守恒律方程的新方法——龙格-库塔控制体积间断有限元方法(RKCVDFEM),其中空间离散基于控制体积有限元方法,时间离散基于二阶TVB Runge-Kutta技术,有限元空间选取为分段线性函数空间.理论分析表明,格式具有总变差有界(TVB)的性质,而且空间和时间离散形式上具有二阶精度.数值算例表明,数值解收敛到熵解并且对光滑解的收敛阶是最优的,优于龙格-库塔间断Galerkin方法(RKDGM)的计算结果.
【总页数】9页(P501-509)
【关键词】双曲守恒律;龙格-库塔技术;控制体积有限元方法
【作者】陈大伟;蔚喜军
【作者单位】中国工程物理研究院研究生部;北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室
【正文语种】中文
【中图分类】O35
【相关文献】
1.高阶龙格库塔间断有限元方法求解二维谐振腔问题 [J], 刘梅林;刘少斌
2.龙格库塔间断有限元方法求解二维欧拉方程的多GPU加速实现 [J], 周星宇;刘
铁钢;
3.一维双曲守恒律方程的保极值间断有限体积元方法 [J], 陈浩;高巍
4.龙格库塔间断有限元方法在计算爆轰问题中的应用 [J], 张磊;袁礼
5.自适应间断有限元方法求解双曲守恒律方程 [J], 徐云;蔚喜军
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四阶龙格—库塔法的原理及其应用
《四阶龙格—库塔法的原理及其应用》
龙格—库塔法(又称龙格库塔法)是由一系列有限的、独立的可能解组成的无穷序列,这些解中每个都与原来的数列相差一个常数。
它是20世纪30年代由匈牙利著名数学家龙格和库塔提出的,故得此名。
1.它的基本思想是:在n 阶方阵M 上定义一个函数,使得当n 趋于无穷时,它在m 中所表示的数值为M 的某种特征值,从而构造出一族具有某种特性的可计算函数f (x)= Mx+ C (其中C 为任意正整数)。
例如,若f (x)=(a-1) x+ C,则称之为(a-1) x 的龙格—库塔法。
2.它的应用很广泛,可以求解各类问题,且能将大量的未知数变换成少数几个已知数,因此它是近似计算的一种重要工具。
3.
它的优点主要有:(1)可以将多项式或不等式化成比较简单的形式;(2)对于同一问题可以用不同的方法来解决,并取得同样的结果;(3)适合处理高次多项式或者不等式,尤其适合处理多元函数的二次型。
解决可压缩流驱问题的有限元和间断galerkin方法
解决可压缩流驱问题的有限元和间断galerkin方法解决可压缩流驱问题的有限元和间断Galerkin方法1. 引言可压缩流驱问题是流体力学中的重要研究领域，涉及到气体、液体等可压缩流体在固体表面运动的过程。
该问题的解决对于工程领域的气动设计、燃烧动力学等具有重要意义。
在本文中，我们将讨论解决可压缩流驱问题的两种数值方法：有限元方法和间断Galerkin方法。
2. 有限元方法有限元方法是一种常用的数值方法，用于解决偏微分方程问题。
在可压缩流驱问题中，我们将流场分为离散的有限元单元，每个单元上的流场变量可以用插值函数逼近。
通过将偏微分方程离散化为代数方程，在整个流场中求解流场变量的近似解。
2.1 基本原理有限元方法的基本原理是建立变分问题，通过最小化问题的变分形式，求解问题的近似解。
对于可压缩流驱问题，我们可以建立Navier-Stokes方程的变分问题。
通过引入试验函数和权重函数，将原始偏微分方程转化为一组线性方程。
2.2 空间离散化在有限元方法中，将流场分割为小的有限元单元是关键步骤。
常见的有限元形状包括三角形和四边形。
每个单元上的流场变量可以由节点上的值通过插值函数逼近，形成离散化的流场。
2.3 时间积分对于可压缩流驱问题，时间的积分也是必要的。
常见的时间积分方法包括显式和隐式方法。
显式方法根据时间步长逐步迭代，但对于大的时间步长可能会导致不稳定性。
隐式方法更为稳定，但需要解一个非线性方程组。
3. 间断Galerkin方法间断Galerkin方法是一种基于有限元方法的数值方法，用于解决守恒定律形式的偏微分方程问题。
该方法将流场分割为离散的有限元单元，通过在单元之间引入间断，从而提高了数值解的精度和稳定性。
3.1 基本原理间断Galerkin方法的基本原理是建立弱形式的守恒定律方程，并在每个有限元单元上引入间断。
通过在单元之间定义数值通量，将间断条件纳入到方程中。
这样可以提高数值解的精度和稳定性。
【论文】龙格库塔法的推广及其应用
摘要在日常生活和工作中，我们经常遇到很多问题。
例如机械、电讯、核能、火箭、人造卫星、生物、医学及若干社会学科（如人口理论、经济预测等）的各个领域的问题，尤其是弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控制的设计、气象数值预报、按龄人口增长宏观预测问题等等。
这些问题都归结于求解常微分方程。
常微分方程的研究与应用已经深入到自然科学和社会科学的众多领域，并且成功地揭示了许多自然和社会现象的内在规律。
数值方法是求解常微分方程的一种有效的方法。
数值方法有很多种，龙格库塔法是解决初值问题的一种有效的数值方法。
我们可以通过选取不同参数从而得到不同的龙格库塔格式。
对于一类特定的初值问题，我们可以用选取恰当参数的龙格库塔格式求解这一类特定的初值问题。
每一种方法都有其自身的优点和缺点。
通过与解决这一类特定的初值问题的欧拉法的分析比较，我们可得到这两种方法的优点和缺点。
关键词：常微分方程，龙格库塔法，初值问题，导弹动力学弹道方程组IIIAbstractIn daily life and work, we often encounter many problems. Such as machinery, telecommunications, nuclear energy, rockets, satellites, biotechnology, medicine, and number of social disciplines (such as population theory, economic forecasts, etc.) in all areas, Especially ballistic orbit location, large machinery vibration analysis, control design, numerical weather forecasting, macroeconomic forecasts by age problems like population growth. These problems are due to solution of ordinary differential equations. Research and application of ordinary differential equations have been deep into many natural and social sciences fields, and successfully reveals the many natural and social phenomena of the inherent laws. Numerical solution of ordinary differential equations is an effective method. There are many numerical methods, Runge-Kutta method to solve initial value problems is an effective numerical method. We can choose different parameters resulting in different Runge-Kutta format. For a class-specific initial value problem, we can select the appropriate parameters of Runge-Kutta Schemes for this type of specific initial value. Each method has its own advantages and disadvantages. With the initial value to solve this particular type of problem analysis and comparison of the Euler method, we can obtain the advantages and disadvantages of both methods.Keywords：Ordinary Differential Equations, Runge-Kutta method, initial value problem,Ballistic missile dynamics equationsIV目录第一章前言1.1 常微分方程的应用 (1)1.2 数值方法的基本思想和内容 (1)1.3 龙格库塔法研究导弹轨迹的目的和意义 (3)第二章研究内容与方法2.1 选参构建龙格库塔格式 (4)2.2 误差分析 (7)2.3 简化导弹动力学方程组 (11)2.4 欧拉法求解导弹动力学方程组数值 (12)2.5 龙格库塔法求解导弹动力学方程组数值 (13)第三章研究结果与讨论3.1 欧拉法求解结果 (17)3.2 龙格库塔法求解结果 (17)3.3 两种方法求解结果的讨论 (17)第四章结论与展望4.1 结论 (19)4.2 改进与展望 (19)参考文献 (20)致谢 (21)I第一章前言1.1 常微分方程的应用求解常微分方程是解决现实生活中很多问题的有效的方法。
间断有限元方法
间断有限元方法间断有限元方法，简称IFEM（Intermittent Finite Element Method），是一种用于求解偏微分方程数值解的数值方法。
其特点是将时间和空间上的离散进行分割，通过对离散点进行插值和积分，得到方程的数值解。
IFEM方法的主要思想是将时间和空间进行离散，并且在离散的时间点和空间点上，使用有限元方法进行插值和积分。
通过对插值和积分的计算，可以得到方程在离散点上的数值解。
由于IFEM方法采用离散的方式进行计算，因此可以有效地避免传统有限元方法中的大规模矩阵计算和存储问题，从而提高计算效率。
IFEM方法的基本步骤如下：1. 网格生成：首先需要对求解区域进行网格划分，将其分割为多个小区域。
网格的划分可以根据具体问题的特点进行选择，可以是均匀网格或非均匀网格。
2. 初始化：对于时间t=0时刻，需要对方程的初值进行设定。
可以根据实际问题的要求进行设置。
3. 时间步进：从初始时间开始，按照一定的时间步长进行时间的推进。
在每个时间步长内，需要在每个小区域上进行有限元插值和积分计算，得到方程在该时间点上的数值解。
4. 边界条件处理：在每个时间步长内，需要对边界条件进行处理。
边界条件可以是Dirichlet边界条件或者Neumann边界条件，根据具体问题的要求进行设定。
5. 收敛判断：在每个时间步长内，需要对计算结果进行收敛判断。
可以根据设定的收敛准则，判断数值解是否满足要求。
如果满足要求，则停止计算；如果不满足要求，则继续进行时间步进。
IFEM方法的优点是可以处理非线性、非稳态的偏微分方程问题，适用于各种不同的物理问题。
由于采用离散的方式进行计算，可以提高计算效率。
同时，IFEM方法还可以结合其他数值方法进行改进和优化，如有限差分法、边界元法等。
然而，IFEM方法也存在一些局限性。
首先，对于复杂的几何形状和边界条件，网格的生成和边界条件处理可能会比较困难。
其次，由于IFEM方法采用离散的方式进行计算，可能会引入一定的误差。
龙格库塔实验报告
一、实验背景常微分方程（ODE）在自然科学、工程技术等领域中具有广泛的应用。
然而，许多微分方程无法得到精确解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
龙格-库塔（Runge-Kutta）方法是一种常用的数值求解常微分方程的方法，具有精度高、稳定性好等优点。
本实验旨在通过编写程序，实现四阶龙格-库塔方法，并验证其在求解常微分方程中的有效性和准确性。
二、实验目的1. 理解四阶龙格-库塔方法的基本原理和计算步骤。
2. 编写程序实现四阶龙格-库塔方法。
3. 选取典型常微分方程，验证四阶龙格-库塔方法的求解精度和稳定性。
三、实验原理四阶龙格-库塔方法是一种基于泰勒级数展开的数值方法，其基本思想是将微分方程的解在某个区间内进行近似，并通过迭代计算得到近似解。
具体步骤如下：1. 初始化：给定初始条件y0，步长h，求解区间[a, b]。
2. 迭代计算：对于k=1, 2, ..., n（n为迭代次数），- 计算k1 = f(xk-1, yk-1)（f为微分方程的右端函数）；- 计算k2 = f(xk-1 + h/2, yk-1 + h/2 k1)；- 计算k3 = f(xk-1 + h/2, yk-1 + h/2 k2)；- 计算k4 = f(xk-1 + h, yk-1 + h k3)；- 更新y值：yk = yk-1 + (h/6) (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)；- 更新x值：xk = xk-1 + h；3. 输出结果：输出最终的近似解y(n)。
四、实验步骤1. 编写程序实现四阶龙格-库塔方法。
2. 选取典型常微分方程，如：- y' = -y，初始条件y(0) = 1，求解区间[0, 2π]；- y' = y^2，初始条件y(0) = 1，求解区间[0, 1]。
3. 对每个常微分方程，设置不同的步长h和迭代次数n，分别计算近似解y(n)。
4. 将计算得到的近似解与解析解进行比较，分析四阶龙格-库塔方法的精度和稳定性。
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龙格库塔间断有限元方法在化学反应流动中的应用研究
张磊
在高超声速飞行器的基础科学问题中，化学非平衡、超声速燃烧、脉冲爆轰、烧蚀防护等涉及化学反应流的问题是重要的研究对象。
数值模拟是研究这些问题的主要手段。
可压缩化学反应流的模拟是以数值求解含刚性源项的双曲守恒律方程组为基础的。
近年来，Cockburn等人发展的龙格库塔间断伽辽金（RKDG）有限元方法已经发展成为求解非线性双曲守恒律问题的一种有效的高精度高分辨率数值方法，其在含有间断问题的数值模拟中发挥着越来越大的作用。
本文将RKDG方法推广到求解带有刚性源项的双曲守恒律方程组，针对一维标量方程分析了推广的算法的数值精度和间断捕捉能力，并将其应用于模拟一维和二维矩形网格下的爆轰波问题。
为了和常用的有限差分型WENO方法进行比较，我们设计了用WENO方法计算刚性源项所需的高阶重构格式。
对一维带源项守恒律的计算表明，对于非刚性问题，RKDG方法比有限差分型WENO方法的误差更小，而对于刚性问题，RKDG方法对于间断面位置的捕捉更为精确。
对于一、二维爆轰波问题的计算结果表明，RKDG方法对于爆轰波结构的分辨和爆轰波位置的捕捉能力更强。
除分裂法外，本文还将隐显龙格库塔（IMEXRK）方法推广到DG方法中，并设计了相应的限制器。
进一步，我们将推广的RKDG方法应用于真实非平衡化学反应流问题中，模拟这类问题主要有两个方面的困难：
第一方面是实际应用的几何复杂性，为克服此困难，我们采用了无结构三角形网格上的RKDG方法。
为了保持计算过程中数值解的守恒性，采用了基于三角形重心Taylor展开的基函数。
并发展了一种新的P2元的基函数，在使用限制器防止密度和压力等变量发生下溢时，这种新的基函数比传统的基函数有更小的误差。
第二方面是求解变量数的增加及源项引起的刚性问题，这些复杂性使得求解这类问题需要很密的网格和很小的时间步长，因而计算非常耗时。
为此，我们编制了RKDG方法的MPI并行程序来缩短计算时间。
通过对爆轰波问题和基元反应模型问题的数值模拟，我们发现虽然流场中不同位置的刚性不同，使得基于区域分解策略的并行算法的并行效率比求解无反应问题时有所降低，但RKDG方法仍然具有较高的并行扩展性，不失为模拟化学反应流动的一种非常有效的方法。
关键词：龙格库塔间断有限元方法；多组分反应Euler方程组，基元化学反应模型，刚性源项.，爆轰波，并行计算。