高中数学总体特征数的估计苏教版必修3
苏教版高中数学必修三 2.3总体特征数的估计(一).doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.3总体特征数的估计（一） 【新知导读】1.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21,则该电池的平均寿命估计是( ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．302．如果1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 的平均数为3，那么12(3)a -、22(3)a -、32(3)a -、42(3)a -、52(3)a -、62(3)a -的平均数为 ( )A ．0B ．3C ．6D ．13.2004奥运首金获得者杜丽在决赛中的成绩如下表： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 环数9.410.610.710.410.410.110.210.810.810.6下列说法正确的是（ ）A ．平均成绩是(9.4+10.62+10.7+10.42+10.1+10.2+10.82)10=10.5⨯⨯⨯÷B ．众数是10.8环C ．极差是1.2环D ．中位数是10.5环，比平均成绩高0.1环 【范例点睛】例1 李先生是一家快餐店的经理，下面是该快餐店所有工作人员8月份的工资表： 李某 大厨 二厨 采购员 杂工 服务员 会计 3000元450元350元400元320元320元410元(1) 计算所有人员8月份的平均工资；(2) 计算出平均工资能反映打工人员这个月收入的一般水平吗？(3) 去掉李某工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般打工人员当月的收入水平吗？ 【课外链接】1．如果数据1x 、2x 、3x 、．．．n x 的平均数是10，则数据172x -，272x -，372x -，．．．，72n x -的平均数为___________________ ．【随堂演练】1．从测量所得数据中取出a 个x ，b 个y ，c 个z ，d 个ω组成一个样本，则这个样本的平均数x 是（ ） A ．4x y z ω+++ B ．4a b c d +++ C ．ax by cz d a b c d ω++++++ D ．4ax by cz d ω+++2．期中考试之后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么MN为( ) A ．4041 B ．1 C ．4140 D ．2 3．设n 个实数1x ，2x ，．．．，n x 的算术平均数为x ，若a x ≠，设2212()()p x x x x =-+-+323()...()n x x x x -++-，2222123()()()...()n q x a x a x a x a =-+-+-+-，则一定有( )A ．p q >B ．p q <C ．p q =D ．p q =4．某商店备有100千克蔬菜，上午按1.2元/千克的价格售出50千克，中午按1元/千克的价格售出30千克，下午按0.8元/千克的价格售出20千克，那么这批蔬菜的平均售价是每千克____________元．5．一位教师出了一份含有3个问题的测验卷，每个问题1分．班级中30%的学生得了3分，50%的学生得了2分，10%的学生得了1分，另外还有10%的学生得0分，则全班的平均分是_________． 6．已知一个数列有11项，其平均值为1.78,且该数列的前10项的平均值为1.74,则该数列的第11项的值为 __________．7．有一容量为100的某校毕业生起始月薪的样本．数据的分组及各组的频数如下： 起始月薪(百元) [13,14) [14,15) [15,16) [16,17) [17,18) [18,19) [19,20) [20,21) 频数711262315846从上表中，估计该校毕业生起始月薪平均值是______________．8．某校在一次学生身体素质调查中，在甲、乙两班中随机抽10名男生测验100m 短跑，测得成绩如下(单位：s )：甲 15.1 14.8 14.1 14.6 15.3 14.8 14.9 14.7 15.2 14.5 乙 15.0 15.0 14.2 14.5 16.1 15.2 14.8 14.9 15.1 15.2 问哪个班男生100m 短跑平均水平高一些？9．一个球队所有队员的身高如下：(单位：cm)178,179,181,182,176,183,180,183,175,181,185,180,184．问这个球队的队员的平均身高是多少(精确到1cm)?10．学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的评估，成绩如下表：工作态度教学成绩业务学习王老师98 95 96张老师90 99 98(1)如果以工作态度、教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩，作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？(2)如果三项成绩的比例依次为20%、60%、20%来计算他们的成绩，结果又会如何？2.3总体特征数的估计（一）【新知导读】1．B 2．A 3．C【范例点睛】例1．(1)平均工资1(3000450350400320320410)7507x=++++++=元．(2)由(1)所得的平均工资不能反映打工人员这个月的收入水平，这是因为李某工资值为异常值．(3)除李某外的人员平均工资为1(450350400320320410)3756x=+++++=元，则平均工资能代表一般打工人员的当月收入水平．【课外链接】1．68【随堂演练】 1．C 2．B 3．B4．1.06 5．2分 6．2.18 7．1648元. 8. 解：1(15.114.814.114.615.314.814.914.715.214.5)14.810x +++++++++=甲＝()s ，1(15.015.014.214.516.115.214.814.915.115.2)15.0()10x s +++++++++=乙＝．x x <乙甲，∴甲班男生短跑水平高些．9．解：1(17817918118217618317618018317518118514x =++++++++++++ 180+)184180≈(cm) ．10．解：(1)王老师的平均分是(989596)396++÷≈．张老师的均分是：(909998)395.7++÷≈．王老师的平均分较高，评王老师为优秀．(2)王老师的平均分是(9820%9560%9620%)95.8⨯+⨯+⨯=，张老师的平均分为(90⨯20%9960%+⨯9820%)97+⨯=．张老师的得分高，评张老师为优秀．。
高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计教学案苏教版必修3(2021学年)
2017－２018学年高中数学第2章统计 2.3 总体特征数的估计 2.3.1 平均数及其估计教学案苏教版必修3编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2017-2０1８学年高中数学第2章统计 2.3 总体特征数的估计 2．3.1 平均数及其估计教学案苏教版必修3)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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２.3.1 平均数及其估计预习课本Ｐ65～６８,思考并完成1.什么叫一组数据的平均数?2．平均数有哪些计算方法?错误!１．平均数的概念一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数(或均值)，一般记为：错误!=错误!.［点睛］（１）平均数反映了一组数据的集中趋势,它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的基准.(2）用样本平均数可估计总体平均数.（3）用平均数可以比较两组数据的总体情况,如成绩、产量等.2．平均数的计算(1)定义法:已知x1,x2，x3，…,x n为某样本的n个数据,则这n个数据的平均数为错误!＝＼f(x1+x２+x3+…+x n,n）。
（２)利用平均数性质：如果ｘ1,x２,…，x n的平均数为错误!，那么ｍx1＋a,mx2＋a,…,mｘn ＋a的平均数是ｍ错误!＋a.(３)加减常数法：数据ｘ1，x２，…，xｎ都比较大或比较小,且ｘ1,x２,…，ｘn在固定常数a 附近波动,将原数据变化为x１±a,x2±a,…,x n±ａ,新数据的平均数为错误!′，则所求原数据的平均数为错误!′±a。
高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差教案苏教版必修3
方差与标准差整体设计教材剖析“方差与标准差”这节课在上节课均匀数的基础上，从实例“有甲、乙两种钢筋，检查它们的抗拉强度”中均匀数不是反应整体质量、水平的独一特色数，在均匀值相差不大的情况下，数据的稳固程度能够作为评论对象质量高低的又一重要要素，进而说明引入方差、标准差的必需性，同时使学生养成从多个角度看问题的习惯，锻炼了学生的创建性思想.为了让学生充足领会“稳固性”的意义，教材顶用数轴表示两组数据，形象地表现出数据的“聚散”程度，并用极差反应数据的稳固性. 当两组数据的极差相差不大时，就不适合用极差来表示稳固性，这时可用“方差与标准差”作为比较数据稳固性的特色数.初中已学过方差看法，此刻的教课不可以逗留在原有的水平上，要将用方差刻画数据的稳定程度的原因讲清楚，充足揭露用方差作为比较数据稳固性水平的特色数的思想过程.经过方差的单位与原数据的单位的比较, 经过实质问题的剖析, 让学生认识到用方差反映稳固性水平的不足之处是与原数据单位不一致, 且平方后可能夸张偏差的程度等, 进而引入“标准差”的看法, 这一过程应让学生在形成问题和解决问题的过程中加以研究.三维目标1.经过对详细事例的剖析掌握样本数据的均匀数、方差与标准差的基本看法和计算方法，培育学生剖析问题和解决问题的能力, 激发学生研究数学识题的兴趣和动机.2.在解决统计问题的过程中，进一步领会用样本预计整体的思想，形成对数据办理过程进行初步评论的意识 .3.指引学生对一些生活中实质问题的学习, 进一步培育学生的数学修养和加强学生的数学应意图识及仔细、耐心、仔细的学习态度和学习习惯.4. 浸透数学根源于实践，反过来又作用于实践的看法.要点难点教课要点： 1. 经过实例理解样本数据方差与标准差的意义和作用 , 学会计算数据的样本方差与标准差 .2.依据方差与标准差对事件进行科学的决议，形成对数据办理过程进行初步评论的意识.教课难点： 1. 方差与标准差的计算方法及运算的正确性.2. 用样本的基本数字特色预计整体的基本数字特色, 从中进一步理解统计的基本思想.课时安排1课时教课过程导入新课均匀数向我们供给了样本数据的重要信息，可是，均匀数有时也会使我们作出对整体的片面判断 . 某地域的统计报表显示，此地域的年均匀家庭收入是10 万元，给人的印象是这个地域的家庭收入广泛比较高. 可是，假如这个均匀数是从200 户贫穷家庭和20 户极富裕的家庭收入计算出来的，那么它就既不可以代表贫穷家庭的年收入，也不可以代表极富裕家庭的年收入. 由于这个均匀数掩饰了一些极端状况. 而这些极端状况明显是不可以被忽略的. 所以，只有均匀数还难以归纳样本数据的实质状况.举例：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（以下表）检查他们的抗拉强度（单位： kg/mm2），经过计算发现，两个样本的均匀数均为125.哪一种钢筋的质量较好？两种钢筋的均匀数都是125，那么 , 它们有没有什么差别呢?推动新课作出图形，作直观比较：直观上看，仍是有差别的 . 乙的强度比较分别，甲的强度相对集中 . 所以，我们还需要从此外的角度来观察这两组数据 .比如，在作统计图、表时提到过的极差甲的强度极差＝135-110=25,乙的强度极差＝145-100=45.它在必定程度上表示了样本数据的分别程度，与均匀数一同，能够给我们很多对于样本数据的信息，明显，极差对极端值特别敏感，注意到这一点，我们能够获得一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计谋略.新知研究1. 方差 (variance) 的看法：观察样本数据的分别程度的大小，最常用的统计量是方差，一般用s2表示 .假定样本数据是x ,x, ,x， x 表示这组数据的均匀数.联合上节课有关离差的议论可12n知, 离差越小 , 稳固性就越高 . 所以，往常用以下公式计算方差：s21n(x i x) 2.n i1由于方差与原始数据的单位不同, 且平方后可能夸张了离差的程度, 所以将其算术平方根 s1n( x i x) 2n i1作为样本的标准差（standard deviation）,分别简称样本方差、样本标准差.2.计算样本数据 x1,x 2, ,x n的标准差的算法是：S1算出样本数据的均匀数x；S2算出每个样本数据与样本均匀数的差x i - x(i=1,2,， n) ；S3算出 S2中 x i - x(i=1,2,， n) 的平方；S4算出 S3中 n 个平方数的均匀数；S5算出 S4中均匀数的算术平方根，即为样本标准差.对于方差、标准差的一点说明：（1）方差、标准差是用来描绘样本数据的失散程度的，它反应了各个样本数据齐集于样本均匀数四周的程度 . 方差与标准差越小，表示各个样本数据在样本均匀数的四周越集中；反之，方差标准差越大，表示各个样本数据在样本均匀数的四周越分别.（ 2）在实质应用中，方差与标准差常被理解为稳固性. 比如在上边的比较两种钢筋的抗拉强度时，方差与标准差越小意味着该产品的质量越稳固；在描绘成绩时，方差与标准差越小，说明成绩越稳固.（ 3）学生思虑“标准差的取值范围是什么？标准差为0 的样本数占有什么特色？”由标准差的定义简单得出标准差是非负的；标准差为0 意味着所有的样本数据都相等的特征，且与样本均匀数也相等，能够结构一个样本容量为 2 的样本： x,x (x <x ) ，这样能够领会出两个样本数据分别程度与样本标准差1212之间的关系 .应用示例例 1依据以下四组样本数据，说明它们的异同点.(1) 555555555；(2) 444555666；(3) 334456677；(4) 222258888.剖析：从数据的数字特色出发.解：四组数据的均匀数都是 5.0 ，标准差分别是0.00 ， 0.82 ， 1.49 ， 2.83. 固然它们有同样的均匀数，可是它们有不同的标准差，说明数据的分别程度是不同样的.评论：样本的方差、标准差能说明数据的分别程度.2例 2 甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的均匀单位面积产量以下（单位：t/hm）,试根据这组数据预计哪一种水稻品种的产量比较稳固.剖析：稳固求方差和标准差的方法.解：甲品种的样本均匀数为10，样本方差为［ (9.8-10)2+(9.9-10)乙品种的样本均匀数也为2+(10.1-10)2+(10-10)10，样本方差为2+(10.2-10)2］÷5=0.02,22222［ (9.4-10) +(10.3-10) +(10.8-10) +(9.7-10) +(9.8-10)］÷ 5=0.24.由于 0.24>0.02 ，所以，由这组数据能够以为甲种水稻的产量比较稳固.评论： 1. 此题若仅由x 甲= x 乙，易产生这两种水稻的产量同样稳固的错觉. 这表示在实质问题中，仅靠希望值（即均匀数）不可以完整反应问题，还要研究其偏离均匀值的失散程度（及方差或标准差）：标准差大说明取值分别性大，标准差小说明取值分别性小或许说取值比较稳固、集中 .2.要对“依据这组数据预计”的统计意义作必需的说明：第一，统计研究是以必定的样本为依照的，对于确立的样本获得确立的统计结果；第二，统计结果拥有随机性，选择不同的样本可能获得不同的统计结果 . 最后还可让学生思虑除了品种的好坏，影响水稻产量还有哪些要素？依据一组数据获得的结果能否靠谱？这些问题的提出会激发学生对统计学理论的兴趣 .例 3为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用了一段时间后一定改换. 已知某校使用的 100只日光灯在一定换掉前的使用天数以下，试预计这类日光灯的均匀使用寿命和标准差.剖析： 用每一个区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求均匀使用寿命 .解：各组中值分别为165.5 ，195.5 ， 225.5 ， 255.5,285.5 ， 315.5 ， 345.5 ， 375.5 ，由此算得均匀数约为165.5 ×1%+195.5×11%+225.5×18%+255.5×20%+285.5×25%+315.5×16%+ 345.5 ×7%+375.5×2%=268.4≈268（天） . 这些组中值的方差为1 ×100［ 1×(165.5 -268.4) 2+11×(195.5-268.4) 2 +18×(225.5 -268.4) 2+20×(255.5 -268.4) 2+222225×(285.5 -268.4)+16×(315.5 -268.4) +7×(345.5 -268.4) +2×(375.5 -268.4) ］2=2 128.60( 天 ) ，故所求的标准差约为2128.6 ≈46（天） .答：预计这类日光灯的均匀寿命约为268 天，标准差约为46 天.评论：此例的目的是： 掌握连续性随机变量的均匀值和标准差的一种预计方法，即组中值预计法 . 由于前一节例3 已介绍了连续性随机变量的均匀值的预计方法，所以办理此例时应让学生回想前例并主动研究解决问题的方法.例 4容量是 40 的样本中各数据与30 的差的平方和是 250，样本标准差是1.5 ，求样本均匀数 .剖析： 依据样本均匀数、样本方差、样本标准差的公式解题.解：∵ (x 1-30) 2+(x 2-30) 2+ +(x 40-30) 2=250,所以 (x 1 2+x 2 2+ +x 40 2)-60(x 1+x 2+ +x 40)+40 ×30 2 =250.22260×40 x +40×900=250，①即 (x 1 +x 2 + +x 40 )-又∵ 140［ (x 1- x ) 2+(x 2 - x ) 2+ +( x 40- x ) 2］=1.5 2=2.25 ，即 (x2 2 2+x + +x)+40 x 2 =90，1 +x+ +x40)-2x(x14022即 (x 12+x 22++x 402)-80 x 2 +40 x 2=90，②2① - ②得 40 x - 2 400x+40 ×900=160，即 x 2-60 x +896=0,( x -32)( x -28)=0 ，所以， x =32 或 x =28.评论： 理解样本方差的含义，抓住要点点：x 1+x 2+ +x 40=40 x ，经过数形联合，联合消元 x 1+x 2+ +x 40 合理解决问题 .例 5 已知一组数据的方差是 s 2，将这组数据的每个数据都加上10，求所得新数据的方差.剖析： 利用方差公式解题 .解：设原数据： x 1,x 2,,x n ，均匀数是 x ，方差是 s 2，则新数据为： x 1+10,x 2+10,,x n +10，均匀数为则方差为1 ［ (x +10-2+10-22］x -10) +(xx -10) + +(x +10- x -10)n 12n= 1［ (x 1- x ) 2+(x 2- x ) 2+ +(x n - x ) 2］ =s 2.n变式训练某班有 50 名学生，某次数学考试的成绩经计算获得的均匀分数是70 分，标准差是 s ，以后发现登记有误， 某甲得 70 分却记为 40 分，某乙 50 分误记为 80 分，改正后从头计算得标准差为 s ，则 s 与 s 之间的大小关系是（ ）11A.s=s 1B.s<s 1C.s>s 1D. 不可以确立分析：由题意，均匀数不变，所以只需看与均匀数的离差的平方的变化状况. 由于方差刻画了数据相对于均匀值的均匀偏离程度 .s 中有： (40-70) 2+(80-70) 2=1 000 ，s 1 中有： (70-70) 2+(50-70) 2=400所以 s>s 1. 答案： C评论： 由本例及变式可推理归纳方差的性质：（ 1）若给定一组数据 x 1,x 2, ,x n ，方差为 s 2，则 ax 1,ax 2, ,ax n 的方差为 a 2s 2； （ 2）若给定一组数据 x 1,x 2, ,x n ，方差为 s 2，则 ax 1+b,ax 2+b, ,ax n +b 的方差为 a 2s 2， 特别地，当 a=1 时，则有 x 1+b,x 2+b, ,x n +b 的方差为 s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去同样的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的颠簸性；（ 3）方差刻画了数据相对于均匀值的均匀偏离程度 . 对于不同的数据集， 当失散程度越大时，方差越大；（ 4）方差的单位是原始丈量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感.知能训练 课本本节练习 解答：1. 甲、乙两个班的样本均匀数为 160，但甲班的极差为 3，乙班的极差为 30，故甲班的颠簸较小 .2. 已知 s 2=3= 1［ (k 1- k ) 2+(k 2- k ) 2+ +(k 8- k ) 2］，8而2(k13)2(k283) ...2(k83) 2(k1 k2... k8 ) 3 8=2 k -3,82=18［ (2k-6-2k+6)2+(2k -6-2k+6)222s1+ +(2k8-6-2k+6) ］ =4s =12.123.甲较稳固 .4.甲的均匀值为10，方差为 0.055 ；乙的均匀值为10，方差为 0.105.评论：从练习中再次领会数据的失散程度影响对事件的客观判断，领会从均匀数、失散程度的角度对事件作出科学判断的方法.讲堂小结1.数据的失散程度影响对事件的客观判断，领会从均匀数、失散程度的角度对事件作出科学判断的方法，方差与标准差越小，表示各个样本数据在样本均匀数的四周越集中；反之，方差与标准差越大，表示各个样本数据在样本均匀数的两边越分别；2. 权衡失散程度的常用计算方法——方差与标准差，熟习用计算器计算方差与标准差的方法，确实掌握有关的计算公式、方法、步骤并对有关数据进行合理解说；3.样本的有效选择对判断有重要影响，知道影响判断、决议的要素是多方面的，在对整体作出判断从前，要充足考虑各样要素，确实领会统计的思想方法；4.样本数据既拥有随机性又拥有规律性，在很宽泛的条件下，简单随机抽样样本的数字特色如众数、中位数、均匀数、方差与标准差随样本容量的增添实时稳固于整体相应的数字特色，整体的数字特色是必定的，不存在随机性.作业课本习题 2.33、 5、 7.设计感想本节课必定要让学生领会均匀数反应的是一组数据的均匀水平，而方差和标准差则反应了一组数据的颠簸大小 . 在实质学习、工作顶用得特别多，比方选择运动员参加大型竞赛时，要看他从前的每次测试的均匀成绩，但成绩的稳固性也特别重要；学习上也是这样，稳固了能够给最后的考试供给稳安心理 . 用这类与生活的息息有关性激发学生学数学的无穷兴趣就是老师最大的收获.习题详解习题 2.311.x =30(2 ×5.1+3 ×5.2+6 ×5.3+8 ×5.4+7 ×5.5+3 ×5.6+1 ×5.7) ≈5.39.该厂这个月的均匀日产值约为 5.39 万元 .2. 在所有数据中找出最小值 4.0 和最大值7.4 ，二者之差为3.4 ，确立全距为 3.5 ，以组距 0.5 将区间［4.0,7.5］分红7个组.1(4.25 ×1+4.75 ×2+5.25 ×15+5.75×28+6.25×33+6.75×18+7.25×3)=6.03 ，x =100预计试验田里麦穗的均匀长度约为 6.0 cm.3. （ 1）甲机床次品数的均匀值为 1.5 ，乙机床次品数的均匀值为 1.2 ，故乙机床次品数的均匀值较小；（ 2）甲的方差为 1.65 ，乙的方差为0.82 ，故乙机床的生产状况较为稳固.4. 预计甲机床均匀次品率约为(0 ×0.7+1 ×0.1+2 ×0.1+3 ×0.1) ÷1000=0.06%，乙机床均匀次品率约为 (0 ×0.5+1 ×0.3+2 ×0.2+3 ×0) ÷1 000=0.07%，故甲机床的产质量量较好.5. （ 1）此样本中金属棒的均匀长度约为 5.99 ；（ 2）频次散布表以下：频次直方图以下：（ 3）6×(1 - 0.2%)≈5.99 ，6×(1+0.2%) ≈6.01 ，故合格的金属棒有15 根，合格率约为15÷40≈37.5%.6. （ 1）频次散布表以下：频次散布直方图以下：(2)由组中值预计的整体均匀数为(57 ×5+65×14+73×25+81×11+89×5) ×1=72.6 ，约 73 次 . 60实质整体均匀数约为72，偏差约为 1.7. 施了新化肥的土地的均匀每块土地产量为20.52 kg ，未施新化肥的土地均匀每块土地产量为17.36 kg ，且施了新化肥的土地产量的方差约为83.33 ，未施新化肥的土地产量的方差约为 154.88 ，说明用了新化肥不单均匀产量高，并且产量稳固，故可以为新化肥获得了成功 .。
《总体特征数的估计》课件3(苏教版必修3)
品种
第一年 第二年 第三年
第四年 第五年
甲
9．8
9．9
10．1
10
10．2
乙
9．4
（1）新数据x1 b, x2 b,, xn b 的平均数为？
x b 注意：公式逆用
（2）新数据 ax1, ax2,, axn 的平均数为？
ax
（3）新数据 ax1 b, ax2 b,, axn b
的平均数为？ ax b
3、假如你是一名交通部门的工作人员,你打算向市 长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金 数额,其中一条新公路的建设投资为2200万元人民 币.另外25个项目的投资是20～100万元，中位数是 25万元.平均数是100万元,众数是20万元.你会选择 哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的 平均金额?你选择这种数字特征的缺点是什么?
2.3.1平均数及其估计
某校高一1班同学在老师的布置下,用单摆进 行 测
试,以检验重力加速度.全班同学两人一组, 在相同的
条件下进行测试, 得到下列实验数据单位: m / s2
9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90
应该采用平均数来表示每一个项目的平均金额，因 为它能反映所有项目的信息。但平均数会受到极端数据 2200万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数 相差比较大。
四．课堂练习：
（1）第65页练习第2,3，4 ；
（2） 若 M个数的平均数是 X , N 个数的平均数是
高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计讲义苏教版必修3
2.3 总体特征数的估计1．众数一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数． 2．中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于中间位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的中间的那个数．当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数．3．平均数(1)若给定一组数据a 1，a 2，…，a n ，则称a ＝1n ∑i ＝1n a i ＝a 1＋a 2＋…＋a n n为这n 个数据的平均数或均值．(2)若一组数据中取值为a 1，a 2，…，a n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数为a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a n p n .4．方差与标准差一般地，设样本数据分别是x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，则称s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n－x )2]为这个样本的方差，其算术平方根s ＝分别简称样本方差、样本标准差． 5．极差一组数据的最大值与最小值的差称为极差．1．下面是高一(8)班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99, 101,118,98,110，则该组数据的中位数是________．98 [将这组数据从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99, 101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数为98.]2．在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间(单位：分钟)，结果如下：80,70,70,70,60,60,80,60,60,70.在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是________分钟． 68 [平均每天所需时间为80×2＋70×4＋60×410＝68.]3．某老师从星期一到星期五收到的信息数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.3．2 [5个数据的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7.所以s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.]4．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________． 2 [平均数x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以s ＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2] ＝ 2.]178,178,182,182,178,180,178,180,181,180,181,180,180,182.则这个球队的队员平均身高是________cm(精确到1 cm)．(2)有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5]，8,0.08.则该样本数据的平均数为________．(1)180 (2)19.42 [(1)法一：利用平均数的定义计算： 平均身高x ＝114(178＋178＋182＋182＋178＋180＋178＋180＋181＋180＋181＋180＋180＋182)＝114×2 520＝180(cm)．法二：利用加权平均数公式计算： 平均身高x ＝114(178×4＋182×3＋180×5＋181×2)＝114×2 520＝180(cm)． 法三：利用新数据法进行计算：取a ＝180，将各数据同时减去180，得到一组新数据： －2，－2,2,2，－2,0，－2,0,1,0,1,0,0,2. 这组新数据的平均数为x ′＝114(－2×4＋2×3＋0×5＋1×2)＝0，所以平均身高x ＝a ＋x ′＝180＋0＝180(cm)．(2)利用频率平均数公式计算：样本数据平均数x ＝13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.]1．一般情况下，要计算一组数据的平均数，可使用平均数公式x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )来计算．2．如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋A ．当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，本例中“法三”可以减少运算量，故此法比较简便．3．一般地，如果在n 个数中，x 1出现的频数为f 1，x 2出现的频数为f 2，…，x k 出现的频数为f k (其中f 1＋f 2＋…＋f k ＝n )，那么x ＝1n(x 1f 1＋x 2f 2＋…＋x k f k )＝1n i ＝1kx i f i 叫做这n 个数的频数平均数，也称加权平均数，其中f 1，f 2，…，f k 叫做权．4．一般地，若取值为x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，那么其平均数为x＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.如本例(2)中求平均数方法．提醒：当条件给出某几个范围内的数据的频率或频数时，可用组中值求平均数．1．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的平均值是________．149．8克[平均数为x＝150＋152＋153＋149＋148＋146＋151＋150＋152＋14710＝149.8(克)．]2．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数为x，则新数据的平均数是________．x－3.1 [设原来数据为a1，a2，…，a n，则a1＋a2＋…＋a n＝n x，从而新数据的平均数为(a1－3.1)＋(a2－3.1)＋…＋(a n－3.1)n＝n x－3.1nn＝x－3.1.](1)极差；(2)方差；(3)标准差．[解] (1)该组数据中最大值为9，最小值为5，故该组数据的极差为9－5＝4.(2)求方差可以有三种方法：法一：因为x＝110(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，所以s2＝110×[(7－7)2＋(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝1.2，法二：同“法一”，求得x＝7，所以s2＝110[(72＋62＋82＋…＋72)－10×72]＝1.2，法三：将各数据减去7，得一组新数据：0，－1,1,1，－2,2,0,0，－1,0，则x′＝0，所以x ＝x ′＋7＝7.所以s 2＝110[02＋(－1)2＋12＋…＋02]－10×02＝1.2.(3)由(2)知，标准差s ＝s 2＝ 1.2＝305.1．极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．2．方差的计算(1)s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；(2)s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x 2)； (3)s 2＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2. 3．方差的性质(1)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等．(2)若数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，则数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2(a ，b ∈R )．(3)标准差、方差的范围为[0，＋∞)． 4．标准差的计算方差的算术平方根即标准差，要求标准差先求出方差，再开方取其算术平方根即可． 提醒：方差、标准差的单位不一致要注意区别．3．若一组样本数据2,3,7,8，a 的平均数为5，则该组数据的标准差s ＝________. 1305 [由平均数为5，得a ＝5×5－(2＋3＋7＋8)＝5，则s 2＝15(32＋22＋22＋32＋02)＝265，s ＝265＝1305.] 4．已知样本x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为3，则样本4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的标准差是________．4 3 [根据方差的性质知4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的方差为42×3＝48.所以其标准差为48＝4 3.]8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67； 乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，成绩超过1.65 m 就很有可能获得冠军，该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测成绩超过了1.70 m 方可获得冠军呢？思路点拨：[解] 甲的平均成绩和方差：x 甲＝18×(1.70＋1.65＋…＋1.67)＝1.69，s 2甲＝18×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.乙的平均成绩和方差：x 乙＝18×(1.60＋1.73＋…＋1.75)＝1.68，s 2乙＝18×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若成绩超过1.65 m 就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔比赛中乙有5次成绩在1.70 m 以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但当成绩超过1.70 m 方可获得冠军时，应派乙参加比赛．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(方差或标准差)，方差(标准差)越大，说明取值分散性越大，方差(标准差)越小，说明取值分散性越小，取值比较集中、稳定．5．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数： 甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10； 乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根据以上数据估计两个供货商的交货情况：哪个供货商交货时间短一些？哪个供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商？思路点拨：先分别计算出甲、乙两组数据的平均数及方差，再作判断．[解] x甲＝110(10＋9＋…＋10)＝10.1，s2甲＝110(102＋92＋…＋102)－10.12＝0.49；x乙＝110(8＋10＋…＋12)＝10.5，s2乙＝110(82＋102＋…＋122)－10.52＝6.05>s2甲.从交货天数的平均值来看，甲供货商的交货时间短一些；从方差来看，甲供货商的交货时间较稳定．因此甲供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商．6．从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？思路点拨：看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数．[解] (1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)，因为x甲<x乙．故乙种玉米苗长得高．(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2(cm2)．s2乙＝110[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋(27－31)2＋(44－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2＋(40－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2]＝128.8(cm2)．因为s2甲<s2乙，所以甲种玉米的苗长得齐．1．本节课的重点是会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差，难点是理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．2．本节课要掌握以下几类问题(1)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值．(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.1．已知1,2,3,4，x 1，x 2，x 3的平均数是8，那么x 1＋x 2＋x 3的值是( ) A ．56 B ．48 C ．46 D ．24C [由条件知，1＋2＋3＋4＋x 1＋x 2＋x 3＝8×7， 所以x 1＋x 2＋x 3＝46.]2．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． (1)7 (2)2 [(1)x ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7. (2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，所以s ＝s 2＝4＝2.]3．已知一个样本为1,3,2,5，x ，它的平均数是3，则这个样本的标准差是________． 2 [x ＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，∴x ＝4. 由方差公式有：s 2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，∴s ＝ 2.]4．有两位射击运动员在一起射击，测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：8,7,9,7,5,4,10,9,7,4； 乙：5,9,8,7,7,6,6,8,7,7.如果这是一次选拔性考核，应当选择谁？思路点拨：平均数反映总体的平均水平，而方差反映了总体的稳定程度，我们可用平均数与方差从不同的方面估计总体．[解] x 甲＝110(8＋7＋9＋7＋5＋4＋10＋9＋7＋4)＝7，x 乙＝110(5＋9＋8＋7＋7＋6＋6＋8＋7＋7)＝7.s2甲＝110[(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(10－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4.s2乙＝110[(5－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2.由x甲＝x乙知两个射击运动员的平均成绩是一样的．由s2甲>s2乙知，甲的成绩不如乙的成绩稳定．综合考虑，应选择乙．。
高中数学总体特征数的估计苏教版必修三
总体特征数的估计在上节我们学习了通过对样本数据的相关处理，用样本的频率分布表、频率分布直方图和茎叶图来估计总体的分布状态，这主要侧重于从“形”的角度来进行判断，从过程的处理来看还是比较烦琐的.另一方面，既然样本是从总体中抽取的，用样本估计总体是统计的基本思想，那么能不能直接通过对样本的数据的处理，从“数”的角度，用样本的特征数来对总体的分布特征进行估计呢？这就是本节要学习的内容——总体特征数的估计.学法建议本节主要学习两个方面的内容，即平均数及其估计、方差与标准差.通过本节的学习一是要掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法；二是要理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并通过具体的处理过程，掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想.此外还应注意以下两点：第一，统计研究是以一定的样本为依据的，对于确定的样本得到确定的统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同的样本可能得到不同的统计结果.总之，对本节的学习一是要理解相应的理论背景，二是要动手实际操作. 一、知识网络1．总体特征数在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数. 2．平均数设容量为n 的样本的数据值为n a a a ,,21，则称数na a a n+++ 21为这n 个数据n a a a ,,21的平均数或均值，一般记为na a a a n+++=21.可以证明平均数与实验数据之间的偏差（离差）最小，是与实验数据最接近、最理想的近似值.证明过程如下：考察函数22221)()()(n x x x x x x y -++-+-= ，将其改写为22221212)(2n n a a a x a a a nx y +++++++-= ，所以当nx x x x n+++=21时，y 值最小.正因为如此，我们可以通过计算样本的平均数来衡量这组数据的水平，进而估计总体的水平.但由于样本抽取的随机性，有时用平均水平来衡量总体还有失偏颇.尽管如此，对总体而言，特征数既有随机性的一面，操作时又是以一个确定的样本为依据的.3．方差与标准差 （1）极差把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.极差较大，则数据点比较分散；极差较小，则数据点比较集中.因此有时也可以用极差的大小比较来判断两个（或多个）样本数据的稳定性，从而判定相应总体的稳定程度. （2）方差与标准差当两组数据的集中程度差异不大时，我们可以用方差或标准差来刻画数据的稳定程度.一般地，设一组样本数据n x x x ,,21，其平均数为x ，则称∑=-=n i i x x n s 122)(1为这个样本的方差，其算术平方根∑=-=ni i x x n s 12)(1为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差. 样本方差和样本标准差都是通过每一个数据与平均数的离差程度的平方和来刻画的，因此其值越小，波动越小，样本数据越稳定. 4．关于公式的补充说明 （1）平均数的三个公式计算平均数的三个公式：)(121n x x x nx +++=；a x x +='，a 是接近这组数据的平均数的一个常数；nf x f x f x x nn +++= 2211叫做加权平均数，i f 是数据i x 出现的频数，n fni i=∑=1.（2）方差的三个公式计算方差的三个公式：公式①∑=-=n i i x x n s 122)(1；公式 ②⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑=21221n i i xn x n s ，公式②以使计算过程较为简单，当x 不是整数时尤为简单；公式③⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑=n i i x n x n s 122'21，其中n n n x x x a x x a x x a x x ,,,,,,21'2'21'1-=-=-=是n 个已知的原数据，a 是接近这组数据的平均数的一个常数.由于''2'1,,,n x x x 比原数据n x x x ,,,21 都小，因此用公式③计算方差比较简便.三、图解重点总体特征的两个方面的估计计算.当然要小用平个公答：样本的平均数和方差分别是3、2.8 .依据相应的公式进行推理 [解答]：由条件可得:222212101210()102()20x x x x x x x x ++++-+++=, ①22212101210()1096()120x x x x x x ++++⨯-⨯+++= ② 将②-①得29010(26)10100x x x -+-⨯=,即2610x x --=, 解得33x =.由于数据的复杂性，故可考虑用⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑=ni i x n x n s 122'21计算比较简单.[解答] 因为样本数据在20.0上下波动，故取a ＝20.0，列表如下式处理一下，也可以算是熟悉一下公式，再去比较一下结果. 解题规律 本题的解题过程实际上是解方程，紧扣 x 与这十个样本数据)10,2,1( =i x i 的关系是解题的关键所在.此外有个地方需要提醒读者的是样本平均数并不一定总是正数，它也可以是负数，只不过通常所研究的样本数据都是些正数罢了.因此在解题时不能随意地把另外一个值给舍弃掉. 解题规律 选择合适的解题公式是处理样本数据时值得关注的一个问题.若公式选择不当，则会对解题带来极大的麻烦.尽管最终结果都出来了，但你所花的时间和精力却是不可比较的.此外本题引入表格的处理方法也是应该引起注意的.10,x 的方差是210(3)x +-=所以02.200.20102.0,02.200.20102.0=+==+=乙甲x x ； )(0336.0)102.0(1034.0101222mm s =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯=甲， )(0516.0)102.0(1052.0101222mm s =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯=乙，显然甲工人加工零件的质量比较稳定.思维诊断 应该指出，当我们用样本去估计总体时，是有可能发生偏差、甚至错误的，这与确定性数学中通过逻辑推理得到肯定正确结论的情况有所不同，如在本例中，如果另取样本，也可能得出甲-x <乙-x ．为了尽可能减少错误的发生，考虑到一般地容量越大的样本对总体的代表就越大，应在条件许可的情况下适当增加样本容量，并力求使抽样更加合理以提高样本的代表性． 知识拓展亲爱的读者，你能不能从极差这个角度来对甲乙两个工人所加工的零件的质量给出一个判断呢？这提醒我们要多角度地思考问题.体验探究一、科海拾贝如何阅读《统计公报》？阅读《统计公报》，首先应将几个部分联系起来，不能割裂地单看某一个部分，否则就不能从总体上把握国民经济和社会发展的面貌.其次，要弄清公报中一些概念和术语含义.如什么是第一产业？什么是第二产业？国内生产总值（GDP ）到底代表什么含义？等等.第三，最好是将每一年的公报连续对照起来看，从历年数量变化的轨迹中找到规律性的东西，将定量分析与定性分性结合起来，从而在更高层上观察、分析、把握社会经济形势.第四，可以对公报中有关数据进行必要的加工处理，从而了解社会经济生活的种种特色.如可从中计算出全国每天生产多少煤、电，每天完成多少基本建设项目、新建多少公路，每个人每天创造多少收入，每天每时出生多少人口等等，这不仅使得枯燥的数字可以生动化、生活化，也可增添您对生活的量化概念.二、合作探究[解答] 根据相关的公式不难算得： (1) 995)1550406506035020(40011=⨯++⨯+⨯=x ， (2)同样可算得 10402=x , 9090022=s (3)1004)15505512501009502506507035025(50012=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x85284])10041550(55)1004650(70)1004350(25[50012222=-⨯++-⨯+-⨯=s现在的问题是你怎么理解上述数据结果的实际意义呢？请你结合教材64页的实例来思考一下. 理解：其实公司所说的并没有错，只不过公司偷换了概念，公司平均周工资是300元是不错，但那是总体的平均数，并不是工人的工资的平均数.一般地，经理和管理人员以及高级技工的工资要高出工人工资许多，实际上工人的周平均工资是达不到300元的.这正如关于人均GDP 的统计一样，并不是每个人都有那么多，它只是总体的一个平均数而已.这种偷换概念的事情在实际生活中还会遇到很多，因此不管是现在还是将来，一定要学习统计知识.只有这样，你才会对相关情况有个理性的认识.三、智慧列车将相关的数据直接带入公式即可. [解答] 84605340,53257085Z =+⨯==-=T ，故 T=84 [评注] 本题实际上说明了一个容易使人困惑的一个问题，那就是对任意两个班级来说，每次考试仅仅比较班级的平均分行吗？应该转化成标准分进行判断才合理，同时也有助于形成客观公正的评价机制.当然评价方法有多种多样，但不管怎样，都涉及到一个问题，那就是评价方法的合理性，因此需要我们在实践过程中不断摸索，使评价机制日臻完善！应设法寻找班级成绩与各组成绩之间的关系.[解答] 设第一组20名学生成绩为,20)1,2,(i x i ⋅⋅⋅=，学生成绩的标准差为1S ，第二组20名学生的成绩为,20)1,2,(i Y i ⋅⋅⋅=，学习成绩的标准差为2S . 所以有：90)(2012021=+⋅⋅⋅++x x x ， 80)(2012021=+⋅⋅⋅++y y y ， 从而全班平均成绩为85)20802090(401=⨯+⨯=z .又因为 6,90),20(20112220222121==-+⋅⋅⋅++=S x x x x x S ；4,80),y 20(20122220222122==-+⋅⋅⋅++=S y y y y S ，所以51)40(401222022212202221=-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=z y y y x x x S 即所求的平均成绩和标准差分别为85，51.[评注] 本题的解题过程实际上也体现了局部与整体的关系.思路分析平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度.本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小.[解答] 从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等.（图（1）中数据与图（2）中前10个数据相等,且图（2）中后几个数据不影响平均值）.图（1）的标准差比图（2）的标准差大.（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）[例7] 不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小.因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）.）[评注]要学会从图表中挖掘信息.这是一道开放型试题，题目中没有给出进行分析的标准，所以我们可以从已经掌握的统计知识：平均数、众数、中位数、放差、标准差、极差等方面进行分析.[解答] ：（1）用众数进行分析：甲班成绩的众数是90，乙班成绩的众数是70.所以用众数比较，甲班的成绩好于乙班.（2）用方差进行分析：25617222==乙甲，s s ，所以22S S 乙甲<，考虑成绩的稳定性：甲班好于乙班.（3）用中位数进行分析：两个班的中位数都是80分，甲班在中位数以上（包括80分）的学生共33人；乙班在中位数以上（包括80分）的学生共26人.所以甲班成绩好于乙班.（4）甲班学生高于90分（包括90分）的学生共20人，乙班学生高于90分（包括90分）的学生共24人；从满分成绩来看，甲班比乙班少6人.从“优等生”角度看乙班成绩好于甲班.[评注]从不同的角度看待同样的问题，可能会产生不同的认识.。
《总体特征数的估计》课件3(32张PPT)(苏教版必修3)
Y
M N
（3）如果两组数x1, x2 ,, xn和
y1, y2 ,, yn
的样本平均数分别是；x 和 y ，那么一组数 ，
x1
y1,
x2
x y 2
,
,
xn
yn
的平均数是_______
x y
x1, y1,..., xn , yn的平均数为？ 2
六、回顾小结： 1．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样 本数据中提取基本的数字特征（平均数），会用 样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征； 2．平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数 据的平均水平； 3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识． 七、课外作业： 课本第65页第2、3、4题．
极差＝最大值－最小值
引例2：甲、乙两名战士在相同的条件下各射靶10次， 每次命中环数如下： 甲：8、6、7、8、6、5、9、10、4、7； 乙：6、7、7、8、6、7、8、7、9、5； 根据上面数据分析两名战士的射击情况;
解得x甲 7，x乙 7
乙
甲
9887777665 0 456677889
10
如果一组数据与其平均值的离散程度较小， 我们就说它比较稳定．
思 考 :什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散 程度？
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最 后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的
情况．这个结果通常称为方差（variance）．
方差的计算式就是
S2
1 n [(x1
x)2
所以当 x a1 a2 an 时,离差的 平 方和最小,故可 n
用 a1 a2 an 作为表示这 个物理量的理想近似值, n
高中数学总体特征数的估计苏教版必修3
总体特征数的估计教学目标：1、理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。
初步了解如何动用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性利税学。
感受统计不仅是列表、画图的低层次的工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的学科。
2、掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法。
3、通过对数据的分析与估计，培养学生的理性思维能力。
教学重点：利用平均数和组中值对样本数据进行分析和估计。
教学难点：最小二乘法的思维过程的理解。
教学过程：课堂引入：在2.2节中，我们通过列频率分布表、画频率分布直方图、条形图、折线图、密度曲线和茎叶图来对数据从分布规律角度进行分析和估计，发现数据的规律。
从本节起，我们利用上节的相同背景问题，从不同的角度提取数量规律进行分析和估计。
我们从天气预报中常见的“月平均气温”、“年平均气温”等概念，对某季篮球联赛中队员得分情况统计，也常利用“平均得分”，成绩统计中，也利用“平均分”等，都涉及到“平均数”的概念。
初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征，这些数字都能为我们提供关于样本数据的特征信息。
学生思考：在频率直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数。
定义：能反映总体某种特征的量称为总体特征数思考：怎样通过抽样的方法，用样本的特征数估计总体的特征数呢？新课讲授§2.3.1平均数及其估计课本P50页引例：我们可以计算7月25日至8月10日平均气温为34.02度，8月8日至8月24日的平均气温为30.02度。
学生自学、讨论课本引例，教师引导，适当提示分析最小二乘法的思维过程。
注意以下两点：（1）n 个实数a1，a2，a3，……，an 的和简记为∑=ni ia1；（2）n a a a a n+++=......21称为这n 个实数a1，a2，a3，……，an 的平均数或均值。
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总体特征数的估计
教学目标：
1、理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。
初步了解如何动用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性利税学。
感受统计不仅是列表、画图的低层次的工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的学科。
2、掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法。
3、通过对数据的分析与估计，培养学生的理性思维能力。
教学重点：利用平均数和组中值对样本数据进行分析和估计。
教学难点：最小二乘法的思维过程的理解。
教学过程：
课堂引入：
在2.2节中，我们通过列频率分布表、画频率分布直方图、条形图、折线图、密度曲线和茎叶图来对数据从分布规律角度进行分析和估计，发现数据的规律。
从本节起，我们利用上节的相同背景问题，从不同的角度提取数量规律进行分析和估计。
我们从天气预报中常见的“月平均气温”、“年平均气温”等概念，对某季篮球联赛中队员得分情况统计，也常利用“平均得分”，成绩统计中，也利用“平均分”等，都涉及到“平均数”的概念。
初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征，这些数字都能为我们提供关于样本数据的特征信息。
学生思考：在频率直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数。
定义：能反映总体某种特征的量称为总体特征数
思考：怎样通过抽样的方法，用样本的特征数估计总体的特征数呢？
新课讲授
§2.3.1平均数及其估计
课本P50页引例：
我们可以计算7月25日至8月10日平均气温为34.02度，8月8日至8月24日的平均气温为30.02度。
学生自学、讨论课本引例，教师引导，适当提示分析最小二乘法的思维过程。
注意以下两点：
（1）n 个实数a1，a2，a3，……，an 的和简记为
∑=n
i i
a
1
；
（2）
n a a a a n
+++=
......21称为这n 个实数a1，a2，a3，……，an 的平均数或均
值。
（算术平均数）
例1：教师在电脑上用EXCEL 展示数据，并直接用EXCEL 中的函数“AVERAGE ”计算给定数据的平均数。
学生练习：课本P66页第3题 学生看课本《思考》，分析在利用平均数对总体水平进行评价时，要对其可靠性进行研究。
结论：一般地，若取值为x1，x2，x3，……，xn 的频率分别为p1，p2，……，pn ，则其平均数为x1p1+x2p2+……+xnpn.（加权平均数）
例2下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表（单位：h ），试估计该校学生的
教师与学生共同分析：
由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，所以可用各组区间的组中值近似地表示。
解法1：总睡眠时间约为
(6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2)÷100 ＝7.39
故平均睡眠时间约为7.39h.
解法2：求组中值与对应频率之积的和
6.25×0.05＋6.75×0.17＋
7.25×0.33＋7.75×0.37＋
8.25×0.06＋8.75×0.02 =7.39
学生模仿例2，自学例3并完成课本P65页练习2、4。