第3篇二元关系ch8二元关系ch9特殊关系

定理8-4.1 设R是集合X上任一关系，那么 上任一关系， 定理 a）R自反当且仅当 r(R) ） 自反当且仅当
是自反的， 且对于任何包含R的自 若R是自反的，因为 R⊇R ，且对于任何包含 的自 是自反的 ⊇ 反关系R”，都有R” 就是满足自反闭包的定义， 反关系 ，都有 ⊇R ，故R就是满足自反闭包的定义， 就是满足自反闭包的定义 即：r(R) = R 若r(R) = R 自反。 自反。
=R。 b）R对称当且仅当 s(R) = R 。 ） 对称当且仅当 c）R传递当且仅当 t(R) = R 。 ） 传递当且仅当 a)证明思路：先证 自反 ⇒ r(R) = R 证明思路： 证明思路 先证R自反
第 三 篇 第 8 章 二 元 关 系
第八章 二元关系
8-1 关系及其表示 8-2 关系的运算 8-3 关系的性质 8-4 关系的闭包运算
8-1
二元关系及其表示法
定义8-1.1 任一序偶的集合确定一个二元关系 ， 二元关系R 定义
R中的任一序偶 中的任一序偶<x,y>可记为 可记为<x,y>∈R，或xRy。不在 可记为 ∈ 。 记为<x,y>∉R，或xRy。 R中序偶 中序偶<x,y>记为 记为 ∉ 。 中序偶
定义8-1.2 R为一个二元关系， 由<x,y>∈R的所有 为一个二元关系， 的所有x 定义 为一个二元关系 ∈ 的所有 组成的集合domR称为R的前域，即 称为 的
domR =｛x| (∃y)(<x,y>∈R)｝ <x,y>∈ ｝ ｛ 的所有y组成的集合 称为R的 由<x,y>∈R的所有 组成的集合ranR称为 的值域，即 ∈ 的所有 ranR =｛ y | (∃x)(<x,y>∈R)｝ ｛ ∈ ｝ R的前域和值域一起称作 的域，记为 的前域和值域一起称作R的域 的前域和值域一起称作 的域，记为FLDR，即 ， FLDR= domR ∪ ranR 。
｛z1 ,…, zp｝,R⊆X×Y，S⊆Y×Z，MR=[uij]m×n ⊆ × ， ⊆ × ， × 的关系矩阵， 的关系矩阵。 为R的关系矩阵，MS＝[vij]n×p 为S的关系矩阵。那么， 的关系矩阵 那么， × 合成关系R ° S的关系矩阵MR°S＝[wij]为一m×p矩阵， × 矩阵 ° 其各分量wij可如下求取
(T°S)c = Sc ° Tc °
⇔ < z, xy > ∈ Sc ° Tc
定理8-3.3 设R为X上的二元关系，那么 定理 为 上的二元关系，
a) R是对称的当且仅当 是对称的当且仅当 是对称的当且仅当R=Rc 是反对称的当且仅当 b) R是反对称的当且仅当 ∩ Rc ⊆IX 是反对称的当且仅当R a)证明思路：先证 R是对称的 ⇒ R=Rc 证明思路： 是对称的
定理8-2.1 定理
两个关 若Z和S是从集合X到集合Y的两个关
系，则Z、S的并、交、补、差仍是从集合X到集合Y 的关系。
证明思路：根据“关系是直积的子集”立即可得。 证明思路：根据“关系是直积的子集”立即可得。
有限集合上的二元关系的矩阵表示： 有限集合上的二元关系的矩阵表示：
设给定两个有限集合X=｛ 设给定两个有限集合 ｛x1, x2 ，… , xm｝, Y =｛y1, ｛ y2 ，… , yn｝ 。R为从 到Y的一个二元关系。则对应于关 为从X到 的一个二元关系。 的一个二元关系 为从 系R有一个矩阵MR=[rij]m×n,其中 有一个矩阵
8.2.1 关系的运算 定义8-2.3 令A和B是任意两个集合，直积A×B的子 是任意两个集合， 定义 × 称为X到 的二元关系 的二元关系。 集 R称为 到Y的二元关系。 称为
x1 ● x2 ●
x3 ● x4 ● x5 ● Nhomakorabea● ● ●
y1 y2
●
● ●
y3 y4
A
y5
R domR ranR
B
y6
几个特殊的二元关系
定理8-3.1 定理
规定为： ，规定为：
Rc= ｛<y,x> | xRy｝ ｝
都是A到 的二元关系 的二元关系， 设R和S都是 到B的二元关系，∗为∩ , ∪ , 和 都是 运算， 运算，那么 （1） (Rc)c = R ） （2）( R¯ )c= (Rc)¯ ） （3）(R∗S)c= Rc ∗ Sc ） ∗ （4）R ⊆ S当且仅当 Rc⊆ Sc ） 当且仅当 （5）(R × S)c= Sc × Rc ） 证明思路： 脱逆换序” 证明思路：对< x, y >∈(R∗S)c “脱逆换序” ∈ ∗ )
1 rij =
当< xi, yj >∈R ∈
0 当< xi, yj >∉R ∉ (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) (i=1,2, ,m; j=1,2, ,n)
有限集合上的二元关系的图形表示： 有限集合上的二元关系的图形表示：
设给定两个有限集合X=｛ 设给定两个有限集合 ｛x1, x2 ，… , xm｝, Y =｛y1, ｛ y2 ，… , yn｝ 。R为从 到Y的一个二元关系。分别用 个 为从X到 的一个二元关系。分别用m个 的一个二元关系 为从 结点表示x 个结点表示y 结点表示 1, x2 ，… , xm ，用n个结点表示 1, y2 ，… , yn 。 个结点表示 做一有向弧， ∈ 如果< xi, yj >∈R，则自结点xi向结点yj做一有向弧， 箭头指向yj ；如果 之间不做有向弧。 之间不做有向弧。 x1 ● x2 ● x3 ● x4 ● x5 ●
< xi, yj >∉R，则自结点xi到结点yj ∉
● ● ●
y1 y2
●
● ●
y3 y4
y5
X
R
Y
y6
∀x∀y(xRy↔xSy) ∀ ↔ 关系R 相等 则称关系 和S相等， 定义8-2.1 设R为X到Y的二元关系，S为Y到Z的二 的二元关系， 定义 的二元关系， 元关系， ° 元关系，那么R°S为X到Z的二元关系，称为关系R与S ），定义为 的合成（compositions），定义为
）。即 的（reflexive）。即：
定义8-3.3 设关系 是定义在集合 上的二元关 关系R 集合X 定义 如果对任意x,y,z∈X ，xRy且yRz蕴涵 蕴涵xRz，则称R是 系，如果对任意 ∈ 且 蕴涵 ， R在X上传递⇔ ∀x∀y∀z(x,y,z∈X∧xRy∧yRz→xRz) 在 上传递⇔ ∀ ∀ ∈ ∧ ∧
两个关系的合成运算可以推广到多个。例如： 两个关系的合成运算可以推广到多个。例如： R°S °P、 R°S °P °Q等。且合成运算满足结合律。即： 且合成运算满足结合律。 ° °
8-2.2 复合关系和逆关系 有相同的前域和陪域， 如果R与S有相同的前域和陪域，并且
R°S=｛<x,z>x∈X∧z∈Z∧∃y(y∈Y∧xRy∧yRz)｝ ° ｛ ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ∧ ∧ ｝
定义8-4.1 设R是集合X上二元关系，如果有另一个 上二元关系， 定义
满足： 二元关系R’ 满足： （2） R’⊇R (或R⊆R’ )。 ） 或 ⊆ 。 3）对任意A上关系 上关系R ''满足 1） 满足（ 2）， （3）对任意A上关系R '' ，若R ''满足（1）和（2）， 则 R’ ⊆ R'’ 自反闭包（对称闭包， 则称R‘为R的 自反闭包（对称闭包，传递 是自反（对称的，传递的）。 （1）R’ 是自反（对称的，传递的）。 ）
闭包），分别记为：r( )，( s( )，t( ) ) s(R) t(R) 闭包），分别记为：r(R)
上述定义的含义： R‘是包含 的“最小”关系，如果还 是包含R的 最小”关系， 上述定义的含义： 是包含 的关系R’’ ，那么， R‘比R‘要大。 那么， 比 要大 要大。 有包含R的关系 有包含 的关系
（R°S） °P = R°（S °P） ° ） ° R° R ° ...° R= R(n) ° ...° =
关系R自身合成n次可以记为： 关系R自身合成n次可以记为：
定义8-2.2 定义 当且仅当在关系矩阵中， （1）若关系 是自反的，当且仅当在关系矩阵中， ） 关系R 对角线上的所有元素都是1，在关系图上每个结点都有自 对角线上的所有元素都是 ， 环。 （2）若关系 是对称的，当且仅当在关系矩阵是对 ） 关系R 称的，且在关系图上，任两个结点间若有定向弧线，必是 称的，且在关系图上，任两个结点间若有定向弧线， 成对出现的。 成对出现的。 当且仅当在关系矩阵中， （3）若关系 是反自反的，当且仅当在关系矩阵中， ） 关系R 对角线上的所有元素都是0， 对角线上的所有元素都是 ，在关系图上每个结点都无自 环。 当且仅当在关系矩阵中， （4）若关系 是反对称的，当且仅当在关系矩阵中， ） 关系R 以主对角线对称的元素不能同时为1， 以主对角线对称的元素不能同时为 ，在关系图上两个结 点间的定向弧线不可能成对出现。 点间的定向弧线不可能成对出现。
是对称的, 若R是对称的 <x, y>∈R ⇔ <y, x>∈R ⇔ <x, y>∈Rc 是对称的 ∈ ∈ ∈
若R=Rc， <x, y>∈R ⇔ <y, x>∈ Rc ⇔ <y, x>∈ R ∈ ∈ ∈ ⇒ R是对称的 是对称的
⇒ R=Rc 是对称的 再证 R=Rc ⇒ R是对称的
8-4 关系的闭包运算
定理8-3.2 设T为X到Y的二元关系，S为Y到Z的二 的二元关系， 定理 元关系， 元关系，那么 证明思路： 证明思路： < z, x> ∈ (T°S)c ⇔ <x,z> ∈ T°S ° ° ⇔ ∃y(y∈Y∧ <x,y>∈ T ∧ <y,z>∈ S ) ∈ ∧ ⇔ ∃y(y∈Y∧ < y,x >∈ Tc ∧ < z,y >∈ Sc ) ∈ ∧ ⇔ ∃y(y∈Y∧ < z,y >∈ Sc ∧ < y,x >∈ Tc) ∈ ∧