成才之路人教A版数学选修2-31.1第1课时

选修2-3第一章 1.1第1课时
一、选择题
1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()
A．182B．14
C．48D．91
[答案] C
[解析]由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C.
2．(2012·长沙检测)从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为()
A．13种 B．16种
C．24种 D．48种
[答案] A
[解析]应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()
A．B．
C．D．
[答案] D
[解析]四位同学各自在周六、周日两天中选择一天参加公益活动的情况有24＝16种方式，其中仅在周六或周日参加的各有一种，故所求概率P＝1－＝.
4．某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队总数有()
A．11 B．30
C．56 D．65
[答案] B
[解析]先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有6×5＝30种不同的组队方法．5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()
A．8种B．9种
C．10种 D．11种
[答案] B
[解析]设四个班级分别是A、B、C、D，它们的老师分别是a、b、c、d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C、D 时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B、C、D 中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．
6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或
“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为()
A．2 000 B．4 096
C．5 904 D．8 320
[答案] C
[解析]可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4 096个，所以符合题意的共有5904个．
二、填空题
7．已知直线方程Ax＋By＝0，若从0、1、2、3、5、7这6个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则可表示不同的直线________条．
[答案]22
[解析]当A或B中有一个为零时，则可表示出2条不同的直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，则可表示出5×4＝20条不同的直线．由分类加法计数原理知，共可表示出20＋2＝22条不同的直线．
8．三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个．
[答案]36
[解析]另两边长用x、y表示，且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形，需x＋y≥12.当y＝11时，x∈{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x∈{2,3，…，10}，有9个三角形……当y＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)．9．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)
[答案]48
[解析]本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法．
三、解答题
10．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
[解析](1)由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种；
(2)由分步乘法计数原理得，
从中任取两个球共有8×7＝56种．
一、选择题
11．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()
A．26 B．24
C．20 D．19
[答案] D
[解析]因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D.
12．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为()
A．34 B．43
C．12 D．24
[答案] C
[解析]显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C. 13．(2014·长安一中质检、北京西城模拟)用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()
A．243 B．252
C．261 D．279
[答案] B
[解析]用0,1，…，9十个数字，可以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
14．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展开后的项数为()
A．9 B．12
C．18 D．24
[答案] B
[解析]每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12.
二、填空题
15．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．
[答案]920
[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．
16．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．
[答案]2n(n－1)
[解析]先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成以该点为直角顶点的n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共有2n(n－1)个符合题意的直角三角形．
三、解答题
17．若x、y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
[分析]由题目可获取以下主要信息：
(1)由x、y∈N*且x＋y≤6，知x、y的取值均不超过6；
(2)(x，y)是有序数对．
解答本题可按x(或y)的取值分类解决．
[解析]按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；
…
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．
[点评]本题是分类加法计数原理的实际应用，首先考虑x、y的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y的取值进行分类解决．计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai、bj(i＝1、2、3、4，j＝1、2)均为实数．
(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？
(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？
[解析](1)因为集合A中的每个元素ai(i＝1、2、3、4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个．
(2)在(1)的映射中，a1、a2、a3、a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A 为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．
所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．。