轴对称与空间问题
空间和轴对称问题的有限单元法演示文稿
Ryp
y
p
Rzp
Rxp
x
Ryi
Rym
z
i
R zi
Rxi
Rzm m Rxm
Ryj
Rzj j Rxj
Rxi
Ryi
Rzi Rxj
Ryj
Re
Rzj
Rxm
Rym
Rzm
Rxp
Ryp
Rzp
第15页，共25页。
由集中力引起的等效节点载荷 Re N T P
由体积力引起的等效节点载荷 Re N T gdxdydz
0 Nm
uj wj
um
wm
其中形函数为 Ni r, z
Δ为截面三角形面积
1 2
ai
bir( i ,cji,zm
)
1 11
2
ri rj
zi zj
1 rm zm
ai rj zm rm z j bi z j zm ci rm rj
第21页，共25页。
5-3-4 单元的应变和应力
(i, j, m, p)
第8页，共25页。
同样，可以得到
v Nivi N jv j Nmvm N pvp w Niwi N j wj Nmwm N pwp
单元内任一点的位移可以写成如下形式：
f
Ni 0
0 Ni
0 0
Nj 0 0 Nj
0 0
Nm 0 0 Nm
0 0
Np 0 0 Np
Ni
1 6V
ai
bi x ci y
diz
1
N j 6V a j bj x c j y d j z
Nm
1 6V
am
bm x
第4章 轴对称问题和空间问题有限元法
(1 )(1 2) 1 1
1
0
0
0
0
1 2 2(1 )
7
轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)
轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；
节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；
单元边界是一回转面；
应变分量 中出现了 ur r ，即应变不是常量；
且应变矩阵在r→0时，存在奇异点，需特殊处
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，
为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , zc代替 B 矩阵中的变
量 。r, z
rc
1 3
(ri
rj
rm )
zc
1 3
(
zi
zj
zm )
实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元
用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。
uj wj
N
q
um
wm
单元应变：
将单元位移函数代入几何方程得：
u r
1 2A (biuiBiblioteka bju jbmum )
u r
1 2A
(
fi
ui
f
ju j
f mum )
11
其中，
fs
as r
bs
cs zs r
(s i, j, m)
w z
1 2A
(ci
wi
cjwj
cmwm )
u z
1 2A (ciui
Fe
Fir
Fiz
＝
２A
15
9rc2
0
2ri2
rjrm
(3) 分布面力移置
第4章 空间问题有限元分析-轴对称
Re N T f p
FL e 2 r0 N T 62 f p 21
圆环 2 r0 Ni f pr Ni f pz N j f pr
N j f pz
Nm f pr
T
Nm f pz
r0 -- 集中力作用点的径向坐标。
2019/10/18
第4章 空间问题有限元分析 空间轴对称问题
曹国华
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
1
主要内容
§ 4.1位移模式 § 4.2几何方程 § 4.3单元刚度 § 4.4等效载荷
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
3
1、研究对象
当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都 轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对 称应力分析问题，在工程中如 活塞，压力容器等 。
空间有限元分析-轴对称
12
几何方程与物理方程
PA线应变
0，（略去高阶小量）.
PB线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
d φ)
u
ρdφ
1 uφ ; ρ φ
PA转角
α
DA
uφ ρ
d
ρ
uφ
,
PA d ρ ρ
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
空间有限元分析-轴对称
28
等效载荷
r Niri N j rj Nmrm
2、体积力移置
FFGee 2 [N] f rdrdz
若体积力为重，则单位体积 的力为
f
＝－0
空间中对称点问题口诀
空间中对称点问题口诀一、关于空间中对称点问题的口诀1. 点关于点对称- 口诀：“中点坐标公式用，两点对称轻松弄。
”- 解析：- 设点A(x_1,y_1,z_1)关于点B(x_0,y_0,z_0)对称的点为C(x,y,z)。
根据中点坐标公式，点B是A和C的中点，则x_0=(x_1 + x)/(2)，y_0=(y_1 + y)/(2)，z_0=(z_1+z)/(2)。
- 由此可解得x = 2x_0 - x_1，y = 2y_0 - y_1，z = 2z_0 - z_1。
例如，点A(1,2,3)关于点B(2, - 1,4)对称的点C，根据公式x = 2×2 - 1=3，y = 2×(-1)-2=-4，z =2×4 - 3 = 5，所以C(3,-4,5)。
2. 点关于坐标轴对称- 口诀：“关于x轴，y、z变号；关于y轴，x、z变号；关于z轴，x、y变号。
”- 解析：- 设点A(x,y,z)。
- 关于x轴对称的点A'的坐标为(x,-y,-z)。
例如点A(1,2,3)关于x轴对称的点A'(1,-2,-3)。
- 关于y轴对称的点A''的坐标为(-x,y,-z)。
例如点A(1,2,3)关于y轴对称的点A''(-1,2,-3)。
- 关于z轴对称的点A'''的坐标为(-x,-y,z)。
例如点A(1,2,3)关于z轴对称的点A'''(-1,-2,3)。
3. 点关于坐标平面对称- 口诀：“关于xOy面，z变号；关于yOz面，x变号；关于zOx面，y变号。
”- 解析：- 设点A(x,y,z)。
- 关于xOy平面对称的点A_1的坐标为(x,y,-z)。
例如点A(1,2,3)关于xOy平面对称的点A_1(1,2,-3)。
- 关于yOz平面对称的点A_2的坐标为(-x,y,z)。
例如点A(1,2,3)关于yOz平面对称的点A_2(-1,2,3)。
FEA-05-轴对称及空间问题
北京科技大学数理学院应用力学系第五章轴对称及空间问题本章重点和应掌握的内容1、轴对称问题的基本方程及其有限元列式2、空间问题的有限元列式和一些常用单元3、ANSYS分析中需要考虑的一些因素物体的几何形状约束情况及所受的外力§5.1 轴对称问题有限元法物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，则在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。
研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r，θ，z），以z轴为对称轴。
由于对称性，轴对问题共有4个应力分量：[]{}Tr z zr θσσσστ=σ其中r 表示沿半径方向的正应力，称为径向应力；θσ表示沿θ方向的正应力，称为环向应力或切向应力；表示沿z方向的正应力称为轴向应力；z σ表示沿z方向的正应力，称为轴向应力；zr τ表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。
[]{}Trz zr θεεεεγ=同样，轴对称问题共有4个应变分量：在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只节点两个位移分量基本，。
因此，节点两个位移分量基本在子午面上离散成平面的要求完全相同一、轴对称问题的几何方程三角形单元网格⎪⎫⎪⎧∂∂r u ⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎨⎧r ur εεθ⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂⎪⎪⎭⎪⎪⎩w u z w zr z γε⎪⎭⎪⎩∂+∂r z⎫⎧i u 位移模式与平面问题三节点单元相同⎭⎬⎩⎨=i i w a ⎤⎧位移模式与平面问题三节点单元相同，即：em jim j ia N N N N N N w u u ~000~~~⎥⎦⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨=1)(2z c r b a AN i i i i ++=[]eT rzzraN L u L ~~~~~~==εγεε=εθ,,r z rz θεεγε径向应变轴向应变面内切应变；环向应变为导出量。
[][]ee m jiemjiaB a B BBa NNNL ~~~~~~~~~~~===0r ∂⎡⎤⎢⎥∂~0001i i i i i b N c a c z u z ⎢⎥⎡⎤∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥===~,,,220~i i i ii iL B f A b c b r A r r r z r f θε===++⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦10r⎢⎥⎢⎥⎣⎦是环向应变，非常量。
空间轴对称问题
空间轴对称在三维几何、建筑设计、工程学等 领域中具有重要的应用。
03 空间轴对称问题的分类
点对称问题
定义
点对称是指一个图形关于某一点 对称，即对于图形上的任意一点，
都存在一个关于该点对称的点在 图形上。
性质
点对称图形的任意两点关于对称中 心对称，且对称中心到两点的距离 相等。
• 推动相关领域的进步：空间轴对称问题在物理、化学、工程等领域也有广泛的 应用。对其进行研究不仅有助于解决这些领域中的实际问题，还能推动相关领 域的进步和发展。例如，在物理学中，空间对称性对于理解基本粒子和相互作 用具有重要意义；在化学中，分子的空间对称性与其物理和化学性质密切相关 ；在工程领域，利用空间对称性可以优化结构设计和提高工程效率。
• 揭示自然现象的内在规律：许多自然现象都表现出一定的空间对称性。对这些 现象进行研究有助于揭示其内在规律，并加深我们对自然界的认识和理解。例 如，在晶体学中，晶体的结构往往具有高度的空间对称性，这种对称性不仅决 定了晶体的物理和化学性质，还反映了晶体形成过程中的内在规律。
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未来研究方向探讨
深入研究复杂图形的空间对称性
目前对于简单图形的空间对称性已有较深入的研究，但对于复杂图形（如分形、不规则图 形等）的空间对称性仍需进一步探讨。
拓展空间轴对称问题的应用领域
除了在数学领域的研究外，空间轴对称问题在物理、化学、工程等领域也有广泛的应用前 景。未来可以进一步拓展其应用领域，并探索其在解决实际问题中的潜力。
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坐标法
01
02
03
建立坐标系
根据题目条件，选择合适 的点作为坐标原点，建立 空间直角坐标系。
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结（2篇）
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结轴对称是数学中的一个重要概念，它在几何图形、函数和方程等方面都有广泛的应用。
下面是____年初二数学期末考试轴对称知识点的总结，包括轴对称的定义、性质、判定方法以及一些常见的练习题。
一、轴对称的定义和性质1. 轴对称是指一个几何图形相对于某一条直线对称。
2. 如果一个几何图形相对于某一条直线的两边完全相同或者对称，则该直线为该几何图形的轴对称轴。
3. 轴对称图形的特点是左右对称，即左右两部分完全相同。
4. 轴对称图形可以通过将图形沿着轴对称轴折叠，使两部分完全重合。
二、轴对称的判定方法1. 观察几何图形的特征，如果图形对称，则可判定为轴对称图形。
2. 分析几何图形的复杂度，如果找不到直观的特征，可以进行定点分析，即找出图形上的一系列点，判断这些点是否沿轴对称轴对称。
三、轴对称的常见几何图形1. 线段：线段是轴对称图形，折叠后两端完全重合。
2. 镜像：镜像是轴对称图形的一个特例，通过平面镜可以直观地看到镜像对称。
3. 圆：圆是轴对称图形，通过旋转一定角度可以使圆上的任意一点重合到其他点。
4. 正方形、矩形、正五边形等规则多边形都是轴对称图形，折叠后两边完全重合。
5. 其他不规则几何形状，可以通过定点分析来判断是否轴对称。
四、轴对称的函数和方程1. 函数：轴对称函数的特点是函数图像关于某一直线对称。
例如，二次函数y=ax^2的图像关于y轴对称，三次函数y=ax^3的图像关于原点对称。
2. 方程：轴对称方程是指方程的解对称于某一直线，这条直线即为轴对称轴。
例如，x^2+y^2=r^2的解是关于y轴对称的圆。
五、练习题1. 判断下列图形是否轴对称：(1) 正方形；(2) 三角形；(3) 椭圆；(4) 直线；(5) 抛物线。
2. 判断下列函数是否轴对称：(1) y=x^2+1；(2) y=3x^3-2x；(3) y=sin(x)。
3. 判断下列方程是否轴对称：(1) x^2+y^2=9；(2) x^3+y^3=8；(3) x^2+y^2+x+2y=0。
《弹塑性力学》第九章空间轴对称问题
80%
物理方程
描述了材料在不同应力状态下表 现出的物理性质。
塑性力学的基本方程
流动法则
描述了塑性应变与应力之间的 关系。
屈服准则
描述了材料屈服的条件，即应 力达到屈服点时的状态。
强化准则
描述了材料在塑性变形过程中 的应力增强机制。
空间轴对称问题的边界条件和初始条件
边界条件
描述了物体在边界上的受力状态和位 移约束。
如旋转机械、航空航天器等的 设计和分析。
土木工程
如桥梁、高层建筑等大型结构 的分析。
石油工程
如油藏模拟、油气管道设计等 。
核工程
如核反应堆、核废料处理设施 等安全评估。
02
空间轴对称问题的数学模型
弹性力学的基本方程
80%
平衡方程
描述了物体内部各点的受力平衡 状态。
100%
几何方程
描述了物体在受力后产生的形变 和位移。
近原问题的解。
在处理空间轴对称问题时，有限元法能 够将复杂的空间几何形状和边界条件简 化为易于处理和计算的离散模型，从而
提高求解效率。
有限元法在空间轴对称问题中广泛应用 于弹性力学、塑性力学等领域，能够得
到高精度的数值解。
有限差分法在空间轴对称问题中的应用
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的方法，通过求解差分方程来逼近原问题
目
CONTENCT
录
• 空间轴对称问题的基本概念 • 空间轴对称问题的数学模型 • 空间轴对称问题的解析解法 • 空间轴对称问题的数值解法 • 空间轴对称问题的实验研究
01
空间轴对称问题的基本概念
定义与特性
定义
空间轴对称问题是指物体在空间中关于某一直线或平面对称分布 的问题。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上一页 下一页 返回6.1 轴 Nhomakorabea称问题• （2）轴对称体受到非轴对称载荷时，即成为三维问题。此时，应采 用将载荷沿θ 方向展成富氏级数的半解析方法，从而把三维问题转化 为一组二维问题。
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6.1 轴对称问题
• 即： • 其中 • 且单元内任意一点的位移与节点位移之间有如下关系：
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6.1 轴对称问题
• 因此有： • {δ *}e 为任意列向量，所以有： • 式（6.31）中的第一项为环单元上的集中力移置到节点的等效力，第
二项为环单元边界上的表面力移置到节点的等效力，第三项为环单元 上的体积力移置到节点的等效力。
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6.1 轴对称问题
• 6.1.5 整体分析
• 对于整体刚度矩阵，如果弹性体被划分为 ne 个单元和n 个节点，则 可得到 ne 个形如式（6.22）的方程组。可采用与平面问题的情况完 全类似的处理方法，即把各单元的[k]、{R}e、{δ }e等都加以扩大到整 个结构的自由度的维数，然后叠加到一起，得：
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6.1 轴对称问题
• 6.1.2 三角形截面环单元
• 在分析轴对称问题时，通常采用的单元是一些圆环。这些圆环单元与 rz 平面（子午面）正交的截面可以有不同的形状，即三节点三角形、 六节点三角形、四节点四边形和八节点四边形等。单元的节点是圆周 状的铰链，并在各单元rz 平面（子午面）内形成网格。本节研究的 是三节点三角形轴对称单元，这些圆环单元与rz 平面（子午面）正 交的截面是三角形，如图6.3 所示。需要注意的是：
• 6.1.3 轴对称单元刚度矩阵
• 可运用虚功原理来推导轴对称问题的单元刚度矩阵。单元在节点力作 用下处于平衡状态，如图6.5 所示，其节点力列阵为：
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6.1 轴对称问题
• 则单元上任一点的虚位移为： • 则单元的虚应变为： • 根据虚功原理，单元体所吸收的虚应变能等于单元节点力所做的虚功，
6.1 轴对称问题
• 把式（6.25）中的坐标用单元形心点的坐标代替，则有：
• 求得单元刚度矩阵后，就可以像处理平面问题一样，组集成整体刚度 矩阵。
• 6.1.4 等效节点力的计算
• 与平面问题类似，当结构外载荷不作用在节点上时，也需要将这些作 用在环形单元上的集中力、表面力和体积力分别移置到节点上。移置 的原则也是要求这些外力和等效节点载荷在任意位移上所做的虚功相 等，
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6.1 轴对称问题
• 故轴对称弹性体内任意一点的应力分量为： • 则对应的轴对称弹性体内任意一点的应变分量为： • 式中
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6.1 轴对称问题
• 与平面问题相比，轴对称问题多了一个环向线应变 εθ 。当弹性体受 载时，点（r,θ , z ）产生径向位移u，使过点（r,θ , z ）的周长增加 了2π(r + u) − 2πr ，因而会产生相对伸长，即环向应变为：
第6 章 轴对称与空间问题
• 6.1 轴对称问题 • 6.2 四面体单元 • 6.3 空间等参单元 • 6.4 空间轴对称等参单元 • 6.5 轴对称问题有限元分析 • 6.6 空间问题有限元分析
返回
6.1 轴对称问题
• 6.1.1 轴对称问题的弹性力学基本方程
• 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称 于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面），那么弹性体的所有应 力、应变和位移也就都对称于这根轴。这类问题通常称为空间轴对称 问题。
• 对于轴对称问题，宜采用圆柱坐标系（r,θ , z）。如图 6.1 所示，如 果将弹性体的对称轴作为z 轴，则所有应力、应变和位移分量都只是 r 和z 轴的函数，而与θ 无关，即不随θ 变化。弹性体内任意一点只有 两个位移：即沿r 方向的径向位移u 和沿z 方向的轴向位移w 。由于 弹性体是轴对称的，沿θ 方向的环向（周向）位移v 等于零。因此， 轴对称问题是二维问题。
即：
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6.1 轴对称问题
• 将式（6.18）和式（6.19）代入式（6.20），则得： • 由于虚位移列阵{δ *}e的任意性，所以有： • 式中，[K]e为单元刚度矩阵，即：
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6.1 轴对称问题
• 将其写成分块形式为： • 其中每个子矩阵为：
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• 则载荷列阵为：
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6.1 轴对称问题
• 整体刚度矩阵为： • 于是式（6.49）便可以写成与平面问题相同的标准形式，即： • 这就是求解得到的节点位移的平衡方程。
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6.1 轴对称问题
• 整体刚度矩阵也可以写成分块形式，即：
• 轴对称问题的几何方程（应变与位移之间的关系）为：
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6.1 轴对称问题
• 写成矩阵形式为：
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6.1 轴对称问题
• 根据胡克定律，其应力与应变的关系为：
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6.1 轴对称问题
• 由式（6.4）得：
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6.1 轴对称问题
• 在这里，弹性矩阵[D]为：
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6.1 轴对称问题
• 在轴对称弹性体内用相距dr 的两个圆柱面和过轴线互成dθ角的两个 铅垂面切割出一个高为dz 的微元体，如图6.2（a）所示。
• 从弹性体中割取一个微小六面体PABC，如图6.2（b）所示。则沿r 方向的正应力，称为径向正应力，用σ r 表示；沿θ方向的正应力，称 为环向正应力，用σθ 表示；沿z 方向的正应力，称为轴向正应力，用 σ z 来表示。而作用在水平面上沿r 方向的剪应力则用τ zr 来代表，按 照剪应力互等定理，则有τ zr=τ rz。另外，由于对称性，τ rθ=τ θ r 及τ zθ =τ θ z 都不存在。这样，该物体总共只有4 个应力分量，即σ r、σθ 、 σ z、τ zr，它们都只是r 和z 的函数。