空间和轴对称问题的有限单元法演示文稿

其中
u Niui N ju j Nmum N pu p
Ni
1 6V
ai
bi x ci y
di z
N j
1 6V
aj bjx cj y d jz
Nm
1 6V
am
bm x
cm
y
wk.baidu.com
dmz
1
N p 6V ap bp x cp y d p z
称为形函数，其系数是
xj yj zj ai xm ym zm
其中
A1 1
A2
(1 2)
21
E 1 A3 361 1 2
5-2-5 载荷移置
单元上的节点力
Ryp
y
p
Rzp
Rxp
x
Ryi
Rym
z
i
R zi
Rxi
Rzm m Rxm
Ryj
Rzj j Rxj
Rxi
Ryi
Rzi Rxj
Ryj
Re
Rzj
Rxm
Rym
Rzm
5 -3-1 研究对象
当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都 轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对 称应力分析问题，在工程中如活塞，压力容器等。
5-3-2 与平面问题的差异
轴对称问题采用极座标 r , θ, z 虽然物体上任一点用三个座标 r,θ，z 描述，但物体中无论 应力σ、位移 δ 都与θ无关，所以它只是 r ,z 的函数。
根据虚功原理可得
K e BT DBdV V
Ke可分成四行四列的子矩阵，其中每个子矩阵为三行三列
Kii
Ke
K
ji
Kmi K pi
Kij K jj Kmj K pj
Kim K jm Kmm K pm
Kip
K jp
Kmp K pp
每个子矩阵按下式计算
Krs
A3 V
brbs A2
同样，可以得到
v Nivi N jv j Nmvm N pvp w Niwi N j wj Nmwm N pwp
单元内任一点的位移可以写成如下形式：
f
Ni 0
0 Ni
0 0
Nj 0 0 Nj
0 0
Nm 0 0 Nm
0 0
Np 0 0 Np
0
0
e
0 0 Ni 0 0 N j 0 0 Nm 0 0 N p
A1crbs
A1drbs
crcs drds A2brcs A2brds
A1brcs A2crbs
crcs A2 drds brbs
A1drcs A2crds
A1brds A2drbs
A1crds A2drcs
drds A2 brbs crcs
(r=i, j,m,p) (s=i, j,m,p)
因此轴对称问题也象平面问题一样，作为二维问题求解
的弹性方程
矩阵表达式如下:
1
1
1
x
y
1
1 1
xzy
E 1 1 1 2
0
0
0
1 2
21
yz
zx
0
00
0
0
00
0
所以空间问题的弹性方程也可写成
1 2
21
0
1 2
21
D
§ 5-2 空间问题的简单四面体单元
单元编号按右手法则 i, j, m, p
xp yp zp
1 xj zj ci 1 xm zm
1 xp zp
1 yj zj bi 1 ym zm
1 yp zp
1 xj yj di 1 xm ym
1 xp yp
(i, j, m, p)
V为四面体的体积，可用下式表达:
1 xi yi zi V 1 1 xj yj zj
6 1 xm ym zm 1 xp yp zp
空间和轴对称问题的有限单元法演 示文稿
（优选）空间和轴对称问题的有限 单元法
5-1-4 弹性力学空间问题的弹性方程
根据六个虎克定律的公式求出六个应力分量表达式
并用矩阵表示
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x y
xy
1 G
xy
yz
1 G
yz
zx
1 G
zx
把公式
G
2
E
1
代入虎克定律, 可得空间问题
bi A1ci A1di
A1bi
ci
A1di
Si
D Bi
6 A3 V
A1bi A2ci
A1ci A2bi
di 0
( i, j, m, p )
其中
0
A2di
A2ci
A2di 0 A2bi
A1 1
(1 2)
A2 21
E 1 A3 361 1 2
5-2-4 单元刚度矩阵
B e
Bi
Bj
Bm
Bp e
yz
zx
y x
v
w
z y
w x
u z
其中
bi 0 0
0
ci
0
Bi
1 6V
0
ci
0 bi
di 0
0
di
ci
di 0 bi
( i, j, m, p )
5-2-3 四面体单元的应力
D DB e S e Si S j Sm Sp e
ui
vi
z
wi uj
单元的节点位移 δe
e
i
j
m
v
j
wj
um
i
p
vm
wm
u
p
x
vp
wp
p
m j
y
5-2-1 位移函数
单元内任一点的位移 f 假定为座标的线性函数
u
f
v
N e
w
u 1 2 x 3 y 4 z v 5 6x 7 y 8z w 9 10 x 11 y 12 z
节点i, j, m及 p的坐标分别为(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xm,ym,zm) 及(xp,yp,zp)，把它们代入上式的第一式，得出各节点在x 方向的位移
ui 1 2 xi 3 yi 4 zi u j 1 2 x j 3 y j 4 z j um 1 2 xm 3 ym 4 zm up 1 2 xp 3 yp 4 zp 解方程组，求得 1,2,3,4 ，代入第一式，整理后得到
Rxp
Ryp
Rzp
由集中力引起的等效节点载荷 Re N T P
由体积力引起的等效节点载荷 Re NT gdxdydz
5-2-6 结构总体刚度方程
单元特性分析 → 建立单元刚度矩阵 单元载荷移植 → 建立节点载荷列阵 根据结构各节点的静力平衡条件，得出结构总体刚度方程。
R K
§ 5- 3 轴对称问题的简单三角形单元
形态矩阵N如下:
N Ni
Nj
Nm
N
p
Ni 0
0 Ni
0 0
Nj 0 0 Nj
0 0
Nm 0 0 Nm
0 0
Np 0 0 Np
0
0
0 0 Ni 0 0 N j 0 0 Nm 0 0 N p
5-2-2 四面体单元的应变
u
x
v
x y
y
w
z xy
z
u
v