空间和轴对称问题的有限单元法演示文稿
《轴对称》PPT课件
问题一： 你能从几何学的角度刻划画面中的 两个图形的特点吗
从大小 形状 位置去考虑
轴对称概念的准确描述
把一个图形沿着某一条直线折叠;如 果它能与另一个图形重合;那么就说 这两个图形关于这条直线对称 两个图形中的对应点叫做关于这条 直线的对称点
这条直线叫做对称轴 两个图形关于直线 对称也叫做轴对称
思维的延伸
１ 已知：如图;ＣＤ是△ＡＢＣ的外角平分 线;ＢＤ⊥ＣＤ;ＢＤ的延长线交ＡＥ于点Ｆ; 求证：点Ｂ与点Ｆ关于ＣＤ对称
ＦＥ
Ｃ Ｄ
Ｂ Ａ
能力训练
如图：某同学打台球时想通过击主球Ａ;使主 球Ａ撞击桌边ＭＮ后反弹回来击中彩球Ｂ;请 画出主球Ａ的运动路线
A B
Ｍ
Ｎ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｈ
B1
综合创新
设AD是△ABC的∠BAC的平分线;过A引直 线MN⊥AD;过Ｂ作ＢＥ⊥MN于Ｅ;求证： △EBC的周长大于△ABC的周长
概念理解与归纳
轴对称涉及两个图形;它们能完 全重合;因此;轴对称是指两个图 形之间的形状与位置关系
概念对两图形的重合有限制; 它们的位置关系必须满足沿 某一条直线对折后能重合
观察图形归纳特性
从两图形大小 形状来看：
定理1 关于某条直线对称的两 个图形是全等形
从两图形 位置来看：
定理2 如果两个图形关于某条直 线对称;那么对称轴是对应点连 线的垂直平分线
M EA
B D
C1 N
C
课后思考：
1 沿着等腰三角形底边上 的高对折;高两边的图形 完全重合吗 2 沿着直角三形斜边上的 高对折;高两边的图形完 全重合吗
小结
概念 定理 应用
轴 对 称 知 识 结
第4章 轴对称问题和空间问题有限元法
(1 )(1 2) 1 1
1
0
0
0
0
1 2 2(1 )
7
轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)
轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；
节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；
单元边界是一回转面；
应变分量 中出现了 ur r ，即应变不是常量；
且应变矩阵在r→0时，存在奇异点，需特殊处
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，
为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , zc代替 B 矩阵中的变
量 。r, z
rc
1 3
(ri
rj
rm )
zc
1 3
(
zi
zj
zm )
实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元
用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。
uj wj
N
q
um
wm
单元应变：
将单元位移函数代入几何方程得：
u r
1 2A (biuiBiblioteka bju jbmum )
u r
1 2A
(
fi
ui
f
ju j
f mum )
11
其中，
fs
as r
bs
cs zs r
(s i, j, m)
w z
1 2A
(ci
wi
cjwj
cmwm )
u z
1 2A (ciui
Fe
Fir
Fiz
＝
２A
15
9rc2
0
2ri2
rjrm
(3) 分布面力移置
有限元分析及工程应用-2016第五章
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w
a1 a4
a2r a5r
aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2
1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。
第4章 空间问题有限元分析-轴对称
Re N T f p
FL e 2 r0 N T 62 f p 21
圆环 2 r0 Ni f pr Ni f pz N j f pr
N j f pz
Nm f pr
T
Nm f pz
r0 -- 集中力作用点的径向坐标。
2019/10/18
第4章 空间问题有限元分析 空间轴对称问题
曹国华
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
1
主要内容
§ 4.1位移模式 § 4.2几何方程 § 4.3单元刚度 § 4.4等效载荷
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
3
1、研究对象
当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都 轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对 称应力分析问题，在工程中如 活塞，压力容器等 。
空间有限元分析-轴对称
12
几何方程与物理方程
PA线应变
0，（略去高阶小量）.
PB线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
d φ)
u
ρdφ
1 uφ ; ρ φ
PA转角
α
DA
uφ ρ
d
ρ
uφ
,
PA d ρ ρ
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
空间有限元分析-轴对称
28
等效载荷
r Niri N j rj Nmrm
2、体积力移置
FFGee 2 [N] f rdrdz
若体积力为重，则单位体积 的力为
f
＝－0
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
FEA-05-轴对称及空间问题
北京科技大学数理学院应用力学系第五章轴对称及空间问题本章重点和应掌握的内容1、轴对称问题的基本方程及其有限元列式2、空间问题的有限元列式和一些常用单元3、ANSYS分析中需要考虑的一些因素物体的几何形状约束情况及所受的外力§5.1 轴对称问题有限元法物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，则在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。
研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r，θ，z），以z轴为对称轴。
由于对称性，轴对问题共有4个应力分量：[]{}Tr z zr θσσσστ=σ其中r 表示沿半径方向的正应力，称为径向应力；θσ表示沿θ方向的正应力，称为环向应力或切向应力；表示沿z方向的正应力称为轴向应力；z σ表示沿z方向的正应力，称为轴向应力；zr τ表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。
[]{}Trz zr θεεεεγ=同样，轴对称问题共有4个应变分量：在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只节点两个位移分量基本，。
因此，节点两个位移分量基本在子午面上离散成平面的要求完全相同一、轴对称问题的几何方程三角形单元网格⎪⎫⎪⎧∂∂r u ⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎨⎧r ur εεθ⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂⎪⎪⎭⎪⎪⎩w u z w zr z γε⎪⎭⎪⎩∂+∂r z⎫⎧i u 位移模式与平面问题三节点单元相同⎭⎬⎩⎨=i i w a ⎤⎧位移模式与平面问题三节点单元相同，即：em jim j ia N N N N N N w u u ~000~~~⎥⎦⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨=1)(2z c r b a AN i i i i ++=[]eT rzzraN L u L ~~~~~~==εγεε=εθ,,r z rz θεεγε径向应变轴向应变面内切应变；环向应变为导出量。
[][]ee m jiemjiaB a B BBa NNNL ~~~~~~~~~~~===0r ∂⎡⎤⎢⎥∂~0001i i i i i b N c a c z u z ⎢⎥⎡⎤∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥===~,,,220~i i i ii iL B f A b c b r A r r r z r f θε===++⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦10r⎢⎥⎢⎥⎣⎦是环向应变，非常量。
有限元分析轴对称问题
思考题5-1 轴对称问题的定义答：工程中又一类结构，其几何形状、边界条件、所受载荷都对称于某一轴线，这种情况下结构再载荷作用下位移、应变和应力也对称于这个轴线，这种问题成为轴对称问题。
5-2 轴对称问题一般采用的坐标系？作图说明每个坐标分量的物理意义答：在描述轴对称弹性体问题的应力及变形时常采用圆柱坐标r，θ，z。
5-3 轴对称问题中每个点有几个位移分量？各位移分量是那几个自变量的函数？答：位移分量u, w,都只是rz的函数，与θ无关。
5-4 轴对称问题中的每个点有哪几个应力分量？是那几个自变量的函数。
答：4个应力分量；5-5 轴对称问题中的每个点有哪几个应变分量？是那几个自变量的函数答：4个应变分量5-6 轴对称问题是三维问题？二维问题？最简单的轴对称单元是哪种单元？作图说明答：由于轴对称，沿θ方向的环向（周向）位移v等于零。
因此轴对称问题是二维问题；三角形环单元。
（三角形轴对称单元，这些圆环单元与r z平面（子午面）正交的截面是三角形）5-7 写出三角形环单元的位移函数。
满足完备性要求吗？答：满足完备性要求。
5-8 三角形环单元形函数的表达式？指出形函数的性质。
5-9 三角形环单元的应力和应变的特点。
其单元刚度矩阵是几阶的？答：应力分量：剪应力为常量，其他3个正应力分量均随位置变化；应变分量：面内（子五面）3个应变分量为常量，环向应变不是常应变，而是与单元中各点的位置有关。
单元刚度矩阵为六阶。
5-10 有限元方法求解对称问题的基本步骤？1.结构离散化：对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；2.求出各单元的刚度矩阵[K](e)：[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵，其关系式为:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e);3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为{F}= [K] {Φ}，此即为总体平衡方程。
空间与轴对称问题有限元分析课件
02
CATALOGUE
有限元分析基础
有限元分析的基本概念
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂 的物理系统离散化为有限个简单元（或称为元 素）的组合，以求解复杂系统的物理行为。
它基于变分原理和加权余量法，通过数学模型 将实际工程问题转化为数学问题，从而得到近 似的数值解。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构分析 、流体动力学、电磁场等。
求解线性方程组
通过求解线性方程组得到每个节 点的位移和应力等物理量。
有限元分析的常用软件
ANSYS
功能强大的有限元分析软件，适用于各种工 程领域。
COMSOL Multiphysics
多物理场有限元分析软件，适用于模拟复杂 的多物理场耦合问题。
ABAQUS
专业的有限元分析软件，广泛应用于结构分 析、流体动力学等领域。
空间与轴对称问题有限元分析的优缺点
01
数值误差
有限元分析依赖于离散化的网格 ，存在数值误差，可能影响结果 的精度。
建模难度
02
03
计算资源需求
对于复杂问题的建模，需要较高 的专业知识和技巧，建模难度较 大。
对于大规模问题，有限元分析需 要大量的计算资源，如内存和计 算时间。
未来发展方向与挑战
优化算法
建筑领域
建筑设计中的对称和均衡问题需要考虑空间对称 性，以提高建筑的美观性和稳定性。
机械工程领域
机械零件的形状和结构需要考虑轴对称性，以确 保零件的稳定性和可靠性。
空间与轴对称问题的解析方法
解析法
通过数学公式和定理推导出问题的解 ，适用于简单的问题和特定条件下的 求解。
有限元法
将问题分解为有限个小的单元，通过 求解每个单元的近似解来逼近原问题 的解，适用于复杂的问题和不规则区 域的处理。
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bi A1ci A1di
A1bi
ci
A1di
Si
D Bi
6 A3 V
A1bi A2ci
A1ci A2bi
di 0
( i, j, m, p )
其中
0
A2di
A2ci
A2di 0 A2bi
A1 1
(1 2)
A2 21
E 1 A3 361 1 2
5-2-4 单元刚度矩阵
Rxp
Ryp
Rzp
由集中力引起的等效节点载荷 Re N T P
由体积力引起的等效节点载荷 Re NT gdxdydz
5-2-6 结构总体刚度方程
单元特性分析 → 建立单元刚度矩阵 单元载荷移植 → 建立节点载荷列阵 根据结构各节点的静力平衡条件，得出结构总体刚度方程。
R K
§ 5- 3 轴对称问题的简单三角形单元
同样，可以得到
v Nivi N jv j Nmvm N pvp w Niwi N j wj Nmwm N pwp
单元内任一点的位移可以写成如下形式：
f
Ni 0
0 Ni
0 0
Nj 0 0 Nj
0 0
0 0 Np
0
0
e
0 0 Ni 0 0 N j 0 0 Nm 0 0 N p
B e
Bi
Bj
Bm
Bp e
yz
zx
y x
v
w
z y
w x
u z
其中
bi 0 0
0
ci
0
Bi
1 6V
0
ci
0 bi
di 0
0
di
ci
di 0 bi
( i, j, m, p )
5-2-3 四面体单元的应力
D DB e S e Si S j Sm Sp e
因此轴对称问题也象平面问题一样，作为二维问题求解
的弹性方程
矩阵表达式如下:
1
1
1
x
y
1
1 1
xzy
E 1 1 1 2
0
0
0
1 2
21
yz
zx
0
00
0
0
00
0
所以空间问题的弹性方程也可写成
1 2
21
0
1 2
21
D
§ 5-2 空间问题的简单四面体单元
单元编号按右手法则 i, j, m, p
ui
vi
z
wi uj
单元的节点位移 δe
e
i
j
m
v
j
wj
um
i
p
vm
wm
u
p
x
vp
wp
p
m j
y
5-2-1 位移函数
单元内任一点的位移 f 假定为座标的线性函数
u
f
v
N e
w
u 1 2 x 3 y 4 z v 5 6x 7 y 8z w 9 10 x 11 y 12 z
其中
u Niui N ju j Nmum N pu p
Ni
1 6V
ai
bi x ci y
di z
N j
1 6V
aj bjx cj y d jz
Nm
1 6V
am
bm x
cm
y
dmz
1
N p 6V ap bp x cp y d p z
称为形函数，其系数是
xj yj zj ai xm ym zm
节点i, j, m及 p的坐标分别为(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xm,ym,zm) 及(xp,yp,zp)，把它们代入上式的第一式，得出各节点在x 方向的位移
ui 1 2 xi 3 yi 4 zi u j 1 2 x j 3 y j 4 z j um 1 2 xm 3 ym 4 zm up 1 2 xp 3 yp 4 zp 解方程组，求得 1,2,3,4 ，代入第一式，整理后得到
A1crbs
A1drbs
crcs drds A2brcs A2brds
A1brcs A2crbs
crcs A2 drds brbs
A1drcs A2crds
A1brds A2drbs
A1crds A2drcs
drds A2 brbs crcs
(r=i, j,m,p) (s=i, j,m,p)
5 -3-1 研究对象
当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都 轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对 称应力分析问题，在工程中如活塞，压力容器等。
5-3-2 与平面问题的差异
轴对称问题采用极座标 r , θ, z 虽然物体上任一点用三个座标 r,θ，z 描述，但物体中无论 应力σ、位移 δ 都与θ无关，所以它只是 r ,z 的函数。
xp yp zp
1 xj zj ci 1 xm zm
1 xp zp
1 yj zj bi 1 ym zm
1 yp zp
1 xj yj di 1 xm ym
1 xp yp
(i, j, m, p)
V为四面体的体积，可用下式表达:
1 xi yi zi V 1 1 xj yj zj
6 1 xm ym zm 1 xp yp zp
空间和轴对称问题的有限单元法演 示文稿
（优选）空间和轴对称问题的有限 单元法
5-1-4 弹性力学空间问题的弹性方程
根据六个虎克定律的公式求出六个应力分量表达式
并用矩阵表示
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x y
xy
1 G
xy
yz
1 G
yz
zx
1 G
zx
把公式
G
2
E
1
代入虎克定律, 可得空间问题
形态矩阵N如下:
N Ni
Nj
Nm
N
p
Ni 0
0 Ni
0 0
Nj 0 0 Nj
0 0
Nm 0 0 Nm
0 0
Np 0 0 Np
0
0
0 0 Ni 0 0 N j 0 0 Nm 0 0 N p
5-2-2 四面体单元的应变
u
x
v
x y
y
w
z xy
z
u
v
其中
A1 1
A2
(1 2)
21
E 1 A3 361 1 2
5-2-5 载荷移置
单元上的节点力
Ryp
y
p
Rzp
Rxp
x
Ryi
Rym
z
i
R zi
Rxi
Rzm m Rxm
Ryj
Rzj j Rxj
Rxi
Ryi
Rzi Rxj
Ryj
Re
Rzj
Rxm
Rym
Rzm
根据虚功原理可得
K e BT DBdV V
Ke可分成四行四列的子矩阵，其中每个子矩阵为三行三列
Kii
Ke
K
ji
Kmi K pi
Kij K jj Kmj K pj
Kim K jm Kmm K pm
Kip
K jp
Kmp K pp
每个子矩阵按下式计算
Krs
A3 V
brbs A2