新课衔接站03 5.3 平行线的性质(试题)-2020-2021学年七年级数学寒假学习精编讲义

2020-2021学年人教版七年级数学寒假学习精编讲义新课衔接站035.3 平行线的性质1．平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角__________．符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠2，示意图如图：（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角__________．符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，示意图如图：（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角__________．符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°．示意图如图：2．命题 （1）定义：判断一件事情的语句，叫做__________，如：对顶角相等．（2）组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．（3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．（4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题．3．定理与证明（1）定理：经过推理证实的真命题叫做__________，定理也可以作为继续推理的依据．（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做_________．平行线的性质只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质．考点1：平行线的性质【例1】（2020秋•和平区期中）如图，BD 平分ABC ∠，//EF BC ，AE 与BD 交于点G ，连接ED ．若22A ∠=︒，20D ∠=︒，2DEF AED ∠=∠，则AGB ∠的大小= （度）．【解答】解：BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，设ABD x ∠=︒，DE 与BC 交于点M ，AGB DGE ∠=∠，180AGB A ABD ∠=︒-∠-∠，180DGE D AED ∠=︒-∠-∠，22AED x ∴∠=+︒，2DGF AED ∠=∠，244DEF x ∴∠=+︒，//BC EF ，244DMC DEF x ∴∠=∠=+︒，DMC D DBC ∠=∠+∠，24422x x ∴+︒=+︒，解得：16x =︒，1801802216142AGB A ABD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：142． 【变式1-1】（2020秋•道外区期末）如图，若直线_1//_2l l ，则下列各式成立的是( )A ．12∠=∠B ．45∠=∠C ．25180∠+∠=︒D ．13180∠+∠=︒【变式1-2】（2020秋•香坊区期末）如图，已知平行线a ，b ，一个直角三角板的直角顶点在直线a 上，另一个顶点在直线b 上，若170∠=︒，则2∠的大小为( )A．15︒B．20︒C．25︒D．30︒【变式1-3】（2020秋•肇州县期末）如图，将一张上、下两边平行（即//)AB CD的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．（1）试说明12∠=∠；（2）已知240∠的度数．∠=︒，求BEF【变式1-4】（2020春•越秀区校级月考）如图，//AB MN，点C在直线MN上，CB平分ACNA∠=︒，∠，40则B∠的度数为．【变式1-5】（2020秋•松北区期末）如图，直线//CB OA，100∠=∠=︒，E、F在CB上，且满足C OAB∠=∠，OE平分COFFOB AOB∠（1）求EOB∠的度数；（2）若平行移动AB，那么:∠∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；OBC OFC若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．平行线性质与判定的综合应用平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”；平行线的判定是以角的相等或互补为前提，推导出两直线平行，是从“数量关系”到“位置关系”．考点2：平行线的判定与性质【例2】（2020春•巴马县期末）如图，给出下列条件：①12∠=∠；②34∠=∠；∠=∠；③//AB CE且ADC B④//BC AD的条件为()∠=∠；其中能推出//AB CE且BCD BADA．①②B．②④C．②③D．②③④【解答】解：①12∠=∠，∴，不符合题意；//AB CD②34∠=∠，∴，符合题意；//BC AD③//AB CD，∴∠+∠=︒，180B BCDADC B∠=∠，BC AD，故符合题意；∴∠+∠=︒，由同旁内角互补，两直线平行可得//180ADC BCD④//AB CE，B BCD∴∠+∠=︒，180∠=∠，BCD BAD∴∠+∠=︒，由同旁内角互补，两直线平行可得//BC AD，故符合题意；B BAD180故能推出//BC AD的条件为②③④．故选：D．【变式2-1】（2020春•泰兴市校级期中）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ MN．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋//转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动秒，两灯的光束互相平行．【变式2-2】（2020春•邹平市期末）下列说法：①平行于同一条直线的两条直线也互相平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂线段最短；④同旁内角互补．其中说法错误的是()A．①B．②C．③D．④【变式2-3】（2020春•泰兴市期末）如图，将一副三角板按如图放置，90BAC DAE ∠=∠=︒，45B ∠=︒，60E ∠=︒，则下列结论正确的有( )个．①13∠=∠；②2180CAD ∠+∠=︒；③如果230∠=︒，则有//AC DE ；④如果230∠=︒，则有//BC AD ．A ．4B ．3C ．2D ．1【变式2-4】（2020春•兴县期末）如图，//AE CF ，ACF ∠的平分线交AE 于点B ，G 是CF 上的一点，GBE ∠的平分线交CF 于点D ，且BD BC ⊥，下列结论：①BC 平分ABG ∠；②//AC BG ；③与DBE ∠互余的角有2个；④若A α∠=，则1802BDF α∠=︒-．其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【变式2-5】（2020春•揭阳期中）如图，点D 、F 在线段AB 上，点E 、G 分别在线段BC 和AC 上，//CD EF ，12∠=∠．（1）判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由；（2）若DG 是ADC ∠的平分线，385∠=︒，且:9:10DCE DCG ∠∠=，试说明AB 与CD 有怎样的位置关系？【变式2-6】（2020秋•松北区期末）完成下面的证明：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，//DE AB，∠+∠=︒．EGF AEGBFD CED∠=∠，连接BE交DF于点G，求证：180证明：//DE AB（已知），A CED∴∠=∠)(又BFD CED∠=∠（已知），∴∠=∠)(A BFD∴)DF AE//(EGF AEG∴∠+∠=︒)180(命题判断一个命题是假命题，只需举出一个反例（符合命题的题设，不满足命题的结论）即可，而说明一个命题是真命题需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确结论．考点3：命题与定理【例3】（2020秋•道里区期末）下列命题：①有理数与数轴上的点一一对应；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④负数没有平方根．其中是真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①实数与数轴上的点一一对应，则本小题说法错误；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则本小题说法错误；③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，则本小题说法错误；④负数没有平方根，则本小题说法正确；故选：A．【变式3-1】（2020•福建模拟）说明命题“若2x<，则112x>”是假命题的一个反例，则实数x的取值可以是．【变式3-2】（2020秋•道外区期末）下列四个命题：①4±是64的立方根；②5是25的算术平方根；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④在平面直角坐标系中，与两坐标轴距离都是2的点有且只有2个．其中真命题有()个．A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-3】（2016秋•和平区期末）下列命题：①如果两个角相等，那么它们是对顶角；②两直线平行，内错角相等；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；④等腰三角形的底角必为锐角，其中假命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-4】（2020•丰台区一模）如图，ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD 交于点O，以下三个条件：①BO DO=；②EO FO=；③AE CF=，以其中两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，其中真命题的个数为3．【变式3-5】（2020•朝阳区一模）用一个a 的值说明命题“若a 为实数，则2a a <”是错误的，这个值可以是a = ．【变式3-6】（2018秋•河南期中）如图，直线AB ，CD 被直线AE 所截，直线AM ，EN 被MN 所截．请你从以下三个条件：①//AB CD ；②//AM EN ；③BAM CEN ∠=∠中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．（1）请按照：“ ， ；∴ ”的形式，写出所有正确的命题；（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．【变式3-7】（2017秋•河北期中）如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连接AE 、BE ．给出下列五个关系式：①//AD BC ；②DE CE =；③12∠=∠；④34∠=∠；⑤AD BC AB +=．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果⨯⨯⨯，那么)⨯⨯．并给出证明；（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）．。