倍长中线

倍长中线巧解题
山东 邹殿敏
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．
一、证明线段不等
例1 如图1，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ．
分析：延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ．
易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ．
在△ACE
AB
二、证明线段相等
例2 如图2，在△ABC 中，AB ＞AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．
分析：可以把FE 看作△FBC 的一条中线．
延长FE 至点H ，使EH =FE ，连接CH ．
则△CEH ≌△BEF ．所以CH =BF ，∠H =∠1
．
因为EG //AD ，所以∠1=∠2，∠3=∠G ．
又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G ．所以∠H =∠G ．
由此得CH =CG ．所以BF =CG ．
三、求线段的长
例3 如图3，△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE =3，CF =4，试求EF 的长．
分析：可以把ED 看作△EBC 的一条中线．
延长ED 至点G ，使DG =ED ，连接CG ，FG ．
则△CDG ≌△BDE ．所以CG =BE =3，∠2=∠B ．
因为∠B +∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG =90°．
因为DF 垂直平分EG ，所以FG =EF ．
在Rt △FCG 中，由勾股定理得5FG ===，所以EF =5．
四、证明线段倍分
例4 如图4，CB ，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC =AB ．求证：CE =2CD ． 分析：延长CD 至点F ，使DF =CD ，连接BF ．
则由△ADC ≌△BDF 可得AC =BF ，∠1=∠A ．由AC =AB 得∠ACB =∠2．
因为∠3=∠A +∠ACB ，所以∠3=∠CBF ．
CBE ≌△CBF ，所以CE =CF ，即CE =2CD ．
五、证明两直线垂直
例5 如图5，分别以△ABC 的边AB ，AC 为一边在三角形外作正方形ABEF 和ACGH ，M 为FH 的中点．求证：MA ⊥BC ．
分析：设MA 的延长线交BC 于点D ，延长AM 至点N ，使MN =AM ，连接FN ．
则由△FMN ≌△HMA 可得FN =AH =AC ，FN //AH ，所以∠AFN +∠F AH =180°．
因为∠BAC +∠F AH =180°，所以∠AFN =∠BAC ．
又因为AF =AB ，所以△AFN ≌△BAC ，得∠1=∠2．
因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB =90°．
从而得出MA ⊥BC ．
六、证明线段成比例
例6 如图6，△P AB 中，C 是PB 上一点，且∠P AC =∠B ，E 为AC 边的中点，PE 的延长线交AB 于点
D ．
求证：BD
AD PB PC =． 分析：延长PD 至点F ，使EF =PE ，连接AF ．
易知，△PEC ≌△FEA ，所以∠CPE =∠F ，AF =PC ．所以AF //PC ．
由△ADF ∽△BDP 可得BD AD
PB AF =．所以BD AD PB PC =．。