2011河北高考数学一轮复习知识点攻破习题--等差数列

等差数列
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分) 1．(2009·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )
A ．1 B.5
3
C ．2
D ．3
解析：∵S 3＝(a 1＋a 3)×3
2＝6，而a 3＝4，
∴a 1＝0，∴d ＝a 3－a 1
2
＝2.
答案：C
2．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于 ( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
解析：25＝S 5＝a 2＋a 4
2
×5，∴a 4＝7.
∴2d ＝a 4－a 2＝4.∴a 7＝a 4＋3d ＝13. 答案：B
3．设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }前8项的和为 ( ) A ．128 B ．80 C ．64 D ．56 解析：∵{a n }是等差数列，
∴a 2＋a 7＝a 3＋a 6＝a 4＋a 5＝a 1＋a 8.
∴S 8＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4(a 2＋a 7)＝4×16＝64. 答案：C 4．(2009·唐山二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7>S 8>S 6，则下列结论： ①a 7＝0 ②a 8<0 ③S 13>0 ④S 14<0 其中正确结论是 ( ) A ．②③ B ．①③ C ．①④ D ．②④ 解析：∵S 7>S 8>S 6，∴a 7>0，a 7＋a 8>0
∴S 14＝14(a 1＋a 14)
2
＝7(a 7＋a 8)>0，∴①④错误，故选A.
答案：A 5．(2009·安徽高考)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是 ( )
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18 解析：∵{a n }为等差数列， ∴a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35， a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33， d ＝a 4－a 3＝33－35＝－2，
∴{a n }是递减数列．
a n ＝a 3＋(n －3)d ＝35＋(n －3)×(－2)＝－2n ＋41，
a n ≥0，－2n ＋41≥0，n ≤41
2
，
∴当n ≤20时，a n >0，
∴n ＝20时，S n 最大，故选B. 答案：B
6．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝
( )
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
解析：设公差为d 且d >0.
由已知{ a 1＋a 2＋a 3＝15 a 1a 2a 3＝80， 得{ a 1＋d ＝5， a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝80.
解得a 1＝2，d ＝3(∵d >0)．
∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝105. 答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知等差数列{a n }共有2008项，所有项的和为2010，所有偶数项的和为2，则a 1004＝__________.
解析：依题意得2008(a 1＋a 2008)2＝2010，a 1＋a 2008＝20101004，1004(a 2＋a 2008)2＝2，a 2＋a 2008＝4
1004
，故a 2
－a 1＝－2006
1004
＝d ，
又a 2＋a 2008＝2a 1005＝41004，∴a 1005＝2
1004，
a 1004＝a 1005－d ＝21004＋2006
1004
＝2.
答案：2
8．(2009·全国卷Ⅱ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＝5a 3，则S 9
S 5
＝__________.
解析：S 9S 5＝9(a 1＋a 9)
25(a 1＋a 5)2
＝95·a 5a 3＝9
5
×5＝9.
答案：9 9．(2008·山东高考)已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)的值等于__________． 解析：∵f (3x )＝4x log 23＋233， ∴f (3x )＝4log 23x ＋233.
∴f (x )＝4log 2x ＋233.而f (2n )＝4log 22n ＋233＝4n ＋233，
∴f (2)＋f (4)＋…＋f (28)＝(4×1＋233)＋(4×2＋233)＋…＋(4×8＋233)＝4×(1＋2＋…＋8)＋233×8＝2008.
答案：2008
10．把49个数排成如下图所示的数表，若表中每行的7个数自左向右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数a 44＝1，则表中所有数的和为__________．
解析：解法1：a 11＋a 12＋…＋a 17＝7a 14， 同理a 21＋a 22＋…＋a 27＝7a 24， …
a 71＋a 72＋…＋a 77＝7a 74， 而a 14＋a 24＋…＋a 74＝7a 44，
故所有数的和为7(a 14＋a 24＋…＋a 74)＝49a 44＝49.
解法2：由题意分析，不妨设各个格中的数都为1，则符合题意要求，所以表中所有数的之和为49. 答案：49
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14， (1)求{a n }的通项公式；
(2)当{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. 则a 1＋d ＝5，a 1＋4d ＝14， 解得a 1＝2，d ＝3.
所以数列{a n }的通项为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －1.
(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝32n 2＋1
2
n .
由32n 2＋1
2n ＝155，化简得3n 2＋n －310＝0. 即(3n ＋31)(n －10)＝0； 所以n ＝10.
12．(15分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .
(1)设b n ＝a n
2n －1，证明数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：a n ＋1＝2a n ＋2n ，
a n ＋12n ＝a n
2n －1
＋1， b n ＋1＝b n ＋1，
又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知a n 2n －1＝n ，即a n ＝n ·2n －1，S n ＝1·20＋2·21＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －
1，
2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －
1＋n ·2n .
两式相减，得S n ＝n ·2n －20－21－…－2n －
1＝n ·2n －2n ＋1＝(n －1)2n ＋1. 13．(20分)(2010·福建厦门一模)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)． (1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；
(2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋1
2
，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2；
a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2. ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)．
∴2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝3
2
.
当λ＝32时，a 2＝2×3
2
－2＝1，a 1＝a 2不合题意，舍去；
当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2，可得a n －a n －1＝－1. ∴数列{a n }构成以a 1＝1为首项，公差为－1的等差数列． ∴a n ＝－n ＋2.
(2)由λ＝3可得，a n ＝3a n －1＋3－2，即a n ＝3a n －1＋1.
∴a n ＋12＝3a n －1＋32.
∴a n ＋12＝3(a n －1＋1
2
)，即b n ＝3b n －1(n ≥2)．
又b 1＝a 1＋12＝3
2
，
∴数列{b n }构成以b 1＝3
2
为首项，公比为3的等比数列．
∴S n ＝3
2(1－3n )1－3
＝34(3n －1)．。