第一章 5,6,7

dφe = E ⋅ dS
φe =
∫ dφ =
S
e
∫
S
E ⋅ dS
S
4
讨论
φ e = E ⋅ cos θ ⋅ dS
S
∫
1. 电通量的正与负 取决于面元法线 n 的选取
E
dS
S
E ⋅ ds 〉 0
E
S
dS
n E
穿出 穿入
E ⋅ ds 〈 0
2. 通过闭合面的电通量 规定: 自内向外为各面元的正方向。 规定 自内向外为各面元的正方向。
S
ε0
二、高斯定律的证明 源电荷是点电荷 （1) 源电荷是点电荷
库仑定律 + 叠加原理
ds
S1
ˆ er
6
E
取一包围点电荷q的闭合球面 1. 取一包围点电荷q的闭合球面 S1 q 在面元 dS 处的场强为 E =
q 4πε 0 r 2
q
的电通量 通过 dS 的电通量
dφe = E ⋅ dS =
q 4π ε 0 r
3
三、电通量 1、 匀强电场中 、
通过任一面积的电场线条数
n
通过垂直面的通量 d φ e = EdS ⊥
通过非垂直面的通量 ds 和 ds ⊥ 电力线条数相同
dS⊥
θ
dS
E
θ
dθ
dS ⊥ = dS ⋅ cos θ
d φ e = EdS cos θ = E ⋅ dS
2、 通过任意曲面的电通量 、
dS E
E是高斯面上的场强，是高斯面内、外电荷的贡献 是高斯面上的场强，是高斯面内
3. 库仑定律与高斯定律是用不同形式表示电场 . 与生场电荷关系的同一客观规律。 与生场电荷关系的同一客观规律。 对于运动电荷的电场，库仑定律不在有效， 对于运动电荷的电场，库仑定律不在有效，高斯定律 依然有效。 依然有效。高斯定律是关于电磁场的普遍的基本规律
∫
S
E ⋅ ds =
2
∑
i
q内
i
ε
0
的闭合曲面S 3. 取不包围点电荷 q 的闭合曲面S3
∫
S3
E ⋅ dS = 0
q S3
8
也符合高斯定律, 也符合高斯定律
(2) 点电荷系的电场中，通过任意闭合曲面 S4 的通量 点电荷系的电场中，
E = E 1 + E 2 + ... + E n + i
φ e = E ⋅ dS
S1
E 1⋅ d S = ∫
S1
26
的带电球体,其电荷体密度分布为 例5. 一半径为 R 的带电球体 其电荷体密度分布为 ρ = Ar ( r ≤ R ) (1) 求 E内 = ? 过场点P在球内作半径为 的高斯面S 过场点 在球内作半径为 r1 的高斯面 1 ρ=0 (r> R) A为一常数。 为一常数。 为一常数 P
试求球体内外的场强分布。 试求球体内外的场强分布。
俯 视 图
r
dE
25
4.计算通过高斯面的电通量 4.计算通过高斯面的电通量
Φ e = ∫ E ⋅ d s = ∫ E ⋅ ds +
= E 2πrl
S
侧面
两底面
∫ E ⋅ ds
L
+0+0
λ r
S1 E S3 S2
利用高斯定理解出 E :
λl E 2 π rl = ε0
λ E= 2πε 0 r
E方向垂直带电线 方向垂直带电线
R
Q
1.电荷分布球对称 电场分布也球对称。 电荷分布球对称,电场分布也球对称 电荷分布球对称 电场分布也球对称。
o
r
S2
∫ E ⋅ dS
2
=
∫
S2
EdS = E 2 dS = E2 4 π 2
∫
S
S
2
2
4 r = ⋅ π ⋅ r3 ε 0 4 π ⋅ R3 3 3 19
2
1
Q
Q E ⋅ 4π ⋅ r = r3 ε0R3
φe = ∫ E ⋅ dS
通过闭合曲面S 电通量。 通过闭合曲面 的净电通量。 即穿出 与穿入闭合曲面的电力线条数之差
S
S n
5
§1.6
高斯定律 高斯定律 Gauss theorem
一、高斯定律的内容 在真空中的静电场内， 在真空中的静电场内，通过任一闭合面的电通量等 1/ε 于这闭合面所包围的电荷电量的代数和的 1/εo 倍。 ∑qi内 Φe = ∫ E ⋅ dS = i
（4） ）
q
q
q
思考: 以上三种情况， 思考 以上三种情况， Φe，E 值有何变化 ， 值有何变化?
12
§1.7 利用高斯定律求静电场的分布
常见的电荷分布的对称性： 常见的电荷分布的对称性：
均 匀 带 电 球对称 球体 球面 (点电荷) 点电荷) 柱对称 无限长 柱体 柱面 带电线 面对称 无限大 平板 平面
E
1
2 E1S1 =
ε0
⋅ σ ⋅ S1
σ ∴ E1 = 2ε 0
+σ
E 为匀强电场
22
若电荷面密度 σ < 0 .
两无限大板 ± σ .
E外 E
E内
E外
+σ
σ ∴ E1 = 2ε 0
+σ +σ
σ E = 内 ε0
E外=0
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思考设有一无限大均匀带正电的平面 ， 思考 设有一无限大均匀带正电的平面，取 x轴垂直带 设有一无限大均匀带正电的平面 轴垂直带 电平面，坐标原点在带电平面上，则其空间各点的 电平面， 坐标原点在带电平面上， 电场强度 E 随距平面的位置坐标x变化的关系曲线 随距平面的位置坐标 变化的关系曲线 (规定场强沿 轴正向为正 ， 反之为负 ： 规定场强沿x轴正向为正 为 ___ 规定场强沿 轴正向为正，反之为负)： C (A) E x (C) E x (D) E x
2
ˆ er ⋅ dS
Φ e = ∫s E ⋅ dS = ∫S
1
q
1
4π ⋅ ε 0 r
2
ˆ ⋅ e r ⋅ dS
ds
S1 q
E
=∫
q 4π ⋅ ε 0 r
2
S1
dS
2
=
q 4π ⋅ ε 0 r 2
4π ⋅ r =
q
ε0
得证
∫
S
E ⋅ ds =
∑
i
q内
i
ε
0
7
源电荷仍是点电荷, 源电荷仍是点电荷, 取任意形状闭合曲面S 2. 取任意形状闭合曲面S2包围点电荷 由于电场线的连续性, 由于电场线的连续性 通过 S1 的电通量相同 相同。 和 S2 的电通量相同。 S1 q S2 E E
均匀带负电球 面电场线分布
两正点电荷的 电场线分布
电偶极子电 场线分布
2
二、电场线的性质 电场线始于正电荷(或无穷远处) 1) 电场线始于正电荷(或无穷远处)，止于负电荷 或无穷远处），在没有电荷处不中断； ），在没有电荷处不中断 （或无穷远处），在没有电荷处不中断； 不会相交； 任意两条电场线不会相交 2) 任意两条电场线不会相交； 电场线不会形成闭合曲线。 3) 电场线不会形成闭合曲线。 闭合曲线 这些基本性质是由静电场的基本性质和场的单值 性决定的， 性决定的，可用静电场的基本性质方程加以证明
Q R o
E1 o S1 r P
∫ E 1⋅ d S
S
1
=
∫
S
1
EdS 1
2
= E 1∫ dS = E1 4 π r
S
1
15
根据高斯定律解方程
E 1 4π r
2
=
∑ qi
i
∫ E ⋅ dS =
S
∑q
i
i内
ε0
ε0
E1 =
Q 4π ε 0 r
2
(2) 求球面内 r < R 的场强 E2 =? 过场点 P 做半径为 r 的球面 S2(高斯面 。 的球面 高斯面)。 高斯面 ∑ qi Q R E 2 4π r 2 = i
24
(B)
E x
均匀带电的无限长的直线, 例4 均匀带电的无限长的直线,线密度 求: 场强 E=? 解: 1.分析场的对称性. 1.分析场的对称性. 分析场的对称性
λ
2.取圆柱面为高斯面通 2.取圆柱面为高斯面通 过场点P. 过场点P.
P
r
λ
λ r L
S1⊥E
S1 E S3 S2
S2⊥E S3//E
=
S4 qn
∫
(E ∫
S4
S4
1
+ E 2 + ... + E n + i ⋅ dS
)
= ∫ E1 ⋅ dS + ... + ∫ En+i ⋅ dS
S4 S4
qn+i
=
ε0
q1
+
ε0
q2
+ ... +
ε0
1
qn
+ 0 + ... + 0
∫ E ⋅ dS = ε ∑ q
S4 0 s内
int
9
(3) 源电荷为连续带电体
r
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利用高斯定律求静电场的解题步骤 利用高斯定律求静电场的解题步骤: 解题步骤
1. 根据电荷分布的对称性 分析电场分布的对称性 根据电荷分布的对称性,分析电场分布的对称性 2. 选好通过场点的封闭曲面 高斯面) 选好通过场点的封闭曲面(高斯面 高斯面 的原则： 选取高斯面 S 的原则： 1) S 需通过场点（待求点） 需通过场点（待求点） 2) 在 S上待求点处 E ∥ dS 且等大 ∫ E ⋅ dS = E ∫ dS， 上待求点处