抛物线与相似综合问题

抛物线与相似综合问题
【典型例题】如图①，抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，-3)，设抛物线的顶点为D .
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？；
（3）探究坐标轴上是否存在点p ，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
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1.如图①，抛物线y=-x2 +b x +c与直线y=x+5 交于坐标轴上B、C两点，抛物线交x轴于另一点A.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，PN⊥x轴，垂足为N点，交BC于M点，BC将△PBN的面积分成相等的两部分，求P点坐标；
（3）在（2）中，点K在抛物线上，且在第四象限，KE⊥y轴，垂足为E，是否存在这样的点K，使△PBN∽△OKE（BN与EK为对应边），若存在，求出K点坐标．
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2
2.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线y=-
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4(x -2)2 +c 与x 轴交于A 、B 两点，（点A 在
点B 左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其顶点为M ，MH ⊥x 轴于点H ，MA 交y 轴于点N ，sin ∠MOH=
5
52.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）过H 的直线与y 轴相交于点P ，过O 、M 两点作直线PH 的垂线，垂足分别为F 、E ，若
HF
HE =2
1时，求点P 的坐标；
（3）将（1）中的抛物线沿y 轴折叠，使点A 落在点D 处，连接MD ，Q 为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ 交x 轴于点G ，当Q 点在抛物线上运动时，是否存在点Q ，使△
ANG 与△ADM 相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG 的解析式；若不存在，请说明理由．
3.已知：如图，一次函数y=
2
1x +1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=
2
1x 2 +b x +c 的图象与一次函数y=2
1
x +1的图象交于
B 、
C 两点，与x 轴交于
D 、
E 两点，且D 点坐标为(1，0).
（1）求二次函数解析式；
（2）求四边形BDEC 的面积S ； （3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．
4.设抛物线y=a x 2 +b x -2与x 轴交于两个不同的点A (-1，0) 、B (m ，0) ，与y 轴交于点C.且∠ACB=90ｏ.
（1）求m 的值；
（2）求抛物线的解析式，并验证点D (1，-3) 是否在抛物线上；
（3）已知过点A 的直线y=x +1交抛物线于另一点E. 问：在x 轴上是否存在点P ，使以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似？若存在，请求出所有符合要求的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图①，在平面直角坐标系中，有点M (0，-m) 、D (-4
2
m ，0) ，且∠BMD=90ｏ
，（m>0），
抛物线y=a x 2
+(a +4)x +4过点B ，与x 轴交于A 点，与y 轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在抛物线上，直线PC 交直线MD 于N ，若有MN=MB ，求P 点的坐标；
（3）如图②，点E 在第四象限，且∠AEB=90ｏ，对称轴交x 轴于S 点，直线y=x +1交抛物线对称轴于F 点，连EF ，BK 平分∠ABE 交EF 于K ，KG ⊥AB 于G ，则EF
KG
+AS 的值是
否发生变化，若不变，求其值．
6.如图①，已知抛物线的顶点为A(2，1) ，且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求一点M ，使得△AOM 的内心正好在直线y=-x 上；
（3）连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．
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N。