二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题

.二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数1．（2014•）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值围．考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值．专题：计算题．分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；（2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的围．解答：解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入得：，解得：k=，b=0，∴直线BC解析式为y=x，当x=1时，y=，则t的围为﹣4≤t≤．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．2．（2011•石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）．（1）求抛物线顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．专题：探究型．分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式；（2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），∵C点坐标为（0，4），∴a=﹣，（1分）∴解析式为y=﹣x2+x+4，顶点D坐标为（1，）；（2分）（2）直线CD解析式为y=kx+b．则，，∴，∴直线CD解析式为y=x+4，（3分）∴E（﹣8，0），F（4，6），若抛物线向下移m个单位，其解析式y=﹣x2+x+4﹣m（m＞0），由消去y，得﹣x2+x﹣m=0，∵△=﹣2m≥0，∴0＜m≤，∴向下最多可平移个单位．（5分）若抛物线向上移m个单位，其解析式y=﹣x2+x+4+m（m＞0），方法一：当x=﹣8时，y=﹣36+m，当x=4时，y=m，要使抛物线与EF有公共点，则﹣36+m≤0或m≤6，∴0＜m≤36；（7分）方法二：当平移后的抛物线过点E（﹣8，0）时，解得m=36，当平移后的抛物线过点F（4，6）时，m=6，由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度，（7分）综上，要使抛物线与EF有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移个单位．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题，有一定的难度．3．（2013•丰台区一模）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值围．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．分析：（1）确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解析式．（2）求出两个边界点，继而可得出n的取值围．解答：解：（1）因为M（1，﹣4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，所以y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3，（2）令x2﹣2x﹣3=0，解之得：x1=﹣1，x2=3，故A，B两点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）．如图，当直线y=x+n（n＜1），经过A点时，可得n=1，当直线y=x+n经过B点时，可得n=﹣3，∴n的取值围为﹣3＜n＜1，翻折后的二次函数解析式为二次函数y=﹣x2+2x+3当直线y=x+n与二次函数y=﹣x2+2x+3的图象只有一个交点时，x+n=﹣x2+2x+3，整理得：x2﹣x+n﹣3=0，△=b2﹣4ac=1﹣4（n﹣3）=13﹣4n=0，解得：n=，∴n的取值围为：n＞，由图可知，符合题意的n的取值围为：n＞或﹣3＜n＜1．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第二问，关键是求出边界点时n的值．4．（2009•）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值围．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）综合根的判别式及k的要求求出k的取值；（2）对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；（3）求出新抛物线与x轴的交点坐标，再分别求出直线y=x+b经过点A、B时的b的取值，进而求出其取值围．本题第二问是难点，主要是不会借助计算淘汰不合题意的k值．解答：解：（1）由题意得，△=16﹣8（k﹣1）≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k=1，2，3；（2）设方程2x2+4x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣2，x1•x2=．当k=1时，方程2x2+4x+k﹣1=0有一个根为零；当k=2时，x1•x2=，方程2x2+4x+k﹣1=0没有两个不同的非零整数根；当k=3时，方程2x2+4x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1．综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意．当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x2+4x﹣6；（3）设二次函数y=2x2+4x﹣6的图象与x轴交于A、B两点，则A（﹣3，0），B（1，0）．依题意翻折后的图象如图所示．当直线y=x+b经过A点时，可得b=；当直线y=x+b经过B点时，可得b=﹣．由图象可知，符合题意的b（b＜3）的取值围为＜b＜．（3）依图象得，要图象y=x+b（b小于k）与二次函数图象有两个公共点时，显然有两段．而因式分解得y=2x2+4x﹣6=2（x﹣1）（x+3），第一段，当y=x+b过（1，0）时，有一个交点，此时b=﹣．当y=x+b过（﹣3，0）时，有三个交点，此时b=．而在此中间即为两个交点，此时﹣＜b＜．第二段，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折后，开口向下的部分的函数解析式为y=﹣2（x﹣1）（x+3）．显然，当y=x+b与y=﹣2（x﹣1）（x+3）（﹣3＜x＜1）相切时，y=x+b与这个二次函数图象有三个交点，若直线再向上移，则只有两个交点．因为b＜3，而y=x+b（b小于k，k=3），所以当b=3时，将y=x+3代入二次函数y=﹣2（x﹣1）（x+3）整理得，4x2+9x﹣6=0，△＞0，所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合的二次函数图象相交只有两个公共点．这种情况故舍去．综上，﹣＜b＜．点评：考查知识点：一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次函数的结合等问题．不错的题目，难度不大，综合性强，考查面广，似乎是一个趋势或热点．5．（2012•东城区二模）已知关于x的方程（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值围；（2）若正整数m满足8﹣2m＞2，设二次函数y=（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式可求m的取值围；（2）先求出正整数m的值，从而确定二次函数的解析式，得到解析式与x轴交点的坐标，由图象可知符合题意的直线y=kx+3经过点A、B．从而求出k的值．解答：解：（1）△=（4﹣m）2﹣12（1﹣m）=（m+2）2，由题意得，（m+2）2＞0且1﹣m≠0．故符合题意的m的取值围是m≠﹣2且m≠1的一切实数．（2）∵正整数m满足8﹣2m＞2，∴m可取的值为1和2．又∵二次函数y=（1﹣m）x2+（4﹣m）x+3，∴m=2．…（4分）∴二次函数为y=﹣x2+2x+3．∴A点、B点的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）．依题意翻折后的图象如图所示．由图象可知符合题意的直线y=kx+3经过点A、B．可求出此时k的值分别为3或﹣1．…（7分）注：若学生利用直线与抛物线相切求出k=2也是符合题意的答案．点评：本题考查了二次函数综合题．（1）考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．（2）得到符合题意的直线y=kx+3经过点A、B是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+mx+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（4，n）在这条抛物线上．（1）求B点的坐标；（2）将此抛物线的图象向上平移个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值围．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）把原点坐标代入抛物线，解关于m的一元二次方程得到m的值，再根据二次项系数不等于0确定出函数解析式，再把点B坐标代入函数解析式求出n的值，即可得解；（2）根据向上平移纵坐标加解答即可；（3）把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉y得到关于x的一元二次方程，根据△=0求出b的值，然后令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标，再求出直线经过抛物线与x轴左边交点的b值，然后根据图形写出b 的取值围即可．解答：解：（1）∵抛物线经过原点O，∴m2﹣3m+2=0，解得m1=1，m2=2，当m=1时，﹣=﹣=0，∴m=2，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x，∵点B（4，n）在这条抛物线上，∴n=﹣×42+3×4=﹣8+12=4，∴点B（4，4）；（2）∵抛物线的图象向上平移个单位，∴平移后的图象的解析式y=﹣x2+3x+；（3）联立，消掉y得，﹣x2+3x+=x+b，整理得，x2﹣5x+2b﹣7=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（2b﹣7）=0，解得b=，令y=0，则﹣x2+3x+=0，整理得，x2﹣6x﹣7=0，解得x1=﹣1，x2=7，∴抛物线与x轴左边的交点为（﹣1，0），当直线y=x+b经过点（﹣1，0）时，×（﹣1）+b=0，解得b=，∴当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值围为b＞或b＜．点评：本题是二次函数综合题，主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，难点在于（3）求出直线与抛物线有三个交点时的b值，作出图形更形象直观．7．关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象与x轴有交点，k为正整数．（1）求k的值；（2）当关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1与x轴的交点的横坐标均是负整数时，将关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象向下平移4个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=（b＜3）与此图象有两个公共点时，b的取值围．考点：二次函数综合题．分析：（1）综合根的判别式及k的要求，求出k的取值；（2）对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；（3）求出新抛物线与x轴的交点坐标，再分别求出直线y=x+b经过点A、B时的b的取值，进而求出其取值围．解答：解：（1）由题意得，△=4﹣4（k﹣1）≥0．∴k≤2．∵k为正整数，∴k=1，2；（2）设方程x2+2x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣2，x1•x2=k﹣1．当k=1时，图象y=x2+2x+k﹣1与x轴有一个交点为（0，0），不合题意；当k=2时，图象y=x2+2x+k﹣1与x轴有一个交点为（﹣1，0），符合题意；综上所述，k=2符合题意．当k=2时，二次函数为y=x2+2x+1，把它的图象向下平移4个单位得到的图象的解析式为：y=x2+2x﹣3；（3）设二次函数y=x2+2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，则A（﹣3，0），B（1，0）．依题意翻折后的图象如图所示．当直线y=x+b经过A点时，可得b=；当直线y=x+b经过B点时，可得b=﹣．由图象可知，符合题意的b（b＜3）的取值围为：﹣＜b＜．点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次函数的结合等问题．不错的题目，难度不大，综合性强．8．（2014•东城区一模）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值围．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）列式表示出根的判别式△，再根据△＞0，方程有两个不相等的实数根证明；（2）利用求根公式法求出x1、x2，然后代入关系式整理即可得解；（3）作出函数图象，然后求出m=2时的函数值与以及m=1时的翻折图象的对应点的坐标，再代入直线解析式求出b值，然后结合图形写出b的取值围即可．解答：（1）证明：△=（4m+1）2﹣4m（3m+3）=4m2﹣4m+1=（2m﹣1）2，∵m＞1，∴（2m﹣1）2＞0，∴方程有两个不等实根；（2）解：x=，∴两根分别为=3，=1+，∵m＞1，∴0＜＜1，∴1＜1+＜2，∵x1＞x2，∴x1=3，x2=1+，∴y=x1﹣3x2，=3﹣3（1+），=﹣，所以，这个函数解析式为y=﹣（m＞1）；（3）解：作出函数y=﹣（m＞1）的图象，并将图象在直线m=2左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示，m=2时，y=﹣，m=1时，y=﹣=﹣3，∴函数图象直线m=2左侧部分翻折后的两端点坐标为（3，﹣3），（2，﹣），当m=3时，2×3+b=﹣3，解得b=﹣9，当m=2时，2×2+b=﹣，解得b=﹣，所以，此图象有两个公共点时，b的取值围﹣9＜b＜﹣．点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了根的判别式，求根公式法解一元二次方程，一次函数与反比例函数交点问题，难点在于（3）确定出翻折部分的两个端点的坐标以及有两个交点时的b的取值围，作出图形更形象直观．9．（2013•门头沟区一模）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当m＜3时，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线与图象G只有一个公共点时，b的取值围．考点：二次函数综合题．分析：（1）运用根的判别式就可以求出△的值就可以得出结论；（2）先当x=0或y=0是分别表示出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，表示出AB、OC的值，由2AB=3OC建立方程即可求出m的值；（3）把（2）m的值代入抛物线的解析式就可以求出抛物线的解析式和C点的坐标，当直线经过点C时就可以求出b的值，由直线与抛物线只有一个公共点建立方程，根据△=0就可以求出b的值，再根据图象就可以得出结论．解答：解：（1）根据题意，得△=（m﹣2）2﹣4××（2m﹣6）=（m﹣4）2，∵无论m为任何数时，都有（m﹣4）2≥0，即△≥0．∴无论m取任何实数，方程都有两个实数根；（2）由题意，得当y=0时，则，解得：x1=6﹣2m，x2=﹣2，∵m＜3，点A在点B的左侧，∴A（﹣2，0），B（﹣2m+6，0），∴OA=2，OB=﹣2m+6．当x=0时，y=2m﹣6，∴C（0，2m﹣6），∴OC=﹣（2m﹣6）=﹣2m+6．∵2AB=3OC，∴2（2﹣2m+6）=3（﹣2m+6），解得：m=1；（3）如图，当m=1时，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4，点C的坐标为（0，﹣4）．当直线y=x+b经过点C时，可得b=﹣4，当直线y=x+b（b＜﹣4）与函数y=x2﹣x﹣4（x＞0）的图象只有一个公共点时，得x+b═x2﹣x﹣4．整理得：3x2﹣8x﹣6b﹣24=0，∴△=（﹣8）2﹣4×3×（﹣6b﹣24）=0，解得：b=﹣．结合图象可知，符合题意的b的取值围为b＞﹣4或b＜﹣．点评：本题是一道一次函数与二次函数的综合试题，考查了一元二次方程根的判别式的运用，二次函数与坐标轴的交点坐标的运用，轴对称的性质的运用，解答时根据函数之间的关系建立方程灵活运用根的判别式是解答本题的关键．。