26.4.8二次函数与直线的交点
二次函数与直线的位置关系与判定
二次函数与直线的位置关系与判定二次函数和直线是高中数学中重要的概念，它们在数学建模、物理学、经济学等领域起着重要的作用。
本文将讨论二次函数与直线之间的位置关系以及判定方法。
1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由系数 $a$ 的正负决定。
当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。
2. 直线的一般形式直线的一般形式为：$y=kx+d$，其中$k$和$d$为常数。
直线的图像是一条无限延伸的直线，斜率 $k$ 决定了直线的倾斜程度。
3. 位置关系与判定方法二次函数与直线之间的位置关系可分为三种：相交、相切和相离。
3.1 相交关系当二次函数的图像与直线的图像有交点时，它们相交。
判定二次函数与直线相交的方法是解方程组。
将二次函数和直线的方程联立，解得交点的坐标$(x_1, y_1)$，然后将坐标代入二次函数和直线的方程中，验证是否成立。
若成立，则二次函数与直线相交。
3.2 相切关系当二次函数的图像与直线的图像有且仅有一个公共切点时，它们相切。
判定二次函数与直线相切的方法是判断它们是否有重根。
将二次函数的方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 进行计算，若$\Delta=0$，则二次函数与直线相切。
3.3 相离关系当二次函数的图像与直线的图像没有公共的交点或切点时，它们相离。
判定二次函数与直线相离的方法是通过直线与二次函数的图像关系分析。
4. 示例分析以下通过几个示例来说明二次函数与直线的位置关系与判定方法。
示例1：给定二次函数 $y=x^2-4x+3$ 和直线 $y=2x-1$，判断它们的位置关系。
解：将二次函数和直线的方程联立，得到方程 $x^2-4x+3=2x-1$。
化简后得到 $x^2-6x+4=0$。
计算判别式 $\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot4=20$，因为$\Delta>0$，所以二次函数和直线有两个交点。
计算二次函数与直线的交点
计算二次函数与直线的交点二次函数和直线的交点计算是高中数学中的常见问题，本文将介绍如何计算二次函数与直线的交点，并提供相应的计算方法和示例。
首先，我们需要了解二次函数和直线的一般表达式。
二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
直线的一般表达式为 y = mx + k，其中 m 和 k 为常数。
计算二次函数和直线的交点，就是要找到满足二者方程组的解。
将二次函数和直线的方程联立，可以得到以下方程组：ax^2 + bx + c = mx + k为了求解方程组的解，我们可以使用以下两种方法。
方法一：联立方程法1. 将二次函数和直线的方程联立，得到 ax^2 + (b-m)x + (c-k) = 0。
2. 根据二次方程的一般解公式，可以求得 x 的两个解：x1 = (-b+m+√(b^2-2am+2bm+m^2-4ac+4ak))/(2a) 和 x2 = (-b+m-√(b^2-2am+2bm+m^2-4ac+4ak))/(2a)。
3. 将得到的 x 代入二次函数或直线的方程中，可以得到对应的 y 值。
4. 最终的交点坐标为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，即为二次函数与直线的交点。
方法二：平方差法1. 将二次函数和直线的方程联立，得到 ax^2 + (b-m)x + (c-k) = 0。
2. 计算平方差 b^2 - 4ac + 4ak - 2am + 2bm + m^2，并记为Δ。
3. 如果Δ 大于零，方程有两个不相等的实数解，可以继续计算。
a) 计算 x1 = (-b+m+√Δ)/(2a)。
b) 计算 y1 = mx1 + k，得到对应的 y 值。
c) 计算 x2 = (-b+m-√Δ)/(2a)。
d) 计算 y2 = mx2 + k，得到另一个交点的 y 值。
e) 最终的交点坐标为 (x1, y1) 和 (x2, y2)。
4. 如果Δ 等于零，方程有且只有一个实数解。
初中数学 二次函数的图像与直线的关系如何确定
初中数学二次函数的图像与直线的关系如何确定在初中数学中，我们可以使用二次函数与直线的关系来确定二者的图像特征和相交情况。
下面将详细介绍如何通过二次函数与直线的关系来确定它们的图像特征：1. 二次函数与直线的图像特征：-如果二次函数与直线相交于两个不同的点，那么它们的图像将有两个交点。
这意味着二次函数与直线会有两个交点的横坐标。
-如果二次函数与直线相交于一个点，那么它们的图像将有一个交点。
这意味着二次函数与直线会有一个交点的横坐标。
-如果二次函数与直线没有交点，那么它们的图像将不相交。
这意味着二次函数与直线没有交点的横坐标。
2. 通过联立方程解二次函数与直线的交点：-将二次函数的表达式与直线的表达式联立成方程组，然后解方程组可以求得它们的交点坐标。
方程组的解即为二次函数与直线的交点。
-将二次函数的表达式与直线的表达式相等，然后解方程可以求得它们的交点的横坐标。
将横坐标代入二次函数的表达式中可以求得交点的纵坐标。
3. 通过比较二次函数与直线的斜率：-如果二次函数的斜率与直线的斜率相等，那么它们的图像将平行，没有交点。
-如果二次函数的斜率大于直线的斜率，那么它们的图像将相交于两个不同的点。
-如果二次函数的斜率小于直线的斜率，那么它们的图像将不相交。
4. 通过观察二次函数与直线的图像特征：-观察二次函数与直线的图像特征，如开口方向、顶点位置等。
通过这些特征可以大致判断二次函数与直线的相交情况。
-如果二次函数的开口方向与直线的斜率方向相反，并且它们的图像没有交点，那么它们将是相离的。
-如果二次函数的开口方向与直线的斜率方向相同，并且它们的图像没有交点，那么它们将是相切的。
通过以上方法，我们可以通过二次函数与直线的关系来确定它们的图像特征和相交情况。
这个过程需要联立方程解交点、比较斜率、观察图像特征等。
在初中数学中，理解二次函数与直线的关系对于分析函数的性质和应用具有重要意义。
二次函数的交点问题
二次函数的交点问题
二次函数作为初中的最重要知识点，一直以考法多样著称。
今天给大家总结分享的是二次函数的交点问题，是二次函数中中等难度的知识点，但考频却非常高，复习时一定要重点关注。
二次函数交点问题主要会涉及到与水平直线、竖直直线、一次函数的交点问题，会考察交点坐标的求法、交点个数的分类讨论，对于计算的要求非常高，特别考验学生平时的基本功~比较难的题型还会结合二次函数的几何变化，题目中会将二次函数的图象的一部分沿x轴或者y轴进行对称，得到新的函数图象，再去研究直线与新图像的交点个数。
因为会涉及到一次函数与二次函数的交点问题，所以对于学生不仅要对二次函数的知识点掌握的比较好，而且也要对于一次函数能够熟练应用。
经常会涉及到一次函数旋转、平移两种形式的交点问题，这部分知识点对于不少学生也有很大压力~。
二次函数的顶点式和交点式
二次函数的顶点式和交点式二次函数，这个名字听起来有点高大上，其实它就像我们生活中的一部分，虽说它的公式和图形看起来有些复杂，但实际上很有趣哦。
说到二次函数，首先要提到的是它的顶点式和交点式。
嘿，别紧张，我会把它们说得轻松点，咱们就像朋友聊天一样。
你想象一下，二次函数就像一条弯弯曲曲的山路，顶点就像山顶，交点就是路和地面的交汇。
顶点式呢，简直就像个小秘密，它让我们轻松找到那座山的最高点，公式是 y =a(x h)² + k，里面的 h 和 k 就是顶点的坐标。
听起来复杂，但其实就像把一个拼图拼好，找到对的位置，哎呀，爽快得很！再来说说交点式，它的样子就像个大招牌，标明了这条路的起点和终点。
公式是 y = ax² + bx + c，a、b、c 听起来像是朋友的名字，实际是这条曲线的构成要素。
交点式的魅力在于，它能告诉你这条曲线和 x 轴、y 轴的交点在哪儿。
想想看，如果你开车在山路上，看到路牌就知道该往哪儿走，交点式就有点这个意思，明明白白的！你可以通过求解方程来找到这些交点，简直就是在解谜一样，乐趣无穷。
有些小伙伴可能会觉得，哎呀，数学真无聊。
其实不然，咱们可以把二次函数想象成一个炫酷的游戏。
顶点式和交点式就像游戏里的两个角色，各自有各自的任务。
顶点式负责告诉你“嘿，我在这里，快来找我！”而交点式则告诉你“喂，看看这条线在哪儿交错！”这两个角色互相配合，让整个数学世界变得丰富多彩。
大家平常在生活中遇到的很多情况，比如抛物线的运动，都是二次函数在默默发挥作用呢，真是不可思议。
说到这里，不禁让我想到一个有趣的例子。
想象一下，你扔了一颗球，它的轨迹就是一条抛物线。
球的最高点就是顶点，而它落地的地方就是交点。
这种情况在生活中可常见了，咱们出去玩的时候，投个球，扔个飞盘，这些都能感受到二次函数的魅力，感觉自己就像个数学家，哈哈！这些公式的背后其实是很美妙的自然规律，有种“天人合一”的感觉。
二次函数与线段交点问题
二次函数与线段交点问题二次函数与线段交点问题是数学中常见的一个问题，也是实际生活中经常遇到的一个问题。
在数学中，一般将二次函数表示为y = ax² + bx + c的形式，其中a、b、c分别是二次函数的系数。
而线段可以用两个点来确定，假设直线上有两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)。
为了解决二次函数与线段交点的问题，我们需要确定交点的x、y坐标。
其中，x坐标可以通过解二次方程来确定，y坐标则可以通过将x坐标带入二次函数中得出。
下面分别详细介绍解决这个问题的步骤。
第一步：确定交点的x坐标为了确定交点的x坐标，我们可以将二次函数和直线的方程相等，即ax² + bx + c = y = mx + n。
将这两个方程相等，我们可以得到一个二次方程：ax² + (b-m)x + (c-n) = 0。
这是一个一元二次方程，我们可以通过求根公式或者配方法等方式求解x的值。
第二步：确定交点的y坐标有了交点的x坐标，我们可以将其带入二次函数的方程中，即y = ax² + bx + c，求得交点的y坐标。
第三步：判断交点是否在线段上在确定了交点的坐标后，我们需要判断该点是否在给定线段上。
这可以通过比较交点的x和y坐标是否在两个端点的x和y坐标之间来确定。
如果交点的x坐标在端点的x坐标之间，并且交点的y坐标在端点的y坐标之间，那么该点就在线段上。
需要注意的是，如果二次函数与线段没有交点，或者交点在线段的延长线上而不在线段上，那么交点就不存在。
以上就是解决二次函数与线段交点问题的一般步骤。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况进行调整和优化，比如使用数值解法来求解方程，或者使用向量和点的方法来确定交点的位置等。
总结起来，二次函数与线段交点问题是一个重要但又常见的数学问题。
通过求解方程，我们可以确定交点的坐标，进而判断交点是否在给定线段上。
这个问题在实际应用中有很多应用，比如计算几何、图像处理等。
探究二次函数与线段交点问题的重新解析
探究二次函数与线段交点问题的重新解析1. 引言二次函数和线段交点问题是数学中的常见问题，它们在几何学、代数学和物理学等领域中都有广泛的应用。
通过重新解析这个问题，我们可以更全面、深入地理解二次函数和线段之间的关系，并探讨不同情况下的解决方法。
2. 二次函数与线段的基本概念让我们回顾一下二次函数和线段的基本概念。
二次函数是指具有形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c分别为常数。
线段是指两个点之间的直线部分。
二次函数与线段交点问题即是研究在给定二次函数和线段的情况下，找到它们的交点的位置、数量和特性。
3. 引入解析几何方法解析几何为我们提供了一种便捷的方式来解决二次函数与线段交点问题。
通过坐标系，我们可以将二次函数和线段表示为方程，并通过求解方程组来找到它们的交点。
下面，我们将分别讨论一元二次函数和线段的情况。
4. 解析一元二次函数与线段的交点问题对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c和线段的情况，我们可以将二次函数与线段的方程相等，得到一个二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以确定二次函数与线段的交点的横坐标。
我们需要将线段的两个端点表示为坐标形式，如(A, B)。
我们将其代入二次函数的方程，得到一个二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到相应的横坐标。
如果这个横坐标处于线段内部（即在两个端点的横坐标范围内），我们可以通过代入横坐标得到相应的纵坐标。
5. 解析二元二次函数与线段的交点问题对于二元二次函数f(x, y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f和线段的情况，我们可以将二元二次函数与线段的方程相等，得到一个二次方程组。
通过求解这个二次方程组，我们可以确定二元二次函数与线段的交点坐标。
同样地，我们需要将线段的两个端点表示为坐标形式。
(x1, y1)和(x2,y2)。
我们将其代入二元二次函数的方程，得到一个二次方程组。
通过求解这个二次方程组，我们可以得到相应的交点坐标。
二次函数线段及交点问题
二次函数线段及交点问题专题八：二次函数之线段及交点问题求线段长度例题1 ：在平面直角坐标系中，抛物线y=?12x2+52x?2与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C。
（1）如图1，连接AC、BC，求△ABC的面积。
（2）如图2：①过点C作CR∥x轴交抛物线于点R，求点R的坐标；②点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P坐标。
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P 作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF= ?4√2a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长。
练习1 . 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x 轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD 于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d 与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．x2+bx+c与x轴交于A（﹣练习2 . 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= 321，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC．①求n的值；②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD 是否全等？请说明理由；（3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为5．求点H到OM'的距离d的值．3求线段之间关系例题1 ：已知直线y=k x+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，说明线段DE和CO的数量关系。
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① △＞0 ② △＝0
抛物线与直线有两个交点； 抛物线与直线有唯一的交点； ③ △＜0 抛物线与直线无交点。
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B， 且过点C（0，3）， （1）求该抛物线的解析式；
（0，3）
（1，0）
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B，且 过点C（0，3）， （2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 △PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积 最大值；若没有，请说明理由 y=-x2-2x+3
（-3，0）
y=x+3 ∴△PBC的面积S是P点边BC距离的函数
（0，3）
设P点边BC的距离为h
S=
1 3 2 h 2
（1，0） ∴在图象上找到边BC距离最远的点
∴平移边BC使之与图象只有一个交 《求几何图形中的最值 》的步骤 点处最远
⑴建立以关注变量为函数的函数关系式.⑵确定自变量x的取值范围. ⑶画出函数图象 ⑷利用函数图象看出最值
y
y 3x 2 6 x 5
⑴与y轴的交点: 令x=0,则y= 5, 与y轴交点坐标为(0,5)
⑵与x轴的交点: 令y=0,则 3x² -6x+5=0 △=b2-4ac =(-6)2-4×3×5 <0 ∴此一元二次方程无实根 抛物线与x轴的无交点
y=0
O x
X=0
练一练
1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、 4 B两点，则AB的长为 . 2、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点 则b= 4或-4。 3．二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴 （D ） A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
21 4
的交点
3.y=-x2-2x+3与y=x+6的交点
y=-x2-2x+3
二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+b如何求交点坐标？
y=ax2+bx+c 1.建立方程组 y=kx+b 2.消元，化方程组为一元二次方程ax2+bx+c=kx+b
{
3.解这个方程，得到x的值，再得到对应的y值。 消元后的一元二次方程的根的情况有三种,故交点 的情况有三种:
F M O M1 N1
二次函数y=1/8x2的图像如图所示，过y轴上一点M(0,2)的直线交抛物线 于A、B两点，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D,
(1)当A点的横坐标为-2时，求点B的坐标 （2）在（1）的情况下，分别过点A/B做AE ⊥x轴于E, BF⊥x轴于F,在 EF上是否存在一点P,使∠ APB=90°,若存在，求点P的坐标，若不存 在，说明理由。 （3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求AC· BD的值。
练一练
4、已知二次函数 y围是( B )
7 A、 k ≥ 4 7 C、 k ＞ 4
7 B、k≥ 且k 0 4 7 D、 k ＞ 且 k 0 4
求抛物线与直线的交点
1.y=-x2-2x+3与y=x+5的交点 2.y=-x2-2x+3与y=x+
求抛物线与坐标轴的交点
y
y=x² -2x+1
(0,1)
⑴与y轴的交点: 令x=0,则y=1 , 与y轴交点坐标为(0,1)
⑵与x轴的交点: 令y=0,则 x² -2x+1=0 (x-1)(x-1)=0 x1=1,x2=1 ∴与x轴的交点坐标为 （1，0）
y=0
O
（1 ，0 ）
x
X=0
求抛物线与坐标轴的交点
y
二次函数与直线的交点
O
x
求抛物线与坐标轴的交点
y
y=x² -2x-8
y=0（-2，0)
O
⑴与y轴的交点: 令x=0,则y= -8, 与y轴交点坐标为(0,-8)
⑵与x轴的交点: 令y=0,则
(-4，0)
x
(0,-8) X=0
x² -2x-8=0 (x-4)(x+2)=0 x1=4,x2=-2 ∴与x轴的交点坐标为 （-2，0），（-4，0）
如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度；
如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线 BM和抛物线的解析式；
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B，且 过点C（0，3）， （2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 △PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积 最大值；若没有，请说明理由 y=x+b y=-x2-2x+3 P点到边BC的距离
P
P
E
如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P ，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由．
如图所示，过点F(0,1)的直线y=kx+b的直线与抛物线y=1/4x2交与 M(x1，y1)、N(x2,y2)两点（其中x1<0,x2>0) (1)求b的值 （2）求x1· x2的值 （3）分别过M、N做直线l: y=-1的垂线，垂足分别为M1、N1，连接 FM1、FN1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论。 （4）对于过点F的任意直线MN,是否存在一条任意直线m,使m与以 MN为直径的圆相切？若存在，试求出这条直线m的解析式，若不存 在，说明理由。 N
S△PBC= 3 n
2
（0，3）
2
9 n 2
2
P点的位置
(n,
-n2-2n+3
3 3 27 n 2 2 8
P点的横坐标
P
∴△PBC的面积是P点横坐标的函数
（1，0）
∴设P点横坐标的为n ∴设P点坐标为(n, -n2-2n+3)
（-3，0） E (n)
《求几何图形中的最值 》的步骤 ⑴建立以关注变量为函数的函数关系式.⑵确定自变量x的取值范围. ⑶画出函数图象 ⑷利用函数图象看出最值