26.4.8二次函数与直线的交点
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的交点
3.y=-x2-2x+3与y=x+6的交点
y=-x2-2x+3
二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+b如何求交点坐标？
y=ax2+bx+c 1.建立方程组 y=kx+b 2.消元，化方程组为一元二次方程ax2+bx+c=kx+b
{
3.解这个方程，得到x的值，再得到对应的y值。 消元后的一元二次方程的根的情况有三种,故交点 的情况有三种:
y
y 3x 2 6 x 5
⑴与y轴的交点: 令x=0,则y= 5, 与y轴交点坐标为(0,5)
⑵与x轴的交点: 令y=0,则 3x² -6x+5=0 △=b2-4ac =(-6)2-4×3×5 <0 ∴此一元二次方程无实根 抛物线与x轴的无交点
y=0
O x
X=0
练一练
1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、 4 B两点，则AB的长为 . 2、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点 则b= 4或-4。 3．二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴 （D ） A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P ，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由．
如图所示，过点F(0,1)的直线y=kx+b的直线与抛物线y=1/4x2交与 M(x1，y1)、N(x2,y2)两点（其中x1<0,x2>0) (1)求b的值 （2）求x1· x2的值 （3）分别过M、N做直线l: y=-1的垂线，垂足分别为M1、N1，连接 FM1、FN1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论。 （4）对于过点F的任意直线MN,是否存在一条任意直线m,使m与以 MN为直径的圆相切？若存在，试求出这条直线m的解析式，若不存 在，说明理由。 N
S△PBC= 3 n
2
（0，3）
2
9 n 2
2
P点的位置
(n,
-n2-2n+3
3 3 27 n 2 2 8
P点的横坐标
P
∴△PBC的面积是P点横坐标的函数
（1，0）
∴设P点横坐标的为n ∴设P点坐标为(n, -n2-2n+3)
（-3，0） E (n)
《求几何图形中的最值 》的步骤 ⑴建立以关注变量为函数的函数关系式.⑵确定自变量x的取值范围. ⑶画出函数图象 ⑷利用函数图象看出最值
练一练
4、已知二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴
有交点，则k的取值范围是( B )
7 A、 k ≥ 4 7 C、 k ＞ 4
7 B、k≥ 且k 0 4 7 D、 k ＞ 且 k 0 4
求抛物线与直线的交点
1.y=-x2-2x+3与y=x+5的交点 2.y=-x2-2x+3与y=x+
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B，且 过点C（0，3）， （2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 △PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积 最大值；若没有，请说明理由 y=x+b y=-x2-2x+3 P点到边BC的距离
P
P
E
F M O M1 N1
二次函数y=1/8x2的图像如图所示，过y轴上一点M(0,2)的直线交抛物线 于A、B两点，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D,
(1)当A点的横坐标为-2时，求点B的坐标 （2）在（1）的情况下，分别过点A/B做AE ⊥x轴于E, BF⊥x轴于F,在 EF上是否存在一点P,使∠ APB=90°,若存在，求点P的坐标，若不存 在，说明理由。 （3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求AC· BD的值。
求抛物线与坐标轴的交点
y
y=x² -2x+1
(0,1)
⑴与y轴的交点: 令x=0,则y=1 , 与y轴交点坐标为(0,1)
⑵与x轴的交点: 令y=0,则 x² -2x+1=0 (x-1)(x-1)=0 x1=1,x2=1 ∴与x轴的交点坐标为 （1，0）
y=0
O
（1 ，0 ）
x
X=0
求抛物线与坐标轴的交点
y
二次函数与直线的交点
O
x
求抛物线与坐标轴的交点
y
y=x² -2x-8
y=0（-2，0)
O
⑴与y轴的交点: 令x=0,则y= -8, 与y轴交点坐标为(0,-8)
⑵与x轴的交点: 令y=0,则
(-4，0)
x
(0,-8) X=0
x² -2x-8=0 (x-4)(x+2)=0 x1=4,x2=-2 ∴与x轴的交点坐标为 （-2，0），（-4，0）
如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度；
如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线 BM和抛物线的解析式；
① △＞0 ② △＝0
抛物线与直线有两个交点； 抛物线与直线有唯一的交点； ③ △＜0 抛物线与直线无交点。
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B， 且过点C（0，3）， （1）求该抛物线的解析式；
（0，3）
（1，0）
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B，且 过点C（0，3）， （2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 △PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积 最大值；若没有，请说明理由 y=-x2-2x+3
（-3，0）
y=x+3 ∴△PBC的面积S是P点边BC距离的函数
（0，3）
设P点边BC的距离为h
S=
1 3 2 பைடு நூலகம்h 2
（1，0） ∴在图象上找到边BC距离最远的点
∴平移边BC使之与图象只有一个交 《求几何图形中的最值 》的步骤 点处最远
⑴建立以关注变量为函数的函数关系式.⑵确定自变量x的取值范围. ⑶画出函数图象 ⑷利用函数图象看出最值
的交点
3.y=-x2-2x+3与y=x+6的交点
y=-x2-2x+3
二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+b如何求交点坐标？
y=ax2+bx+c 1.建立方程组 y=kx+b 2.消元，化方程组为一元二次方程ax2+bx+c=kx+b
{
3.解这个方程，得到x的值，再得到对应的y值。 消元后的一元二次方程的根的情况有三种,故交点 的情况有三种:
y
y 3x 2 6 x 5
⑴与y轴的交点: 令x=0,则y= 5, 与y轴交点坐标为(0,5)
⑵与x轴的交点: 令y=0,则 3x² -6x+5=0 △=b2-4ac =(-6)2-4×3×5 <0 ∴此一元二次方程无实根 抛物线与x轴的无交点
y=0
O x
X=0
练一练
1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、 4 B两点，则AB的长为 . 2、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点 则b= 4或-4。 3．二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴 （D ） A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P ，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由．
如图所示，过点F(0,1)的直线y=kx+b的直线与抛物线y=1/4x2交与 M(x1，y1)、N(x2,y2)两点（其中x1<0,x2>0) (1)求b的值 （2）求x1· x2的值 （3）分别过M、N做直线l: y=-1的垂线，垂足分别为M1、N1，连接 FM1、FN1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论。 （4）对于过点F的任意直线MN,是否存在一条任意直线m,使m与以 MN为直径的圆相切？若存在，试求出这条直线m的解析式，若不存 在，说明理由。 N
S△PBC= 3 n
2
（0，3）
2
9 n 2
2
P点的位置
(n,
-n2-2n+3
3 3 27 n 2 2 8
P点的横坐标
P
∴△PBC的面积是P点横坐标的函数
（1，0）
∴设P点横坐标的为n ∴设P点坐标为(n, -n2-2n+3)
（-3，0） E (n)
《求几何图形中的最值 》的步骤 ⑴建立以关注变量为函数的函数关系式.⑵确定自变量x的取值范围. ⑶画出函数图象 ⑷利用函数图象看出最值
练一练
4、已知二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴
有交点，则k的取值范围是( B )
7 A、 k ≥ 4 7 C、 k ＞ 4
7 B、k≥ 且k 0 4 7 D、 k ＞ 且 k 0 4
求抛物线与直线的交点
1.y=-x2-2x+3与y=x+5的交点 2.y=-x2-2x+3与y=x+
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B，且 过点C（0，3）， （2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 △PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积 最大值；若没有，请说明理由 y=x+b y=-x2-2x+3 P点到边BC的距离
P
P
E
F M O M1 N1
二次函数y=1/8x2的图像如图所示，过y轴上一点M(0,2)的直线交抛物线 于A、B两点，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D,
(1)当A点的横坐标为-2时，求点B的坐标 （2）在（1）的情况下，分别过点A/B做AE ⊥x轴于E, BF⊥x轴于F,在 EF上是否存在一点P,使∠ APB=90°,若存在，求点P的坐标，若不存 在，说明理由。 （3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求AC· BD的值。
求抛物线与坐标轴的交点
y
y=x² -2x+1
(0,1)
⑴与y轴的交点: 令x=0,则y=1 , 与y轴交点坐标为(0,1)
⑵与x轴的交点: 令y=0,则 x² -2x+1=0 (x-1)(x-1)=0 x1=1,x2=1 ∴与x轴的交点坐标为 （1，0）
y=0
O
（1 ，0 ）
x
X=0
求抛物线与坐标轴的交点
y
二次函数与直线的交点
O
x
求抛物线与坐标轴的交点
y
y=x² -2x-8
y=0（-2，0)
O
⑴与y轴的交点: 令x=0,则y= -8, 与y轴交点坐标为(0,-8)
⑵与x轴的交点: 令y=0,则
(-4，0)
x
(0,-8) X=0
x² -2x-8=0 (x-4)(x+2)=0 x1=4,x2=-2 ∴与x轴的交点坐标为 （-2，0），（-4，0）
如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度；
如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线 BM和抛物线的解析式；
① △＞0 ② △＝0
抛物线与直线有两个交点； 抛物线与直线有唯一的交点； ③ △＜0 抛物线与直线无交点。
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B， 且过点C（0，3）， （1）求该抛物线的解析式；
（0，3）
（1，0）
例:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与点A（1，0）与点B，且 过点C（0，3）， （2）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 △PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积 最大值；若没有，请说明理由 y=-x2-2x+3
（-3，0）
y=x+3 ∴△PBC的面积S是P点边BC距离的函数
（0，3）
设P点边BC的距离为h
S=
1 3 2 பைடு நூலகம்h 2
（1，0） ∴在图象上找到边BC距离最远的点
∴平移边BC使之与图象只有一个交 《求几何图形中的最值 》的步骤 点处最远
⑴建立以关注变量为函数的函数关系式.⑵确定自变量x的取值范围. ⑶画出函数图象 ⑷利用函数图象看出最值