二次函数的特殊形式
A复习22.1.1《二次函数》
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax2 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a 4.4 0 a 1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1x2 4.4
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四
象(C限)，y则二次函数 yy=ax2+bx-3 的y 大致图象是y
ox
ox
ox
ox
A -3
B -3
AB 30米,这时水面离桥顶的高度h是（）
A、5米 B、6米；C、8米；D、9米
y
x
0
h
A
B
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长
是8m，宽是2m，抛物线可以用 y 1 x2 4 4
表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道 吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车 是否可以通过？
·5 ·C
·
·
·
·
·· -3 –2
· o B·
–1 · 1
· 2
x
·
A·
·-3
-4
交点式： y a ( x x1 )( x x 2 )
y
例3 已知抛物线与x轴的两个交 点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过 点C(2，5)，求其解析式。
《二次函数》知识点总结(修改版)
《二次函数》主要知识点归纳（修改版）(何老师归纳)一、概念：形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
1：条件：① a不为零②最高项次数为2（整理后）③整式2：特殊：若a＝0 则y＝bx＋c 是一次函数3：若y＝0，则函数图象交于x轴，化为一元二次方程a x2＋bx + c =04：特殊解析式：形如y=kx²-2kx-3k这样各项都含参数k的二次函数，图像必过定点.（令y=0, 则kx²-2kx-3k=0，化掉参数k得：x²-2x-3=0）二、二次函数的几种基本形式1：2y ax=的性质:a越大，抛物线的开口越小，越靠近y轴2. 2y ax c=+的性质：平移规律：上加下减y。
3.()2y a x h=-的性质：平移规律：左加右减x。
y=3(x+4)2(x-2)2y=3x24.()2y a x h k=-+（顶点式）的性质：平移规律：左加右减x 。
上加下减y,5．2y ax bx c =++（一般式）的性质： 先将一般式2y ax bx c =++通过配方法化成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再对比顶点式，()2y a x h k =-+可得2424b ac b h k a a -=-=，．故两者性质相同。
三、二次函数2y ax bx c =++（或()2y a x h k =-+）图象及性质再归纳： 1：开口方向.①：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下； ②：a 相等，几条抛物线的开口大小、形状相同. ③：a 越大，抛物线的开口越小，越靠近y 轴 2：对称轴，直线abx 2-=（或直线x ＝h ） 3：顶点坐标：），（ab ac a b 4422-- 或（h,k ）4：增减性 ①：若0>a ，当x<a b 2-时，y 减；当x>a b2-时，y 增，简记：左减右增； ②：若0<a ，当x<a b 2-时，y 增；当x>ab2-时，y 减，简记：左增右减；5:最值 ⑴：若定义域是全体实数，则在顶点处取得最大值（或最小值），即:当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值，（或当x ＝h 时，最值是y ＝k ）2-32⑵: 若定义域是21x x x ≤≤， 则：①：若a b 2-在21x x x ≤≤内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；②：若ab2-不在21x x x ≤≤内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性， A: 若y 为增，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小； B: 若y 为减，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
5二次函数的图像与性质
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【详解】∵抛物线开口向下，∴ ，∵抛物线的对称轴为直线 ，∴ ，∵抛物线与 轴的交点在 轴上方，∴ ，
4、b2-4ac的符号由抛物线与x轴（或坐标轴）的交点个数确定：
①与x轴的交点个数
②与坐标轴交点个数
5、根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号：
常见:①x=1时，a +b +c的符号；②x=-1时，a -b+ c的符号；
③x=2时，4a+2b+c的符号；④x=-2时，4a-2b+c的符号；…….
例3：已知函数y=x2﹣2mx+2016（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），其中x1=﹣ +m，x2= +m，x3=m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
【答案】D 【解析】y=x2﹣2mx+2016=（x﹣m）2﹣m2+2016，
综上所述：正确的结论有①②④，共3个，故选B.
考点四：二次函数与方程和不等式
题型1、求一元二次方程解的取值范围
例1.二次函数 y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是()
A.x＜-1B.x＞2 C.-1＜x＜2D.x＜-1或x＞2
（例1图） （变式1） （变式2）
变式练习：
1.如图是二次函数 y＝ax2 ＋bx ＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是()
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2. 抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩ 解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（ ）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤． 故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（ ）A ．1B ．C ．D ．【思路点拨】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可． 【答案】D ． 【解析】解：∵y=﹣x 2+4x ﹣k=﹣（x ﹣2）2+4﹣k ， ∴顶点D （2，4﹣k ），C （0，﹣k ）， ∴OC=k ，∵△ABC 的面积=AB •OC=AB •k ，△ABD 的面积=AB （4﹣k ），△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k=（4﹣k ），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）2+5625，∵x 取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。
二次函数图像与性质(第1课时)
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
－4
你画出的图象与图中相同吗？
－2 －2 －4
请找出相同点与不同点：
－6
－8
y x2
4
增大
2
不同点：a 值越大，抛物线
的开口越小．
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数
y
x2,
y
1 2
x2,
y
2x2
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
9 6 3
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0， 0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是一种特殊的多项式函数，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且a ≠ 0。
这篇文章将总结二次函数与 a、b、c之间的关系。
一、a 的影响1. a 的正负：- 当 a > 0 时，二次函数开口朝上，图像在 y 轴的右侧向上延伸，形状类似 "U" 字；- 当 a < 0 时，二次函数开口朝下，图像在 y 轴的右侧向下延伸，形状也是 "U" 字。
2. a 的绝对值：- 当 |a| > 1 时，二次函数图像的开口较窄，抛物线较陡峭；- 当 |a| < 1 时，二次函数图像的开口较宽，抛物线较扁平。
二、b 的影响1. b 的正负：- 当 b > 0 时，二次函数图像向右平移；- 当 b < 0 时，二次函数图像向左平移。
2. b 的绝对值：- b 的绝对值越大，平移的距离越大。
三、c 的影响1. c 的正负：- 当 c > 0 时，二次函数图像向上平移；- 当 c < 0 时，二次函数图像向下平移。
2. c 的绝对值：- c 的绝对值越大，平移的距离越大。
综上所述，二次函数的形状、开口方向和平移均与 a、b、c 的值相关。
不同的 a、b、c 值组合会产生不同的抛物线图像。
理解这种关系对于解析和图像表示二次函数都至关重要。
无论是在数学学习中还是实际问题中，掌握二次函数与 a、b、c 的关系对于分析和解决问题都具有重要的意义。
在实际应用中，通过调整 a、b、c 的值，我们可以改变二次函数的形状，从而适应不同的需求和情境。
总之，二次函数与 a、b、c 之间存在明确的关系，对于理解和应用二次函数都至关重要。
通过合理地设置 a、b、c 的值，我们可以控制二次函数的图像特征，从而更好地解决实际问题。
因此，在学习和应用二次函数时，我们应该认真分析和理解这种关系，以充分利用二次函数的特性。
人教版九年级数学上册《二次函数的图象与性质》PPT
我们一起用描点法画二次函数y=x2的图象。 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应
的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
做一做
画出 y=-x2 的图象
y ax2
喷泉(1)
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
3.画出函数图像的一般步骤是什么？ （1）列表，（2）描点，（3）链接
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴
3
的左侧,y随着x的 增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x
的 增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 0 ,
当x 大于或小于 0时,y<0.
（3）判断下列抛物线开口的大 小
(1)y x2,(2)y 1 x2,(3)y 2x2,(4)y 3x2,(5)y 3x2,(6)y 2x2 2
布置作业
下课了!
（1)想一想：任何一个抛物线的顶点都 是原点吗？对称轴都是y 轴吗？ (2)练习册第（12-14）页
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的 下方(除顶点外) ,它的 开口 向下 ,并且 向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而 减小 ；在 对称轴右侧,y随着x的增大而 增大 .当x=0时函数y的值最 小.
二次函数的定义与性质
二次函数的定义与性质随着数学的发展，二次函数作为一种重要的数学模型，在各个领域中的应用越来越广泛，因此了解二次函数的定义与性质是十分重要的。
本文将探讨二次函数的定义以及与之相关的性质。
一、二次函数的定义二次函数是一个常见的代数函数，它的定义形式通常为 f(x) = ax^2+ bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项的系数a 决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
特殊地，当 a = 0 时，该函数退化为一次函数。
二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点就是方程 f(x) = 0 的解。
根据二次函数的定义，我们可以使用求根公式来求得二次函数的零点。
对于一般的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 求得。
2. 领域二次函数的定义域是实数集 R，即所有实数都可以作为自变量。
而值域则依赖于二次项系数 a 的正负性质。
当 a > 0 时，值域是[f(c), +∞)，其中 c 是顶点的纵坐标；当 a < 0 时，值域是 (-∞, f(c)]。
3. 对称轴对称轴是二次函数图像的中心线，它将图像分成两部分对称的部分。
对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
4. 顶点二次函数的顶点是图像的最高点（对于 a > 0）或最低点（对于 a < 0），对称轴与图像相交的点。
顶点的横坐标可以通过对称轴的方程求得，顶点的纵坐标可以通过代入得到。
5. 函数增减性当 a > 0 时，二次函数是开口向上的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。
此时函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
当 a < 0 时，二次函数是开口向下的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。
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6.3.3二次函数的特殊形式
【学习目标】
1.经历探索二次函数交点式的过程，体会方程与函数之间的联系；
2.渗透数形结合的数学思想.
【课前预习】
2.用十字相乘法分解因式：
①322
--x x ②342
++x x ③6822
++x x
3.若一元二次方程02
=++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴
交点坐标是 .
一、探索归纳：
1.根据《课前预习》第3题的结果，改写下列二次函数：
①322
--=x x y ②342
++=x x y ③6822
++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标：
①322
--=x x y ②342
++=x x y ③6822
++=x x y
坐标： 3.你发现什么？ 4.归纳：
⑴若二次函数c bx ax y ++=2
与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以
表示为 的形式；
⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件.
练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.
⑴232
+-=x x y ⑵232
-+-=x x y ⑶4622
+-=x x y
与x 轴的交点坐标是：
与y 轴的交点坐标是：
二、尝试练习：
1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3.
⑴求对称轴和顶点坐标.
⑶求出该二次函数的关系式.
⑷若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 .
归纳：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴的交点坐标是（01，x ）、（02，
x ）则，对称轴是 ，顶点 坐标是 .
2.已知一条抛物线的开口大小、方向与2
x y -=均相同，且与x 轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .
3.已知一条抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线1=x ，则另一个交点坐标是 .
4.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另 一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 .
5.二次函数()()43-+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴是 .
6.请写出一个二次函数，它与x 轴的交点坐标是（-6,0）、（-3,0）： .
7.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是3.求出该二 次函数的关系式.（用2种方法）
解法1： 解法2：
【拓展提升】
已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,1），（1,1），且函数的最值是4.
⑴求对称轴和顶点坐标.
⑶求出该二次函数的关系式.
【课外作业】
1.已知一条抛物线的开口大小、方向与2
x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .
2.已知一条抛物线的形状与2
2x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、 （4,0），则该抛物线的关系式是 .
3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是（1,0）、则另 一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 .
4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴是 .
5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3.则该抛 物线开口向 ，当x 时，y 随的增大而增大.
6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式： .
7.已知二次函数的图象与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（0,0），对称轴是直线
2=x ，且函数的最值是4.
⑴求另一个交点的坐标. ⑵求出该二次函数的关系式.。