中考数学复习专题：二次函数中特殊图形的存在性问题的分析方法
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
二次函数存在性问题专题复习(全面典型含答案)
中考数学专题复习——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
以下为几种典型的二次函数中出现的存在性问题，讲解后希望各位考生在以后的考试中如果遇到此类型时能够很顺畅的把过程写下来。
一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.2.（2011临沂13分）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3. （2011日照10分）如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX 错误!未找到引用源。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
-几何图形在二次函数中的存在性问题探解
---几何图形在二次函数中的存在性问题探解二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴.一、.三角形的存在性1.1 等腰三角形的存在性例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）．分析： 第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标；第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类；第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可.解：（1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3）， 所以{c=39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3；（2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1）， 设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示，①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)；②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32)；③当MP=PC 时，以P 为圆心，以PC 为半径画弧，交对称轴于3M ,4M 两点，所以,解得t=﹣或t=﹣1﹣，此时3M （2，﹣）或4M （2，﹣1﹣； 综上可知,存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形，其坐标分别为（2，7）或（2，32）或（2，﹣）或（2，﹣1﹣）； （3）如图3所示，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E （x ，2x ﹣4x+3）， 则F （x ，﹣x+3），因为0＜x ＜3，所以EF=﹣2x +3x ，所以S S S CBE CFE BEF =+=12EF•OD +12EF•BD=12EF•OB=﹣3223(x )2-+278， 所以当x=32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为（32，-34）， 即当E 点坐标为（32，-34）时，△CBE 的面积最大．[赏析] 此题以直线与坐标轴交点坐标的确定为解题突破口，强化待定系数法确定二次函数的解析式，解二元一次方程组基本功是否扎实，成为解析式是否确定正确的关键；按照两边相等的三角形是等腰三角形的思想，巧妙运用分类思想，去确定不同形状的等腰三角形，从而建立起不同的等式，为最终确定点的坐标奠定等式基础，这种分类的思想，以后学习中也会经常用到，希望能熟记于心，活用与手；把三角形面积的最大值转化为二次函数的最大值是本题的最大亮点，而助燃这个亮点的两个细节更是值得关注，一是学会把三角形的面积进行科学分割；二是横坐标相同两点之间距离等于其纵坐标差的绝对值.细节决定成败，谁不注重细节，谁就不会品尝到成功的喜悦.1.2 定底边等腰三角形的存在性例2 （2017•毕节）如图4，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．分析：（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法求得抛物线解析式；（2）利用等腰三角形三线合一的性质，知道点P 在线段OC 的垂直平分线上，从而确定线段OC 中点的坐标，高线与抛物线的交点就是P 点坐标；（3）过P 作PE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC 面积的最大值及P 点的坐标． 解：（1）抛物线解析式为y=2x ﹣3x ﹣4；（2）作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图4，所以PO=PD ，所以D （0，﹣2），所以P 点纵坐标为﹣2，所以2x ﹣3x ﹣4=﹣2，解得0，舍去）或，所以存在P 点，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形,,﹣2）； （3）因为点P 在抛物线上，设P （t ，2t ﹣3t ﹣4），过P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图5，所以直线BC 解析式为y=x ﹣4，所以F （t ，t ﹣4），所以PF=﹣2t +4t ， 所以PBC S =PFC S +PFB S =12PF•OE +12PF•BE=12PF•（OE+BE ）=12PF•OB=-22(t-2)+8， 所以当t=2时，S △PBC 最大值为8，此时2t ﹣3t ﹣4=﹣6，所以当P 点坐标为（2，﹣6）时，△PBC 的最大面积为8．[赏析] 第二问解题的关键有二,一是等腰三角形三线合一性质,这是确定P 点位置的关键；第二个是根据点的纵坐标建立一元二次方程确定自变量的值，熟练解一元二次方程是解题的关键；其次，也要注意细节，解的取舍； 第三问的解答可以引申如下一般性结论,如图6，已知抛物线y=a 2x +bx +c(a ＜0),点A （1x ，1y ），点B （2x ，2y ），点C （3x ，3y ）是抛物线上的三点，CD ⊥x 轴交线段AB 与点D ，且点D 的坐标为（3x ，4y ）；结论：三角形ABC 的面积S=ACD S +BCD S =12CD BE=12（2x -1x ）（3y -4y ）.1.3 动点在抛物线上的直角三角形存在性例3 （2017潍坊） 如图7，抛物线c bx ax y ++=2经过平行四边形ABCD 的顶点A(0.3),B(-1.0),D(2.3)，抛物线与x 轴的另一交点为 E.经过点E 的直线l将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P 为直线l上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t. （1）求抛物线的解析式；（2）当t 何值时，△PFE 的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点P 使△PFE 为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.分析:1.第一问是待定系数法确定二次函数的解析式，只需把三个点的坐标分别代入给出的解析式转化成三元一次方程组求解即可；2.用自变量t 表示△PEF 的面积,把三角形面积的最大值问题转化成关于t 的二次函数的最大值问题是解题的关键；3.直角三角形的存在需要利用分类的思想，确定哪一个角为直角，后求解.解：（1）二次函数的解析式为y=-2x +2x+3；（2）.据A,D 的坐标知道AD=2，所以BC=2，所以点C 的坐标为（1,0），所以直线AC 的解析式为y=-3x+3，直线BC 的解析式为y=x+1，所以对角线的交点坐标为（12，32），因为经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，所以EF 一定经过（12，32）， 所以直线EF 的解析式为y=-35x+95， 由2395523y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，解得x=-25,所以点F 的坐标为（-25，5125）， 如图7，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，交l 于点M ，作FN ⊥PH ，因为点P 的横坐标是t ，所以点P 的纵坐标为为P y =-2t +2t+3,点M 的纵坐标为M y =-35t+95， 所以PM=P y -M y =-2t +135t+65. 所以PEF PFM PEM S S S =+=1122PM FN PM EH +=1()2PM FN EH + =12PM EQ =-2171328917()101010010t -+⨯， 所以当t=1310时，△PEF 面积最大，最大值为2891710010⨯=1710. （3）.如图8，因为点P （t, -2t +2t+3）,当t=0时，P 的坐标为(0,3),此时点P 与点A 重合，△PAE 不存在，所以t ≠0；当t=3时，P 的坐标为(3,0),此时点P 与点E 重合，△PAE 不存在，所以t ≠3；①由图像知道∠PEA ≠90°，②当∠PAE=90°，因为AE k =3003--=-1,PA k =22330t t t -++--=-t+2，所以AE k PA k =-1，所以-t+2=1，解得t=1；③当∠APE=90°，因为PE k =22303t t t -++--=2233t t t -++-=-(t+1),PA k =22330t t t -++--=-t+2，所以PE k PA k =-1，所以-(t+1)(-t+2)=-1，整理，得2t -t-1=0,解得或-25(舍去)，所以存在点P 使△PAE 为直角三角形，此时t=1或[赏析] 第一问的解答是基础性问题，知识点很明确，解题的方法与思路也很清晰，熟练是根本；第二问有三个细节是二次函数考题共性问题：用点的横坐标，结合函数解析式表示点的纵坐标，从而使得点坐标用同一字母表达，必须学会；把三角形的面积分割成以交点构成线段为公共底边的两个三角形面积和；平行y 轴直线上两点间的距离等于较上端点与较下端点的纵坐标的差，也很关键，必须学会；其次就是转化思想的渗透；第三问着重是分类思想，对于直角三角形存在问题，分类时按照哪一个角是直角的标准去分，一共三种情形，其次，要学会直线垂直时解析式的比例系数k 之间的关系，这也是解题中经常用到的方法.1.4 动点在圆上的直角三角形存在性例4 （2017年徐州）如图9，已知二次函数y=492x ﹣4的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于点C ，⊙C ，P 为⊙C 上一动点．（1）点B ，C 的坐标分别为B （ ），C （ ）；（2）是否存在点P ，使得△PBC 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB ，若E 为PB 的中点，连接OE ，则OE 的最大值= ．分析：此题第（1）小题考查了求二次函数图像上特殊点的坐标问题；（2）在第（2）小题中，先讨论当点p 满足什么条件时△PBC 是直角三角形，要想做到不重不漏，选择分类的标准很重要.因为已知条件要求点P 为⊙C 上，根据圆周角的性质可知，∠PBC 一定是锐角，这样△PBC 为直角三角形只有如下两种情形：①当PB 与⊙C 相切时，△PBC 为直角三角形，如图10，根据勾股定理和相似三角形的性质定理可以求得点P 的坐标；②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形时，如图11，根据相似三角形的判定和性质也可得到结论；在第（3）小题中，如图12，点p 在⊙C 上运动时，点E 也随之运动，所以找到当点P 运动到什么位置时OE 的值最大，是解题的关键.根据A,B 的坐标可知点O 是线段AB 的中点，E 是线段PB 的中点，所以OE 是△PAB 的中位线，根据三角形中位线定理，得AO=2OE,所以要想使得OE 最大，只需满足AP 最大，从而把问题转化成圆外一个定点到圆上一个动点距离最大问题，显然是定点，圆心，动点三点共线时取得最大值，于是问题得解.解：（1）因为二次函数解析式为y=492x ﹣4，令y=0，得x=±3，令x=0，得y=﹣4， 所以B （3，0），C （0，﹣4）；（2）存在点P ，使得△PBC 为直角三角形.理由如下：①如图10，当PB 与⊙C 相切时，△PBC 为直角三角形.连接BC ，因为OB=3．OC=4，所以BC=5，过2P 作2P E ⊥x 轴于E ，2P F ⊥y 轴于F ， 则△C 2P F ∽△B 2P E ，且四边形OF 2P B 是矩形，C 2P, B 2P,所以2222P E P B =P F P C =2, 设2P F=OE=x(x ＞0)，则OF=2P E=2x ，所以BE=3﹣x ，CF=2x ﹣4，所以BE 3-x =CF 2x-4=2， 所以x=115，2x=225，所以2P F=115，2P E=225，所以2P （115，-225）， 过1P 作1P G ⊥x 轴于G ，1P H ⊥y 轴于H ，同理求得1P （-1，-2），②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形，过4P 作4P H ⊥y 轴于H ，则△BOC ∽△CH 4P ,所以44P H P C CH ===OB OC BC所以4P H 所以4P ）；同理3P （）；综上所述：点P 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（115，-225）或（）或-4）； （3）如图12， 连接AP,因为OB=OA,BE=EP,所以OE 是△ABP 的中位线，所以OE=12AP ，所以当AP 最大时，OE 的值最大，因为当点P 在AC 的延长线上时，AP 的值最大，最大值为5+，所以OE .[赏析] 此题将函数与几何知识有机融合，设计知识点多：二次函数的图像及其性质，直角三角形与勾股定理；直线与圆的位置关系及其切线的性质；相似三角形的判定及其性质；三角形中位线定理的判定及其性质；同时也运用了大量的数学思想：函数思想，转化思想，方程思想；分类思想和数形结合思想，这些都是问题解决的魂所在；特别值得一提的是，本题充分利用了直径是最大弦这一性质，展现了一种圆背景下求最值得新方法，值得借鉴，值得学习，值得掌握，值得活用，这就是数学的魅力.2. 相似三角形存在性例5 （2017年山东淄博）如图13，经过原点O 的抛物线y=a 2x +bx （a ≠0）与x 轴交于另一点A(32,0)，在第一象限内与直线y=x 交于点B （2，t ）. （1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B,O,C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标；（3）如图14，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO ，在（2）的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：第（1）小题在解答时，结合直线y=x 确定B 的坐标，是解答的关键；接下来用待定系数法转化成方程组确定解析式即可；第（2）小题解答时，充分利用三角形的面积是2这个条件是解题的关键；第（3）小题解答需要聚精会神思考，全面梳理给出的条件信息，确定出点M 的坐标是基础，充分利用分类思想，充分利用相似的判定方法，确定点P 应具有的条件，后将条件等式化，从而确定出点P 的坐标.解：（1）因为直线y=x 过点B （2，t ），所点B(2,2),所以4a+2b =293a+b =042⎧⎪⎨⎪⎩，解得{a =2b =3-，所以抛物线的解析式为y=22x -3x ；（2）过B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ，因为点B （2,2），所以BH=OH=2，.过O 点作OE ⊥OB,使△OBE 面积为2，则OE=2，过点E 作GE ⊥x 轴与点G ，则OE=GE=1，所以E （1，-1），过点E 作EF ∥OB ，设直线EF 表达式为y=x+b ，所以直线EF 表达式为y=x-2，由题意得⎩⎨⎧-=-=x x y x y 3222，解得⎩⎨⎧-==11y x ，所以C(1，-1)；（3）设MB 于y 轴交于点N ，如图16，因为B （2,2），所以∠AOB=∠NOB=45°， 因为∠MBO=∠ABO ，OB=OB ，所以△AOB ≌△NOB ，所以ON=OA=32,所以点N(0, 32), 设直线BN 的解析式为y=kx+32,所以直线解析式为y=14x+32，所以213y =x+42y =2x -3x⎧⎪⎨⎪⎩， 解得{3-2824532x x y y ⎧=⎪=⎨=⎪=⎩或，所以点M （-38，4532），因为△POC ∽△MOB,所以PO PC OC 1===MO MB OB 2,∠POC=∠MOB. 当点P 在第一象限时，如图17，过点M 作MG ⊥y 轴，垂足为G ，则MG=38,OG=4532, 作∠POA=∠GOM, 过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，所以△POH ∽△MOG, 所以PO PH OH 1===MO MG OG 2,所以PH=316,OH=4564,所以点P 的坐标为（4564，316）；当点P 位于第二象限时，∠POC ＞∠MOB ，此时不存在符合题意的点P ；当点P 位于第三象限时，如图18，过点M 作MG ⊥y 轴，垂足为G ，则MG=38,OG=4532, 作∠POQ=∠GOM, 过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，所以△POH ∽△MOG,所以PO PH OH 1===MO MG OG 2,所以PH=316,OH=4564,所以点P 的坐标为（-3 16，-4564）；当点P位于第四象限时，∠POC＜∠MOB，此时不存在符合题意的点P；综上所述，存在这样的点P，使得△POC∽△MOB,且点P的坐标为（4564，316）或（-316，-4564）.[赏析]本题的精髓深藏在第（3）小题的解答中，一是数学思想深刻：转化思想体现最淋漓尽致，把一般三角形相似的判定转化为特殊的直角三角形相似的判定，转化可谓巧妙；把坐标的确定转化为线段长度的确定，也是坐标系中解题常用有效手段；把点的存在性转化成对应相等夹角的存在性，借助角的大小比较完成了终结性的判断，可谓精妙；二是活用分类思想，紧紧抓住题目的特点，选择科学的分类标准，使得分类不漏不重，这样的分类标准也是以后需要学习，借鉴并活用.其次，凸显夯实基础的重要性，如不能熟练掌握相似三角形判定，你就无法走出这片知识“沼泽”，只能在知识的海洋迷茫.3.平行四边形的存在性例6 （2017年临沂）如图19，抛物线y=a2x+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：第（1）小题，解答时，走好三步，一步会求解析式与坐标轴的交点坐标；第二步根据OC=3OB 可以确定点B的坐标，第三步根据点A,B的坐标，用待定系数法可得解析式；（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，确定∠BDO=45°，后利用对称思想，直角三角形的互余原理完成答案的确定；a﹣2a﹣3），N（1，n），按照以AB为边和AB为对角线两种情形分类求解（3）设M（a，2即可.解：（1）由y=a2x+bx﹣3得C（0．﹣3），所以OC=3，因为OC=3OB，所以OB=1，，所以a=1,b=-2,所以抛物线的解析式为y=2x﹣2x﹣3；所以 4a+2b-3=-3a-b-3=0（2）如图20，设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，所以AF∥x轴，所以F（﹣1，﹣3），所以BF=3，AF=3，所以∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，因为OD=OB=1，所以|m|=1，所以m=±1，所以点D的坐标为（0，1）或（0，﹣1）；a﹣2a﹣3），N（1，n），（3）设M（a，2①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图21，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，所以NE=AF=3，ME=BF=3，所以|a﹣1|=3，所以a=3或a=﹣2，所以M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图22，则N在x轴上，M与C重合，所以M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．[赏析] 第一问的解答启示：必须学会求函数与坐标轴的交点坐标，必须熟练掌握待定系数法求函数的解析式，这是数学学习的基本功，是基础；第二问的解答启示：学会用点的坐标特点判断直线的平行：横坐标相同，两点确定的直线平行y轴，纵坐标相同，两点所在直线平行x轴，一定要熟练掌握；熟记等腰直角三角形的性质，这也是特殊角的应用之一；学会对称思想，绝对值思想处理问题，这都是解题的有效方法；第三问的解答启示：学会分类思想，掌握分类的标准，为边，为对角线两种情形，一定要熟记.例7（2017年菏泽）如图23，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2x+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(4,0)，与过A点的直线相交于另一点D(3,52)，过点D作DC⊥x轴，垂足为C.（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.分析：第一问是一个基本问题，解答起来应该没有问题.第二问求三角形PCM面积的最大值，需要按照如下思路去定寻：首先确定三角形PCM是直角三角形，把三角形PCM的面积转化为m的二次函数，其最值可定；第三问主要是渗透平行四边形的判定，仔细观察不难发现已经具备的条件是MN∥CD，根据判定方法，只需加上MN=CD即可，这样确定MN的长度即成为了解题的关键，为了防止漏解，在表示MN的距离时最好借助绝对值来完成，这样即防止了漏解，又能不陷入分类思想的漩涡中，大大提高了解题的准确率.解：（1）把点B(4,0)，点D(3,52)分别代入y=a2x+bx+1中，得16a+4b+1=059a+3b+1=2⎧⎪⎨⎪⎩，解得3a=-411b=4⎧⎪⎨⎪⎩，所以抛物线的解析式为y=-342x+114x+1；（2）设直线AD的解析式为y=kx+n，所以n=153k+n=2⎧⎪⎨⎪⎩，解得1k=2n=1⎧⎪⎨⎪⎩，所以直线AD的解析式为y=12x+1.设动点P的坐标为(m,0),所以PC=3-m,当x=m时，y=12m+1,所以M（m,12m+1）,所以PM=12m+1，所以直角三角形PCM的面积S=12PM PC=-1421(m-)2+25 16,因为0≤m≤3, -14＜0,所以S有最大值，且当m=12时，S最大值为2516；（3）设动点P的坐标为(t,0),所以M（t, 12t+1）,N（t, -342t+114t+1）,所以MN=| -342t+94t|,因为DC=52，且MN∥CD，所以当MN=DC时，四边形DCMN是平行四边形，所以| -342t+94t|=52，所以-342t+94t=52或-342t+94t=-52，当-342t+94t=52时，整理，得32t-9t+10=0,此时△=81-120＜0，故方程无解，此时不存在满足条件的点P；当-342t +94t=-52时，整理，得32t -9t-10=0, 此时△=81+120=201＞0，故方程有解，所以1t 2t ，因为t ＞0，所以1t . 综上所述，存在这样的点P 使得以D,C,M,N 为顶点四边形是平行四边形，此时,O). [赏析] 通过解题，我们深深体会到如下几点：1.确定二次函数的解析式需要熟练运用好方程的思想，根据未知数的个数，分别运用三元一次方程组，二元一次方程组，一元一次方程，只要熟练掌握解方程或解方程组的基本要领，确定解析式可谓水到渠成；2.学会根据题意把最值问题科学转化成相应的二次函数的最值问题，而确定二次函数的最值是同学们的必须课，是二次函数学习的最重要知识点之一，要在常态学习中不断强化，提高解题的熟练度和准确度；3.学会把坐标系背景下平行y 轴直线上两点间的距离转化为纵坐标差的绝对值，从而使得问题求解更全面，更缜密，谨防漏解致错而痛失不应该丢的分值而遗憾；4.学会灵活处理二次函数与其他知识的综合，并能灵活，科学的选择解题方法，使得综合问题求解不综合，巧妙将综合化归为单一，专项知识加以求解，这是数学解题的实质，要在学习过程中不断强化和锻炼.[赏析] 依托典型考题，集思广益，多思多解，也是数学学习的有效手段.总之，在2017年中考试题中，命题老师都把几何图形在二次函数中存在性问题，作为甄别学生数学能力的代表题型对待，不仅查看学生的数学功底是否夯实，更是培养学生的知识综合，运用综合，综合解决的能力，让学生在掌握函数这部分知识和技能同时，积累思维和实践经验，形成学科核心素养.。
2019数学中考复习——二次函数中直角三角形存在性问题
二次函数中直角三角形存在性问题
解题方法
一、代数法：
（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方
（2）以直角顶点分三种情况，根据勾股定理列方程，解方程
（3）根据题目条件及方程解确定坐标
二、几何法：
（1）先分三种情况进行构造：若已知边做直角边，过直角边的两端点作垂线，则第三个顶点在垂线上，若已知边为斜边，可取斜边为直径作圆，直角顶点在圆上
（2）计算：注意题目的几何背景，如有直接的相似则表示线段长度，进行相似求解，无直接相似则围绕顶点分别做坐标轴的平行线，构造一线三角模型进行相似求解。
专题训练
例1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
几何法：
例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；
例3.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的图象过点，并与直线相交于、两点. 求抛物线的解析式（关系式）；
过点作交轴于点，求点的坐标；
除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
123y x =-
+x P y A 212
y x bx c =-++(1,0)E -A B ⑴⑵A AC AB ⊥x C C ⑶C M MAB ∆M。
中考复习专题09二次函数与正方形存在性问题(含解析)
专题09二次函数与正方形存在性问题二次函数与正方形存在性问题1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．3.示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D 为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．【例1】（2022•齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为（1，2）；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；（2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直线AB的解析式，即可得出点C的坐标；（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案；（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+1，∵AC+BC≥AB，∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，∴当x＝1时，y＝2，∴C（1，2），故答案为：（1，2）；（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4（﹣1＜a＜4），∴当a＝时，DE的最大值为；（4）当CF为对角线时，如图，此时四边形CMFN是正方形，∴N（1，1），当CF为边时，若点F在C的上方，此时∠MFC＝45°，∴MF∥x轴，∵△MCF是等腰直角三角形，∴MF＝CN＝2，∴N（1，4），当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，同理可得N（﹣1，2），当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，同理可得N（，），综上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）．【例2】（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB ＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．【分析】（1）先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH＝2OG计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；（2）由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），表示矩形EFGH的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出点N的坐标，并计算点N是圆M与抛物线在y轴右侧的切点即可．【解答】解：（1）如图1，由题意得：A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，把B（4，0）代入得：0＝16a+8，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8，∵四边形EFGH是正方形，∴GH＝FG＝2OG，设H（t，﹣t2+8）（t＞0），∴﹣t2+8＝2t，解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2（舍），∴此正方形的面积＝FG2＝（2t）2＝4t2＝4（﹣2+2）2＝（96﹣32）dm2；（2）如图2，由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），∴矩形EFGH的周长＝2FG+2GH＝4t+2（﹣t2+8）＝﹣t2+4t+16＝﹣（t﹣2）2+20，∵﹣1＜0，∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；（3）若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图3，N为⊙M N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP ⊥y轴于P，则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，设N（m，﹣m2+8），由勾股定理得：PM2+PN2＝MN2，∴m2+（﹣m2+8﹣3）2＝32，解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍），∴N（2，4），∴PM＝4﹣1＝3，∵cos∠NMP＝＝＝，∴MQ＝3MN＝9，∴Q（0，12），设QN的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴QN的解析式为：y＝﹣2x+12，﹣x2+8＝﹣2x+12，x2﹣2x+4＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4××4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．【例3】（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y 轴上时，请直接写出点G的坐标．【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果；（2）可推出△PCB是直角三角形，进而求出△BOC和△PBC的面积之和，从而求得四边形BOCP的面积；（3）作PE∥AB交BC的延长线于E，根据△PDE∽△ADB，求得的函数解析式，从而求得P点坐标，进而分为点P和点A和点Q分别为直角顶点，构造“一线三直角”，进一步求得结果；（4）作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM ≌△HWI．根据△GLC≌△CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据MT＝IW，构建方程求得n的值．【解答】解：（1）由题意得，，∴，∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，∴PC2+BC2＝PB2，∴∠PCB＝90°，＝＝＝3，∴S△PBC＝＝＝，∵S△BOC＝S△PBC+S△BOC＝3+＝；∴S四边形BOCP（3）如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，设P（m，﹣m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，x＝m2﹣2m，∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，∵PE∥AB，∴△PDE∽△ADB，∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，＝，∴当m＝时，（）最大当m＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，∴P（，），设Q（n，﹣n2+2n+3），如图2，当∠PAQ＝90°时，过点A作y轴平行线AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，则△AFP∽△GQA，∴＝，∴＝，∴n＝，如图3，当∠AQP＝90°时，过QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，∴＝，∴＝，可得n1＝1，n2＝，如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，同理可得：＝，∴n＝，综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；（4）如图5，作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，∴G（n，0），H（3，3+n），∴K（，），∴I（，﹣（）2+n+3+3），∵TM＝IW，∴＝（）2+n +6﹣（3+n ），∴（n +3）2+2（n +3）﹣12＝0，∴n 1＝﹣4+，n 2＝﹣4﹣（舍去），∴G （﹣4+，0）．【例4】（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2﹣bx （b 是常数）经过点（2，0）．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （m ≠0）．以点A 为中心，构造正方形PQMN ，PQ ＝2|m |，且PQ ⊥x 轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连结BC ．当BC ＝4时，求点B 的坐标；（3）若m ＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，或者y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m 的值．【分析】（1）把（2，0）代入y ＝x 2﹣bx ，得到b ＝2，可得结论；（2）判断出点B 的横坐标为﹣1，可得结论；（3）分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大．当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而减小．利用图象法解决问题即可；（4）分三种情形：如图4﹣1中，当点N （0，）时，满足条件，如图4﹣2中，当点N （0，﹣），满足条件，如图4﹣3中，当正方形PQMN 的边长为时，满足条件，分别求出点A 的坐标，可得结论．【解答】解：（1）把（2，0）代入y ＝x 2﹣bx ，得到b ＝2，∴该抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ；（2）如图1中，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，∵BC∥x，∴B，C故对称轴x＝1对称，BC＝4，∴点B的横坐标为﹣1，∴B（﹣1，3）；（3）如图2中，∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，∴PQ＝PQM＝MN＝2m，∴正方形的边MN在y轴上，当点M与O重合时，由，解得或，∴A（3，3），观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m＝，观察图象可知，当0＜m≤时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤或m≥3；（4）如图4﹣1中，当点N（0，）时，满足条件，此时直线NQ的解析式为y＝﹣x+，由，解得，或，∵点A在第四象限，∴A（，﹣），∴m＝．如图4﹣2中，当点N（0，﹣），满足条件，此时直线NQ是解析式为y＝﹣x﹣，由，解得，∴A （，﹣），∴m ＝．如图4﹣3中，当正方形PQMN 的边长为时，满足条件，此时m ＝﹣，综上所述，满足条件的m 的值为或或﹣．1．（2020•乐平市一模）如图，抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0）的顶点为A ，对称轴与x 轴交于点C ，当以AC 为对角线的正方形ABCD 的另外两个顶点B 、D 恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD 为它的内接正方形．（1）当抛物线y ＝ax 2+1是美丽抛物线时，则a ＝﹣2；当抛物线y ＝+k 是美丽抛物线时，则k＝﹣4；（2）若抛物线y ＝ax 2+k 是美丽抛物线时，则请直接写出a ，k 的数量关系；（3）若y ＝a （x ﹣h ）2+k 是美丽抛物线时，（2）a ，k 的数量关系成立吗？为什么？（4）系列美丽抛物线y n ＝a n （x ﹣n ）2+k n （n 为小于7的正整数）顶点在直线y ＝x 上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16．求它们二次项系数之和．【分析】（1）画出函数y＝ax2+k的图象，求出点D的坐标，即可求解；（2）由（1）知，点D的坐标为（k，k），即可求解；（3）美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线，美丽抛物线y＝a（x﹣h）2+k 沿x轴经过适当平移后为抛物线y＝ax2+k，即可求解；（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和，它们的内接正方形的边长比为，则m＝4k，，进而求解．【解答】解：（1）函数y＝ax2+k的图象如下：①抛物线y＝ax2+1是美丽抛物线时，则AC＝1，∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（，），将点D的坐标代入y＝ax2+1得：＝a（）2+1，解得a＝﹣2；②同理可得，点D的坐标为（k，k），将点D的坐标代入y＝+k得：k＝（k）2+1，解得k＝0（不合题意）或﹣4；故答案为：﹣4；（2）由（1）知，点D的坐标为（k，k），将点D 的坐标代入y ＝ax 2+k 得：k ＝a （k ）2+k ，解得ak ＝﹣2；（3）答：成立．∵美丽抛物线沿x 轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线．∴美丽抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 沿x 轴经过适当平移后为抛物线y ＝ax 2+k ．∴ak ＝﹣2；（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和，（k ，m 为小7的正整数，且k ＜m ），它们的内接正方形的边长比为，∴m ＝4k ，．∴这两条美丽抛物线分别为和．∵，＝﹣2，∴a 1＝﹣12，a 4＝﹣3．∴a 1+a 4＝﹣15．答：这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为﹣15．2．（2016秋•西城区校级期中）我们规定：在正方形ABCD 中，以正方形的一个顶点A 为顶点，且过对角顶点C 的抛物线，称为这个正方形的以A 为顶点的对角抛物线．（1）在平面直角坐标系xOy 中，点在轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上．①如图1，正方形OABC 的边长为2，求以O 为顶点的对角抛物线；②如图2，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为a ，其以O 为顶点的对角抛物线的解析式为y ＝x 2，求a 的值；（2）如图3，正方形ABCD 的边长为4，且点A 的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD 内分别交于点M 、P 、N 、Q ，直接写出四边形MPNQ 的形状和四边形MPNQ 的对角线的交点坐标．【分析】（1）①设O为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2，把B（2，2）代入即可解决问题．②设B（a，a）．代入y＝x2求出a即可解决问题．（2）如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．求出A、B、C、D的顶点的对角抛物线，利用方程组求出M、P、N、Q的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，设O为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2，∵过B（2，2），∴2＝4a，∴a＝，∴所求的抛物线的解析式为y＝x2．②如图2中，设B（a，a）．则有a＝a2，解得a＝4或0（舍弃），∴B（4，4），∴OA＝4，∴正方形的边长为4．（2）如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．理由：∵正方形ABCD的边长为4，A（3，2），∴B（7，2），C（7，6），D（3，6），∴以A为顶点的对角抛物线为y＝（x﹣3）2+2，以B为顶点的对角抛物线为y＝（x﹣7）2+2，以C为顶点的对角抛物线为y＝﹣（x﹣7）2+6，以D为顶点的对角抛物线为y＝﹣（x﹣3）2+6，由可得M（5，3），由可得N（5，5），由可得P（3+2，4），由可得Q（7﹣2，4），∴PM＝，PN＝，QN＝，QM＝，∴PM＝PN＝QN＝QM，∴四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．3．（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．【分析】（1）利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；（2）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L2的解析式．【解答】解：（1）设抛物线L1的表达式是，∵抛物线L1过点A（﹣2，0），∴，解得，∴．即抛物线L1的表达式是；（2）令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．Ⅰ．当AC为正方形的对角线时，如图所示，∵AE3＝E3C＝CD3＝D3A＝2，∴点D3的坐标为（0，0），点E3的坐标为（﹣2，﹣2）．设，则，解得即抛物线L2的解析式是．Ⅱ．当AC为边时，分两种情况，如图，第①种情况，点D1，E1在AC的右上角时．∵AO＝CO＝E1O＝D1O＝2，∴点D1的坐标为（0，2），点E1的坐标为（2，0）．设，则，解得：，即抛物线L2的解析式是．第②种情况，点D2E2在AC的左下角时，过点D2作D2M⊥x轴，则有△AD2M≌△AD1O，∴AO＝AM，D1O＝D2M．过E2作E2N⊥y轴，同理可得，△CE2N≌△CE1O，∴CO＝CN，E1O＝E2N．则点D2的坐标为（﹣4，﹣2），点E2的坐标为（﹣2，﹣4），设，则，解得，即抛物线L2的解析式是．综上所述：L2的表达式为：，或．4．（2022•临潼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（1，﹣）两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．【分析】（1）利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；（2）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L2的解析式．【解答】解：（1）设抛物线L1的表达式是y＝a（x﹣1）2﹣，∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c A（﹣2，0），∴0＝9a﹣，解得a＝，∴y＝（x﹣1）2﹣，即抛物线L1的表达式是y＝x2﹣x﹣2；（2）当AC为正方形的对角线时，则点D的坐标为（0，0），点E（﹣2，﹣2），设y＝x2+bx+c，∴，解得，即抛物线L2的解析式是y＝x2+x；当AC为边时，分两种情况，第一种情况，点D、E在AC的右上角时，则点D的坐标（0，2），点E（2，0），设y＝x2+bx+c，∴，解得，即抛物线L2的解析式是y＝x2﹣x+2；第二种情况，点D、E在AC的左下角时，则点D的坐标（﹣4，﹣2），点E（﹣2，﹣4），设y＝x2+bx+c，则，解得，即抛物线L2的解析式是y＝x2+x﹣4．5．（2022•松阳县一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A（4，0），点C（0，4）．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG：GB＝3：1．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．已知OE＝m，OF＝t①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；（2）①证明△EOF∽△FCG，利用相似三角形的性质得到m关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；②根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得点R（﹣m，2t），点Q（2t，﹣m），代入二次函数的解析式得到方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵点A（4，0），点C（0，4）．且四边形OABC是正方形，∴QA＝QC＝BC＝4，∵CG：GB＝3：1．∴CG＝3，BG＝l，∴点G的坐标为（3，4），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把.4（4，0），C（0，4），G（3，4），代入y＝ax2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣1，0）；．（2）①∵EF⊥FG，∠EOF＝∠GFE＝∠GCF＝90°，∴∠EFO+∠FEO＝∠EFO+∠CFG＝90°，．∴∠FEO＝∠CFG，∴△EOF∽△FCG，∴＝，即＝，∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，m有最大值，最大值为；②∵点A（4，0），点C（0，4），且四边形OABC是正方形，∴点B的坐标为（4，4），设直线OB的解析式为y＝kx，把（4，4），代入得：4＝4k，解得k＝1，∴直线OB的解析式为y＝x，过点R作RS⊥y轴于点S，如图：∵点E与点R关于直线FG对称，EF⊥FG，∴RF＝EF，∠RFS＝∠EFO，∴△RFS≌△EFO（AAS），∴RS＝EO＝m，FS＝FO＝t，则SO＝2t，∴点R的坐标为（﹣m，21）∵点R与点Q关于直线OB对称，同理点Q的坐标为（2t，﹣m），把Q（2t，﹣m）代入y＝﹣x2+3x+4，得：﹣m＝﹣4t2+6t+4，由①得m＝﹣t2+t，∴t2﹣t＝﹣4t2+6t+4，解得：t1＝，t2＝，∵0≤t1≤4，∴当t＝时，点G恰好落在抛物线上．6．（2022•香坊区校级开学）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，OA＝18．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝2∠ABD，求直线DE的解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，求△CGH的周长【分析】（1）根据正方形的性质求得B，C的坐标，利用待定系数法求解析式即可；（2）在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，设∠ABD＝α，可得tan∠EIA＝＝，设AE＝x，则AI＝2x，在Rt△ADE中，ED2＝AD2+AE2，建立方程，解方程进而可得E点的坐标，利用待定系数法求解析式即可；（3）延长BD，交y轴于点M．设直线DP交y轴于点S，分别求得G，C．H三点的坐标，进而根据勾股定理以及两点距离公式分别求得CG，HG，HC的长，即可求得△CGH的周长．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，OA＝18．∴AB＝OC＝OA＝18，∴C（0，18），B（18，18），∴c＝18，∴18＝﹣×182+bx+18，解得b＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+18；（2）如图，在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，设∠ABD＝α，∵∠EDA＝2∠ABD，∴∠EDA＝2α，∵DI＝DE，∴∠EID＝∠IED＝α，∵点D是OA的中点，∴OD＝DA＝9，∴tanα＝＝，∴tan∠EIA＝＝，设AE＝x，则AI＝2x，∴ED＝DI＝IA﹣DA＝2x﹣9，在Rt△ADE中，ED2＝AD2+AE2，即（2x﹣9）2＝92+x2，解得x1＝12，x2＝0（舍），∴AE＝12，∴E（18，12），∵D（9，0），设直线ED的解析式为y＝kx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝x﹣12；（3）如图，延长BD，交y轴于点M，设直线DP交y轴于点S，∵OD＝DA，∠DOM＝∠DAB，∠ODM＝∠ADB，∴△ODM≌△ADB（ASA），∴MD＝DB，∵点Q为BP中点，DQ＝PQ，∴DQ＝BQ＝PQ，∴∠QDB＝∠QBD，∠QDP＝∠QPD，∠QDB+∠QBD+∠QDP+∠QPD＝180°，∴∠BDQ+∠PDQ＝90°，即∠BDP＝90°，∴PH⊥BD，∴∠SDO+∠MDO＝∠MDO+∠OMD＝90°，∴∠SDO＝∠OMD＝∠ABD，∴tan ∠SDO ＝tan ∠ABD ＝＝，∴OS ＝OD ＝，∴S （0，），设直线SD 的解析式为y ＝mx +n ，将点S （0，），D （9，0）代入得，，解得，∴直线SD 的解析式为y ＝﹣x +，联立，解得，，∵点P 在AB ∴P （27，﹣9），∵D （9，0），B （18，18），∴PD ＝＝9，BD ＝＝9，∴DB ＝DP ，∴△DBP 是等腰直角三角形，∴∠DBP ＝45°，DQ ⊥BP ，∵BH ⊥BP ，∴BH ∥DQ ，∴＝1，∴DH ＝DP ，∵D （9，0），P （27，﹣9），∴H （﹣9，9），∵点G 在OD 上，GC ＝GE ，C （0，18），E （18，12），设G （p ，0），则p 2+182＝（18﹣p ）2+122，解得p ＝4，∴G （4，0），∵H （﹣9，9），G （4，0），C （0，18），∴CG ＝＝2，CH ＝＝9，HG ＝＝5，∴CG +HG +CH ＝2+5+9，∴△CGH 的周长为2+5+9．7．（2021•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为（3，0），过点A 作垂直于x 轴的直线l ，P 是该抛物线上一动点，其横坐标为m ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，M 是直线l 上的一点，其纵坐标为．以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q 与点M 重合时，求的值；（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值；（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）根据点M 与点P 的纵坐标相等构建方程求解即可．（3）根据PQ ＝MQ ，构建方程求解即可．（4）当点P 在直线l 的左边，点M 在点Q 是下方下方时，抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小，则有﹣m +＜﹣m 2+m +，解得0＜m ＜4，观察图象可知．当0＜m ＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M 在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．【解答】解：（1）∵抛物线的图象经过点A（3，0），∴＝0，解得b＝1．∴抛物线解析式为：．（2）∵P点的横坐标为m，且P点在抛物线y＝的图象上，∴P点的坐标为（m，），∵PQ⊥l，l过A点且垂直于x轴，∴Q点的坐标为（3，），∵M点的坐标为（3，﹣m+），∵Q点与M点重合，∴＝﹣m+，解方程得：m＝0或m＝4．（3）∵抛物线＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．∵N点的坐标为N（m，﹣m+），要使顶点（1，2）在正方形PQMN内部，∴﹣m+＞2，得m＜﹣．∴PN＝﹣m+﹣（）＝m2﹣2m，PQ＝3﹣m．∵四边形PQMN是正方形，∴m2﹣2m＝3﹣m，解得m＝1+（舍去）或m＝1﹣．∴当m＝1﹣时，抛物线顶点在正方形PQMN内部．（4）∵M点的纵坐标﹣m+，随P点的横坐标m的增大而减小，根据（1）的结果得：当m＝0时，M，Q两点重合；m＝3时，P，Q重合；m＝4时，M，Q重合，矩形PQMN不存在；当m＜0时，直线MN在直线PQ上方，抛物线顶点在矩形PQMN内部，不合题意．当0＜m＜4时，直线MN在直线PQ下方，如图4﹣1，当3＜m＜4时，矩形内部没有抛物线图象，不合题意；当m＞4时，直线MN在直线PQ上方，矩形内部有抛物线，且为对称轴右侧，y随x的增大而减小，如图4﹣2；综上：当0＜m＜3或m＞4时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．8．（2021•云南模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）．（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的内部和边）有公共点，求t的取值范围．【分析】（1）用待定系数法直接求出解析式，然后令y＝0，求出点A、B的坐标即可；（2）求出直线AD的解析式，设直线AD与y轴交于点E，得出∠DAB＝45°，过点D作DP1⊥x轴，过点A作AP2∥y轴，过点D作DP2∥x轴，AP2与DP2交于点P2，延长AP1至P3，使AP1＝P1P3，连接DP3，延长DP1至P4，使DP1＝P1P4，连接AP4，延长AP2至P5，使AP2＝P2P5，连接DP5，延长DP2至P6，使DP2＝P2P6，连接AP6，则△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D为所有符合题意的等腰直角三角形，求出各个P点的坐标即可；（3）设平移后的抛物线解析式为，分别求出抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最低位置和最高位置的t值，即可求出t的取值范围．【解答】解：（1）依题意，将点D（5，6）代入，得，解得k＝﹣2，∴抛物线的解析式为，令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）存在，设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（﹣1，0），D（5，6）两点坐标代入得，，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，如图1，设直线AD与y轴交于点E，令x＝0，得y＝1，∴OA＝OE＝1，∴∠DAB＝45°，过点D作DP1⊥x轴，过点A作AP2∥y轴，过点D作DP2∥x轴，AP2与DP2交于点P2，延长AP1至P3，使AP1＝P1P3，连接DP3，延长DP1至P4，使DP1＝P1P4，连接AP4，延长AP2至P5，使AP2＝P2P5，连接DP5，延长DP2至P6，使DP2＝P2P6，连接AP6，则△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D为所有符合题意的等腰直角三角形，∴P1（5，0），P2（﹣1，6），P3（11，0），P4（5，﹣6），P5（﹣1，12），P6（﹣7，6）；（3）如图2，由（2）可知，点E的坐标是（11，0），点F的坐标是（5，﹣6），直线AD的解析式是y＝x+1，设平移后的抛物线解析式为，结合图象可知，当抛物线经过点E时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最低位置，将点（11，0）代入，得，解得t＝﹣48，当抛物线与AD边有唯一公共点时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最高位置，将y＝x+1与联立方程组，，化简得x2﹣4x+2t﹣5＝0，∵只有唯一解，即此一元二次方程有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（2t﹣5）＝0，解得，∴t的取值范围．9．（2019秋•温州校级月考）如图1所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB，抛物线y ＝﹣x²+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒．＝6？若存在，（1）当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得S△BCD 求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP＝，CP＝，∠OPA ＝135°，直接写出此时AP的长度．【分析】（1）根据正方形的性质可得OA、OB，然后写出点B、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答，设BC边上的高为h，利用三角形的面积求出h，从而确定出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求解即可；（2）分点E在点F上方和下方两种情况表示出EF，再根据平行四边形对边相等列方程求解即可；（3）将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，根据旋转的性质可得AP′＝AP，P′C＝OP，∠AP′C＝∠OPA，然后判断出△APP′是等腰直角三角形，再求出∠PP′C＝90°，利用勾股定理列式求出PP′，再根据等腰直角三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵t＝3秒，∴OA＝OB＝3，∴点B（0，3），C（3，3），将点B、C代入抛物线得，，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+3，设BC边上的高为h，＝6，∵BC＝OA＝3，S△BCD∴h＝4，∴点D的纵坐标为3﹣4＝﹣1，令y＝﹣1，则﹣x2+3x+3＝﹣1，整理得，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，所以，D1（﹣1，﹣1），D2（4，﹣1）；（2）∵OB＝3，∴EF＝3，设E（m，﹣m2+3m+3），F（m，m），若E在F上方，则，﹣m2+3m+3﹣m＝3，整理得，m2﹣2m＝0，解得m1＝0（舍去），m2＝2，∴F1（2，2），若F在E上方，则，m﹣（﹣m2+3m+3）＝3，整理m2﹣2m﹣6＝0，解得m1＝1﹣，m2＝1+，∴F2（1﹣，1﹣），F3（1+，1+）；（4）如图，将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，由旋转的性质得，AP′＝AP，P′C＝OP＝，∠AP′C＝∠OPA＝135°，∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠AP′P＝45°，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90由勾股定理得，PP′＝＝，所以，AP＝PP′＝×＝1．10．（2021•峨眉山市模拟）如图，已知直线y＝与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）求抛物线的解析式；（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．【分析】（1）求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，证△AOB≌△BZC≌△DMA，推出BZ＝OA＝DM＝1，CZ＝OB＝MA＝2，进而求解；（2）分为三种情况，根据题意画出图形，①当点A运动到x轴上点F时，②当点C运动x轴上时，③当点D运动到x轴上时，根据相似三角形的性质和判定和三角形的面积公式求出即可；（3）由抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积即为▱EE′C′C的面积，即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+1，∴当x＝0时，y＝1，当y＝0x＝2，∴OA＝1，OB＝2，过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠CZB＝90°，∴∠ABO+∠CBZ＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBZ，在△AOB和△BZC中，，∴△AOB≌△BZC（AAS），∴OA＝BZ＝1，OB＝CZ＝2，∴C（3，2），同理可求D的坐标是（1，3）；设抛物线为y＝ax2+bx+c，∵抛物线过A（0，1），D（1，3），C（3，2），则，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1；（2）∵OA＝1，OB＝2，∴由勾股定理得：AB＝，①当点A运动到x轴上点F时，t＝1，当0＜t≤1时，如图1，∵∠OFA＝∠GFB′，tan∠OFA＝，∴tan∠GFB′＝＝＝，∴GB′＝t，＝FB′×GB′＝•t•t＝t2；∴S△FB′G②当点C运动x轴上时，t＝2，当1＜t≤2时，如图2，∵AB＝A′B′＝，∴A′F＝t﹣，∴A′G＝，∵B′H＝t，＝（A′G+B′H）•A′B′＝（+t）•＝t﹣；∴S四边形A′B′HG③当点D运动到x轴上时，t＝3，当2＜t≤3时，如图3，∵A′G＝，∴GD′＝﹣＝，＝×2×1＝1，OA＝1，∠AOF＝∠GD′H＝90°，∠AFO＝∠GFA′，∵S△AOF∴△AOF∽△GA′F，∴＝（）2，＝（）2，∴S△GA′F＝（）2﹣（）2＝﹣t2+t﹣；则S五边形GA′B′CH综上，S＝；（3）设平移后点E和点C对应的点为E′、C′，则抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积即为▱EE′C′C的面积，联立y＝与y＝﹣x2+x+1并解得，∴E（4，﹣1），∴BC＝BE，CE＝，当顶点D落在x3个单位长度，向右平移了6个单位长度，此时点E′的坐标为（10，﹣4），∴EE′＝3，∴抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积为S＝EE′•BC＝3×＝15．11．（2021•深圳模拟）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且顶点为C，直线y＝kx+2经过A，C两点．（1）求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；（2）如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2，其顶点为D，抛物线C2＝S△MAE，求与直线y＝kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点（M点在N点右边），若S△MDE 点D的坐标；（3）如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T在x轴上方的抛物线C3上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为4，。
中考数学复习典型压轴题专题讲解20---二次函数与特殊三角形存在型问题
同理可得直线 AC 的表达式为： y = 4 x + 4 ，
3
设直线 AC 的中点为 K (− 3 ， 2) ，过点 M 与 CA 垂直直线的表达式中的 k 值为 − 3 ，
2
4
同理可得过点 K 与直线 AC 垂直直线的表达式为： y = − 3 x + 7 … ②，
48
①当 AC = AQ 时，如图 1，
33
QOB = OC ，∴∠ABC = ∠OCB = 45° = ∠PQN ，
3 / 60
PN = PQ sin ∠PQN =
2 (− 1 m2 + 1 m + 4 + m − 4) = −
2 (m − 2)2 + 2
2
，
23 3
6
3
Q − 2 < 0 ，∴ PN 有最大值，
6
当 m = 2 时， PN 的最大值为： 2
NQ 2
求 t 的值； （3）如图②，连接 AM 交 BC 于点 D ，当 ∆PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值．
【分析】（1）求直线 y = −x + 4 与 x 轴交点 B ，与 y 轴交点 C ，用待定系数法即求得抛物 线解析式． （2）根据点 B 、C 坐标求得 ∠OBC = 45° ，又 PE ⊥ x 轴于点 E ，得到 ∆PEB 是等腰直角三 角形，由 PB = 2t 求得 BE = PE = t ，即可用 t 表示各线段，得到点 M 的横坐标，进而用 m
4 / 60
∽ 表示点 M 纵坐标，求得 MP 的长．根据 MP / /CN 可证 ∆MPQ ∆NCQ ，故有 MP = MQ = 1 ， NC NQ 2
【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解； （2）分 AC = AQ 、 AC = CQ 、 CQ = AQ 三种情况，分别求解即可； （3）由 PN = PQ sin ∠PQN = 2 (− 1 m2 + 1 m + 4 + m − 4) 即可求解．
专题 二次函数与等腰三角形有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)
专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C1 为例，具体求点坐标：过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
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二次函数中特殊图形的存在性
教学目标1．学会二次函数中特殊图形的存在性问题的分析方法2．掌握三角形与四边形的存在性问题的解法
重、难点三角形与四边形的存在性问题的解法
知识梳理
1．两点之间的距离公式
如图所示，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在平面直角坐标系中，那么AB＝．
2．中点坐标公式
如图，点A（x1，y1），B（x2，y2），点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（，）．
3．“两线一圆”模型
如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形．这样的点C的集合如下图所示（分别过点A，B作线段AB的垂线，并以AB为直径画圆，除点A，B以外的点都可以与点A，B构成直角三角形，这个模型简称“两线一圆”）．
4．平行四边行顶点坐标关系
如图，四边形ABCD为平行四边形，顶点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
①因为平行四边行的对角线互相平分，所以点O为AC和BD的中点，根据中点坐标公式可以得出：＝，＝，即x1＋x3＝x2＋x4，y1＋y3＝y2＋y4；
②因为BC可以看做AD平移得到的，所以点A的对应点为点B，点D的对应点为点C，根据平移的坐标关系可以得出：x2－x1＝ x3－x4，y2－y1＝y3－y4．
一、直角三角形的存在问题
知识点讲解1：直角三角形的存在问题
例 1. 如图，已知直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C
为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
同步练习：
1. 如图，抛物线y＝－x2－ x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
知识点讲解2：平行四边形的存在问题
例 1. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2， 0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若
不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边
形，求点P的坐标．
例2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；
（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的
坐标和m的值；
（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．
同步练习
1. 如图，抛物线y＝x2＋x－与x轴相交于A，B两点，顶点为P．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明
理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．
课后练习
如图，抛物线与x轴交于A（5，0），B（－1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y＝2x于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点A关于直线y＝2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．
2.如图，P是抛物线y＝﹣x2＋x＋2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB 周长的最大值为．
3.如图，已知直线y＝3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式：
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形?若不存在，请说明理由：若存在，求出点M的坐标．
4.如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．。