特殊二次函数的图像
26.2(2)(3)特殊二次函数的图像
巩固训练
3、 (1)抛物线y x 向
2
平移
个单位就可以
2 得到y （x 1 ） 1 2 (2)抛物线y x 向 平移 个单位就 2 1 2 可以得到y （x 2） 2 (3)抛物线y ax 2 (a 0)向 平移 个单位
就可以得到y a ( x 2) 2 (4)抛物线y ax (a >0)向
26.2特殊二次函数的图像（2）
教学目标：
1.理解和掌握二次函数y=ax2 +c的图像并从图像观察出二次函 数y=ax2 +c的性质. 2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力
教学重点：
通过二次函数y=ax2 +c的图像总结出有关性质
教学难点：
二次函数y=ax2 +c的图像和性质
教材分析：
总结归纳
抛物线y a( x m) 2 (其中a、m是常数，且a 0) 对称轴:直线x m， 顶点坐标:(m, 0)， 当a 0时，抛物线开口向上， 顶点是抛物线的最低点； 当a 0时，抛物线开口向下， 顶点是抛物线的最高点.
巩固训练
1、函数y=ax2与函数y= -3x2图像的形状相同， 开口方相反.将函数y=ax2图像沿y轴方向向上平 移2个单位，所得的函数 . 2、函数y= -4x2+1图像是 ，开口 ，对 称轴是 ，顶点坐标 ，它的图像有最 __点，此图像由y=-4x2的图像向 平移____ 个单位得到的.
议一议
1 2 函数y x 和 2 1 2 y x 2图像的 2 开口方向、对称轴、 顶点坐标？
总结归纳
抛物线y=ax2+c(其中a,c是常数,且 像a≠0)的图形特征
二次函数概念和图像
二次函数概念与性质【知识概要】1.二次函数的概念一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．二次函数的定义域为一切实数．2.二次函数图像特征二次函数的图像是一条曲线，类似于抛出物体在空中所经过的路线，所以称为抛物线．二次函数的图像，叫做抛物线．开口方向：抛物线的开口向上或者向下．对称轴：二次函数的图像是轴对称图形．抛物线左侧部分沿着对称轴翻转能得到右侧部分的图像．顶点：抛物线与对称轴的交点，为抛物线的最低点或最高点．3.特殊二次函数的性质与图像◆一般地，二次函数（其中是常数，且）的图像是抛物线，称为抛物线．这时，是这条抛物线的表达式．抛物线（其中a是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：由a所取值的符号决定，当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：轴，即直线．（3）顶点：原点．◆一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．由此可知抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：轴，即直线．（3）顶点：．一般地，抛物线（其中a、m是常数，且）可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．由此可知：抛物线（其中a、m是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．（3）顶点：．4.一般二次函数的性质与图像抛物线（其中a、m、k是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：是过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．（3）顶点：．对二次整式配方，得所以．将上式与作比较，得由此可知，抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：直线．（3）顶点：．一般地，对于抛物线，沿着轴正方向看，可见它的变化情况如下：当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．5.二次函数解析式二次函数的解析式有三种常见形式：（1）一般式：（a、b、c是常数，）；（2）顶点式：（a、m、k是常数，），其中为顶点坐标；（3）交点式：（a、、是常数，），其中、为抛物线与x轴的两个交点的横坐标．6.求解析式的题型（1）根据实际问题列函数关系式根据实际问题列函数关系式要弄清各个变量、常量之间的内在联系，将实际问题抽象成数学问题，弄清楚哪些是自变量，哪些是函数，它们之间的关系可采用列表、画图等方式来寻找．（2）根据几何图形中的数量关系列函数关系式在几何图形中，要认真分析图形，先找出哪些是函数，哪些是自变量，其关键是正确找出图形之间的关系或等量关系（3）用待定系数法求二次函数的解析式．确定二次函数解析式常用的方法是待定系数法．【典例精讲】1. 已知A、B两点在二次函数的图像上．（1）如果两点的坐标分别是，，求的值；（2）如果不重合的两点的坐标分别是、，求的值．【分析】根据函数图像的性质，用代入法将A、B两点的纵、横坐标分别代替函数中的y、x，再计算求值．【解】（1）由题意，得，．∴，．当时，；当时，．所以，的值为或．（2）因为A、B两点的纵坐标相等且不重合，所以由图像的对称性，可知A、B关于y轴对称．∴．2.一个函数的图像是一条以y轴为对称轴、以原点为顶点的抛物线，且经过．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积．（3）【解】（1）设所求函数的解析式为．因为抛物线过点，所以，解得．所以，这个函数的解析式为．（2）由抛物线的对称性，可知关于y轴的对称点B的坐标为．∴．设△OAB中AB边上的高为OC，易知．∴．3.已知：两个二次函数的图像经过点、、．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图像的对称轴和顶点坐标，并指出其开口方向；（3）这个函数的值能否为负数？为什么？【解】（1）设所求二次函数的解析式为．因为函数图像过、、三点，所以，解这个方程组，得．因此，所求二次函数的解析式．（2）．所以，这个二次函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为．（3）由，知这个函数图像的开口方向向上，顶点是最低点，所以，这个函数的图像在x轴的上方．因此，，由此得出这个函数的值不可能为负数．【课堂练习】二次函数概念1. 下列函数是二次函数的是_____________．A 、B 、C 、D 、解：A 、分母中含自变量，不是二次函数，错误；B 、表达式中含有两个自变量，不是二次函数，错误；C 、式子变形为，是二次函数，正确；D 、式子变形为，不是二次函数，错误．故选C ．【说明】判断函数是否是二次函数，首先要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后根据二次函数的定义作出判断．2. 若265(1)mm y m x --=+是二次函数，则_____________由题意得：；且；解得或；，∴．3. （1）形如的函数只有在______________的条件下才是二次函数．（2）取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数？（3）若函数是以为自变量的一次函数，则取哪些值？解：（1）,,a b c 都是常数，且．（2）由，得且．当m 取不等于0，也不等于1的任意实数时，函数是以为自变量的二次函数．（3）若函数是以为自变量的一次函数，则，得．4.下列各式中，一定是二次函数的有①；②；③；④；⑤（a，b，c为常数）；⑥（m为常数）；⑦（m为常数）．解：①，含有两个自变量，不是二次函数；②，是二次函数；③，是一次函数；④，分母中含有自变量，不是二次函数；⑤（a，b，c为常数），不一定是二次函数；⑥（m为常数），一定是二次函数；⑦（m为常数）不一定是二次函数．∴只有②⑥一定是二次函数．5.已知函数，当_____________时，图象是一条直线；当m_____________时，图象是抛物线；当m_____________时，抛物线过坐标原点．解：根据一次函数的定义可知：，；根据二次函数的定义可知：，时，图象是抛物线；当，且时，抛物线过坐标原点．故答案为：1，，．二次函数图像6. 分别通过怎样的平移可由抛物线的图像得到抛物线和的图像？解：抛物线由抛物线向左平移1个单位得到；抛物线由抛物线向右平移1个单位得到．7. 在同一直角坐标系中与（）的图像的大致位置是（ ）答案：D ．8. 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则a 、b 、c ，∆，c b a ++，c b a +-的符号为 ，第8题图 第9题图9.已知：函数c bx ax y ++=2的图象如上图：那么函数解析式为（ ） （A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y10. 已知一次函数y ax c =+二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,它们在同一坐标系中的大-1 O X=1Y X3o-13 y x致图象是( ).11. 通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并作出该抛物线的大致图像．解：，所以该抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为． 在对称轴两侧找出四点、、、以及顶点，描点，连线，如图所示．【说明】描点画图时，要根据抛物线的特点，一般先找到顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次联结各点，注意顶点处不要画成“尖角”．【说明】（1）对的顶点坐标可直角用顶点坐标公式，这里是直接配方得．（2）作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴及两轴的交点等主要环节．12.二次函数2y ax bx c =++的图象过点（1，0）（0，3），对称轴1x =-。
二次函数的概念与特殊二次函数的图像-学生版
教学内容—二次函数的概念及特殊二次函数的图像知识精要二次函数的概念：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数。
定义域是一切实数。
特殊二次函数的图像函数对称轴顶点 开口方向 最值 ()20y ax a =≠ y 轴 原点 a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴(0，c)c()()20y a x m a =+≠m x -=()0,m -)0()(2≠++=a k m x a ym x -= ),(k m -k值 函数的图象及性质＞0⑴开口向上，并且向上无限伸展； ⑵当x ＝时，函数有最小值；当x ＜时，y 随x 的增大而减小；当x ＞时，y 随x 的增大而增大．＜0⑴开口向下，并且向下无限伸展； ⑵当x ＝时，函数有最大值； 当x ＜时，y 随x 的增大而增大；当x ＞时，y 随x 的增大而减小．图像平移规律: 左加右减，上加下减。
热身练习1. 以下哪些是二次函数？①213y x =- ②()5y x x =-③21321y x x =++④213122y x x =++⑤223y x x =+ ⑥37y x =+2. 抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． 3. 当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．4. 已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y 随x 的增大而增大．5. 已知函数72)3(--=mx m y 是二次函数，则m 的值为 ，已知二次函数()2224mmy m x x +=++-是关于x 的二次函数，则满足条件的m 的值 。
6. 将抛物线2y ax bx c =++向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到23127y x x =++，则a = ，b = ，c = 。
7. 将抛物线向上平移2个单位后得到抛物线251y x =+，那么将原抛物线向右平移3个单位得到的解析式为（ ）A. ()2531y x =--B.()2531y x =-+C. ()2531y x =++D.()2531y x =+- 8. 若抛物线2y ax =与四条直线1,2,1,2x x y y ====围成的正方形有公共点，则a 的取值范围为（ ）A. B. C. D.9. 某果园有100棵橙子树，每一颗树平均结果600个。
二次函数的图象课件
二次函数的标准式和一般式
二次函数可以表示为标准式 y = a(x - h)^2 + k 或一般式 y = ax^2 + bx + c，其中 (h, k) 表示顶点 坐标。
二次函数图像的相关属性
1
开口方向和范围
2
开口向上的二次函数的最小值是负无穷大，
开口向下的二次函数的最大值是正无穷大。
范围是 y 值的取值范围。
3
最值和最值点
4
最值是函数的最高或最低点的 y 值，最值
点是函数的最高或最低点的坐标。
5
对称轴和顶点
二次函数的对称轴是通过顶点并垂直于 x 轴的直线，顶点是抛物线的最高或最低点。
零点和交点
零点是函数与 x 轴相交的点，交点是函数 与其他曲线相交的点。
总结与回顾
本次课程的主要内容 和要点
我们学习了二次函数的概念、 图像的属性、平移和伸缩的影 响，以及绘制和分析二次函数 图像的方法。
二次函数图像的应用 和拓展
二次函数图像的形态和属性在 物理、经济和工程等领域有广 泛的应用，可以用于建模和解 决实际问题。
课后习题和练习建议
通过练习，并结合实际应用进 行深入思考和拓展，加深对二 次函数图像的理解和掌握。
渐近线和渐近值
渐近线是抛物线的非实际部分趋近于的直 线，渐近值是渐近线的 y 值。
二次函数的平移和伸缩
1
伸缩变换对二次函数图像的影响
ห้องสมุดไป่ตู้
2
伸缩改变了抛物线的形状和大小，可以 使抛物线变得更宽或更窄，更高或更低。
平移变换对二次函数图像的影响
平移改变了抛物线的位置，会使得抛物 线在 x、y 轴上的相应坐标发生变化。
5二次函数的图像与性质
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【详解】∵抛物线开口向下，∴ ，∵抛物线的对称轴为直线 ，∴ ，∵抛物线与 轴的交点在 轴上方，∴ ，
4、b2-4ac的符号由抛物线与x轴（或坐标轴）的交点个数确定：
①与x轴的交点个数
②与坐标轴交点个数
5、根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号：
常见:①x=1时，a +b +c的符号；②x=-1时，a -b+ c的符号；
③x=2时，4a+2b+c的符号；④x=-2时，4a-2b+c的符号；…….
例3：已知函数y=x2﹣2mx+2016（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），其中x1=﹣ +m，x2= +m，x3=m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
【答案】D 【解析】y=x2﹣2mx+2016=（x﹣m）2﹣m2+2016，
综上所述：正确的结论有①②④，共3个，故选B.
考点四：二次函数与方程和不等式
题型1、求一元二次方程解的取值范围
例1.二次函数 y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是()
A.x＜-1B.x＞2 C.-1＜x＜2D.x＜-1或x＞2
（例1图） （变式1） （变式2）
变式练习：
1.如图是二次函数 y＝ax2 ＋bx ＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是()
4、26.2(3) 特殊二次函数(y=a(x+m)2)的图像
当x=
– 2 时，y有最 小 值是
0
.
（9）抛物线y=a（x+2）2图像经过点A(-1,-1)
则A关于抛物线的对称轴对称的点B的
坐标是(-3,-1).
（10）抛物线的图像与x轴只有一个交点， 对称轴是直线x=2，与y 轴的交点是(0,3)，
3 2 y ( x 2) . 4
则此抛物线的解析式是
… … … …
-5
1 2 x 2
1 x 2 2 2
1 x 2 2 2
4.5
2
0.5
5
y
1 x 2 2 2
4
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
1 2 y x 2
顶点
向右平移2个单位
-1 -2 -3
1 2 y x 2 2
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=a(x+m)² 的图像
(1) 图像都是抛物线 (2)是轴对称图形，对称轴是直线x = – m . (3)顶点坐标为（– m，0） (4) a>0时, 开口向上,顶点是抛物线的最低点，在对称轴左侧, y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧, y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . (5) y=a(x+m)² (a≠0) 的图像可以看成y=ax² 的图像沿x轴整体左 (右)平移|m|个单位(当m>0时,向左平移;当m<0时,向右平移)
2
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x+m)2 (a>0) 抛物线
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
特殊二次函数的图象
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛 物线 y=x2 的顶点是原点O(0,0).
试一试: 在平面直角坐标系中,画二次函数y=-x2 的图像, 再归纳它的图像特征.
例题: 在同一平面直角坐标系xOy中,分别画二次函
4．已知二次函数y=(1+2k)x2,当k为何数时，图像的 开口向上？当k为何数时，图像的开口向下？
5.抛物线y=-x2 ，沿x轴翻折180°，得 到_______.
6.已知y＝ax2的图像经过（3，－1）， 则函数解析式为____________.
课堂小结
①函数y=ax2 的图像是一条抛物线，它关于y轴 对称，顶点坐标是（0，0）.
操作: 在平面直角坐标系中,画二次函数y=x2 的图像.
1.列表:取自变量x的一些值,计算出相应的函数值y
.
x
…
-2
11 2
-1
1 2
0
1 2
1 11 2
y=x2 …
1
42
4
11 4
0 1 1 21
4
4
2.描点:分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的
横坐标和纵坐标,描出这些坐标所对应的各点.
…
2
…
4
3.连线:用光滑的曲线把所描的这些点顺次联结起来,
得到函数 y=x2的图像.
观察:
函数y=x2 的图像的形状，位置有什么特征？
概念:二次函数y=x2的图像是一条曲线,分别向左上方 和右上方无限伸展. 这类曲线称为抛物线.
归纳:
抛物线 y=x2的开口方向向上;它是轴对称图形,对 称轴是y轴,即直线x=0.
第12节 二次函数的图象和性质
27＋10a a＜－5.
练习：若函数 f（x）解：=x函2+数afx（+xb）在=x2区+ax间+b[的0图，象1是]上开的口朝最上大且值以直是线Mx=，﹣最为小对值称是轴的m抛，物则线，
解：函数 y=x2+（1﹣a）x+2 的对称轴 x= 又函数在区间（﹣∞，4]上是减函 数，可得 ≥4，，得 a≥9． 故选 A．
典例分析：
（3）如果函数 f（x）=ax2+2x﹣3 在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数 a
的取值范围是（ ）
A.（- 1，+） 4
B.[- 1 ，+） 4
C.[- 1 ，0） 4
典例分析：
例 4：（1）已知函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，对一切实数 x，f（x）＜0 恒成立，则
m 的范围为（ ）
A．（﹣4，0）
解：当 m=0 时，代B．入（得﹣f（4x），=0﹣]1＜0 恒成立；
当 m≠0 时，由 f（x）＜0 恒成立，
C．（﹣∞，﹣4）∪得（到0m，＜+0，∞且）△=D（．﹣（m﹣）2∞﹣4，×m﹣（4﹣）1）∪=[m02+，4m+＜∞0，）
∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，
D．﹣
即 a2﹣a﹣1＜x2﹣x．
令 t=x2﹣x，只要 a2﹣a﹣1＜tmin．
t=x2﹣x=
，当 x∈R，t≥﹣ ．
∴a2﹣a﹣1＜﹣ ，即 4a2﹣4a﹣3＜0，
解得：﹣
．
故选：C．
练习：若函数 f（x）=x2﹣4x+a 对于一切 x∈[0，1]时，恒有 f（x）≥0 成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，3）
第二讲 特殊二次函数的图像
九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像第二讲 特殊二次函数的图像知识框架知识点1、 二次函数2y ax c =+的图像一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上（0c >时）或向下（0c <时）平移c 个单位得到．抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点2.二次函数()2y a x m =+的图像一般地，二次函数()2y a x m =+的图像是抛物线，称为抛物线()2y a x m =+，它可以通过将抛物线2y ax =向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位得到．抛物线()2y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（-m ，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m ；顶点坐标是（-m ，0）．当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例1】 在同一平面直角坐标系中，画出函数21y x =+、2y x =和21y x =-的图像【例2】 将函数21y x =+、21y x =-与函数2y x =的图像进行比较，函数21y x =+、21y x =-的图像有哪些特征？完成下表．【例3】 说出下列函数的图像如何由抛物线212y x =平移得到，再分别指出图像的开口方向、 对称轴和顶点坐标． （1）2122y x =+； （2）2112y x =-．【例4】 在函数123y x =；22213y x =+；32524y x =--中，图像开口大小按题号顺序表 示为（ ） A ．1>2>3B ．1>3>2C ． 2>3>1D ．2>1>3九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像【例5】 抛物线22y x =，22y x =-，221y x =+共有的性质是（ ）A ．开口向上B ．对称轴都是y 轴C ．都有最高点D ．顶点相同【例6】 已知1a <-，点（a – 1，y 1）、（a ，y 2）、（a + 1，y 3）都在函数2122y x =-的图像上， 则（ ） A ．123y y y <<B ． 132y y y <<C ．321y y y <<D ． 213y y y <<【例7】 将抛物线21y x =+的图像绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是_____________．【例8】 若函数2y ax b =+的图像经过点（0，1），（1，2），求2a + b 的值．【例9】 若二次函数228y x =+，当x 取1x ，2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数的值为________．【例10】若抛物线()24325mm y x m --=+-的顶点在x 轴下方，求m 的值．【例11】 若函数241y x =+的函数值为5，则自变量x 的值为__________．【例12】若点P （-1，a ）和点Q （1，b ）都在抛物线21y x =-+上，求线段PQ 的长．【例13】如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．【例14】在同一平面直角坐标系中，画出函数()221y x =-+、22y x =-和()221y x =--的图像． 【例15】将函数()221y x =-+、()221y x =--与函数22y x =-的图像进行比较，函数()221y x =-+、()221y x =--的图像有哪些特征？完成下表．九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像【例16】说出下列函数的图像如何由抛物线213y x =-平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）()2123y x =-+； （2）()2143y x =--．【例17】已知函数223y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当x = ______时，函数取得最______值，为______；已知函数()23y x =-+，当x = ______时，函数取得最______值，为______．【例18】把抛物线213y x =-向左平移2个单位得到抛物线____________；若将它向下平移2个单位，得到抛物线____________． 【例19】已知抛物线()21y x =--，当x > 1时，y 随着x 的增大而______；当x < 1时，y 随着x 的增大而______．【例20】顶点坐标为（-5，0）且开口方向、形状与函数235y x =-相同的抛物线是____________．【例21】若抛物线()2y a x m =+的对称轴为直线x = -1，且它与抛物线22y x =-的形状相同，开口方向相反，则点（a ，m ）关于原点的对称点为______． 【例22】一台机器，原价50万元，如果每年折旧率为x ，两年后这台机器的价格为y万元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．()2501y x =-B ．()501y x =-C ．250y x =-D ．()2501y x =+【例23】 下列命题中，错误的是（ ）A ．抛物线21y =-不与x 轴相交B ．抛物线21y =-与)21y x =-形状相同，位置不同C ．抛物线21122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的顶点坐标为（12，0）D ．抛物线21122y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴是直线12x =九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像【例24】 已知二次函数图像的顶点在x 轴上，且图像经过点（2，2）与（-1，8），求此函数解析式． 【例25】已知二次函数()2y a x m =+的顶点坐标为()1,0-，且过点12,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求这个二次函数的解析式； （2）点()2,2B -在这个函数图像上吗？（3）如何通过左右平移函数图像，使它经过点B ？ 【例26】 已知抛物线()22y x =-的顶点为C ，直线y = 2x + 4与抛物线交于A 、B 两点．试求ABC S ∆．课堂练习【习题1】 函数2113y x =-+的图像是________，开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由2123y x =--的图像向________平移________个单位得到的．【习题2】 函数()223y x =-+的图像是________，开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由()221y x =--的图像向________平移________个单位得到的．【习题3】 已知抛物线()22y x =-+，当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ______时，y 随x 的增大而减小．【习题4】 函数2y ax =与函数23y x =-的图像的形状相同，开口方向相反．将函数2y ax =图像沿y 轴向上平移2个单位，所得的函数解析式是______． 【习题5】 二次函数()213y x m =-+的图像关于直线5x =-对称，那么它的解析式是 ______________，图像的顶点坐标是______________．【习题6】 二次函数2y ax k =+图像经过点（1，23）、（0，1），求此函数解析式，并求出开口方向、顶点坐标． 【习题7】 抛物线212y x =绕顶点旋转180°后，再向左平移3个单位得到的抛物线是 _____________．【习题8】 已知二次函数269y ax ax a =-+，当a 为何值时，图像的顶点在x 轴上．九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像【习题9】 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y = 3x + 4交y 轴与点A ，在抛物线221y x =-上能否存在一点P ，使POA ∆的面积等于10（平方单位）？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．课后作业【作业1】 抛物线21y x =+是由抛物线22y x =-（ ）得到的．A ．向上平移2个单位B ．向下平移2个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位【作业2】 填表：【作业3】二次函数213y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最大值为______，二次函数213y x =--的最大值为______．【作业4】 在平面直角坐标系中，如果抛物线22y x =不动：（1）把x 轴向上平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________； （2）把y 轴向右平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________．【作业5】 任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线22y x n =+，关于这些抛物线有以下结论，其中判断正确的个数是（ ）1、开口方向都相同；2、对称轴都相同；3、形状都相同；4、都有最低点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【作业6】 抛物线2y ax c =+顶点坐标是（0，2），且形状与212y x =-相同，求抛物线的解析式．【作业7】 已知抛物线与x 轴的交点的横坐标分别是-2、2，且与y 轴的交点的纵坐标是-3，求该抛物线的解析式．。
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对于二次函数 y=x²
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的图像，
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（1）试描述图像的
形状。
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（2）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 试找出几对对称点。
（3）图像与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（4）当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0 时呢？
（5）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？
1、抛物线y=3x2开口方向___向_上_____，顶点 坐标__（__0，_0_）____，对称轴___Y_轴_____。
1、抛物线y=-3x2开口方向___向__下____，顶 点坐标_（_0，__0）______，对称轴_Y_轴_______
下面我们先来研究最简单 的二次函数y=x2
例1 画出二次函数y=x2的图像。 解 先列表：
X … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 y=x2 4 1 0 1 4 9 …
再描点：根据上表中x和y的数值在坐标系中描点 （x，y）。
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二次函数的图像叫做抛物线， y=x2 是最简单的二次函数，它的图像可 以简称为抛物线y=x2
❖ 从图上看，抛物线y=-x2的顶点也是图像的最高点。
比较二次函数 y=x²和 y=-x²图像的异同：
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y x2
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y x2
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抛物线y=ax2(其中a是常数,且 a≠ 0)的对 称轴是y轴（即直线x=0),顶点是原点.
❖ 抛物线的开口方向是由a所取值的符号决定, 当a﹥0时,开口向上,顶点是抛物线的最低点; 当a﹤0时,开口向下,顶点是抛物线的最高点;
特殊二次函数的图像
二次函数Y=ax2的图像的作法 根据图像归纳出二次函数y=ax2的性质
1、一次函数的解析式是什么? Y=kx+b(k≠0)
2、一次函数的图像是什么？
经过（0，b），且平行于y=kx的一条直线
3、
回顾一下，一次函数的图像是什么形状的呢？ 一次函数的图像是一条直线，二次函数的 图像是什么形状？它有什么性质呢？
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❖ 由图可知，抛物线y=x2的开口向上，如果将抛物线y=x2
沿y轴对折,两边的图像完全重合，y轴（即直线x=0）是它的对称 轴；
❖ 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，顶点的坐标为（0，0）；
❖ 从图上看，抛物线y=x2的顶点也是图像的最低点。
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二次函数 y=-x²图像是什么形状？
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抛物线
y=-x²
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开口方向 对称轴 顶点坐标
向下 y轴(即直线x=0) （0，0）
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❖ 由图可知，抛物线y=-x2的开口向下，如果将抛物线y=-x2 沿y轴对折,两边的图像完全重合，y轴（即直线x=0）是它的对称 轴；
❖ 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，顶点的坐标为（0，0）；