二次函数的交点

孟老师初三12月7日学案

II二次函数图像于x轴有二个交点

⑴利用交点确定不等关系

（2011•常州）已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变

量x分别取m﹣1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（）

A．y1＞0、y2＞0 B．y1＜0、y2＜0 C．y1＜0、y2＞0 D．y1＞0、y2＜0 （2011•绵阳）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）

A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2（2011•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（）

A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2

⑵利用交点确定字母的值

（2010•乐山）设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（）

A．6或﹣1 B．﹣6或1 C．6D．﹣1

（2007•河南）二次函数y=ax2+x+a2﹣1（a≠0）的图象可能是（）

A．B．C．D．

（2011•随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三

个，则k的值为（）

A．0B．1C．2D．3

⑶关于二次函数于x轴两交点的距离

（2009•孝感）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣与x轴交于

A n，

B n两点，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是（）A．B．C．D．

（2011•大庆）二次函数：y=ax2﹣bx+b（a＞0，b＞0）图象顶点的纵坐标不大于．（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；

（2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值．

（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系

数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|=

===；

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；

（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．

（2012•南昌）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 左边），与y轴交于点C．

（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．

①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

二：二次函数于反比例函数的交点

利用了图象上的点的坐标特征来解

（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为．

．（2010•十堰）方程x2+2x﹣1=0的根可看出是函数y=x+2与y=的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+x﹣1=0的实根x所在范围为（）

A．

﹣B．

C．D．

1

（2011•无锡）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）

A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 2012•杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A （1，k）和点B（﹣1，﹣k）．

（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．