2022年高三数学(理)全真模拟卷(全国卷专用)

2022年高三数学全真模拟卷（全国卷专用）（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·山西晋中·二模（理））记全集U =R ，{}2230A x x x =-->，{}2x B y y ==，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．[]1,3B ．()1,3-C ．(]1,0-D ．[]1,0-2．（2022·河南河南·一模（理））若复数z 满足(1i)|25i |2i z +=-+，则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2022·吉林白山·一模（理））已知向量()1,3a =，3b =，且()7a b a +⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 4．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若()(4)f x f >，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞B ．(4,)+∞C ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞D ．(4,4)-5．（2022·陕西·二模（理））小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约为（ ）A ．10%B ．8%C ．5%D ．4%6．（2022·河南焦作·二模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．24C ．48D ．607．（2022·河南·二模（理））甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．（2022·全国·模拟预测（理））用四种颜色给正四棱锥V ABCD -的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A ．72种B ．36种C ．12种D ．60种9．（2022·宁夏·银川一中一模（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是 ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件. A ．②④B ．①③C ．②③D ．①④10．（2022·河南·模拟预测（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是4，E 、F 分别是棱11B C 和1CC 的中点，点P 在正方形11BCC B （包括边界）内，当//AP 平面1A EF 时，1D P 长度的最小值为（ ） A ．27B ．42C 34D ．611．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知数列{}n a 的首项是11a =，前n 项和为n S ，且()1231n n S S n n N *+=++∈，设()2log 3n n c a =+，若存在常数k ，使不等式()()116n nc k n N n c *-≥∈+恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,36⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数()111324f x x x x =+++--图像与函数()22221x x g x -+=+图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑（ ）A ．20B ．15C ．10D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2022·江西宜春·模拟预测（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且269a a =，则313237log log log a a a ++⋅⋅⋅+=___________.14．（2022·江西·二模（理））若点P 为直线40x y -+=上的一个动点，从点P 引圆22:2C x y +=的两条切线,PM PN （M ，N 为切点），则直线MN 恒过定点E 的坐标为___________．15．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））若过定点(1,e)P 恰好可作曲线e (0)x y a a =>的两条切线，则实数a 的取值范围是__________．16．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，其左右焦点分别为()17,0F -，()27,0F ，点P 是双曲线右支上的一点，点I 为12PF F △的内心（内切圆的圆心），12PI xPF yPF =+，若1260F PF ∠=︒，3y x =，则12PF F △的内切圆的半径为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））已知233()sin 2cos 22f x x x =+-. (1)求()f x 的最小正周期和单调减区间；(2)在△ABC 中，1()2f A =-，D 为BC 中点，3AD =，求△ABC 面积的最大值.18．（2022·河南省鲁山县第一高级中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,23,24ABC AB AC BC ===，且D 为线段AB 的中点.(1)证明：1BC A D ⊥；(2)若1B 到直线AC11B AC D --的余弦值.19．（2022·全国·模拟预测）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）20．（2022·四川绵阳·二模（理））已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别为右顶点和上顶点，点O 为坐标原点，11e OF OA FA+=，OABe 为E 的离心率． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点O 异于坐标轴的直线与E 交于M ，N 两点，射线AM ，AN 分别与圆22:4C x y +=交于P ，Q 两点，记直线MN 和直线PQ 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（2022·江西九江·一模（理））已知函数()()xf x e mx m =+∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若0b a >>，且()()af b bf a >，求证：2a b +>．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的方程为()2239x y +-=.，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程；(2)已知射线1:02l πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线1C 交于O 、A 两点，将射线1l 绕极点逆时针方向旋转3π得到射线2l ，射线2l 与曲线2C 交于O 、B 两点，当α取何值时，AOB 的面积最大，并求AOB 面积的最大值. 23．（2022·江西宜春·模拟预测（理））已知函数()122f x ax ax =--+. (1)当1a =时，求不等式()1f x ≥-的解集；(2)若对任意的[]1,4x ∈，()4f x ax +-=1恒成立，求实数a 的取值范围.2022年高三数学全真模拟卷（全国卷专用）（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·山西晋中·二模（理））记全集U =R ，{}2230A x x x =-->，{}2x B y y ==，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．[]1,3B ．()1,3-C ．(]1,0-D ．[]1,0-【答案】D 【解析】 【分析】理解题目所给图形的含义，按交并补的定义计算即可. 【详解】由题图知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，∵{}{}223013A x x x x x x =-->=-或，{}{}20xB y y y y ===>，∴{}10A B x x x ⋃=-或， 故(){}[]101,0UA B x x ⋃=-≤≤=-，故选：D.2．（2022·河南河南·一模（理））若复数z 满足(1i)|25i |2i z +=+，则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的公式和复数的四则运算得Z ，再由共轭复数的概念及复数的几何意义可得. 【详解】因为|2|3= 所以(1i)32i z +=+ 所以32i 32i 1i 51==i 1i 1i 1i 22z ++-=-++-（）（）（）（） 51=i 22Z ∴+，对应的点51()22，在第一象限故选：A.3．（2022·吉林白山·一模（理））已知向量()1,3a =，3b =，且()7a b a +⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】因为()22cos 47a b a a a b a a b θθ+⋅=+⋅=+=+=，所以cos θ=a 与b 的夹角为6π.故选：A4．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若()(4)f x f >，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞B ．(4,)+∞C ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞D ．(4,4)-【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，可得到()()(4)f x f x f =>，再利用单调性求解即可. 【详解】解：∵因为偶函数满足()()()f x f x f x =-=，∴()()(4)f x f x f =>，又∵()f x 在[)0+∞，上单调递减，∴4x <，即44x -<<，∴()4,4x ∈-.故选：D5．（2022·陕西·二模（理））小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约为（ ）A ．10%B ．8%C ．5%D ．4%【答案】A 【解析】 【分析】求出肉类开支为100元，占食品开支的13，再由食品开支占总开支的30%，进而求得小张一星期的肉类开支占总开支的百分比. 【详解】由题图②知，小张一星期的食品开支为30401008050300++++=元， 其中肉类开支为100元，占食品开支的13，而食品开支占总开支的30%，所以小张一星期的肉类开支占总开支的百分比为130%10%3⨯=.故选：A.6．（2022·河南焦作·二模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．24C ．48D ．60【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图还原原图，结合锥体体积公式求得正确答案. 【详解】由三视图知，该几何体是一个三棱锥1A BCD -，如图， 底面BCD △的面积为11661822BC CD ⋅=⨯⨯=，高为8，所以三棱锥1A BCD -的体积1188483V =⨯⨯=.故选：C7．（2022·河南·二模（理））甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.【详解】由上表知：若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.故选：D8．（2022·全国·模拟预测（理））用四种颜色给正四棱锥V ABCD-的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A．72种B．36种C．12种D．60种【答案】A【解析】【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.【详解】如下表故选：A ．9．（2022·宁夏·银川一中一模（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是 ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件. A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．①④【答案】A 【解析】根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断. 【详解】由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件， ()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =；()11552111112P B A ⨯==，由此知，②正确； ()2411P B A =，()3411P B A =；而()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++ 1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=. 由此知①③不正确；1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，由此知④正确； 对照四个命题知②④正确； 故选：A. 【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.10．（2022·河南·模拟预测（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是4，E 、F 分别是棱11B C 和1CC 的中点，点P 在正方形11BCC B （包括边界）内，当//AP 平面1A EF 时，1D P 长度的最小值为（ ） A ．27 B ．42 C ．34 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】分别取1BB 、BC 的中点M 、N ，连接MN 、EN 、DN 、1D M 、1D N 、AM 、AN 、1B C ，证明出平面//AMN 平面1A EF ，可知点P 的轨迹为线段MN ，分析可知当1D P MN ⊥时，即当点P 为线段MN 的中点时，1D P 的长度取最小值，利用勾股定理可求得结果. 【详解】分别取1BB 、BC 的中点M 、N ，连接MN 、EN 、DN 、1D M 、1D N 、AM 、AN 、1B C ，如下图所示：因为E 、F 分别为11B C 、1CC 的中点，则1//EF B C ，同理可得1//MN B C ，则//EF MN ，MN ⊄平面1A EF ，EF ⊂平面1A EF ，//MN ∴平面1A EF ，因为11//BC B C 且11BC B C =，E 、N 分别为11B C 、BC 的中点，所以，1//B E BN 且1B E BN =， 所以，四边形1BB EN 为平行四边形，故1//EN BB 且1EN BB =， 因为11//AA BB 且11AA BB =，所以，1//EN AA 且1EN AA =， 故四边形1AA EN 为平行四边形，则1//A E AN ，AN ⊄平面1A EF ，1A E ⊂平面1A EF ，//AN ∴平面1A EF ，ANMN N =，所以，平面//AMN 平面1A EF ，MN ⊂平面AMN ，//MN ∴平面1A EF ，当点P MN ∈时，AP ⊂平面AMN ，则//AP 平面1A EF ，所以点P 的轨迹为线段MN ， 1DD ⊥平面ABCD ，DN ⊂平面ABCD ，则1DD DN ⊥，DN CD ==16D N ==，同理可得16D M =，因为MN所以，当1D P MN ⊥时，即当点P 为线段MN 的中点时，1D P 的长度取最小值，此时1D P 故选：C.11．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知数列{}n a 的首项是11a =，前n 项和为n S ，且()1231n n S S n n N *+=++∈，设()2log 3n n c a =+，若存在常数k ，使不等式()()116n nc k n N n c *-≥∈+恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,36⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先由数列通项与前n 项和的关系得到数列{}n a 的递推关系123n n a a +=+，再构造等比数列{}3n a +，求数列{}3n a +的通项公式，进一步求出数列{}n a 的通项公式，从而可求数列{}n c 通项公式，代入所求式子1(16)n n c n c -+，分子、分母同除以n 构造基本不等式即可求出1(16)n nc n c -+的最大值，从而求出k 的范围.【详解】由1231n n S S n +=++，则当2n ≥时，得123(1)1n n S S n -=+-+， 两式相减得123n n a a +=+，变形可得：132(3)n n a a ++=+，又134a +=，122123116a a S S +==+⨯+=，所以25a =，2132(3)a a +=+，∴数列{}3n a +是以4为首项、2为公比的等比数列，故113422n n n a -++=⨯=，所以2log (3)1n n c a n =+=+，所以2111116(16)(16)(1)17168172517n n c n n n c n n n n n n-===≤=++++++++，当且仅当4n =时等号成立，故125k ≥. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{}3n a +求{}n a 的通项公式，即可得{}n c 通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求1(16)n nc n c -+的最值，即可求参数范围.12．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数()111324f x x x x =+++--图像与函数()22221x x g x -+=+图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑（ ）A ．20B ．15C ．10D ．5【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()f x ，()g x 的性质，再探求它们的图象交点个数，利用性质计算作答. 【详解】 函数()111324f x x x x =+++--定义域为(,0)(0,2)(2,4)(4,)-∞⋃⋃⋃+∞， 其图象是4条曲线组成，在区间(,0)-∞，(0,2)，(2,4)，(4,)+∞上都单调递减，当0x <时，()3f x <，当02x <<或24x <<时，()f x 取一切实数，当4x >时，()3f x >， ()()1111114(3)(3)64224f x f x x x x x x x -+=---+++++=----，即()f x 的图象关于点(2,3)对称， 函数()8424x g x =-+定义域为R ，在R 上单调递增，值域为()2,4，其图象夹在二平行直线2,4y y ==之间，()()4884442424x x g x g x -⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2288()62424xx x ⋅=-+=++，()g x 的图象关于点(2,3)对称， 因此，函数()f x 的图象与()g x 的图象有4个交点，即4m =，它们关于点(2,3)对称，不妨令点11(,)x y 与44(,)x y 相互对称，22(,)x y 与33(,)x y 相互对称，则14234x x x x +=+=，14236y y y y +=+=， 所以41()20i i i x y =+=∑.故选：A 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2022·江西宜春·模拟预测（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且269a a =，则313237log log log a a a ++⋅⋅⋅+=___________.【答案】7 【解析】 【分析】根据等比数列性质可得217263549a a a a a a a ====，再利用对数的运算得解.【详解】由已知得数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则217263549a a a a a a a ====，43a =，所以31323773434log log lo log 7log g 7a a a a a ==+⋅⋅⋅+=+，故答案为：7.14．（2022·江西·二模（理））若点P 为直线40x y -+=上的一个动点，从点P 引圆22:2C x y +=的两条切线,PM PN （M ，N 为切点），则直线MN 恒过定点E 的坐标为___________． 【答案】11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据圆的切线方程的求解，求得MN 的直线方程，再根据直线方程求其过的定点即可. 【详解】设()()()001122,4,,,,P x x M x y N x y +，过点M 的切线方程为112xx yy +=，理由如下： 若过点M 的切线斜率存在，则所求切线的斜率111OMx k k y =-=-， 故其切线方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y x y +=+， 又点M 在圆222x y +=上，故22112x y +=，则过点M 的切线方程为112x x y y +=；若过点M 的斜率不存在，此时M的坐标为()或)，对应切线方程为x =x =112x x y y +=， 综上所述，过点M 的切线方程为：112x x y y +=； 同理所得：过点N 的切线方程为222xx yy +=，两切线均过点P ，则()()010*******,42x x x y x x x y ++=++=， 故过MN 的直线方程为()0042x x x y ++=， ∴0()42x x y y ++=，0,42,x y y +=⎧⎨=⎩∴1,21,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则直线MN 恒过定点11,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考察过圆上一点的切线方程的求解，以及直线恒过定点问题的处理，处理问题的关键是要掌握圆上一点切线方程的推导过程，属综合中档题.15．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））若过定点(1,e)P 恰好可作曲线e (0)x y a a =>的两条切线，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】求出函数的导数，设切点为(,)m n ，由导数的几何意义和两点的斜率公式可得e(2)e m m a-=-，设()(2)e x f x x =-，利用导数求出其单调区间和极值，再画出函数的图象，结合图象可得a 的取值范围【详解】由e (0)x y a a =>，得e x y a '=，切点为(,)m n ，则切线的斜率为e m a ， 所以切线方程为e ()m y n a x m -=-， 因为e m n a =，所以e e ()m m y a a x m -=-， 因为点(1,e)P 在切线上， 所以e e e (1)m m a a m -=-，得e(2)e m m a-=-， 令()(2)e x f x x =-，则()(1)e x f x x '=-， 当1x >时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<， 所以()f x 在(1,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 所以()f x 在1x =处取得极小值e -，当x →-∞时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞， 由题意可得直线ey a=-与函数()f x 的图象有两个交点，所以ee 0a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞， 故答案为：(1,)+∞16．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，其左右焦点分别为()17,0F ，)27,0F ，点P 是双曲线右支上的一点，点I 为12PF F △的内心（内切圆的圆心），12PI xPF yPF =+，若1260F PF ∠=︒，3y x =，则12PF F △的内切圆的半径为______.【解析】 【分析】根据题意可得123PF PF =，结合双曲线的定义可得13PF a =，2PF a =，在12PF F △中，利用余弦定理求得a ，再根据()121212121211sin 22F PF S PF PF F PF PF PF F F r =∠=++内即可得出答案. 【详解】解：由12PI xPF yPF =+，结合点I 是12PF F △的内切圆的圆心可知12xPF yPF =， 又有3y x =，所以123PF PF =，再结合双曲线的定义可得13PF a =，2PF a =，再根据1260F PF ∠=︒，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， 即2222893a a a =+-，解得2a =， 则()121212121211sin 22F PF SPF PF F PF PF PF F F r =∠=++内，可得内切圆的半径角r =内.. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））已知23()2cos 2f x x x +-. (1)求()f x 的最小正周期和单调减区间；(2)在△ABC 中，1()2f A =-，D 为BC 中点，AD =ABC 面积的最大值.【答案】(1)最小正周期为π，单调减区间为2[,]63k k ππππ++，Z k ∈；【解析】 【分析】（1）利用倍角余弦公式、辅助角公式可得()sin(2)16f x x π=+-，根据正弦型函数的性质求最小正周期、单调减区间.（2）由题设有1sin(2)62A π+=，结合三角形内角的范围可得3A π=，再由2AB AC AD +=并应用向量数量积的运算律、基本不等式可得22123b bc c bc ++=≥，注意等号成立条件，最后应用三角形面积公式求面积即可. (1)由31()sin 2cos 21sin(2)1226f x x x x π=+-=+-，则22T ππ==， 令3222262k x k πππππ+≤+≤+且Z k ∈，可得263k x k ππππ+≤≤+且Z k ∈， 所以()f x 单调减区间为2[,]63k k ππππ++，Z k ∈. 综上，()f x 最小正周期为π，单调减区间为2[,]63k k ππππ++，Z k ∈. (2)由题设，1sin 2(6)(2)1A f A π+-=-=，即1sin(2)62A π+=，又0A π<<，则132666A πππ<+<，故5266A ππ+=，可得3A π=，而2AB AC AD +=，故2222()2412AB AC AB AB AC AC AD +=+⋅+==， 令||,||b AC c AB ==，则22222cos 123b bc A c b bc c bc ++=++=≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时等号成立，则△ABC 面积1sin 32S bc A =≤，综上，△ABC 面积的最大值为3.18．（2022·河南省鲁山县第一高级中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,23,24ABC AB AC BC ===，且D 为线段AB 的中点.(1)证明：1BC A D ⊥；(2)若1B 到直线AC 1911B ACD --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可证得1AA BC ⊥，理由勾股定理证得BC AB ⊥，再根据线面垂直的判定定理可证得BC ⊥平面11ABB A ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）过B 作BH AC ⊥于H ，连接1B H ，易证1B H AC ⊥，则1B H =B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，利用向量法即可求出答案. (1)证明：因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，因为24AB AC BC ===，所以222AB BC AC +=，所以BC AB ⊥， 因为1AB AA A ⋂=，所以BC ⊥平面11ABB A ， 又1A D ⊂平面11ABB A ，所以1BC A D ⊥； (2)解：过B 作BH AC ⊥于H ，连接1B H ， 因为1AA ⊥平面ABC ，1`AA BB ∕∕， 所以1BB ⊥平面ABC ，又因AC ⊂平面ABC ，所以1BB AC ⊥， 因为1BHBB B =，所以AC ⊥平面1BB H ，又1B H ⊂平面1BB H ，所以1B H AC ⊥，则1B H =因为BH ==14BB . 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，则())()()110,0,2,,,0,4,0C DA B ，设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =，则1134023420n DA x y n CA x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩， 令4x =，则()4,3,23n =-，同理可得平面11A B C 的一个法向量为()0,1,2m =， 则333465cos ,155531m n ==⨯， 由图可知，二面角11B AC D --为钝角，故二面角11B AC D --的余弦值为3465155-.19．（2022·全国·模拟预测）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：小学生初高中生 大学及大学以上在校生 60岁以下的社会人士 60岁及以上的社会人士 不了解“碳中和”及相关措施4030 80 55 70 了解“碳中和”及相关措施2080 150 190 85 (1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）【答案】(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关；(2)①0310p =；②()73a b + 【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点；②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案.(1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：根据列联表得 ()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯. 故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关.(2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望.由①知答错的概率为310，则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元.20．（2022·四川绵阳·二模（理））已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别为右顶点和上顶点，点O 为坐标原点，11e OF OA FA+=，OAB e 为E 的离心率． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点O 异于坐标轴的直线与E 交于M ，N 两点，射线AM ，AN 分别与圆22:4C x y +=交于P ，Q 两点，记直线MN 和直线PQ 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)22142x y += (2)12k k 为定值23【解析】【分析】（1）根据11e OF OA FA+=，OAB，求得,a b ，即可得出答案； （2）设点001122(,),(,),(,)M x y P x y Q x y ，则点00(,)N x y --，根据,M N 在椭圆E 上，可得12AM AN k k ⋅=-，设直线AM 的方程为2x my =+，则直线AN 的方程为22x y m=-+， 分别联立222,1,42x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，222,4,x my x y =+⎧⎨+=⎩求得,,M P Q 三点的坐标，从而可得出结论. (1) 解：因为11e OF OA FA +=，所以11e c a a c +=-，又2221,2OABc S ab e a b c a ====+，联立可得2,a b ==所以椭圆E 的方程为22142x y +=； (2)解：设点001122(,),(,),(,)M x y P x y Q x y ，则点00(,)N x y --，由题意得(2,0)A ，因为,M N 在椭圆E 上， 所以2200142x y +=，则220042x y =-， 所以220000220000122422y y y y x x x y ---⋅===-----， 即12AM AN k k ⋅=-， 设直线AM 的方程为2x my =+，则直线AN 的方程为22x y m=-+， 联立222,1,42x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 得22(2)40m y my ++=， 由,A M 在椭圆E 上，所以0242m y m =-+，所以20024222m x my m -=+=+， 所以012022y m k x m ==-， 联立222,4,x my x y =+⎧⎨+=⎩消x 得22(1)40m y my ++=， 由点,A P 在圆C 上，所以1241m y m =-+，所以21122221m x my m -=+=+， 同理：22222828,44m m y x m m -==++， 所以22124221(36)342y y m m m k x x m m -+===---， 所以2122222233k m m k m m -=⋅=-， 即12k k 为定值23. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了定值问题，考查了数据分析能力和数学运算能力，运算量比较大，有一定的难度.21．（2022·江西九江·一模（理））已知函数()()x f x e mx m =+∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若0b a >>，且()()af b bf a >，求证：2a b +>．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导()x f x e m '=+，分0m ≥和0m <，讨论求解；（2）由()()af b bf a >，得到b a b a e e <，令()xx g x e =，利用导数法得到0x >时，01a b <<<或1a b ≤<证明. (1)解：()x f x e m '=+， 当0m ≥时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，当0m <时，由()0f x '>，得()ln x m >-；由()0f x '<，得()ln x m <-．∴()f x 在()(),ln m -∞-上单调递减，在()()ln ,m -+∞上单调递增．综上所述，当0m ≥时，()f x 在R 上单调递增；当0m <时，()f x 在()(),ln m -∞-上单调递减，在()()ln ,m -+∞上单调递增．(2)证明：由()()af b bf a >，得()()b a a e mb b e ma +>+，即b a ae be >，b a b a e e <， 令()xx g x e =，则()()g b g a <．∵()1xx g x e -'=， ∴()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．当0x >时，()0g x >，∴01a b <<<或1a b ≤<，①若1a b ≤<，显然2a b +>②若01a b <<<，要证2a b +>，只需证21b a >->，即证()()2g b g a <-，若能证()()2g a g a <-，则原命题得证，令()()()2G x g x g x =--，()0,1x ∈，()()()22111x x x x x x G x x e e e e-----'=+=--， ∵01x <<，∴10x ->，20x x e e --->，∴()0G x '>，∴()G x 在()0,1单调递增，∴()()10G x G <=，∴()()2g a g a <-，原命题得证．综上所述，2a b +>．【点睛】关键点点睛：当01a b <<<时，关键是将证2a b +>，转化为证()()2g a g a <-，然后令()()()2G x g x g x =--，()0,1x ∈，利用导数而得解.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的方程为()2239x y +-=.，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程；(2)已知射线1:02l πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线1C 交于O 、A 两点，将射线1l 绕极点逆时针方向旋转3π得到射线2l ，射线2l 与曲线2C 交于O 、B 两点，当α取何值时，AOB 的面积最大，并求AOB 面积的最大值.【答案】(1)1:4cos C ρθ=，2:6sin C ρθ=(2)12πα=时，AOB 的面积取最大值为92+【解析】【分析】（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）设点A 的极坐标为()1,ρα、点B 的极坐标为2,3πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可求得1ρ、2ρ的表达式，利用三角形的面积公式以及三角恒等变换化简AOB 面积的表达式，利用正弦型函数的基本性质可求得AOB 面积的最大值.(1)解：曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， 转换为直角坐标方程为()2224x y -+=，即224x y x +=，转换为极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的方程为()2239x y +-=，即226x y y +=，转换为极坐标方程为6sin ρθ=.(2) 解：已知射线1:02l πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线1C 交于O 、A 两点，设点A 的极坐标为()1,ρα，则14cos ρα=，射线1l 绕极点逆时针方向旋转3π得到射线2l ，射线2l 与曲线2C 交于O 、B 两点． 设点B 的极坐标为2,3πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则26sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以，1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△2999cos 9cos 2cos 222232παααααα⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， 02πα<<，则42333πππα<+<，所以，当232ππα+=时，即12πα=时，AOB S 的最大值为92+23．（2022·江西宜春·模拟预测（理））已知函数()122f x ax ax =--+.(1)当1a =时，求不等式()1f x ≥-的解集；(2)若对任意的[]1,4x ∈，()4f x ax +-=1恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|40}x x -≤≤；(2)1a ≤-或1a ≥.【解析】【分析】（1）把1a =代入，利用分类讨论求解含绝对值的不等式作答.（2）利用绝对值三角不等式变形，再借助恒成立的不等式求解作答.(1)当1a =时，不等式()11221f x x x ≥-⇔--+≥-，化为：11221x x x <-⎧⎨-+++≥-⎩或111221x x x -≤≤⎧⎨-+--≥-⎩或11221x x x >⎧⎨---≥-⎩， 解11221x x x <-⎧⎨-+++≥-⎩得41x -≤<-，解111221x x x -≤≤⎧⎨-+--≥-⎩得10x -≤≤，解11221x x x >⎧⎨---≥-⎩得，无解， 所以原不等式的解集是{|40}x x -≤≤.(2)[]1,4x ∀∈，4|()|1||||22||22|||(22)(22)|4f x ax ax ax ax ax =+-=--+≤--+=，当且仅当(22)(22)0ax ax -+≥时取“=”，因此，[]1,4x ∀∈，222211a x a x ≥⇔≥，而21x 在[]1,4上单调递减，当1x =时，max 21()1x=，即有21a ≥，解得1a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围是1a ≤-或1a ≥。