抛物线型问题专题

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2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线型实际应用(课后练习)

2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线型实际应用考情分析年份题号题型分值结合背景解题关键点设问形式202225解答题8抛物线型——隧道截面(1)理解题意，得顶点坐标；(2)点A、B纵坐标为6(一对对称点)(也可理解为抛物线与直线y=6的交点)(1)求抛物线表达式；(2)求抛物线上两点坐标（对称点）典例精讲例已知篮筐距地面3.05m，小亮站在距篮筐水平距离4m处跳起投篮，篮球的运行路线是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐．篮球和篮筐均看作一个点，建立如图所示的平面直角坐标系，y轴经过抛物线的顶点．例题图(1)求小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式；(2)已知小亮的身高是1.8m，在这次跳投中，篮球在他头顶上方0.25m处出手，求球出手时小亮跳离地面的高度是多少米？(3)若小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被距篮筐水平距离为5m处的小明跳起来接住，小明接球的高度为2.3m．已知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为2m时到达最高点．若小明不接球，让篮球自由落地，则落地点到篮筐的水平距离是多少m?抛物线型实际应用题解题关键点是理解题意，从题干中梳理信息，把实际情境下的数字信息转化为数学问题，借助函数图象解决.练习(2022宁夏真题卷)2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米．以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为(4，12)，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3∶4(即34 CEDE)．练习题图求：(1)点A的坐标；(2)该抛物线的函数表达式；(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．(精确到0.1米) (≈1.73)练习1夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，爷爷用细竹篾编了一个罩子保护饭菜(如图①)．它的横截面可以看成一个抛物线的形状．壮壮测得菜罩的跨度为80厘米，高度为32厘米，壮壮就以菜罩左边缘为原点建立平面直角坐标系(如图②)．练习1题图(1)求抛物线的解析式；(2)壮壮的妈妈想购买一批直径为24厘米，高度为2.5厘米的盘子，要使菜罩紧贴桌面，菜罩内一排能放下三个这样的盘子吗？请说明理由．练习2某游乐园计划在道路AB上方搭建一座抛物线型彩虹桥，已知道路AB的宽为40米，桥面最高处C点距离路面的距离OC为8米．以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示.练习2题图(1)求这座彩虹桥的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；(2)按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个桥墩进行支撑，若要保障道路AB的正常通行，两个桥墩之间的距离至少需要30米，求桥墩的最大高度(不考虑桥墩的宽度);(3)若在该彩虹桥下方有一个限高4米的横杆，现要在横杆上方设置一个宽18米，高2米的广告牌，问：在不超出桥面的情况下，这个广告牌能否按计划设置(不考虑横栏的宽度)?答案典例精讲例解：(1)∵抛物线的顶点在y轴上，∴该抛物线的对称轴是y轴，∴设抛物线解析式为y＝ax2＋3.5(a≠0)，∵小亮距y轴的水平距离为2.5m，距篮筐水平距离为4m，∴篮筐距y轴的水平距离为4－2.5＝1.5m，∴篮筐的坐标为(1.5，3.05)，把(1.5，3.05)代入抛物线解析式，得3.05＝a×1.52＋3.5，解得a＝－0.2，∴篮球运行路线所在抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5(－2.5≤x≤1.5)；(2)设球出手时，小亮跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m，∴h＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5，解得h＝0.2，∴篮球出手时，小亮跳离地面的高度为0.2m；(3)∵篮球弹出后运行的水平距离为2m时到达最大高度，篮筐到y轴的距离为1.5m，∴篮球弹出后运行路线所在抛物线的对称轴是直线x＝1.5－2＝－0.5，∴设该抛物线的解析式为y＝a′(x＋0.5)2＋k，∵小明到篮筐的水平距离为5m，∴小明距y轴的水平距离为3.5m，∴抛物线经过点(－3.5，2.3)，(1.5，3.05)，代入抛物线解析式可得，222.3=(3.50.5)=0.153.653.05(1.50.5)a k aka k''⎧-++-⎧⎪⎨⎨='=++⎪⎩⎩，解得，∴抛物线的解析式为y＝－0.15(x＋0.5)2＋3.65，令－0.15(x＋0.5)2＋3.65＝0，解得x10.5，x20.5(舍去)，∴篮球落地点距y 轴(0.5)m ，0.5＋1.5＝2)m ，∴若小明不接球，则篮球落地点到篮筐的水平距离为(3＋2)m.课堂练兵练习解：(1)点A 的坐标为(0，4)；(2)∵抛物线最高点B 的坐标为(4，12)，∴点B 是抛物线顶点，抛物线可设为y ＝a (x －4)2＋12(a ≠0)，把点(0，4)代入得a (0－4)2＋12＝4，解得a ＝－12，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－12(x －4)2＋12，即y ＝－12x 2＋4x ＋4；(3)在Rt △CDE 中，∵34CE DE =；∴设CE ＝3x ，则DE ＝4x ，由勾股定理得CD ＝5x ＝2.5，解得x ＝0.5，∴CE ＝1.5，DE ＝2，∴点D 的纵坐标为－1.5，将y D ＝－1.5代入抛物线y ＝－12(x －4)2＋12，得－12(x D －4)2＋12＝－1.5，解得x D ＝4＋或4－(舍去)，∴OC ＝x D －ED ＝4＋2＝2＋≈7.2(米)．∴起跳点A 与着陆坡顶端C 之间的水平距离OC 的长约为7.2米．课后小练练习1解：(1)设抛物线解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，由题意知，其顶点坐标为(40，32)，则抛物线为y ＝a (x －40)2＋32，把点(80，0)代入，得0＝a (80－40)2＋32，解得a ＝－150.∴抛物线的解析式为y ＝－150(x －40)2＋32；(2)能放下．理由如下：当x ＝803242-⨯＝4时，y ＝－150×(4－40)2＋32＝6.08>2.5.∴菜罩内一排能放下三个这样的盘子．练习2解：(1)∵AB ＝40，∴OB ＝20.设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，又∵抛物线经过点C(0，8)和点B(20，0)，∴＝8，400＋＝0，解得＝－0.02，＝8，∴抛物线的解析式为y＝－0.02x2＋8(－20≤x≤20)；(2)∵两个桥墩之间的距离至少为30米，且对称安置，∴桥墩距离中心OC的距离至少为15米．令x＝15，得y＝－0.02×152＋8＝3.5，∴桥墩的最大高度3.5米；(3)由题意可得，广告牌的最高处距离路面的距离为4＋2＝6米．令y＝6，则－0.02x2＋8＝6，解得x1＝－10，x2＝10，∴距离路面的距离为6米时桥面的宽度为20米．∵18＜20，∴这个广告牌能按计划设置．。

【初中数学】人教版九年级上册第4课时抛物线型类问题(练习题)

人教版九年级上册第4课时抛物线型类问题(353) 1.如图，龙丽公路某隧道横截面为抛物线，其最大高度为9米，底部宽度OM为18米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD−DC−CB，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？2.一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的函数解析式；(2)求支柱EF的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由3.有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m．(1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升ℎ(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，写出ℎ关于d的函数解析式；(3)设正常水位时，桥下的水深为2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于18m，则水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？4.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线，它们关于y轴对称．AB//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A.y=14(x+3)2 B.y=−14(x+3)2C.y=14(x−3)2 D.y=−14(x−3)25.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=−1400(x−80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴．若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A.16940米 B.174米 C.16740米 D.154米6.如图,一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端拴于立柱与铁结合处，绳子自然下垂呈抛物线状态，一身高0.7米的小女孩站在离立柱0.4米处，其头刚好触到绳子，则绳子最低点到地面的距离为（）A.0.16米B.0.2米C.0.4米D.0.64米7.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A.50mB.100mC.160mD.200m8.设计师以y=2x2−4x+8的图象为灵感设计杯子如图所示．若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（）A.17B.11C.8D.79.如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为34m，到墙边OA的距离分别为12m，32m．(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？10.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米(即MO=6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC=4.5米)．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．11.某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=−110x2+c，且过顶点C(0，5)(长度单位：m)．(1)直接写出c=；(2)该隧道为双车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，则这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由；(3)为了车辆安全快速通过隧道，对该隧道加固维修．维修时需搭建的“脚手架”为矩形EFGH．使点H，G在抛物线上，点E，F在地面AB上．施工队最多需要筹备多少材料(即求出“脚手架”三根木杆HE，HG，GF的长度之和的最大值)？12.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时角坐标系，其函数解析式为y=−125水面宽度AB为（）A.−20mB.10mC.20mD.−10m参考答案1(1)【答案】解：由题意可得M(18，0)，P(9，9).(2)【答案】设抛物线的解析式为y =a(x −9)2+9.∵抛物线y =a(x −9)2+9经过点(0，0)，∴0=a(0−9)2+9，即a =−19，∴抛物线的解析式为y =−19(x −9)2+9，即y =−19x 2+2x .(3)【答案】设A(m ，0)，则B(18−m ，0)，C (18−m ，−19m 2+2m)，D (m ，−19m 2+2m)．则“支撑架”总长AD +DC +CB=(−19m 2+2m)+(18−2m)+(−19m 2+2m) =−29m 2+2m +18=−29(m −4.5)2+22.5，∴当m =4.5时，AD +DC +CB 有最大值，为22.5，即这个“支撑架”总长的最大值为22.5米.2(1)【答案】解：根据题目条件，点A ，B ，C 的坐标分别是(−10,0),(10,0),(0,6)．设抛物线的函数解析式为y =ax 2+c ，将B ，C 两点的坐标代入y =ax 2+c ，得 {0=100a +c,6=c,解得a =−350,c =6.所以抛物线的函数解析式是y =−350x 2+6.(2)【答案】可设F(5,y F )，于是y F =−350×52+6=4.5.从而支柱EF的长度是10−4.5=5.5(m)(3)【答案】能．理由：如图，设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则点G的坐标是(7,0)．过点G作GH⊥AB交抛物线于点H，则y H=−350×72+6=3.06>3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车．3(1)【答案】解：设抛物线的解析式为y=ax2，代入点(10，−4)，得−4=100a，解得a=−125，因此抛物线的解析式为y=−125x2(2)【答案】把点(d2，−4+ℎ)代入函数解析式y=−125x2，得ℎ=4−1100d2(3)【答案】把x=9代入y=−125x2中，得y=−125×92=−8125(m)，∴4+2−8125=6925(m)．答：当水深超过6925m时就会影响过往船只在桥下顺利航行4.【答案】:C5.【答案】:B【解析】:∵OA=10米，∴x C=−10，把x C=−10代入y=−1400(x−80)2+16，得y C=−174，所以AC=｜y C｜=174米6.【答案】:B【解析】:以抛物线的对称轴为纵轴，以地平面所在的直线为横轴，建立平面直角坐标系，如图．设二次函数的解析式为y =ax 2+c ．∵点D(−0.4，0.7)，B(0.8，2.2)在抛物线上，∴{0.16a +c =0.7，0.64a +c =2.2，∴{a =258，c =0.2，∴绳子最低点到地面的距离为0.2米．7.【答案】:C【解析】:建立如图所示的平面直角坐标系．由题意得B(0，0.5)，C(1，0)．设抛物线的解析式为y =ax 2+c ，代入点B ，C 的坐标可解得a =−12，c =12， ∴抛物线的解析式为y =−12x 2+12．当x =0.2时，y =0.48；当x =0.6时，y =0.32，∴B 1C 1+B 2C 2+B 3C 3+B 4C 4=2×(0.48+0.32)=1.6(m )，∴所需不锈钢支柱的总长度至少为1.6×100=160(m )．8.【答案】:B【解析】:∵y =2x 2−4x +8=2(x −1)2+6，∴抛物线顶点D 的坐标为(1，6)．∵AB =4，∴点B 的横坐标为3，把x =3代入y =2x 2−4x +8，得y =14，∴CD =14−6=8，∴CE =CD +DE =8+3=119(1)【答案】根据题意,得B (12，34)，C (32，34)，把B ，C 两点的坐标分别代入y =ax 2+bx得{34=14a +12b,34=94a +32b, 解得{a =−1,b =2, ∴拋物线的函数关系式为y =−x 2+2x ，∴图案最高点到地面的距离=−224×(−1)=1(m)(2)【答案】令y =0，即−x 2+2x =0，∴x 1=0，x 2=2，∵10÷2=5，∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案10.【答案】:解：设大孔所对应的抛物线的函数解析式为y =ax 2+6，依题意可知B(10，0)，∴102a +6=0，解得a =−0.06，即y =−0.06x 2+6.当y =4.5时，−0.06x 2+6=4.5，解得x =±5.∴EF =10米．答：此时大孔的水面宽度EF 为10米.11(1)【答案】5(2)【答案】能．理由:把x=3代入解析式,得y=−110×32+5=4.1>4，故能顺利通过.(3)【答案】设F(x，0)，则G(x，−110x2+5)，∴HE=FG=−110x2+5，GH=EF=2x，∴HE+FG+GH=−15x2+2x+10=−15(x−5)2+15(0<x<5√2)，∴当x=5时有最大值，最大值为15，∴施工队最多需要筹备15米材料12.【答案】:C【解析】:由已知水面离桥拱顶的高度DO是4m，知点A，B的纵坐标为−4，把y=−4代入y=−125x2，得−4=−125x2，解得x=10或x=−10，所以这时水面宽度AB为20m．故选 C。

抛物线型实际应用题(PDF版含解析)

专题三抛物线型实际应用题1.如图1所示的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其函数的表达式为y=-125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是2m 时，这时水面宽度AB 为（ D ）A ．﹣10mB ．﹣5mC ．5mD ．10m2.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH=2cm ，BD=2cm ，则右轮廓DFE 所在抛物线的函数表达式为（ B ）A ．y=（x +3）2B ．y=（x ﹣3）2C ．y=﹣（x +3）2D ．y=﹣（x ﹣3）2 3.在某次羽毛球比赛中，某羽毛球的运动路线可以看做是抛物线y=-x 2+x+1的一部分（如图所示，单位:m ），则下列说法中，不正确的是（ B ）A.出球点A 离地面点O 的距离是1mB.该羽毛球横向飞出的最远距离是3mC.此次羽毛球最高可达到mD.当羽毛球横向飞出m 时，可达到最高点4.如图所示，某拱形门建筑的形状是抛物线.如果取拱形门地面上两点的连线为x轴，它的形状可以近似地用函数y=-297（x-97）2+194的图象来表示（单位:m ）.那么拱形门的地面宽度大约是 194 m.【解析】令y=0，即-972（x-97）2+194=0，解得x 1=0，x 2=194.∴拱形门的地面宽度为|194-0|=194（m ）.5.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3m ，此时距喷水管的水平距离为12m ，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉的函数表达式为 y=-（12x-122+3 .6.密苏里州圣路易斯拱门（如图1所示）是座雄伟壮观的抛物线型建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑.如图2所示，拱门的地面宽度为200m ，两侧距地面高150m 处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100m ，求拱门的最大高度.【解析】如答图所示建立平面直角坐标系.此时，抛物线与x 轴的交点为C （-100，0），D （100，0）.设这条抛物线的函数表达式为y=a （x-100）（x+100）.∵抛物线经过点B （50，150），∴150=a （50-100）（50+100），解得. ∴=-501x 2+200.∴拱门的最大高度为200m.7.如图所示，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线.当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高为2.44m.（1）在如图所示的平面直角坐标系中，此飞行足球能否射进球门？（不计其他情况）（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多少米才能阻止球员甲的射门？【解析】（1）∵抛物线的顶点坐标是（4，3），∴可设抛物线的函数表达式为y=a（x-4）2+3.把（10，0）代入，得36a+3=0，解得a=-.∴抛物线的函数表达式为y=-（x-4）2+3.当x=0时，y=-×16+3=3-=＜2.44，∴能射进球门.（2）当x=2时，y=-×（2-4）2+3=83＞2.52，∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门.当y=2.52时，-（x-4）2+3=2.52，解得x1=1.6，x2=6.4（舍去）.2-1.6=0.4（m），∴他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门.8.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管高OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ D ）A.1mB.1.5mC.2mD.3m【解析】如答图所示建立平面直角坐标系.右边抛物线的顶点坐标是（1，4），设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）2+4.把（0，3）代入，得a+4=3，解得a=-1.∴抛物线的函数表达式为y=-（x-1）2+4.令y=-（x-1）2+4=0，解得x1=3，x2=-1（舍去）.∴水池的最小半径是3m.故选D.9.音乐喷泉（如图1所示）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉喷水形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（如图2所示），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx.（1）若k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a,b的值.（2）若k=1，喷出的水恰好到达岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？（3）若k=2，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围.【解析】（1）∵y=ax2+bx的顶点为（-，-），抛物线的顶点在直线y=kx上，k=1，抛物线水线最大高度达3m，∴﹣=，=3，解得a=-，b=2.（2）∵k=1，喷出的水恰好到达岸边，出水口离岸边18m，抛物线的顶点在直线y=kx上，∴此时抛物线的对称轴为直线x=9，y=x=9.∴此时喷出的抛物线水线最大高度是9m.（3）∵y=ax2+bx的顶点为（-，-），抛物线的顶点在直线y=2x上，∴﹣×2=﹣，解得b=4.∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边18m，∴﹣×2=﹣，解得b=4.10.我们常见的炒菜锅和锅盖（如图1所示）都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系，如图2所示.如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2.（1）求C1和C2的函数表达式.（2）如果炒菜锅里的水位高度是1dm，求此时水面的直径.（3）如果将一个底面直径为3dm、高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由.【解析】（1）由于抛物线C1,C2都过点A（-3，0）,B（3，0），∴可设它们的函数表达式分别为y=a1（x-3）（x+3）和y=　a2(x-3)(x+3)　.∵抛物线C1还经过D（0，-3），∴-3=a1（0-3）（0+3），解得a1=∴抛物线C1:y=x2-3（-3≤x≤3）.∵抛物线C2还经过C（0，1），∴1=a2（0-3）（0+3），解得a2=-.∴抛物线C2:y=-x2+1（-3≤x≤3）.（2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y=-2，即x2-3=-2，解得x=±..∴此时水面的直径为2dm.（3）锅盖能正常盖上，理由如下:当x=时，抛物线C1：y=×（）2﹣3=﹣，抛物线C2：y=﹣×（）2+1=，而﹣（﹣）=3，∴锅盖能正常盖上．。

抛物线难题集锦

抛物线难题集锦本文提供了一系列抛物线难题的解答，旨在帮助读者更好地理解抛物线的性质和特点。

以下是一些常见的抛物线难题及其解决方法。

问题1: 确定抛物线的顶点和焦点坐标解答:抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$。

1.要确定抛物线的顶点坐标，可以使用公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 和 $y = c-\frac{b^2}{4a}$。

2.要确定抛物线的焦点坐标，可以使用公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 和 $y = c-\frac{1}{4a}$。

问题2: 确定抛物线的对称轴方程解答:抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$。

1.要确定抛物线的对称轴方程，可以使用公式 $x = -\frac{b}{2a}$。

问题3: 计算抛物线与 x 轴的交点解答:抛物线与 x 轴的交点对应于方程 $y = 0$ 的解。

1.将抛物线方程 $y = ax^2 + bx + c$ 中的 y 替换为 0，可以得到一个关于 x 的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。

2.可以使用求根公式或因式分解等方法求解该二次方程，从而得到抛物线与 x 轴的交点坐标。

问题4: 计算抛物线在某点的切线方程解答:1.首先，通过求导数可以得到抛物线的斜率方程，即 $y' = 2ax+ b$。

2.然后，将给定点的横坐标带入斜率方程，得到该点处的斜率。

3.最后，将斜率和给定点的坐标代入直线的点斜式方程中，即$y - y_0 = k(x - x_0)$，其中 $k$ 为斜率，$(x_0.y_0)$ 为给定点的坐标。

问题5: 求解已知两点的抛物线方程解答:1.已知两点的坐标为 $(x_1.y_1)$ 和 $(x_2.y_2)$。

2.使用已知点的坐标代入抛物线方程，可以得到一个二元一次方程组。

3.解二元一次方程组，求出抛物线的系数 $a$、$b$ 和 $c$，从而得到抛物线方程。

二次函数抛物线型问题

1. （2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函数关系式：61t 5h 2+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（）A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米【答案】C 【思路分析】在二次函数61t 5h 2+--=）（中，顶点坐标为（1,6），∵a=-5<0，∴当t=1时，h 取得最大值6.∴小球距离地面的最大高度是6米。

【方法规律】在二次函数顶点式2()y a x h k =-+中，顶点坐标为（h ，k ）。

当a>0时，开口向上，当x h =时，y 取得最小值k ；当a<0时，开口向下，当x h =时，y 取得最大值k 。

【易错点分析】不能够正确的应用二次函数的顶点式，将其化成一般式，再计算，从而引起计算性的错误。

【关键词】二次函数、最大值【推荐指数】★★☆☆☆【题型】常规题，好题，易错题2. （2011株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米【答案】A【思路分析】直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为2244(1)04444(1)ac b a -⨯-⨯-==⨯-. 【方法规律】在二次函数求最值的问题，一般是直接代入顶点公式计算即可．【易错点分析】弄不清在函数解析式中a 、b 、c 的值各是什么，造成计算错误．【关键词】二次函数的最值【难度】★★☆☆☆3. （2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m【答案】C【思路分析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a x 2＋05，将（1，0）代入得a ＝－05，所以抛物线的解析式为y ＝－0.5x 2＋0.5，分别将x ＝0.2和0.6代入，求得y 值为048，032，所以一个防护栏需不锈钢支柱长为2（048＋032）＝16，所以则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为16×100＝160【方法规律】先计算一个抛物线左边或右边需要不锈钢支柱的长度，根据抛物线的对称性来解【易错点分析】1、不能正确求出抛物线的解析式；2、不能利用抛物线的对称性【关键词】抛物线【难度】★★★☆☆ 【题型】好题4. （2011广西梧州，11，3分）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线21b c 4y x x =-++的一部分，其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是（） A ． 213144y x x =-++ B ．213144y x x =-+- C ．213144y x x =--+ D ．213144y x x =---【答案】A【思路分析】根据出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ，所以A ，B 两点坐标分别为（4，0），（0，1），在抛物线抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 上．将A（4，0），（0，1）代入抛物线解析式，得c ＝1，b ＝43，故选A ．【方法规律】首先把实际问题转化为二次函数的数学问题，求二次函数解析式，表达式中有几个待定系数，就需要几个点代入函数解析式，然后在接方程组，求出待定系数，从而求出函数解析式．【易错点分析】一是不能数形结合看出点B 、点A ．坐标，二是计算错误．【关键词】二次函数解析式【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题，易错题5. （2011青海西宁，7，3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，在如图3所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是A ．y =﹣（x ﹣12 ）2+3B ．y =﹣（x +12）2+3 C ．y =﹣12（x ﹣12 ）2+3 D ．y =﹣12（x +12）2+3 【答案】C【思路分析】根据题意知，抛物线的顶点坐标为（12，3）可设抛物线的解析式为1()32y a x =-+，又抛物线经过点（0，0）代入可求得a=12-，所以抛物线的解析式为y =﹣12（x ﹣12）2+3．【方法规律】待定系数法求函数解析式．【易错点分析】颠倒横纵坐标．【关键词】待定系数法【推荐指数】★☆☆☆☆【题型】常规题6. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h (m )关于运动时间t (s )的函数表达式为h ＝at 2＋bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是A ．第3秒B ．第3.5秒C ．第4.2秒D ．第6.5秒【答案】C【思路分析】由题意知，当t ＝4时小球的高度最高，当t ＝3与t ＝5时小球高度相等，当t ＜4时，h 随t 的增大而增大；当t ＞4时，h 随t 的增大而减小，∴四个选项中，当t ＝4.2时，小球高度最高．【方法规律】本题考查二次函数图象的对称性，这类问题最好结合图象来解决．【易错点分析】学生不易想到利用对称性来判断点的位置．【关键词】二次函数【推荐指数】★★★☆☆【题型】常规题，新题，好题．7. （2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h （m ）关于运动时间t （s ）的函数表达式为h =at 2+bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）A ．第3秒B ．第3.5秒C ．第4.2秒D ．第6.5秒【答案】C 【思路分析】由题意可知：h （2）=h （6），即4a +2b =36a +6b ，解得b =﹣8a ，函数h =at 2+bt 的对称轴t =﹣2b a=4，故在t =4s 时，小球的高度最高，题中给的四个数据只有C 第4.2秒最接近4秒，故在第4.2秒时小球最高．故选C ．【方法规律】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【易错点分析】不能根据二次函数图象的对称性得到函数的性质【关键词】二次函数的应用【推荐指数】★★★☆☆【题型】好题，难题．8.9.8. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC =4米，点B 到水平面距离为2米，OC =8米．(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省h /mt /s O 2 6（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3)为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）【解】（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，……………1分设抛物线的函数解析式为y＝ax2，………………2分由题意知点A的坐标为（4，8），且点A在抛物线上．………………3分所以8=a×42，解得a=12，故所求抛物线的函数解析式为212y x=．………………4分（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，………………5分则点A、D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．………………6分（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，所以点B的坐标为（2，2）．………………7分又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（－4，8）．………………8分设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9分则有2248k bk b+=⎧⎨-+=⎩………………10分解得k=－1，b=4．故直线BD的函数解析式为 y=－x+4．………………11分把x=0代入y=－x+4，得点P的坐标为（0，4）．两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．………………12分【思路分析】(1)以点O为原点，OC为y轴的正半轴建立坐标系，则可以设二次函数的解析式为y＝ax2，同时易确定A点的坐标为(4，8)，代入即可求出二次函数的解析式．(2)由用料最省，可确定点A关于y轴的对称点D，连结对称点D和点B，连线与y轴的交点就是点P的位置．(3)用待定系数法求出直线BD的解析式，把x＝0代入求得的解析式，求出点P的坐标，即求出O、P之间的距离．【方法规律】建立适当的坐标系时，可以以顶点为原点，对称轴为y轴，则二次函数的解析式为最简单的y＝ax2的形式，求解析式较为方便．两个点在直线的同侧，在直线上求一个点到两个点的距离之和最小，确定动点的方法是轴对称．【易错点分析】确定点P位置时，不能联系轴对称知识是导致错误的最根本原因．【关键词】二次函数，一次函数，待定系数法，轴对称【推荐指数】★★★★★【题型】新题，好题，难题，压轴题16. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。

高中数学抛物线经典例题(含解析)

抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。

抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。

抛物线习题精选(带答案)

抛物线习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则 =________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则=________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。

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抛物线形问题例1、已知平面直角坐标系xOy （如图1），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B . （1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求ABP ∠sin 的值；（3）设点Q 在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与y 轴的交点为点D ，如果AQO ∠=∠【答案】：（1）1-=n （2）sin =∠ABP 【解析】：（1） ∵直线m x y +=∴04=+-m ∴4=m∵直线m x y +=的经过点)3,(n B ∴34=+n ∴1-=n（2）由可知点B 的坐标为)3,1(- ∵抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B∴⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b ∴6=b ， 8=c∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y ∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P图1∴23=AB ,2=AP ,52=PB∴222PB BP AB =+ ∴︒=∠90PAB ∴PB AP ABP =∠sin∴1010sin =∠ABP（3）过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H ，则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠∴△OBD ∽△QBO ∴OBDB QBOB=∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD 又10=OB ，2=DB ∴25=QB ，24=DQ∵23=AB ∴28=AQ ,24=DQ∵QH ∥y 轴 ∴AQADQHOD= ∴28244=QH∴8=QH即点Q 的纵坐标是8又点Q 在直线4+=x y 上点Q 的坐标为)8,4(例2、如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）)518,56(1-P 或)2,2(2-P【解析】：（1）点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上备用图第2题图∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4）（2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD（3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBOAD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠ ∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，且△ABC 为锐角三角形则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ）过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-= ①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BOAO OHPH =，∴326=-tt，解得56=t ， ∴)518,56(1-P②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ， ∴126=-tt ，解得2=t ，∴)2,2(2-P综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P例3、已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G，当点G 在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标．【答案】：（1）解得12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩（2）13BC tan BAC AC ===∠（3）点P 的坐标为(11,36)或1744(,)39【解析】：（1将A （0,3）、B （4，）、C （3,0）代入，得1641,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩所以，这个二次函数的【解析】式为215322y x x =-+（2）∵A （0,3）、B （4，）、C （3,0） ∴AC =，BC =AB =∴222AC BC AB += ∴90ACB =︒∠∴13BC tan BAC AC===∠ （3）过点P 作PH y ⊥轴，垂足为H 设P 215(,3)22x x x -+，则H 215(0,3)22x x -+∵A （0,3）∴21522AH x x =-，PH x =∵90ACB APG ==︒∠∠∴当△APG 与△ABC 相似时，存在以下两种可能： ①PAG CAB =∠∠ 则13tan PAG tan CAB ==∠∠即13PHAH= ∴2115322xx x =- 解得11x =∴点P 的坐标为(11,36)②PAG ABC =∠∠ 则3tan PAG tan ABC ==∠∠ 即3PHAH=∴231522xx x =-解得173x =∴点P 的坐标为1744(,)39例4、已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （0,3），其顶点为D .（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD 的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相似，求点P 的坐标.【答案】：（1）抛物线的表达式为243y x x =-+（2）1（3）点P的坐标为（5,8），78,39⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】：（1）由题意得：013b cc =++⎧⎨=⎩得：43b c =-⎧⎨=⎩，所以抛物线的表达式为243y x x =-+. （2）由（1）得D （2，﹣1），作DT ⊥y 轴于点T ,则△ABD 的面积=()11124131211222⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=.（3）令P ()()2,432p p p p -+>.由△DPH 与△AOB 相似，易知∠AOB =∠PHD =90°，所以243132p p p -++=-或2431123p p p -++=-，解得：5p =或73p =，所以点P 的坐标为（5,8），78,39⎛⎫- ⎪⎝⎭.例5、平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA =EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，∠MEQ =∠NEB ，求点Q 的坐标．【答案】：（1）P 的坐标是（2，-1）（2）m=2（3）5t =，点E 的坐标为（5，8）【解析】：（1）∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （1，0）和B （3，0），图5∴10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得：4b =-，3c =．∴这条抛物线的表达式是243y x x =-+.顶点P 的坐标是（2，-1）．（2）抛物线243y x x =-+的对称轴是直线2x =，设点E 的坐标是（2，m ）．根据题意得：=解得：m=2，∴点E 的坐标为（2，2）．（3）解法一：设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，记MN 与x 轴相交于点F ．作QD ⊥MN ，垂足为D ，则2DQ t =-，2243241DE t t t t =-+-=-+, ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF ，∴△QDE ∽△BFE ，∴DQ DEBF EF=，∴224112t t t --+=，解得11t =（不合题意，舍去），25t =． ∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．解法二：记MN 与x 轴相交于点F ．联结AE ，延长AE 交抛物线于点Q ，∵AE=BE ， EF ⊥AB ，∴∠AEF=∠NEB ，又∵∠AEF=∠MEQ ，∴∠QEM=∠NEB ，点Q 是所求的点，设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，作QH ⊥x 轴，垂足为H ，则QH =243t t -+，OH =t ，AH =t -1，∵EF ⊥x轴，∴EF ∥QH ，∴EF AFQH AH=，∴221431t t t =-+-，解得11t =（不合题意，舍去），25t =． ∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．例6、在平面直角坐标系xOy 中，已知点B （8,0）和点C （9，3-）．抛物线c ax ax y +-=82（a ，c 是常数，a ≠0）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ．对称轴上有一点M ，满足MA =MC ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM 的面积；（3）如果坐标系内有一点D ，满足四边形ABCD 是等腰梯形，且AD //BC ，求点D 的坐标．【答案】：（1）抛物线的表达式：x y 312-=（2）3（3）点D 的坐标)539,513(-【解析】：（1）由题意得：抛物线对称轴点B （8,0）关于对称轴的对称点为点A最新中考数学优质二轮专题（附经典解析）将C （9，-3）代入ax ax y 82-=，得31-=a ∴抛物线的表达式：x x y 38312+-=（2）∵点M 在对称轴上，∴可设M （4，y ）又∵MA =MC ，即22MC MA =∴2222)3(54++=+y y , 解得y =-3, ∴M （4，-3） ∵MC //AB 且MC ≠AB , ∴四边形ABCMAB =8,MC =5,AB 边上的高h = y M = 3∴2393)58(21)(21=⨯+⨯=⨯+=MH MC AB S(3) 将点B （8,0）和点C （9，﹣3）代入y ⎩⎨⎧-=+=+3908b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=243b k 由题意得，∵AD //BC , 3-=BC k ∴3-=AD k ，又∵AD 过（0,0），DC =AB =8，设D (x ,-3x ) 2228)33()9(=+-+-x x ,解得11=x (不合题意，舍去)，5132=x ∴5393-=-=x y ∴点D 的坐标)539,513(-．例7、如图，已知在平面直角坐标系xOy 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （1）求抛物线的解析式和顶点D （第7题图）。