抛物线在实际问题的应用
抛物线定义的三个典型应用
ʏ江苏省太仓市明德高级中学 王佩其解数学题,优先考虑定义法,因为巧用定义往往能起到优化思维㊁简化运算的解题效果,抛物线问题更是如此㊂那么抛物线定义有哪些应用呢?下面介绍三个典型应用,供大家学习参考㊂一、利用抛物线定义求焦半径例1 (1)已知抛物线C :y 2=2p x (p >)的焦点为F ,过焦点且斜率为22的直线l 与抛物线C 交于A ,B (A 在B 的上方)两点,若|A F |=λ|B F |,则λ的值为( )㊂A.2 B .3 C .2 D .5(2)已知抛物线C :y 2=2p x (p >0)的焦点为F ,Q 为抛物线C 上一点,M 为抛物线C 的准线l 上一点,且Q M ʊx 轴㊂若O 为坐标原点,P 在x 轴上,且在点F 的右侧,|O P |=4,|Q F |=|Q P |,øM Q P =120ʎ,则准线l 的方程为( )㊂A.x =-165 B .x =-25C .x =-45 D .x =-85分析:(1)设直线l 的倾斜角为θ,求得c o s θ=13㊂过A 作A A 1垂直准线于A 1,过B 作B B 1垂直准线于B 1,过B 作B C 垂直A A 1于C ㊂由抛物线定义求出,|A C |=(λ-1)|B F |和|A B |=(λ+1)|B F |㊂在R t әA B C 中,利用余弦的定义表示出c o s θ=|A C ||A B |=13,即可求解㊂(2)根据抛物线的定义以及已知的几何量关系,判断出әP F Q 为等边三角形,再运用焦半径公式求出边长,进而解得p 的取值,最后求出准线方程㊂解:(1)设直线l 的倾斜角为θ,根据条件可得t a n θ=22,则c o s θ=13㊂图1如图1,过A 作A A 1垂直准线于A 1,过B 作B B 1垂直准线于B 1,过B 作BC 垂直A A 1于C ㊂由抛物线定义可得,|A F |=|A A 1|,|B F |=|B B 1|㊂因为|A F |=λ|B F |,所以|A C |=|A A 1|-|A 1C |=|A A 1|-|B B 1|=|A F |-|B F |=(λ-1)|B F |㊂|A B |=|A F |+|B F |=(λ+1)|B F |㊂在R t әA B C 中,c o s θ=|A C ||A B |=(λ-1)|B F |(λ+1)|B F |=13,解得λ=2㊂故选C ㊂(2)由题意得,如图2所示,点P 在焦点F 的右边,且P (4,0),Q M ʅl ,由抛物线的定义知|Q F |=|Q M |㊂图2因|Q F |=|Q P |,故|Q P |=|Q M |㊂又øM Q P =120ʎ,Q M ʊx 轴,故øQ P F =60ʎ,әQ F P 为等边三角形㊂则点Q 的横坐标为x Q =p 2+4-p22=2+p4,|Q M |=2+p 4+p 2=2+3p 4㊂7知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.又|Q M |=|Q P |=|F P |=4-p2,故2+3p 4=4-p2,解得p =85㊂所以准线l 的方程为x =-45,选C ㊂点评:抛物线的焦半径,就是抛物线上的点到抛物线焦点的距离㊂抛物线问题中如果涉及焦半径,通常依据抛物线的定义,把焦半径转化为抛物线上的点到准线的距离㊂二㊁利用抛物线定义求焦点弦例2 (1)抛物线C :y 2=2px 的焦点F 恰好是圆(x -1)2+y 2=1的圆心,过点F 且倾斜角为45ʎ的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ,则|A B |=㊂(2)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点F 分别作两条直线l 1,l 2,直线l 1与抛物线C 交于A ㊁B 两点,直线l 2与抛物线C交于D ㊁E 两点,若l 1与l 2的斜率的平方和为2,则|A B |+|D E |的最小值为( )㊂A.24 B .20 C .16 D .12分析:(1)根据题意可得C :y 2=4x ,l :y=x -1,联立方程利用韦达定理求|A B |=x 1+x 2+p 的值即可;(2)设出两条直线方程,与抛物线联立,求出弦长的表达式,根据基本不等式求出最小值㊂解:(1)由题意知,焦点F (1,0),则抛物线C :y 2=4x ,直线l :y =x -1㊂设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立y =x -1,y 2=4x ,消去y 并整理得x 2-6x +1=0㊂则x 1+x 2=6㊂所以|A B |=x 1+x 2+p =6+2=8㊂(2)抛物线的焦点坐标为F (1,0),设直线l 1:y =k 1(x -1),直线l 2:y =k 2(x -1)㊂联立y =k 1(x -1),y 2=4x ,得:k 21x 2-(2k 21+4)x +k 21=0㊂所以x 1+x 2=2k 21+4k 21=2+4k 21㊂焦点弦|A B |=x 1+x 2+p =4+4k 21㊂同理得,|D E |=4+4k 22㊂所以|A B |+|D E |=8+4k 21+4k 22㊂因为k 21+k 22=2,所以4k 21+4k 22=124k 21+4k 22(k 21+k 22)=128+4k 22k 21+4k 21k 22ȡ8㊂故(|A B |+|D E |)m i n =16,选C ㊂点评:焦点弦就是过抛物线的焦点的弦,它可以看成是由两条焦半径组成的㊂若A B 是抛物线y 2=2p x 的焦点弦,且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),抛物线的焦点为F ,则根据抛物线的定义,得|A B |=|A F |+|B F |=x 1+p 2 +x 2+p 2 =x 1+x 2+p ,运用这个公式时常结合韦达定理㊂三㊁利用抛物线定义求距离的最值例3 (1)长度为4的线段A B 的两个端点在抛物线y =x 2上移动,则线段A B 的中点M 到x 轴距离的最小值为( )㊂A.3 B .72C .154D .74(2)已知抛物线C :y 2=x 的准线为l ,点A 的坐标为(1,0),点P 在抛物线C 上,点P 到直线l 的距离为d ,则|P A |-d 的最大值为( )㊂A.34 B .12C .1D .23(3)(多选)已知A (a ,0),M (3,-2),点P 在抛物线y 2=4x 上,则( )㊂A.当a =1时,|P A |的最小值为1B .当a =3时,|P A |的最小值为3C .当a =1时,|P A |+|P M |的最小值为4D .当a =3时,|P A |-|P M |的最大值为2分析:(1)求出抛物线的焦点和准线方程,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),点M 到x 轴的8知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.距离为y 1+y 22,利用抛物线的定义可求|A F |+|B F |=y 1+14+y 2+14,利用|A F |+|B F |ȡ|A B |=4即可求解㊂(2)利用抛物线的定义,把问题转化为抛物线上的点P 到点A 与点P 到焦点F 距离差的最大值㊂(3)当a =1时,得到A (1,0)为抛物线焦点,利用焦半径求出|P A |=x 0+1ȡ1,从而判断A 选项;作辅助线,得到当N ,P ,M 三点共线时,|P A |+|P M |取得最小值,求出最小值,判断C 选项;延长A M 交抛物线于点P ',此时|A M |为|P A |-|P M |的最大值,求出最大值,判断D 选项;当a =3时,利用两点间距离公式和配方求出最小值,判断B 选项㊂解:(1)由题意可得F 0,14,准线为y =-14㊂设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)㊂过A 点作准线的垂线,垂足为A 1㊂过B 点作准线的垂线,垂足为B 1㊂因为M 是A B的中点,所以Mx 1+x 22,y 1+y 22㊂由抛物线的定义可得|A F |=|A A 1|=y 1+14,|B F |=|B B 1|=y 2+14㊂所以|A F |+|B F |=y 1+14+y 2+14=y 1+y 2+12ȡ|A B |=4,y 1+y 2ȡ72,当且仅当A ,B ,F 三点共线时等号成立㊂所以线段A B 的中点M 到x 轴距离的最小值为y 1+y 22=74,选D ㊂(2)抛物线C :y 2=x 的焦点为F 14,0㊂依题意,d =|P F |,则|P A |-d =|P A |-|P F |ɤ|A F |=34,当且仅当点P ,F ,A 共线,即点P 为抛物线顶点时取等号㊂所以|P A |-d 的最大值为34,选A ㊂(3)当a =1时,A (1,0)为抛物线的焦点㊂设P (x 0,y 0),x 0ȡ0,则|P A |=x 0+1ȡ1,故|P A |的最小值为1,A 正确㊂设抛物线的准线为l :x =-1,过点P 作P N ʅl 于点N ㊂此时|P A |+|P M |=|P N |+|P M |,故当N ,P ,M 三点共线时,|P A |+|P M |取得最小值,此时(|P A |+|P M |)m i n =3+1=4,C 正确㊂当a =3时,A (3,0),连接A M ,并延长A M 交抛物线于点P '㊂此时|P A |-|P M |ɤ|A M |,|A M |为|P A |-|P M |的最大值,当P 在其他位置时,根据三角形两边之差小于第三边,可知均小于|A M |㊂因|A M |=(3-3)2+(-2-0)2=2,故D 正确㊂此时|P A |=(x 0-3)2+y 20=(x 0-3)2+4x 0=(x 0-1)2+8㊂当x 0=1时,|P A |m i n =22,故B 错误㊂本题答案为A C D ㊂点评:抛物线中距离的最值问题,既要用到抛物线定义将距离转化,又要注意数形结合㊂主要有以下几种情形㊂1.解决到焦点与定点距离之和的最小值问题,先将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离,再结合图形解决问题㊂2.到两定点距离之差的最值问题,当且仅当三点共线时取得最值㊂3.解决到点与到准线的距离之和的最值问题,先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离,再构造出 两点之间线段最短 ,使问题得解㊂4.解决动弦中点到坐标轴距离最短问题,先将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半,再根据三角形中两边之和大于第三边求解㊂5.过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,通径是所有过焦点的弦中最短的,若能将问题转化为与通径有关的问题,则可以用通径最短求最值㊂(责任编辑 徐利杰)9知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
抛物线实践应用教学反思(3篇)
第1篇一、教学背景抛物线是高中数学中重要的几何图形之一，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
为了提高学生对抛物线的认识和应用能力，我在教学过程中，结合教材内容，设计了一系列的实践应用活动。
以下是对这节课的教学反思。
二、教学目标1. 让学生了解抛物线的定义、性质和图形特点。
2. 培养学生运用抛物线知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的创新思维和团队合作精神。
三、教学过程1. 导入新课通过展示生活中常见的抛物线图形，如滑梯、抛物线桥等，激发学生的学习兴趣，引出抛物线的概念。
2. 探究抛物线的性质通过引导学生观察、分析，总结出抛物线的性质，如对称性、开口方向、顶点坐标等。
3. 实践应用（1）设计抛物线桥让学生分组讨论，设计一座抛物线桥，要求桥面平滑，连接两端的直线段。
在设计中，要考虑抛物线的开口方向、顶点坐标等因素。
（2）分析抛物线运动轨迹让学生观察篮球在空中的运动轨迹，分析其是否为抛物线，并解释原因。
4. 总结与反思引导学生总结本节课所学内容，回顾抛物线的性质和应用，并对自己的学习进行反思。
四、教学反思1. 教学方法本节课采用了启发式教学和合作学习的方式，让学生在探究、讨论中主动学习。
通过实践应用，使学生将理论知识与实际生活相结合，提高了学生的学习兴趣和积极性。
2. 教学内容教学内容贴近生活，具有实际意义。
通过设计抛物线桥、分析抛物线运动轨迹等活动，使学生更好地理解抛物线的性质和应用。
3. 学生参与度学生在课堂上的参与度较高，能够积极参与讨论和实践活动。
但在设计抛物线桥时，部分学生存在思维定势，未能充分发挥创新思维。
4. 教学效果通过本节课的学习，学生对抛物线的性质和应用有了更深入的认识，能够运用所学知识解决实际问题。
但在课堂实践活动中，部分学生的合作能力有待提高。
五、改进措施1. 加强学生创新思维的培养在实践活动设计中，鼓励学生从不同角度思考问题，提出更多有创意的设计方案。
例析抛物线在生活中的应用
高考数学复习点拨：例析抛物线在生活中的应用例析抛物线在生活中的应用山东陈聪聪武振抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是建立恰当的直角坐标系，求出抛物线方程，充分利用抛物线的几何性质，通过方程解决实际问题.例1 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的两边围成，尺寸如图（单位：m），一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高 4.5m，此车能否通过隧道？说明理由.分析：先由题意建立坐标系.求出抛物线方程，将实际问题转化为抛物线的相关问题来解决.解：建立坐标系如图1，设矩形与抛物线的接点为A、B，则. 设抛物线方程为，将B点坐标代入得.∴抛物线方程为。
∵车与箱共高4.5m，∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5m .设抛物线上点D的坐标为.,故此车不能通过隧道.点评:涉及到与抛物线有关的桥的跨度、隧道高低问题，通常建立直角坐标系，利用抛物线的标准方程解决，注意建系后坐标的正负与其实际意义。
例2一个酒杯的轴截面是抛物线的一段弧，它的口宽是的，杯深20，在杯内放一玻璃球，玻璃球的半径r取何值时，才能使玻璃球触及杯底?分析：解决要点就是建立恰当坐标系，将实际问题转化为抛物线问题，再转化为代数问题.解：在酒杯轴截面内，玻璃球成了位于抛物线内的一个圆，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系如图2，则抛物线方程可设为，依题意得点在抛物线上，故抛物线的方程为，若玻璃球触及杯底，圆与x轴切于原点，这时圆心坐标为，在抛物线上任取一点,则，。
故当玻璃球的半径r取值范围为时，才能使玻璃球触及杯底.点评：本题关键将实际问题转化为抛物线问题，再转化为代数问题，利用二次函数求最值的方法使问题获解。
例3已知探照灯的轴截面是抛物线，如图所示，表示平行于对称轴轴的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况，设点P的纵坐标为,取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程最短？分析：关键就是利用抛物线的光学性质建立目标函数.解：由抛物线的光学性质，知光线PQ必过抛物线的焦点. 设P点的坐标为，则直线PQ的方程为：，即联立，解得，由图3可知，根据抛物线的定义得，当且仅当，即时等号成立.∴当从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短.点评：从抛物线的焦点处发出的光线照到抛物线上，经反射后平行与抛物线的轴；反之，平行抛物线的光线照到抛物线上，经反射后通过焦点，这一光学性质被广泛应用于各种设计中。
数学物理教案：抛物线的性质与应用
数学物理教案：抛物线的性质与应用一、抛物线的性质实践教案1.1 抛物线的定义与基本性质抛物线是二次函数的图像，具有特殊的几何性质和应用价值。
在数学中，我们常用一般式方程 y=ax^2+bx+c （其中a≠0 ）来描述抛物线。
在这个教案中，我们将重点探讨抛物线的性质与应用。
首先，我们来介绍抛物线的基本性质。
抛物线的对称轴与 x 轴平行，方程形式为 x= -b/2a。
对称轴上的点称为抛物线的顶点，也是对称中心。
通过点对称性，可以得出抛物线关于顶点对称。
抛物线在顶点处取得最值，当 a>0 时，最小值为 -D/4a；当 a<0 时，最大值为 -D/4a。
其中 D=b^2 - 4ac 称为方程的判别式。
抛物线的开口方向由 a 的正负决定，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的性质之焦点与准线接下来，我们将讨论抛物线的焦点和准线。
对于给定的抛物线，焦点F（p, q）是位于对称轴上的一个点，满足距离的性质：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线上的相应点的距离。
准线是过焦点 F 且垂直于对称轴的一条直线，其方程为 y=-(D/4a)。
我们可以利用这一性质来确定焦点的坐标，通过解方程组将焦点的坐标表示为（p, q）=（-b/2a, -D/4a）。
二、抛物线的应用实践教案2.1 抛物线的应用之物体运动轨迹抛物线不仅在数学领域有重要性质，而且在物理学中也具有广泛的应用。
抛物线可用于描述和分析物体在自由落体或斜抛运动中的轨迹。
在物理学中，我们知道自由落体运动是指只受重力作用的运动。
当一个物体以初速度 v₀进行向下抛掷时，其运动轨迹可以用抛物线来描述。
根据抛物线的性质，我们可以计算物体的最高点、最大高度以及落地点等重要信息。
2.2 抛物线的应用之天体运动除了物体运动轨迹外，抛物线还可以用于描述天体的运动。
在天文学中，行星、卫星和彗星等天体在星际空间中的运动轨迹往往呈现出抛物线形状。
抛物线运动在物理学中的应用
抛物线运动在物理学中的应用抛物线运动是物理学中一种常见的运动形式，广泛应用于各个领域。
它的独特性质使得它成为研究和解决各种问题的有力工具。
本文将介绍抛物线运动在物理学中的几个应用。
一、抛物线运动在力学中的应用在力学中，抛物线运动是一种平抛运动，物体在水平方向上具有匀速直线运动的同时，在竖直方向上受到重力的作用，以抛物线轨迹运动。
这种运动形式被广泛应用于研究射击、抛掷等问题。
1.炮弹射程计算炮弹在空中的运动可近似为抛物线运动，这使得我们能够计算出炮弹的射程。
通过测量炮弹的初速度、发射角度等参数，结合地球重力加速度，我们可以使用抛物线运动的相关公式，计算得到炮弹的飞行距离。
2.子弹穿透力研究在犯罪学中，警方需要研究子弹的穿透力，以判断子弹对不同材料的穿透能力。
通过让子弹以不同的速度和不同的角度射击靶子，警方能够确定子弹的抛物线轨迹，并通过研究其穿透深度，推断出子弹的穿透力。
二、抛物线运动在光学中的应用在光学中，抛物线运动也有着重要的应用。
抛物线反射面的特殊性质使得它被广泛应用于各种光学器件中。
1.抛物面反射镜抛物面反射镜是一种特殊的反射镜，具有使光线经过反射后汇聚于一焦点的特性。
它被广泛应用于望远镜、卫星天线、汽车灯等光学器件中。
利用抛物面反射镜的特性，我们能够使光线经过反射后聚焦于一个点，从而实现光学系统的聚焦功能。
2.投影仪的光学系统在投影仪中，抛物面反射镜也扮演着重要的角色。
投影仪的光学系统通过抛物面反射镜来实现将光线从光源反射到投影屏上。
抛物面反射镜可以将光线经过反射后汇聚成一个小点，从而实现清晰的投影效果。
三、抛物线运动在电磁学中的应用抛物线运动在电磁学中也有着重要的应用。
在电磁场中，带电粒子的运动轨迹可以用抛物线来描述。
1.粒子在均匀电场中的运动在均匀电场中，带电粒子的运动轨迹是一个抛物线。
通过研究带电粒子在电场中的运动轨迹，我们可以了解带电粒子的加速度、速度和与电场的相互作用等重要参数。
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5（附答案）1．一同学推铅球，铅球高度y(m)关于时间x(s)的函数表达式为y=ax 2+bx(a≠0)．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则在第m 秒时铅球最高，则m 的值为（ ） A ．7B ．8C ．10．5D ．212．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A ．篮圈中心的坐标是()4,3.05B ．此抛物线的解析式是21 3.55y x =-+ C ．此抛物线的顶点坐标是()3.5,0 D ．篮球出手时离地面的高度是2m3．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是（ ）A ．小球的飞行高度不能达到15mB ．小球的飞行高度可以达到25mC ．小球从飞出到落地要用时4sD ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m4．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，则学生推铅球的距离为（ ） A ．35m B ．3mC ．10mD ．12m飞行的高度()h m 与发球后球飞行的时间()t s 满足关系式22 1.5h t t =-++，则该运动员发球后1s 时，羽毛球飞行的高度为（ ） A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m6．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y ＝－112x 2＋23x ＋53.则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m7．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h (单位：)m 与小球运动时间t (单位：)s 之间的函数关系式为240(3)409h t =--+，若后抛出的小球经过2.5s 比先抛出的小球高103m ，则抛出两个小球的间隔时间是（ ）s A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.58．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数表达式为：y 150=-(x ﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12B ．25C ．13D ．149．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定10．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y ＝﹣22531312x x ++，则此运动员把铅球推出多远( )11．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21(4)312y x =--+，由此可知铅球推出的距离是______m ．12．如图，是一学生掷铅球时，铅球行进高度()y cm 的函数图象，点B 为抛物线的最高点，则该同学的投掷成绩为________米．13．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则他将铅球推出的距离是__________m ．14．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度()y m 与水平距离(m)x 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，小明这次试掷的成绩是__________．15．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间关系是h=30t ﹣5t 2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是______米． 16．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管的长为_____．17．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2510042y x x x =-+≤≤．水珠可以达到的最大高度是________（米）．18．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米．19．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝﹣5x 2+20x ，在飞行过程中，当小球的行高度为15m 时，则飞行时间是_____．20．如图，铅球运动员掷铅球的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣112x 2+23x+53，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m ．21．一个斜抛物体的水平运动距离为x （m ），对应的高度记为h （m ），且满足h ＝ax 2+bx ﹣2a （其中a≠0）．已知当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2． （1）求h 关于x 的函数表达式；（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．22．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是53m ． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式； （2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为3124m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．23．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示． ()1求演员弹跳离地面的最大高度；()2已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．24．小明跳起投篮，球出手时离地面m ，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m 处达到最高度4m .已知篮筐中心距地面3m ，与球出手时的水平距离为8m ，建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？25．在一次篮球比赛中，如图队员甲正在投篮.已知球出手时离地面209m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，球出手后水平距离为4 m 时达到最大高度4 m ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，对方队员乙在甲面前1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m ，那么他能否获得成功？26．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），距桌面的高度为y （米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …x（米）0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …y（米）0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …（1）如果y是t的函数，①如图，在平面直角坐标系tOy中，描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y是关于x的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？27．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．（1）以地面为x轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；（2）通过计算，判断这个球员能否投中？28．如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．()1在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）()2守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？29．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？30．如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，己知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）a＝，c＝；（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？参考答案1．C 【解析】 【分析】由由第7秒和第14秒的高度相同，知道这两个点是关于抛物线的对称轴对称的，从而求出抛物线的对称轴，知道顶点的横坐标，得到答案． 【详解】解：由第7秒和第14秒的高度相同，知道抛物线的对称轴为7142122x +==， 所以顶点的横坐标为212，即函数取得最大值，铅球最高时的时间，所以10.5m =． 故选C ． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线上纵坐标相等的两个点是关于抛物线对称轴对称的是关键． 2．A 【解析】 【分析】设抛物线的表达式为y=ax 2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a 的值，可判断A ；根据函数图象可判断B 、C ；设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为求得21 3.55y x =-+，当x=-2，5时，即可判断D ． 【详解】解：A 、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为y=ax 2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5， ∴a=15-， ∴21 3.55y x =-+，故本选项正确； B 、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误； C 、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误； D 、设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，∴当x=-2.5时，h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．3．C【解析】【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选C．此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．4．C【解析】【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值．【详解】 令函数式21251233y x x =-++中，y =0， 即21251233x x -++=0， 解得1210,2x x ==- (舍去)，即铅球推出的距离是10m.故选C.【点睛】考查二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达式的实际意义，需要结合题意. 5．C【解析】【分析】根据函数关系式，求出t=1时的h 的值即可．【详解】22 1.5h t t =-++∴t=1s 时，h=-1+2+1.5=2.5故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用，知道t=1时满足函数关系式是解题的关键.6．D【解析】【分析】依题意，该二次函数与x 轴的交点的x 值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x 的正【详解】把y=0代入y=-112x 2+23x+53得： -112x 2+23x+=0， 解之得：x 1=10，x 2=-2．又x ＞0，解得x=10．故选D ．7．B【解析】【分析】把t=2.5代入240(3)409h t =--+，求得3509h =，当35010320939h =-=时，解方程即可得出结论.【详解】解：把t=2.5代入240(3)409h t =--+，得3509h =， 当35010320939h =-=时，即240320(3)4099t --+=， 解得 t=4或t=-2（不合题意，舍去）∴抛出两个小球间隔的时间是4-2.5=1.5.故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键.8．A【解析】【分析】直接根据二次函数的图象及性质即可得出答案．【详解】解：∵y 150=-(x ﹣25)2+12， 顶点坐标为(25，12)， ∵150-＜0， ∴当x ＝25时，y 有最大值，最大值为12．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．9．C【解析】分析：（1）将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a +2.6=2， 解得：160a ，=- ∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+； 当x =9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>， ∴球能过球网， 当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>， ∴球会出界.故选C.点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.10．B【解析】【分析】令y ＝﹣22531312x x ++＝0，解得符合题意的x 值，则该值为此运动员把铅球推出的距离，据此可解.【详解】解：令y ＝﹣22531312x x ++＝0 则：x 2﹣8x ﹣20＝0∴(x+2)(x ﹣10)＝0∴x 1＝﹣2(舍)，x 2＝10由题意可知当x ＝10时，符合题意故选：B.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想解题是本题的关键.11．10【解析】【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令0y =，求出x 的值，x 的正值即为所求．【详解】 在函数式21(4)312y x =--+中，令0y =，得 21(4)3012x --+=，解得110x =，22x =-（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m.【点睛】 本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是21(4)312y x =--+中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当0y =时，x 的正值代表的是铅球最终离原点的距离．12．(4+【解析】【分析】根据函数的顶点B 的坐标设解析式为y =a (x −4)2+3，把（0，2）代入得出2=a (0−4)2+3，求出a ，得出函数的解析式是21(4)316y x =--+，把y =0代入解析式，求出方程的解即可． 【详解】∵函数的图象的最高点是B ,B 的坐标是(4,3)，∴设函数的解析式是y =a (x −4)2+3，∵图象过(0,2)点，∴代入得：2=a (0−4)2+3， 解得：116a =-， ∴函数的解析式是21(4)316y x =--+， 把y =0代入解析式得：210(4)316x =--+，解得：1244x x =+=-∴(4A +，故答案为(4+【点睛】考查二次函数在实际问题中的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.. 13．10【解析】【分析】令y=0时求出x 的值，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离．【详解】解：当y=0时，2125=01233x x -++， 解方程得，x 1=10，x 2=-2（负值舍去），∴该男生把铅球推出的水平距离是10 m ．故答案为：10.【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，可以用配方法写成顶点式求得；同时本题还考查了二次函数与一元二次方程的关系及解一元二次方程，本题属于中档题．14．10米【解析】【分析】根据题意，将y=0代入解析式中，求出x 的值即可．【详解】解：将y=0代入21251233y x x =-++中，得 212501233x x -++= 解得：1210,2x x ==-（不符合实际，舍去）∴小明这次试掷的成绩是10米故答案为：10米．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握x 和y 的实际意义和一元二次方程的解法是解决此题的关键．15．50【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h 的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长．【详解】解：∵h ＝30t−5t 2＝−5（t−3）2＋45（0≤t≤6），∴当t ＝3时，h 取得最大值，此时h ＝45，∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45＋[45−（30×4−5×42）]＝50（米）， 故答案为：50．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长．16．2.25m ．【解析】【分析】设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x=0时得y 值即为水管的长.【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ，则设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），代入（3，0）求得：a ＝34-， 将a 值代入得到抛物线的解析式为：y ＝34-（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 则水管长为2.25m ．故答案为：2.25m ．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.17．10【解析】【分析】将一般式转化为顶点式，依据自变量的变化范围求解即可.【详解】 解：()()222555104210222y x x x x x =-+=--=--+，当x=2时，y 有最大值10， 故答案为：10.【点睛】利用配方法将一般式转化为顶点式，再利用顶点式去求解函数的最大值.18．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】当y=0时，212501233x x -++= 解得，x=-2（舍去），x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．19．1s 或3s【解析】【分析】根据题意可以得到15=﹣5x 2+20x ，然后求出x 的值，即可解答本题．【详解】∵y=﹣5x 2+20x ，∴当y=15时，15=﹣5x 2+20x ，得x 1=1，x 2=3，故答案为1s 或3s ．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．20．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】 解：在21251233y x x =-++中，当y=0时， 212501233x x -++= 整理得：x 2-8x-20=0，（x-10）（x+2）=0，解得x 1=10，x 2=-2（舍去），即该运动员此次掷铅球的成绩是10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．21．（1）h ＝﹣x 2+10x+2；（2）斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．【解析】【分析】（1）将当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2，代入解析式，可求解；（2）由h ＝−x 2＋10x ＋2＝−（x−5）2＋27，即可求解．【详解】（1）∵当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2．∴222100102a a b a =-⎧⎨=+-⎩解得：110a b =-⎧⎨=⎩ ∴h 关于x 的函数表达式为：h ＝﹣x 2+10x+2；（2）∵h ＝﹣x 2+10x+2＝﹣（x ﹣5）2+27，∴斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键．22．（1）215(4)243y x =--+；（2）此球能过网，见解析；（3）2m 【解析】【分析】（1）依题意，函数图象的顶点坐标为（4，53），则可设函数的解析式为：25(4)3y a x =-+，再由点（0，1）在抛物线上，代入求得a 即可（2）将x ＝5代入所求的函数解析式，求得y 即可判断；（3）将y ＝3124代入函数解析式求得x ，即可求出乙与球网的水平距离． 【详解】解（1）依题意，函数图象的顶点坐标为54,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故设函数的解析式为：25(4)3y a x =-+，∵点(0,1)在抛物线上，∴代入得251(04)3a =-+， 解得124a =-， 则羽毛球经过的路线对应的函数关系式为：215(4)243y x =--+； （2）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为215(4)243y x =--+， 则当5x =时，21513(54) 1.6252438y =-⨯-+==， ∵1.625 1.55>，∴此球能过网；（3）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为215(4)243y x =--+， 当3124y =时，有23115(4)24243x =--+， 解得11x =（舍去），27x =，∴此时乙与球网的水平距离为：752m -=.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，利用待定系数法求出羽毛球经过的路线对应的函数关系式是解题的关键．23．(1) 194；（2）能成功；理由见解析. 【解析】【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，可得最大值，即为最大高度；（2）将x=4代入抛物线解析式，计算函数值是否等于3.4进行判断.【详解】 (1)y=-35x 2+3x+1=-35252x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+194 ∵-35＜0，∴函数的最大值是194．答：演员弹跳的最大高度是194米．(2)当x=4时，y=-35×42+3×4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．【点睛】此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的维跳跃，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．24．（1）y=；(2）不能正中篮筐中心；3米.【解析】试题分析：（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y=，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x=8时，y的值是否等于3，把x=8代入得：y=，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣=个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心．试题解析：（1）设抛物线为y=，将（0，）代入，得=，解得a=，∴所求的解析式为y=；（2）令x=8，得y==≠3，∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移个单位长度，故小明需向上多跳m再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．考点：二次函数的应用．25．（1）能准确投中（2）能获得成功【解析】【分析】（1）根据条件先确定抛物线的解析式，然后令x=7，求出y的值，与3m比较即可作出判断；（2）将x=1代入抛物线的解析式，求出y的值与3．1比较大小即可．【详解】解：（1）由题意可得抛物线的顶点为（4,4），出手点为（0，209），设2()y a x h k=-+，则h=4，k=4，然后把点（0，209）代入解析式得19a=-，所以()21449y x=--+，当x＝7时，y＝3，所以此球能准确投中．（2）当x＝1时，y＝3＜3．1，他能获得成功．考点：二次函数的应用26．（1）①见解析；②t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）52 m．【解析】【分析】（1）①根据描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象即可；②利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离．【详解】解：（1）①如图所示，②由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）由表格中数据，可设y=a（x﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a=﹣15，则y=﹣15（x﹣1）2+0.45，当y=0时，0=﹣15（x﹣1）2+0.45，解得：x1=52，x2=﹣12（舍去），即乒乓球与端点A 的水平距离是52m ．【点睛】考点：二次函数的应用．27．（1）21(4)48y x =-+；（2）不能投中 【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点，设函数的顶点式，再将（0，2）代入，求得二次项系数，从而可得抛物线的解析式；（2）判断当x ＝7时，函数值是否等于3.19即可．【详解】（1）依题意得抛物线顶点为（4，4），则设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣4）2+4依题意得抛物线经过点（0，2）∴a （0﹣4）2+4＝2解得18a =- ∴抛物线的解析式为21(4)48y x =-+ （2）当x ＝7时，21(4)48y x =-+=23 3.198≠ ∴这个球员不能投中．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法以及实际应用，关键是求得函数的解析式，借助二次函数解决实际问题.28．（1）能射中球门；（2）他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．【解析】【分析】(1)、根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)、求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案．【详解】(1)、抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-112，则抛物线是y=-112（x-4）2+3，当x=0时，y=-112×16+3=3-43=53＜2.44米，故能射中球门；（2）当x=2时，y=-112（2-4）2+3=83＞2.52，∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，当y=2.52时，y=-112（x-4）2+3=2.52，解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），∴2-1.6=0.4（m），答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出函数的顶点坐标，求得函数解析式是解题的关键．29．（1）y=−19(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功．【解析】【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，209）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；（2）当1x 时，求出此时的函数值，再与3.1m比较大小即可判断. 【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4）．设抛物线的解析式是()244y a x =-+， 将（0，209）代入，得()2200449a =-+ 解得19a =-， 所以抛物线的解析式是()21449y x =--+； 篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2174439y =--+=， ∴这个点在抛物线上，∴能够投中 答：能够投中．（2）当1x =时，()2114439y =--+=<3.1， 所以能够盖帽拦截成功.答：能够盖帽拦截成功.【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.30．（1）2516-，12；（2）当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（3）能．【解析】【分析】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t +c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），代入函数的表达式即可求出a ，c 的值；（2）利用配方法即可求出足球飞行的时间以及足球离地面的最大高度；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，把t ＝2.8代入解析式求出y 的值和2.44m 比较大小即可得到结论．【详解】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t +c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴20.53.50.850.8c a c =⎧⎨=+⨯+⎩， 解得：251612a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣2516t 2+5t +12， 故答案为：﹣2516，12； （2）∵y ＝﹣2516t 2+5t +12， ∴y ＝﹣2516（t ﹣85）2+92， ∴当t ＝85时，y 最大＝4.5， ∴当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ； （3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝﹣2516×2.82+5×2.8+12＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．。
抛物线定义的应用
抛物线定义的应用定义揭示了事物的属性，不仅是我们理解事物的基础，也是解决问题的重要工具．本文将介绍如何利用抛物线的定义解题，望对同学们有所帮助．1、求最值例1 设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 是焦点．（1）求点P 到点(11)A -，的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值；（2）若B 点的坐标为（3，2），求PB PF +的最小值．解析：（1）如图1，易知抛物线的焦点为(10)F ，，准线是1x =-．由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点(11)A -，的距离与点P 到(10)F ，的距离之和最小．显然，连结AF 交抛物线于P 点．故最小值为221+，即为5；（2）如图2，自点B 作BQ 垂直于准线，交点为Q ，交抛物线于点1P ，此时，11PQ PF =，那么114PB PF PB PQ BQ ++==≥，即最小值为4．点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化，再利用平面几何中的知识，使问题获解．2、求曲线的方程例2 圆心在抛物线22y x =上且与x 轴及抛物线的准线都相切，求该圆的方程．解析：如图3，设圆心为P 且A F ，为切点，由PA PF =，结合抛物线的定义知F 为抛物线的焦点，即102F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因此112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或112P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且圆的半径1r =． 故所求方程为221(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 点评：本题利用抛物线的定义，可知切点与焦点重合，从而确定了点的坐标，使问题的求解变的很顺畅．3、确定方程的曲线例3 方程222(3)2(1)3x y x y ++-=-+表示的曲线是（ ）Ａ．圆 Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线解析：方程变形为223(3)(1)2x y x y -+++-=．它表示“点()M x y ，与点(31)F -，的距离等于它到直线30x y -+=的距离”，根据抛物线的定义知，M 的轨迹是抛物线．故选（D ）．点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，根据方程两边所表示的几何意义，利用抛物线的定义则简单易行．4、求三角形面积例4 设O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦，若OF a =，PQ b =，求OPQ △的面积．解析：如图4，不妨设抛物线方程为24y ax =，1122()()P x y Q x y ，，，，由抛物线定义知12122PQ PF QF x a x a b x x b a =+=+++=⇒+=-．由2114y ax =，2224y ax =， 得2222121224(2)44y y b a y y a b a a a+=-⇒+=-． 又由于PQ 为过焦点的弦，因此212y y a =-．故22221121224(2)2(4)2y y y y y y a b a a ab -=+-=---=，因此，2112OPQ S OF y y a ab =-= △．点评：将焦点弦分成两段，利用定义将过焦点的弦长用两端点横坐标表示，结合方程，利用根与系数的关系是解题的基本思路．本题中计算三角形面积的技巧，是抛物线中经常用到的，需掌握．。
抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线的相关结论：当A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y2=2px上，则有：1、直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ，y1y2 = -p²；（当A，B在抛物线x²=2py 上时，则有x1x2 = -p²，y1y2 = p²/4 ，要在直线过焦点时才能成立）2、焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）2]=（x1+x2）/2+P；3、（1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））4、若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；5、焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；6、弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；7、△=b2-4ac；△=b2-4ac>0有两个实数根；△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；△=b2-4ac<0没实数根；8、由抛物线焦点到其切线的垂线的距离是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项；9、标准形式的抛物线在（x0，y0 ）点的切线是：yy0=p（x+x0），（注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 ， y² =y*y0 ， x=（x+x0）/2 ，y=（y+y0）/2 ）扩展资料：切线方程：抛物线y2=2px上一点（x0，y0）处的切线方程为：。
抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的方程为：y=k（x-p/2）。
抛物线各类方程式的共同点：1、原点在抛物线上，离心率e均为1；2、对称轴为坐标轴；3、准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4抛物线各类方程式的不同点：1、对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；2、开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抛物线在实际问题中的应用
【教学目标】
1．知识目标：进一步熟悉抛物线的标准方程及其应用.
2、能力目标: ①培养学生学习数学的兴趣.
②培养学生解决实际问题的能力.
③培养学生计算能力.
【教学重点和难点】
1、重点：把实际问题怎样转化为几何问题
2、难点: 怎样建立平面直角坐标系
【教学方法】启发式教育
【教学手段】常规教学 (辅以多媒体)
【教学过程】
〔一〕复习
（二）新课
例1:有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m．
（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的表达式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒
线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
解答:略
学生先练,学生分析,老师板书解题全部过程
练习:某河上有抛物线拱桥,当水面距桥拱顶5米时,水面宽8米,一木船宽4米,载货后,木船露出水面上的部分高为3/4米,问水面涨到与拱顶相距多少米时,木船开始不能通航.
解答:略
第一步,学生独立思考
第二步,分组讨论
第三步,收集解法
第四步,教师板书
创新题
例三:例如38岁的老乔丹第二次复出，表现依然神勇，在全场比赛还剩最后一秒时，华盛顿奇才仍以2分落后于纽约尼克斯，在这关键时刻，乔丹在三分线外出手了!已知篮球的飞行路线为抛物线，乔丹出手高度为2.37米，篮球水平方向飞行4米后达到最高3.37米处，问乔丹此次能否力挽狂澜。
(三分线是以篮框中心在地面的投影为圆心，6.25米为半径的半圆；篮框的高度为3.05米，篮筐直径0.45米,篮球的直径0.25米)
请两个学生示范投篮.教师分析解释示意图,最后给出正确解答.
教师提问:(1)篮球的运行轨迹是什么形状? (2)研究抛物线还需要什么? (3)怎样建立平面直角坐标系?
课堂小结:
①内容方面:
抛物线标准方程的应用
②方法方面:
a. 建立适当的坐标系,利用待定系数法确定标准方程
b. 在解决实际问题时怎样建立数学模型.
③数学思想方面:
能用数形结合思想将几何问题转为代数问题进行解决。