实际问题与二次函数(有关抛物线形的实际问题)(3)
实际问题与二次函数(3)——抛物线形实际问题+课件++2023—2024学年人教版数学九年级上册
解得x＝9或x＝－1(不符合题意，舍去)．
∴小明这次投掷的成绩为9 m.
课堂导学
多维导学案九年级全一册数学(RJ)
【变式1】足球训练中，小军从球门正前方8 m的A处射门，球射向
球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2 m时，球达到最高
点，此时球离地面3 m ，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系.
的高度为1.8 m，当铅球飞行的水平距离为4 m时距离地面最高为5
m ． 铅 球 飞 行 的 高 度 y(m) 与 水 平 距 离 x(m) 之 间 的 函 数 图 象 如 图 所
示．求： (2)小明这次投掷的成绩．
1
(2)由(1)知y＝－ (x－4)2＋5，
5
1
当y＝0时，0＝－ (x－4)2＋5，
25
课堂导学
多维导学案九年级全一册数学(RJ)
【变式2】现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线
段OE表示水平的路面，以点O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过
点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE
＝10 m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所
解决抛物线形问题的步骤
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标，由x求y或由y求x，要弄清题意．
重难导学
1．跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看做抛物线，如图所
1 2 1
3
示，抛物线的函数表达式为y＝－ x ＋ x＋ (单位：m)，绳子甩到最高
6
3
2
1.5
处时刚好通过站在x＝2处跳绳的小明的头顶，则小明身高为________m.
二次函数讲义(九)：实际问题与二次函数
实际问题与二次函数【知识要点梳理】知识点1: 利用二次函数解决实际问题的一般步骤1.用二次函数知识解决实际问题的一般步骤:(1)仔细审题;(2)找出题中的变量和常量及它们之间的关系;(3)列函数解析式表示它们之间的关系;(4)借助函数的图象及其性质求解;(5)检验结果的合理性。
2.在实际问题中,有关用料最省、造价最低、利润最大等问题可以通过分析、联想,建立二次函数模型,转化为二次函数的最大值或最小值问题加以解答。
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是最低点。
当x=时，函数的最小值为。
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是最高点。
当x=时，函数的最大值为。
知识点2:利用二次函数求几何图形面积的最大值问题利用图形的面积公式建立二次函数模型并求出表达式,再利用配方法或公式法求出二次函数的最值。
知识点3: 利用二次函数求最大利润问题利用“总利润=每件的利润×件数”建立二次函数模型并求出表达式,利用配方法或公式法求出二次函数的最大值,即最大利润。
知识点4: 利用二次函数解决抛物线型问题1.抛物线型建筑物问题:几种常见的抛物线型建筑物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等.解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系,结合问题中的数据求出函数解析式,然后利用函数解析式解决问题。
2. 运动问题:(1)运动中的距离、时间、速度问题,这类问题多根据运动规律中的公式求解.(2)物体的运动路线(轨迹)问题,解决这类问题的图想方法是利用数形结合思想和函数思想,合理建立直角坐标系,根据已知数据,运用待定系数法求出运动轨迹(抛物线)的解析式,再利用二次函数的性质去分析、解决问题。
【知识点过关训练】知识点1: 利用二次函数求几何图形面积的最大值问题1. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．2. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元。
九年级数学上册教学课件《实际问题与二次函数(第3课时)》
这时水面的宽度为x2-x1=2 6， 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2 6-4)m.
2m l=4m
o
探究新知
22.3 实际问题与二次函数
【思考】“二次函数应用”的思路
回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不 变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，a 7 .
45
∴抛物线的表达式为 y
7
x2 .
45
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底 边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间 距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平 距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
探究新知 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴 为y轴，建立直角坐标系，如图．
22.3 实际问题与二次函数
从图看出，什么形式的二次函数，它 的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此 这个二次函数的形式为y ax2.
26.3实际问题与二次函数(3)
我家门前有条小溪，小 溪上有座 抛物线形拱桥， 如图，当水面在l时，拱 顶离水面2m，水面宽 4m，水面下降1m，水 面宽度增加多少？
2
l
4
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当 的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解 题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴 建立直角坐标系．
若水位上升3m到警戒线
A
C
D
B
CD,CD=10m,
求抛物线的解析式。若洪\
水到来时
水位以0.2m每小时上升，则从警戒线 开始再持续多少小时可达到拱桥顶?
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可
以通过？ （1）卡车可以通过.
3 1 －3 －1 －1 －3
提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
（2）卡车可以通过.
O
1 3
提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4.
我家门后有条小溪，小溪上有座 抛物线形拱桥，如图正
常水位AB=20m,
如图建立如下直角坐标系 可设这条抛物线表示的二次函数为y =ax2 .
1 由抛物线经过点（2，－2），可得 2 a 2 , a 2
2
1 -2 -1 1 -1 -2 -3 2
这条抛物线表示的二次函数为
1 2 y x 2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为y = －3. 请你根据 上面的函数表达式求出这时的水面宽度． 解：
1 2 3 x 2
x 6
2
解得 x1 6 , x2 6
2x 2 6 m 水面的宽度
2 6 4 水面下降1cm，水面宽度增加____________m.
实际问题与二次函数
实际问题与二次函数引言：二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将从几个实际问题入手，探讨二次函数在解决这些问题中的作用和应用。
第一部分：抛物线与物体运动问题一：一个物体从地面上以初速度v0竖直向上抛出，忽略空气阻力，求物体的运动轨迹。
解决方法：根据物体竖直上抛运动的运动方程，可以得到物体的高度y与时间t的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度。
这个运动方程正好是一个二次函数，它的图像是一个抛物线，描述了物体的运动轨迹。
问题二：一个人从桥上向下抛掷物体，求物体的最大高度和落地点。
解决方法：根据物体竖直抛体运动的运动方程，可以得到物体的高度与时间的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度，v0是初速度。
我们可以通过求解二次函数的顶点，得到物体的最大高度和落地点的位置。
第二部分：二次函数与开口方向问题三：一块矩形花坛，长边是20米，宽边是10米，现在要在花坛四周修建一圈高度为h的围墙，求围墙的最小高度h。
解决方法：假设围墙的高度为h，围墙的长度为L，围墙的宽度为W。
根据题意，可以得到L=2(20+2h)，W=2(10+2h)，围墙的面积为S=LW。
我们可以将围墙的面积S表示为关于h的二次函数，然后求解这个二次函数的最小值，即可得到围墙的最小高度h。
第三部分：二次函数与最值问题问题四：某公司生产某种产品，每生产x单位的产品需要花费C(x)=80x+2000元，售价为p(x)=0.1x^2+2000元，求使得利润最大的生产数量。
解决方法：利润等于售价减去成本，即P(x)=p(x)-C(x)=0.1x^2-80x。
我们可以求解二次函数P(x)的最大值，得到使得利润最大的生产数量。
问题五：某人在银行存款10000元，银行的年利率为r%，每年计息一次，求多少年后存款会翻倍。
解决方法：存款的本利和可以表示为S(t)=10000(1+r/100)^t，其中t为年数。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数简介1.二次函数的定义2.二次函数的图像和性质二、二次函数与实际问题的联系1.实际问题中的二次函数模型2.二次函数在实际问题中的应用案例三、二次函数典型例题解析1.求解二次函数的顶点坐标2.求解二次函数的图像与x 轴的交点3.求解二次函数的最值问题4.二次函数在实际问题中的综合应用正文：二次函数与实际问题典型例题一、二次函数简介二次函数是数学中一种常见的函数形式，一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为常数，x 为自变量。
二次函数的图像通常为抛物线，具有一定的对称性和顶点特征。
根据a 的值，二次函数可以分为开口向上或向下的两种情况，分别具有不同的性质。
二、二次函数与实际问题的联系1.实际问题中的二次函数模型在实际问题中，二次函数常常作为问题的数学模型出现。
例如，物体在重力作用下的自由落体运动、抛射物体的运动轨迹、电池的放电过程等都可以用二次函数来描述。
2.二次函数在实际问题中的应用案例（1）物体自由落体运动：假设物体从高度h 自由落下，空气阻力不计，仅受重力作用。
根据牛顿第二定律，物体下落的速度v 与时间t 的关系可以表示为v = gt - 1/2gt^2，其中g为重力加速度。
可以看出，这是一个开口向下的二次函数模型。
（2）抛射物体运动：假设一个物体在水平方向以初速度v0 抛出，仅受重力作用。
根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的运动可以表示为h = v0t - 1/2gt^2，其中h为物体的高度，t为时间。
这也是一个开口向下的二次函数模型。
三、二次函数典型例题解析1.求解二次函数的顶点坐标顶点坐标是二次函数的一个重要特征，可以通过公式法或配方法求解。
例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，顶点的x 坐标为x = -b/2a，y坐标为y = f(x) = c - b^2/4a。
2.求解二次函数的图像与x 轴的交点二次函数与x 轴的交点即为函数值为0 时的自变量解。
实际问题与二次函数第三课时教案
26.3实际问题与二次函数教案教学设计思路本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。
教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。
通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。
一、教学目标：1．知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。
2．过程与方法经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。
3．情感态度与价值观体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
二、教学重点难点：1．重点通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。
2．难点利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
三、教学过程：(一)创设情境导入新课小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。
水面下降1 m时，水面宽度增加多少?(二)探究：①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。
怎么建立坐标系呢？②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。
即抛物线的表达式.③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。
教师关注：（１）学生能否用函数的观点来认识问题；（2）学生能否建立函数模型；（3）学生能否找到两个变量之间的关系；（4）学生能否从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．解法探讨：以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.归纳总结：(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(3)1优秀教学案例
（四）总结归纳
1.教师引导学生对所学知识进行总结归纳，帮助他们建立完整的知识体系；
2.学生通过总结归纳，巩固所学知识，提高他们的自我认知能力；
3.教师对学生的总结归纳进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
4.引导学生发现二次函数在实际问题中的应用规律，培养他们的实践能力。
（三）学生小组讨论
1.教师提出具有挑战性和开放性的课题，让学生在小组内进行讨论和合作交流；
2.引导学生运用所学知识，分析问题、解决问题，提高他们的实践能力和团队协作精神；
3.鼓励学生分享自己的观点和思考，培养他们的表达能力和批判性思维；
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1为例，旨在通过实际问题引导学生理解和掌握二次函数的性质和应用。在教学过程中，我以生活实际为载体，设计了一系列具有代表性的例题和练习，让学生在解决实际问题的过程中，深化对二次函数的理解，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
在案例背景中，我充分考虑了学生的年龄特点和知识水平，以符合九年级学生的认知发展需求。在教学设计上，我注重启发式教学，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索二次函数的性质和实际应用。同时，我还关注学生的个体差异，提供不同难度的题目，让每个学生都能在数学学习中找到适合自己的路径，从而提高他们的自信心和积极性。
4.教师对小组合作过程进行指导和评价，确保学生能够从合作中获得充分的提升。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和方法，提高他们的自我认知能力；
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加多少? 问:(1)对于此题你能联想 到用我们学过的什么数学 知识来解决?
(2)从题目本身的哪些 条件,你能联想到用二 次函数想解一决想这:你一肯问题?
定多(多能方3少)想法求,出 的就水很.是面求宽解度什增么加
数学问题?
(4)要求线段CD的长,
2
Al
C
4
B
1
D
需先求什么? (5)你会如何建立
平面直角坐标系的
物线于C,D两点，则C点的坐标为
_(___6_,___3_)_,D点的坐标为_(__6__, __3__),
CD的长为___2___6__.
图片欣 赏
图片欣 赏
图片欣 赏
图片欣 赏
生活中的抛物线形
---有关抛物线形的实际问题
探究3如图的抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱桥
顶离水面2m,水面宽4m.若水面下降1m,水面宽度增
丰 收园
通过这节课的学习， 你有哪些收获？ 能与大家一起分享吗？
作业布置:
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶
离水面 2 m,水面宽 4 m. (1)若水面下降 1 m, 水面宽度增加多少? (2)若货船在水面上的部分的横截面是矩形,
已 船知能货否船 顺的 利宽 通为 过这2.9座m桥,且?船高出水面1m,问y 货
0
x
A
D
l
B
C
结束寄语
数学来源于生活,又服务于生活.
谢谢指导
总结升华:
实际问题
建立适当的坐标系
数学问题
(有关抛物线形的实
(二次函数的问题)
际问题)
转化
利
用
二
次求
目 标
函解 数 的
图
象
实际问题
数学问题
的答案
检验
的答案
y 0
A(-2,-2)
●l
C
B(2,-2) x
●
D
探究3如图的抛物线
形拱桥,当水面在 l
1 2
y
x2
3
(0,0A) 0
C(4,0)B来自Dx(-4,A0) C
(0,0)
0B Dx
y 1 (x 2)2 2 2
y 1 (x 2)2 2 2
学而有思:
通过建立平面直角坐标系,可以将有关抛物线的 实际问题转化为二次函数的问题.
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路: 1.建立适当的平面直角坐标系 2.根据题意找出已知点的坐标 3.求出抛物线解析式 4.直接利用图象解决实际问题.
方法?
请同学们分4小组分别用图 (2),(3),(4),(5)完成此题
y 0 (0,0)
(0,2) y
(0,3) y
(-2,A-2) (2,-B2)x (-A2,0)0
(2B,0) (-2,A1)
(2B,1)
C
坐D标系的C 建立可有不D同x的方C 法, 0
D
会得到不同的函数关系式,但
x
y
1 2
x2不 的同 . y的(2方,2)法y得到 12的x结2 果2 是(一-2致,2y)
考考你
如图,抛物线的顶点在原点,
直线L平行x轴,交抛物线于
A,B两点，若AB=4,抛物线的
顶点到直线L的距离为２，
则点A的坐标为___(_-_2_,_-_2_)__,
点B的坐标为__(_2_,_-_2_)_____,
此抛物线的解析式为
C
D l′
__y_____1__x_2_____.
2
若直线L向下平移１个单位后，交抛
数 和谐美 哪 哪
学 对称美
里里 就有
美
简洁美 有 数
奇异美 美
.
学 ，
好奇心是成功的重要法宝
一.知识点回顾 二次函数的解解析式主要有哪些形式? 1.y a(x h)2 k(a 0)
2.y ax2 bx c(a 0)
请你写出一个顶点坐标为(2,2),开口向下的抛 物线解析式________________.
时,拱桥顶离水面2m, 水面宽4m.若水面下降 1m,水面宽度增加多少?
如图所示,以抛物的顶点为原点，以抛物线的对称 轴为y轴，建立平面直角坐标系. (1)坐标系建立后,抛物线上的哪些点的坐标可求? (2)你能求抛物线的解析式了吗?
(4)如何用函数的有关知识求解出线段CD的长?