二次函数平行四边形存在性问题例题
初三数学二次函数专题平行四边形存在性问题-
【详解】
解：（1）由题意得抛物线 与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，
∴当y=0时，
即（x+3）（1-x）=0
解得x1=-3，x2=1，
∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），
∴△BD B 是等腰直角三角形，
∴yD = |BB |，
∴ = （t-1），
解得t=3，
∴B （3，0），
∴y2=-x2+4x-3；
（3）①若Q在B 右边，则P在x轴上方，且CP∥B Q，
∴yP=yC=3，
此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；
②若Q在B 左边，
当B Q为边时，则CP∥B Q，
此时yP=yC=3，P点在y1上，
当t=﹣ = 时，PM最长为 = ，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．Байду номын сангаас
专题13 二次函数中角度、面积及平行四边形存在性问题(解析版)
专题13 二次函数中角度、面积及平行四边形存在性问题题型一、角度及平行四边形存在性问题1. （2019·湖北咸宁中考）如图，在平面直角坐标系中，直线221+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线c bx x y ++-=221经过A ,B 两点且与x 轴的负半轴交于点C . （1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD =2∠BAC 时，求点D 的坐标；（3）已知E ,F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ,O ,E ,F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）在122y x =-+中，y =0时，x =4；x =0时，y =2， 即A (4,0)，B (0,2),将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，得：8402b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：b =32，c =2， 即抛物线解析式为：213222y x x =-++. （2）如图，过点B 作BE ∥x 轴交抛物线于点E ，过D 作DF ⊥BE 于F ，∴∠BAC =∠ABE ，∵∠ABD =2∠BAC ， ∴∠ABD =2∠ABE ， 即∠DBE =∠BAC ，设点D 的坐标为（x ，213222x x -++），则BF =x ，DF =21322x x -+， ∵tan ∠DBE =DF BF , tan ∠BAC =OBOA,∴DF BF =OB OA，即2132224x x x -+=， 解得：x =0（舍）或x =2， 即点D 的坐标为：（2,3）. （3）B （0,2）,O （0,0）设E 点坐标为（m ，122m -+），F 点坐标为（n ，213222n n -++）， ①若四边形BOEF 是平行四边形，则2113222222m n m n n =⎧⎪⎨-+=-++⎪⎩，解得：22m n =⎧⎨=⎩， 即E 点坐标为（2，1）；②若四边形BOFE 是平行四边形时，则2131222222m n n n m =⎧⎪⎨-++=-+⎪⎩，解得：2222m m n n ⎧⎧=+=-⎪⎪⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩ 即E点坐标为（2+12-1+； ③若四边形BEOF 是平行四边形时，则2=0131222222m n n n m +⎧⎪⎨-++-+=⎪⎩，解得：2222m m n n ⎧⎧=-+=--⎪⎪⎨⎨=-=+⎪⎪⎩⎩， 即E 点坐标为：（2--3）或（2-+3；综上所述，E 点坐标为：（2，1），（2+1，（2-，1，（2--3），（2-+3.题型二、面积、平行四边形存在性问题2. （2019·山西中考）抛物线y =ax 2+bx +6经过点A (－2,0)，B (4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1<m <4）. 连接AC ，BC ，DB ，DC . （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△BCD 的面积是△AOC 面积的34时，求m 的值. （3）在（2）条件下，若M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形. 若存在，请直接写出M 点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】见解析.【解析】解：（1）将A 、B 两点坐标代入y =ax 2+bx +6得： 426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为：233642y x x =-++.（2）过D 作DE ⊥x 轴于E ，交直线BC 与G ，过C 作CF ⊥DE 交ED 的延长线于F ， 如图所示，由题意知A (－2,0)，即OA =2，C (0，6)，即OC =6，∴△AOC 的面积为：1122OA OC ⋅=×2×6=6，∵△BCD 的面积是△AOC 面积的34， ∴△BCD 的面积为：92， 设直线BC 的解析式为：y =kx +n ，由题意知， 4k +n =0，n =6，解得：k =32-，n =6，即直线BC 的解析式为：y =32-x +6，∴点G 的坐标为（m ，32-m +6），∴DG =233366422m m m ⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭=2334m m -+， ∴S △BCD =12DG OB ⋅=2362m m -+， 即2362m m -+=92，解得：m =1（舍）或m =3，即m 的值为3. （3）存在.由（2）知，B (4,0)，D (3，154), 设M (x ，0)，N (n ，y )，其中y =233642n n -++①当四边形BDMN 是平行四边形时，有：43154x ny +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，即21533=6442n n --++，解得：n=1或n=1，x即M0），0）； ②当四边形BDNM 是平行四边形时， 有：43154n xy +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即21533=6442n n -++，解得：n =－1或n =3，x =0或4（舍），即M 点坐标为（0，0）；③当四边形BNDM 是平行四边形时， 有：43154n xy +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即21533=6442n n -++，解得：n =－1或n =3，x =8或4（舍），即M 点坐标为（8，0）；综上所述，点M 的坐标为：0），0），（0，0），（8，0）.3. （2019·黑龙江哈尔滨中考）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =34x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线BC 与x 轴交于点C ，且点C 与点A 关于y 轴对称；(1)求直线BC 的解析式；(2)点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ =AP ，连接PQ ，设点P 的横坐标为t ，△PBQ 的面积为S (S ≠0)，求S 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围).【解析】解：（1）在y =34x +4中，x =0时，y =4；y =0时，x =－3， 即B (0，4)，A (－3,0)， ∵点A 与点C 关于y 轴对称， ∴点C 的坐标为（3,0）， 设直线BC 解析式为：y =kx +b ，430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：443b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即直线BC 的解析式为：y =43-x +4.（2）如图，过点P 作PM ∥y 轴交x 轴于M ，过点Q 作QN ⊥AB 于N ，过C 作CH ⊥AB 于H ，由勾股定理得：AB=BC=5，CH=245，∵P点横坐标为t，∴点P的坐标为（t，43t+4），即AM=3+t，∵PM∥OB，∴AP AMAB AO=，即353AP t+=，∴AP=()533t+=553t+，∴PB=53t -,∵BQ=AP=553t +,∴BQ NQBC CH=，即5532455tNQ+=，∴NQ=24855t+，∴S=15248 2355t t ⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭=2433 32t⎛⎫-++⎪⎝⎭；4. （2019·四川达州中考）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0). （1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，01093b cb c=-++⎧⎨=--+⎩，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝－（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）由（1）知：抛物线对称轴为x＝﹣1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，H（﹣1，0），在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，∴tan∠COH＝CHOH＝4，∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，∴当∠ACO＝∠CDO时，tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，如下图所示，当点D在对称轴左侧时，∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴AC AOAD AC=，∵AC ＝AO ＝1， ∴AD ＝20，OD ＝19， ∴D （﹣19，0）；当点D 在对称轴右侧时，点D 关于直线x ＝1的对称点D '的坐标为（17，0）， ∴点D 的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P （a ，﹣a 2﹣2a +3），设直线PA 的解析式为：y =kx +b ， 将P （a ，﹣a 2﹣2a +3），A （1，0）代入y ＝kx +b ，2230ak b a a k b ⎧+=--+⎨+=⎩， 解得，k ＝﹣a ﹣3，b ＝a +3， ∴y ＝（﹣a ﹣3）x +a +3， 当x ＝0时，y ＝a +3， ∴N （0，a +3）， 如下图所示，∵m =S △BPM ＝S △BPA ﹣S 四边形BMNO ﹣S △AON ，n =S △EMN ＝S △EBO ﹣S 四边形BMNO ， ∴m －n ＝S △BPA ﹣S △EBO ﹣S △AON＝12×4×（﹣a 2﹣2a +3）﹣12×3×3﹣12×1×（a +3） ＝﹣2（a +98）2+8132，∴当a ＝﹣98时，m －n 有最大值8132.题型三、二次函数有关对称性及自定义函数最值研究5.（2019·湖南长沙中考）已知抛物线22(2)(2020)y x b x c =-+-+-(b ，c 为常数)． （1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围. 【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，抛物线的解析式为：()2211y x =--+，=2241x x -+-，∴b －2=4，c －2020=－1， ∴b =6，c =2019.（2）设抛物线上关于原点对称不重合的两点坐标为：（x ，y ）、（－x ，－y ）， 代入解析式有：222(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎨-=---+-⎩， ∴()24220200x c -+-=， 即c =2x 2+2020， ∴c ≥2020.6. （2019·山东临沂中考）一次函数y =kx +4与二次函数y =ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点 （1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y =ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W =OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由题意得，k +4=-2， 解得k =-2，二次函数顶点为（0,4）， ∴c =4，把（1,2）代入二次函数表达式得：a +c =2， 解得a =-2（2）由（1）得二次函数解析式为y =-2x 2+4，令y =m ，得2x 2+m -4=0即x=±，设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则12x x + ∴W =OA 2+BC 2=2224-m m 4=m -2m+8=m-172+⨯+（） ∴当m =1时，W 取得最小值7.。
中考数学专题复习 二次函数背景下的平行四边形的存在性问题
专题二二次函数背景下的平行四边形的存在性问题知识梳理平行四边形的存在性问题是分类讨论中的一大难点。
此类题目多在直角坐标平面内，辅以二次函数为背景.一般会根据两个或者三个定点,在某个特定的位置上找另两个顶点或者第四个顶点，这样的顶点往往不止一个,需要仔细考虑解题策略,如:若已知两点构成的线段是平行四边形的一边或者对角线.如何利用平行四边形的性质确定出其他的顶点的位置，否则在分类时就容易漏解.【典型例题】【例1】如图.抛物线y= ax2 +bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A(1，0)、B (4，0)，∠OCA=∠OBC.(1)求抛物线的解析式;(2)在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标.[思路分析]本题在平行四边形分类讨论中已经有三个点是定点,则第四个顶点可利用平行四边形两组对边分别平行的方法去找，AC，AB，BC中任意两边可作为平行四边形的邻边，分别作这两邻边的平行线，它们的交点就是所求的平行四边形的第四个顶点.解：当CA和CB为平行四边形的邻边时，M在第四象限，BH=AO=1,M,=−2所以M3(5, −2)综上所述:M点的坐标为M1(3，2)或M2(−3，2)或M3(5， −2).[点评]M1，M2的坐标相对易求得，而M3的坐标利用平行四边形的性质:对角顶点到对角线距离相等或者三角形全等求得M3的坐标.【例2】如图，抛物线y=ax2+ 2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A和点B分别在x轴的正、负半轴上)，cot∠OCA = 3.(1)求抛物线的解析式;(2)平行于x轴的直线l与抛物线交于点E, F(点F在点E的左边)，如果四边形OBFE是平行四边形,求点E的坐标.[思路分析]由题意得BO不可能是平行四边形的对角线,所以只可能OB = EF =3,又因为EF被对称轴平分,根据对称轴的方程便能求得点E的坐标[点评]本题借助于抛物线的一条重要性质：抛物线关于对称轴对称.因为EF // AB，所以E，F关于对称轴对称,同时线段EF被对称轴垂直平分.【例3】如图,抛物线y= ax2+ bx +3与y轴交于点C,与x轴交于A, B两点，tan∠OCA =1 3S△ABC = 6.(1)求点B的坐标;解：(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上,如果A, C, E, F 构成平行四边形,写出点E 的坐标。
2020年中考数学二次函数压轴题之平行四边形的存在性问题
2020年中考数学二次函数压轴题之平行四边形的存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1， 0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点C，连接 BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出 P 点的到 y 轴的距离．【解析】解：（1）将点 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝ax2+bx+2，可得 a = -2/3 , b = 4/3 ,∴ y＝-2/3 x2+ 4/3 x + 2，（2）存在点 M 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，由题得，B（3，0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），尚老师数学【分类讨论】分别以 BC 为边和对角线作平行四边形来讨论，能画出图形是解题的关键！【对点法求坐标】Xp = 1/2（Xm + Xb）= 1/2（Xc + Xn）, （坐标中点公式）①四边形 CMNB 是平行四边形时，1/2 = （3 + x）/ 2，∴ x＝﹣2，∴ M（-2，-3/10）；②四边形 CNBM 是平行四边形时，3/2 = （1 + x）/ 2，，∴ x＝2，∴ M（2，2）；③四边形 CNMB 是平行四边形时，（1 + 3）/2 = x/ 2，∴ x＝4，∴ M（4，-3/10）；综上所述：M（2，2）或 M（4，-3/10）或 M（-2，-3/10）；（3）解【转化数学思想】通过转化构造出直角三角形，问题迎刃而解，作出辅助线是解题的关键！如何作辅助线？一定要结合已知条件（∠PCB＝∠BCO）！过点 B 作 BH 平行于 y 轴交 PC 的延长线与 H 点．∵ BH∥OC，∴ ∠OCB＝∠HBC，又∠OCB＝∠BCP，∴ ∠PCB＝∠HBC，∴ HC＝HB，又∵ OC⊥OB，∴ HB⊥OB，故可设 H（3，m），即 HB＝HC＝m，过点 H 作 HN 垂直 y 轴于 N，在Rt△HCN 中，则 m2＝3^2 +（m﹣2）2，解得 m = 13/4 ,∴ H（3,13/4），由点 C、P 的坐标可得，设直线 CP 的解析式为：y = 5/12 x + 2 , 故有 -2/3 x2+ 4/3 x + 2 = 5/12 x + 2 ,解得 x1＝0（舍去），x2 = 11/8 ,即点 P 到 y 轴的距离是 11/8 。
专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题(原卷版)
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05 二次函数中特殊平行四边形存在性问题一．平行四边形的存在性1．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．2．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结P A，PB，设点P的横坐标为t，△P AB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）5．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B （﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．矩形的存在性6．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•元宝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．8．（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．三．菱形的存在性9．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．14．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN ＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
(独家整理)二次函数中平行四边形存在性问题
一、回顾中点坐标公式
1.线段的中点公式
平面直角坐标系中，点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为
x1 + x2 y1 + y2 , ). (x2，y2)，则线段AB的中点P的坐标为 ( 2 2
例1 如图，已知点A (-2，1)，
B (4，3)，则线段AB的中点P
(1，2) 的坐标是________.
②点B与点P相对 ③点B与点Q相对 0+m= 0+a -4+ 0.5m2+m-4 = 0-a 0+a= 0+m -4-a= 0+ 0.5m2+m-4
a = - 2? 2 5
a1= -4
a2= 0（舍）
几何画板演示
Q1 (- 2 + 2 5, 2 - 2 5), Q2 ( - 2 - 2 5, 2 + 2 5), Q3 ( - 4, 4), Q4 (4, - 4)
例2. 如图，平面直角坐标中，y = - 0.25x2 + x与x轴相交于点B (4，0)，点Q在 抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，且以点O、B、Q、D为顶点的四边形
是平行四边形，写出相应的点P的坐标. 已知B (4，0)，O（0，0） ，设Q (2, a)，P(m, -0.25m2+m).
①点B与点O相对 ②点B与点Q相对 ③点B与点P相对 4+0= 2+m 4+2= 0+m 4+m= 0+2 m= 2 m= 6 m=-2
①点B与点O相对 4+0= 2+m m= 2
0+0= a-0.25m2+m
4+2= 0+m 0+ a = 0-0.25m2+m 4+m= 0+2 0-0.25m2+m= 0+a
重难点06二次函数中四边形的存在性问题(原卷版)
重难点06 二次函数中四边形的存在性问题技巧方法类型一：已知三点的平行四边形问题1、知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图ABC．第四个点M则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M点）．2、解题思路：（1）根据题目条件，求出已知3个点的坐标；（2）用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点；（3）更换顶点，求出所有可能的点；（4）根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．类型二：存在动边的平行四边形问题1、知识内容：在此类问题中，往往是已知一条边，而它的对边为动边，需要利用这组对边平行且相等列出方程，进而解出相关数值．更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示后才可列出方程进行求解．2、解题思路：（1）找到或设出一定平行的两条边（一组对边）；（2）分别求出这组对边的值或函数表达式；（3）列出方程并求解；（4）返回题面，验证求得结果．能力拓展一、填空题1．（2020·浙江·九年级期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y x x c c =--+>的顶点为D ，与y 轴的交点为C ，过点C 的直线CA 与抛物线交于另一点A （点A 在对称轴左侧），点B 在AC 的延长线上，连结,,OA OB DA 和3,5BC DB AC =．当四边形AOBD 是平行四边形时，则点A 的坐标为_______．二、解答题2．（2020·浙江温州·模拟预测）如图，直线l ：112y x =-+ 与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作//PD x 轴交l 于点D ，//PE y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)设F 为直线l 上的点，点P 仍在直线l 下方的抛物线上，以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．3．（2022·浙江湖州·一模）如图已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图像经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作AB x ∥轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移(0)m m 个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边界），求m的取值范围；(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．4．（2020·浙江温州·九年级阶段练习）如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与y轴相交于A，B两点（点A在点B 左侧），与y轴相较于点C，顶点为D．(1)直接写出A、B、C三点的坐标；(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．5．（2021·浙江·嘉兴一中一模）已知抛物线y＝a（x－m）2＋n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B 关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．(1)如图1，求抛物线y ＝（x －3）2＋1的伴随直线的解析式．(2)如图2，若抛物线y ＝a （x －m ）2＋n （m ＞0）的伴随直线是y ＝x －3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．(3)如图3，若抛物线y ＝a （x －m ）2＋n 的伴随直线是y ＝－2x ＋b （b ＞0），且伴随四边形ABCD 是矩形． ①用含b 的代数式表示m 、n 的值；②在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PBD 是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标（用含b 的代数式表示）；若不存在，请说明理由．6．（2022·浙江台州·模拟预测）如图，抛物线21=-++2y x bx c 的图象经过点C (0，2)，交x 轴于点A (﹣1，0)和B ，连接BC ，直线y ＝kx +1与y 轴交于点D ，与BC 上方的抛物线交于点E ，与BC 交于点F ．(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；(2)求EFDF的最大值及此时点E的坐标；(3)在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2016·浙江·海盐县滨海中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B （0，﹣4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝﹣x 上的动点，判断有几个位置能使以点P ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形（要求PQ OB ∥），直接写出相应的点Q 的坐标．8．（2022·浙江金华·一模）如图，把两个全等的Rt AOB 和Rt COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点()2,4A ，过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，抛物线2y ax bx c=++经过O 、A 、C 三点．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点G 为抛物线上位于线段OC 所在直线上方部分的一动点，求G 到直线OC 的最大距离和此时点G 的坐标；(3)点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 的边AM 与边BP 相等？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2020·浙江宁波·九年级期中）如图，抛物线y ＝﹣213222x x ++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．(1)求点A 、点B 、点C 的坐标；(2)求直线BD 的解析式；(3)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；(4)在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2020·浙江·浣江教育九年级期中）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上点B 和点D 之间是否存在一点H 使得四边形OBHC 的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由．（3）直线BD 上有一点P ，使得PE PC =时，过P 作PF x ⊥轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．11．（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）【基础巩固】（1）如图1，AC ∥DF ，Rt △ABC ≌Rt △DEF ，连结AD ，BE ，求证：四边形ABED 是平行四边形．【尝试应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 的坐标分别是A （1，3），B （4，1），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上．若以AB 为边，其余两个顶点为C ，D 的四边形是平行四边形，求点C ，D 的坐标．【拓展提高】（3）如图3，抛物线y ＝x 2﹣4x +3与直线y ＝x +3交于C ，D 两点，点E 是抛物线上任意一点，在对称轴上是否存在点F ，使得以CD 为边，其余两个顶点为E ，F 的四边形是平行四边形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．12．（2021·浙江金华·九年级期中）如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP PC +的最小值；（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求A 、C 两点的坐标；（2）当ABC 为轴对称图形时，求抛物线的解析式；（3）当ABC 关于y 轴成轴对称时，若点M 、N 是抛物线上的动点，且有//MN x 轴，点P 是x 轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q ，使以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q 点坐标：若不存在，请说明理由．14．（2020·浙江·九年级期中）如图，已如在平面直角坐标系xOy 中，直线33y x =x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点F 是点B 关于x 轴的对称点，抛物线23y bx c ++经过点A 和点F ，与直线AB 交于点C ．（1）求A 和F 的坐标，并求出抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线AC 下方的抛物线上的一动点，连结,PA PB ．求PAB △的最大面积并写出点P 的坐标； （3）点Q 是抛物线上一点，点D 在x 轴上，在（2）的条件下，是否存在以,,,A P D Q 为顶点且AP 为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．15．（2020·浙江绍兴·模拟预测）定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ． ①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．16．（2020·浙江省温岭市第四中学九年级期中）如图，点A 、D 是平面直角坐标系中y 轴正半轴上的点，B 、C 分别在x 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，且OA=OB=6，BD=AC ，OC=m ，E 、F 、G 分别是AB 、CD 、BC的中点．（1）求证：BD⊥AC；（2）用含m的式子表示△EFG的面积，并直接写出当∠BDO=4∠ACD时．△EFG的面积：（3）抛物线l₁：y=ax²+bx+c经过 A、B、C三点，顶点为P．①求a的值（用m的式子表示），并判断是否存在m的值，使得四边形APDC为平行四边形，若存在，求出此时m的值，若不存在，请说明理由．②连结AF，当经过G、O、F三点的抛物线h与抛物线l关于某点成中心对称，点Q是△AEF的外接圆上的动点，求GQ的最小值与最大值的和．。
中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．(1)求B 、D 坐标，并写出该二次函数表达式；(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，有PQ AC ⊥？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求抛物线的对称轴；(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P ，使以P 、A 、O 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A B 、的坐标； (2)求抛物线的对称轴；(3)平面内是否存在一点P ，使以P A O B 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()10A -，和()50B ，，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒()05t <<．当t 为何值时，BMN 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q 坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知二次函数213442y x x =--与x 数轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ． 发现：点A 的坐标为__________，求出直线BC 的解析式；拓展：如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上一点，连接PB 、PC ，当PBC 面积最大时，求出P 点的坐标； 探究：如图2，抛物线顶点为D ，抛物线对称轴交BC 于点E ，M 是线段BC 上一动点（M 不与B 、C 两点重合），连接PM ，设M 点的横坐标为()08<<m m ，当m 为何值时，四边形PMED 为平行四边形？6．解答题如图，在平面直角坐标系中，二次函数24y ax bx =+-的图像交坐标轴于()1,0A -、()4,0B 两点，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点()30A -,和()4,0B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的函数解析式；(2)如图，点P 在直线BC 上方的抛物线上运动，过点P 作PD AC ∥交BC 于点D ，作PE x ⊥轴交BC 于点E ，求724PD PE +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中724PD PE +取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点G ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点Q 、G 、M 、N 为顶点的叫边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，二次函数234y x bx c =++的图象与x 轴交于点A 和B ，点B 的坐标是（4，0），与y 轴交于点C （0，－3），点D 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)当点E 在x 轴上运动时，探究以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点E 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(30)A -，，()1，0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q ，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，直线122y x =+分别与x 轴、y 轴交于C ，D 两点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点D ，与直线相交于点E ，且:4:3CD DE =．(1)求点E 的坐标和二次函数表达式． (2)过点D 的直线交x 轴于点M ．①当DM 与x 轴的夹角等于2DCO ∠时，请直接写出点M 的坐标；①当DM CD ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点D ，E 重合），作DM 的平行线交直线CD 于点Q ，若以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于()()1,04,0A B C -、、三点，且OB OC =，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知二次函数220y ax x c a =++≠（）的图像与x 轴交于10()A B 、，两点，与y 轴交于点(03)C -，．(1)求二次函数的表达式；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求ACD 的面积最大时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ，使以M N B O 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标．（不写求解过程）13．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1．（1）求二次函数的解析式;（2）点P 为二次函数第一象限图象上一点，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图3，一次函数y kx =（k >0）的图象与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线1:l y x b k=-+交线段OC 于点M （不与O 、C 重合），过点T 作直线TN //y 轴交OC 于点N ，若在点T 运动的过程中，2ON OM =常数m ，求m 、k 的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于、、A B C 三点，其中点A的坐标为()0,8，点B 的坐标为()4,0-．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接AC CD 、，以AC CD 、为邻边作平行四边形ACDE ，设平行四边形ACDE 的面积为.S ①求S 的最大值；①当S 取最大值时，Р为该二次函数对称轴上--点，当点D 关于直线CP 的对称点E 落在y 轴上时，求点Р的坐标．参考答案1．【答案】(1)()4,0B - ()8,3D 211384y x x =--(2)当点P 运动到距离点52A 个单位处时，四边形PDCQ 面积最小，最小值为8182．【答案】(1)4x =-(2)()4,16或()4,16--或()4,16-3．【答案】(1)()4,0A - ()0,16B (2)4x =-(3)()4,16或()4,16-或()4,16--． 4．【答案】(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()712-，或()72-，或()14，或()23， 5．【答案】发现：()2,0-，直线BC 的解析式为1y x 42=-；拓展：()4,6P -；探究：当5m =时，四边形PMED 为平行四边形6．【答案】(1)234y x x =--(2)当P 点坐标为(2,6)-时，16(3)Q 的坐标为(2,6)--或(10,6)7．【答案】(1)211344y x x =-++(2)724PD PE +的最大值为12，此时522⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)1611632N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2471632N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，32147216N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．8．【答案】(1)239344y x x =--(2)(1,0)或(7,0)或41502⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或41502⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 9．【答案】(1)224233y x x =--+(2)存在，点M 的坐标为(2,2)-或---，(172)或(17,2)-+-10．【答案】(1)2722y x x =-++(2)①302⎛⎫- ⎪⎝⎭，或302⎛⎫⎪⎝⎭，；①3192-或3192+ 11．【答案】(1)234y x x =--(2)(2,6)P -，四边形PBOC 的最大面积为16(3)存在，Q 的坐标为(2,6)--或(10,6) 12．【答案】(1)223y x x =+-(2)315(,)24D --(3)存在，点N 的坐标为(2,5)或(0,3)-或(2,3)--13．【答案】（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在 12(1,0),(5,0)Q Q -- 34(27,0),(27,0)+-Q Q ．14．【答案】（1）22y x x =-；（2）点P 的坐标(15,4)+或(13,2)+；（3）554m =12k =．15．【答案】（1）y =-14x 2+x +8，C 点坐标为(8，0)；（2）①32；①P （2，2）或（2，6）。
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二次函数平行四边形存在性问题例题一．解答题(共９小题)1．如图，抛物线经过A（﹣1,0),B（５,0）,C(0，)三点.（１)求抛物线的解析式；（2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PＡ＋ＰC的值最小,求点P的坐标;（３）点Ｍ为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C，Ｍ,Ｎ四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在,请说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,直线ｙ＝﹣3x﹣3与ｘ轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线ｙ=ｘ2+ｂｘ+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点B（点Ｂ在点A右侧）. (1）求抛物线的解析式及点B坐标;（2)若点M是线段BC上一动点,过点Ｍ的直线EＦ平行y轴交ｘ轴于点Ｆ,交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F，Ｂ,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点P的坐标;若不存在，试说明理由．3．已知:如图,在平面直角坐标系xOｙ中，直线与x轴、y轴的交点分别为Ａ、B两点,将∠OBA对折,使点Ｏ的对应点Ｈ落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标,并求过A、Ｂ、C三点的抛物线的解析式；（2）若(1）中抛物线的顶点为D，在直线ＢC上是否存在点P，使得四边形ＯDAP 为平行四边形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由；(3）若把(1)中的抛物线向左平移3．5个单位，则图象与x轴交于F、N(点F在点N的左侧)两点，交ｙ轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Ｑ，使点Q到Ｅ、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由．4．已知:如图，在平面直角坐标系ｘＯy中，直线与x轴、y轴的交点分别为Ａ、B,将∠ＯBA对折,使点O的对应点H落在直线AＢ上,折痕交x轴于点Ｃ．（1)直接写出点C的坐标，并求过Ａ、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点Ｐ，使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Ｑ为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣ＱＯ|的取值范围.5.如图，Rt△OＡＢ如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与ｘ轴重合，∠OＡＢ=９0°，OA=４，AB=2,把Rt△OＡＢ绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O,C，Ａ三点.（１）求该抛物线的解析式；(2）在x轴上方的抛物线上有一动点Ｐ，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点Ｐ，点Ｍ作ｘ轴的垂线，交ｘ轴于E,F两点，问：四边形ＰＥFM的周长是否有最大值?如果有,请求出最值,并写出解答过程;如果没有，请说明理由.（３）如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点N,使O(原点）、C、H、N四点构成以ＯＣ为一边的平行四边形？若存在,求出N点的坐标；若不存在,请说明理由．6．如图，直线y=﹣x＋3与ｘ轴交于点C,与y轴交于点B，抛物线y=ax2+ｘ+c经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（２）如图，点E是直线BＣ上方抛物线上的一动点,当△BＥC面积最大时，请求出点E的坐标和△ＢＥC面积的最大值?(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、Ｍ为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．7．如图,抛物线y=aｘ2+bx+2与坐标轴交于A、Ｂ、C三点,其中B（４,0）、C（﹣2,0），连接AB、ＡC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作ＤE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．（１）求此抛物线的解析式;(2)在DE上作点G，使G点与D点关于Ｆ点对称,以G为圆心，ＧD为半径作圆,当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；(3)过D点作直线DH∥ＡＣ交AB于Ｈ,当△DHF的面积最大时,在抛物线和直线AB上分别取M、Ｎ两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．8.已知直线ｙ=kｘ+ｂ（k≠0)过点F(0,1),与抛物线y=x2相交于Ｂ、C两点．（1）如图1,当点C的横坐标为１时,求直线ＢC的解析式；（2)在(１）的条件下,点Ｍ是直线BC上一动点，过点Ｍ作ｙ轴的平行线，与抛物线交于点Ｄ,是否存在这样的点M,使得以M、Ｄ、O、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由;（３)如图2,设B(m.n)(m<0),过点E（0．﹣１)的直线l∥ｘ轴，BR⊥l于R,ＣS⊥l 于S，连接ＦＲ、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由.９．抛物线y＝x２+bｘ+ｃ经过A（0,2)，B（３,2）两点，若两动点D、E同时从原点Ｏ分别沿着x轴、y轴正方向运动,点Ｅ的速度是每秒１个单位长度，点Ｄ的速度是每秒２个单位长度．（1）求抛物线与ｘ轴的交点坐标；(2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形?若存在，求点D的坐标；若不存在,说明理由；（3)问几秒钟时,B、Ｄ、E在同一条直线上?2017年0５月03日1５87830199的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题(共9小题）1．(2０16•安顺)如图，抛物线经过Ａ（﹣1，0)，B(５，0），C（0，）三点.（1)求抛物线的解析式；（2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小,求点P的坐标；（3)点Ｍ为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点Ｎ，使以A，Ｃ,M，N四点构成的四边形为平行四边形?若存在，求点N的坐标；若不存在,请说明理由.【解答】解:(１)设抛物线的解析式为y＝ａx2+bx＋c（ａ≠0），∵Ａ（﹣1,0),Ｂ(5，０)，C（0,）三点在抛物线上，∴,解得.∴抛物线的解析式为:y＝x２﹣2x﹣；（2)∵抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣,∴其对称轴为直线x=﹣＝﹣=２，连接BＣ，如图１所示，∵Ｂ(5，０），C(0，﹣）,∴设直线ＢC的解析式为y=kx+ｂ（k≠0）,∴,解得，∴直线BＣ的解析式为y=ｘ﹣，当x=2时,y=1﹣=﹣，∴P(2，﹣）;(3)存在.如图2所示，①当点Ｎ在x轴下方时,∵抛物线的对称轴为直线x=2,C(0，﹣), (4，﹣)；∴Ｎ１②当点Ｎ在ｘ轴上方时，如图，过点N2作N２D⊥ｘ轴于点D,在△AN2D与△Ｍ2CＯ中,∴△AN2D≌△M2ＣO（AＳA),∴N2D=OC=,即N２点的纵坐标为．∴ｘ2﹣2x﹣=,解得x=2+或x=2﹣，（2+，),N3(２﹣,）．∴N２综上所述，符合条件的点Ｎ的坐标为(4,﹣)，（2+，)或(２﹣,)．2．（2０16•十堰一模)如图，在平面直角坐标系中，直线ｙ＝﹣3x﹣３与x轴交于点A,与ｙ轴交于点C.抛物线y=x２+bx+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点Ｂ（点B在点Ａ右侧）.（1)求抛物线的解析式及点Ｂ坐标；(2）若点M是线段BC上一动点,过点M的直线EＦ平行y轴交x轴于点Ｆ，交抛物线于点E．求ＭE长的最大值；（3）试探究当MＥ取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M,F,B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标;若不存在,试说明理由．【解答】解:（1）当y＝0时,﹣3x﹣3＝0，x=﹣1∴Ａ（﹣1，0）当ｘ=0时，ｙ=﹣3,∴Ｃ(0，﹣3），∴∴，抛物线的解析式是：ｙ＝x２﹣2x﹣3.当ｙ=0时，x2﹣2x﹣３＝０，解得:x1=﹣１，x２＝3∴B(3，0)．(2）由（1)知B（3,0),C（０，﹣3）直线BC的解析式是：ｙ＝x﹣3，设M(x,x﹣３）(０≤x≤３)，则E（x，x２﹣2ｘ﹣３）∴ME=（ｘ﹣3）﹣(ｘ2﹣2x﹣3)=﹣ｘ2+３ｘ=﹣(x﹣)２＋；∴当x=时，MＥ的最大值为.（３)答:不存在.由(2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣)，M(,﹣）∴ＭＦ=,ＢF=ＯB﹣OF=.设在抛物线ｘ轴下方存在点Ｐ,使以P、M、F、Ｂ为顶点的四边形是平行四边形，则BP∥MF，BF∥PM.∴Ｐ1（0，﹣）或Ｐ２(３,﹣)当P1(0，﹣)时，由（１)知ｙ=ｘ2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣∴P1不在抛物线上.(３,﹣)时，由(1）知y=x２﹣2x﹣３=0≠﹣当P２不在抛物线上．∴P２综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P,使以P、Ｍ、F、B为顶点的四边形是平行四边形.3.（２０16•义乌市模拟）已知：如图,在平面直角坐标系ｘOy中，直线与ｘ轴、ｙ轴的交点分别为A、Ｂ两点,将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线ＡB上，折痕交ｘ轴于点C.（１)直接写出点Ｃ的坐标，并求过A、Ｂ、C三点的抛物线的解析式;(2)若(１)中抛物线的顶点为D,在直线BＣ上是否存在点Ｐ,使得四边形ODAＰ为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由;（3)若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与ｘ轴交于F、N（点F 在点N的左侧)两点,交y轴于E点,则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大?若存在,请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解:(1)连接CH由轴对称得ＣH⊥AＢ,BH＝ＢO,CH＝CO∴在△ＣHA中由勾股定理，得AC2=CＨ２+AＨ2∵直线与ｘ轴、y轴的交点分别为A、B两点∴当x=０时，y＝6,当y＝０时，x=8∴B(0，6），A(8，０）∴OB=６,OＡ=8，在Rt△ＡＯＢ中,由勾股定理，得AB=10设C(a,0)，∴OＣ=ａ∴CH=a，ＡH=4，AC=8﹣a,在Rt△ＡHＣ中，由勾股定理,得（8﹣a）２=a2+４2解得a=３C（3，0)设抛物线的解析式为：ｙ=ax2＋ｂx+c,由题意，得解得:∴抛物线的解析式为：∴（2)由(１）的结论，得Ｄ(）∴DF=设ＢC的解析式为：y＝kx+b,则有解得直线BＣ的解析式为：ｙ=﹣２ｘ+6设存在点Ｐ使四边形ODＡP是平行四边形，P(m，ｎ)作PE⊥OA于Ｅ，HＤ交ＯA于F.∴∠ＰEO=∠AFD=90°,PＯ=DＡ，PO∥DA∴∠POE=∠DAF∴△OPE≌△ADF∴PE=ＤF=n＝∴×=P()当ｘ=时,y＝﹣２×＋６=1≠∴点Ｐ不再直线BC上,即直线BＣ上不存在满足条件的点P.(3)由题意得,平移后的解析式为:∴对称轴为:ｘ=２,当x＝０时，y=﹣当y＝０时,0=解得:∵F在N的左边F（，０),E(０,﹣),N(,0）连接EＦ交x＝2于Q,设EF的解析式为:ｙ=kx+b，则有解得：∴EF的解析式为：y=﹣x﹣∴解得：∴Q(2,）.4．(2016•深圳模拟)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与ｘ轴、y轴的交点分别为A、Ｂ,将∠OＢA对折，使点O的对应点H落在直线ＡB 上，折痕交ｘ轴于点C.(１）直接写出点Ｃ的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（２)若抛物线的顶点为Ｄ，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAＰ为平行四边形？若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在,说明理由;（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为Ｔ,Q为线段BＴ上一点，直接写出｜QA﹣QO|的取值范围．【解答】解:（１）点C的坐标为(3，0）.(1分）∵点Ａ、B的坐标分别为A（8，０),B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x﹣3）(x﹣８)．将ｘ=0，ｙ＝6代入抛物线的解析式，得．(2分）∴过A、Ｂ、C三点的抛物线的解析式为．(３分）(2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为,设抛物线的对称轴与x轴的交点为Ｇ.直线ＢＣ的解析式为ｙ=﹣２x+6.4分）设点P的坐标为（x,﹣2x+6).解法一：如图，作ＯP∥ＡＤ交直线ＢC于点P，连接AＰ,作PM⊥x轴于点M．∵OＰ∥AD,∴∠ＰOＭ=∠ＧAD，ｔan∠POM=tan∠GAＤ．∴，即.解得.经检验是原方程的解.此时点Ｐ的坐标为．(5分）但此时,OM＜GA.∵,∴OP＜ＡＤ,即四边形的对边ＯＰ与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点Ｅ，作点Ｄ关于点E的对称点P,作PＮ⊥x轴于点N．则∠PＥO=∠DEA，ＰE=DE．可得△PEN≌△ＤＥＧ．由，可得E点的坐标为（4,0）.ＮＥ=ＥＧ=，ON=ＯE﹣NＥ=,NＰ＝DG=．∴点P的坐标为.(5分）∵x=时，,∴点Ｐ不在直线ＢC上．∴直线BＣ上不存在符合条件的点P．(6分)(3）｜QA﹣QO|的取值范围是.(8分)当Ｑ在ＯA的垂直平分线上与直线ＢＣ的交点时，（如点K处），此时OK=AＫ，则|QA﹣QＯ|=0，当Q在ＡH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大,直线AH的解析式为：y=﹣x+6,直线BC的解析式为:y=﹣2x+6，联立可得:交点为（0，6),∴OQ=６,AＱ=1０，∴|QA﹣QO｜=4,∴|QA﹣QO|的取值范围是：０≤|QＡ﹣QO|≤4．5.(2016•山西模拟）如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OＡ与x轴重合，∠OAB=90°，ＯA=4，AＢ=2,把Rt△ＯAB绕点Ｏ逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O,C，A三点．（１）求该抛物线的解析式;（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点Ｐ,点M作x轴的垂线，交x轴于E,Ｆ两点，问:四边形ＰEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值,并写出解答过程;如果没有,请说明理由. (3)如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使Ｏ（原点）、Ｃ、H、N 四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在,求出Ｎ点的坐标；若不存在,请说明理由.【解答】解:（1）因为OA＝4,ＡB=2,把△ＡOB绕点O逆时针旋转90°，可以确定点C的坐标为(2,４);由图可知点A的坐标为(4,０）,又因为抛物线经过原点，故设y=ａｘ２+bx把（2，4）,（4，０）代入，得,解得所以抛物线的解析式为ｙ=﹣x2+4x；(2）四边形PEFＭ的周长有最大值，理由如下:由题意,如图所示，设点P的坐标为P(ａ，﹣a２+4a）则由抛物线的对称性知OE ＝AF，∴EF=PM＝4﹣2a，PE=MF=﹣ａ2+4a,则矩形ＰEFM的周长L=2[4﹣２a+（﹣a２＋4a）]=﹣２(a﹣１)2+10，=１0;∴当ａ=１时，矩形PEＦＭ的周长有最大值,Lｍax（3)在抛物线上存在点N,使Ｏ（原点)、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下:∵y＝﹣x2+４x＝﹣(x﹣２)２＋4可知顶点坐标(2,4），∴知道Ｃ点正好是顶点坐标,知道C点到ｘ轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线,与x轴没有其它交点,过ｙ＝﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，=2+，ｘ2=２﹣这两个交点为所求的Ｎ点坐标所以有﹣x2+4x＝﹣４解得x１（2+,﹣4),N2(２﹣,﹣4)．∴N点坐标为N１6.(2０15•葫芦岛）如图,直线y=﹣ｘ＋３与ｘ轴交于点C，与y轴交于点Ｂ,抛物线y=ax2+ｘ+c经过Ｂ、Ｃ两点．（1)求抛物线的解析式；(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△ＢＥC面积最大时，请求出点Ｅ的坐标和△BＥC面积的最大值？(3)在(2)的结论下，过点Ｅ作y轴的平行线交直线BＣ于点M，连接AM,点Ｑ是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点Ｐ，使得以P、Q、Ａ、Ｍ为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，请直接写出点Ｐ的坐标；如果不存在,请说明理由．【解答】解：(１)∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点Ｃ,与y轴交于点B，∴点B的坐标是(０，3)，点C的坐标是（4，０）,∵抛物线y=ａｘ２＋x＋ｃ经过Ｂ、C两点,∴解得∴ｙ=﹣x２+x+3．（2)如图1,过点Ｅ作y轴的平行线EＦ交直线ＢC于点M,EF交ｘ轴于点F,,∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是(x，﹣x２+ｘ+3),则点Ｍ的坐标是（x，﹣x＋3），∴EM＝﹣ｘ2+x+3﹣(﹣x+3)=﹣ｘ2+x,∴Ｓ△BＥC =Ｓ△ＢEＭ+Ｓ△ＭEＣ==×（﹣ｘ２+ｘ）×4=﹣x２+3x=﹣（ｘ﹣2）2+3,∴当x=2时,即点E的坐标是（２，３）时，△BEＣ的面积最大，最大面积是3．（3)在抛物线上存在点P，使得以Ｐ、Ｑ、A、Ｍ为顶点的四边形是平行四边形.①如图２，，由（2)，可得点M的横坐标是２,∵点M在直线y=﹣x+3上，∴点M的坐标是（２,),又∵点A的坐标是（﹣2,0），∴ＡM=＝,∴ＡM所在的直线的斜率是：；∵y＝﹣ｘ2+x+3的对称轴是x＝1，∴设点Q的坐标是(1,m），点P的坐标是（ｘ，﹣x2＋x+３)，则解得或，∵x<0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣).②如图３,,由（２),可得点M的横坐标是2,∵点M在直线y=﹣ｘ+3上,∴点M的坐标是(2,），又∵点A的坐标是（﹣2,０)，∴AM=＝，∴AＭ所在的直线的斜率是:;∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是(1,m)，点P的坐标是(x，﹣ｘ2＋x+3),则解得或，∵x>0,∴点P的坐标是（5,﹣）．③如图4，，由(2),可得点Ｍ的横坐标是2，∵点M在直线ｙ=﹣x＋3上，∴点M的坐标是（2，)，又∵点A的坐标是(﹣2,0）,∴AM==,∵ｙ＝﹣x2+x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（１，m)，点P的坐标是（x,﹣x2+ｘ+3)，则解得，∴点P的坐标是(﹣1，).综上,可得在抛物线上存在点Ｐ,使得以P、Ｑ、Ａ、M为顶点的四边形是平行四边形，点Ｐ的坐标是（﹣3,﹣）、(5,﹣）、(﹣1,）．7.(2015•梧州）如图，抛物线y=ax2+ｂx＋2与坐标轴交于Ａ、B、C三点,其中B(４，0)、C(﹣2，０），连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DE ⊥ｘ轴，垂足为Ｅ,交AB于点F．(１）求此抛物线的解析式；(２）在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标;（3)过Ｄ点作直线DH∥AC交AＢ于H,当△ＤHF的面积最大时,在抛物线和直线AB上分别取Ｍ、N两点,并使D、H、M、Ｎ四点组成平行四边形,请你直接写出符合要求的M、Ｎ两点的横坐标.【解答】解：（1）∵B，Ｃ两点在抛物线ｙ=aｘ２＋bｘ+2上，∴，解得：.∴所求的抛物线为：y=．（2)抛物线y＝,则点A的坐标为(0，2)，设直线AＢ的解析式为ｙ=kｘ+b,∴，解得：．∴直线AB的解析式为y＝﹣ｘ+2,设F点的坐标为(ｘ,ｘ+2),则Ｄ点的坐标为(x，），∵G点与D点关于Ｆ点对称，∴Ｇ点的坐标为(x，），若以G为圆心,ＧＤ为半径作圆，使得⊙G与其中一条坐标轴相切,①若⊙G与x轴相切则必须由ＤG＝GE，即﹣ｘ2+x+2﹣（)=，解得：x=，x=4(舍去);②若⊙G与ｙ轴相切则必须由DＧ=OE,即解得：ｘ=2,x=0(舍去)．综上，以Ｇ为圆心,ＧＤ为半径作圆,当⊙G与其中一条坐标轴相切时,G点的横坐标为２或．（3)Ｍ点的横坐标为2±２,N点的横坐标为±2.8.(2015•资阳)已知直线ｙ=kx+b(k≠0）过点F（０，1）,与抛物线y＝x2相交于B、Ｃ两点．（1）如图1,当点C的横坐标为1时，求直线ＢC的解析式;(2)在（1）的条件下,点M是直线BC上一动点,过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点Ｍ,使得以M、D、O、Ｆ为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点Ｍ的坐标；若不存在,请说明理由；（３）如图2，设B（m.n)（m<0),过点E(0．﹣1)的直线l∥x轴,ＢR⊥l于Ｒ,CS⊥l于S,连接FR、FS.试判断△RFS的形状,并说明理由．【解答】解:(1)因为点C在抛物线上，所以C(１，），又∵直线BＣ过Ｃ、F两点,故得方程组：解之，得,所以直线BC的解析式为:y=﹣x＋1；(2)要使以Ｍ、D、Ｏ、F为顶点的四边形为平行四边形,则MD=ＯF，如图１所示,设M(ｘ，﹣ｘ+1),则D(x,x2），∵MD∥y轴，∴MD＝﹣x+1﹣x2，由ＭＤ=OF,可得|﹣ｘ+1﹣x２|=1，①当﹣x＋1﹣x2=１时，解得x=0(舍）或x1=﹣3,１所以M(﹣3，),②当﹣ｘ+1﹣x2，=﹣１时,解得,x＝，所以Ｍ（，)或Ｍ（，),综上所述，存在这样的点Ｍ,使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，Ｍ点坐标为（﹣3,)或(，）或(，）;（３）过点F作FT⊥BR于点T,如图2所示,∵点B(ｍ,n）在抛物线上,∴m2=4n，在Ｒｔ△BTF中，ＢF===＝，∵n>0,∴BF=ｎ＋1，又∵BＲ=n+1,∴ＢF=ＢR．∴∠BRF=∠ＢFR，又∵BR⊥ｌ,ＥF⊥l，∴ＢR∥EF，∴∠BRＦ=∠RFＥ，∴∠RFE=∠BＦR，同理可得∠EFS=∠CFＳ，∴∠RＦＳ=∠BＦC=90°,∴△ＲFS是直角三角形.9．(201５•百色）抛物线ｙ=x2＋ｂx+ｃ经过A（０,２)，B（3,2)两点,若两动点Ｄ、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动,点Ｅ的速度是每秒1个单位长度,点D的速度是每秒2个单位长度.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点Ｄ，使Ａ、Ｂ、C、D四点围成的四边形是平行四边形?若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由;(3）问几秒钟时,B、D、E在同一条直线上？【解答】解:(1）抛物线y=ｘ２＋bx+c经过A(0,2)，Ｂ(３，2)两点,∴,解得，∴抛物线的解析式为:y=x2﹣３x+２，令y=0,则ｘ2﹣3x+2=0，解得：x1=１,x2＝2，∴抛物线与x轴的交点坐标是(1,0）,（２,0）;（２）存在,由已知条件得AB∥x轴，∴AB∥ＣD,∴当AB=CＤ时,以A、B、C、Ｄ四点围成的四边形是平行四边形,设D（m,0),当C(1，０)时,则CD=m﹣1,∴m﹣1＝3,∴ｍ=4,当C(2,0）时,则CＤ=m﹣2,∴ｍ﹣２=3，∴m=5,∴Ｄ(5,0）,综上所述:当Ｄ(4，0）或（5,0)时，使A、B、Ｃ、Ｄ四点围成的四边形是平行四边形；(３)设t秒钟时,B、D、Ｅ在同一条直线上,则OE＝t,OD＝２t,∴E（０,t），D（2ｔ,０），设直线BD的解析式为:y=ｋｘ+b，∴,解得ｋ=﹣或k=(不合题意舍去）,∴当k＝﹣，t＝,∴点Ｄ、E运动秒钟时,B、Ｄ、E在同一条直线上．。