9.2.1两直线的平行ppt课件

的点法式方程。
得出结论
任何关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (A,B不全为零)的图象都是一条直线。
我们把方程Ax+By+C=0(A,B不全为零)
叫做直线的一般式方程。
如果n=(A,B)是直线的一个法向量， 则直线的一个方向向量v= (B,-A)或（-.B,A)
如果v=(A,B)是直线的一个方向向量， 则直线的一个法向量n= (B,-A)或（-B,。A)
例2 求证直线L1：Ax+By+C1=0 与直线L2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)平行.
证明：直线L1的一个法向量可取为n1=(A,B), L2的一个法向量可取为n2=(A,B). 因为n1=1·n2,而C1≠C2. 所以L1与L2平行.
一般地，与直线Ax+By+C=0平行的直线都可以
表示成Ax+By+D=0（D≠C）.
• 所以ＢＣ//ＤＡ．
• 因此四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。
温故知新
1=
v2 v1
(v1
0)
.
已知斜率k，
则直线的一个方向向量 v= (1,k) .
2、点斜式方程 y y0 k(x x0.)
3、斜截式方程 y=kx+b .
新知探究
任何一条直线都可以由其上的一点和它 的一个法向量写出它的点法式方程，直 线的点法式方程是一个二元一次方程。
知识梳理
任何关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (A,B不全为零)的图象都是一条直线。
一般式方程： Ax+By+C=0(A,B不全为零)
向量n=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个 法向量，向量v=(B,-A)和(-B,A)都是这 条直线的一个方向向量。
例3 求过点（1，-4），且与直线2x+3y+5=0 平行的直线方程。 解：设所求直线方程为2x+3y+D=0，由于所 求直线过点（1，-4），将其带入方程，得D =10，因此，所求直线方程为 2x+3y+10=0
例４ 已知四边形ＡＢＣＤ的四条边所在的 直线方程分别是 ＡＢ：２ｘ－３ｙ－７＝０ ＢＣ：３ｘ＋６ｙ－１１＝０ ＣＤ：４ｘ－６ｙ＋５＝０ ＤＡ：Ｘ＋２ｙ－４＝０ 求证四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。
A1=λA2 B1=λB2 (λ为非零实数） C1 ≠λC2 特别，如果L1与L2的方程中的x和y的 系数及常数项都不为零，则有
L1//L2⇔
A1 B1 C1 A2 B2 C2
例1 已知直线L1:2x-4y+7=0,L2:x-2y+5=0. 求证：L1// L2.
证明：直线L1的一个法向量可取为n1=(2,-4), L2的一个法向量可取为n2=(1,-2). 因为n1=2n2,且7≠2×5. 所以L1// L2.
(9)3y-2=0
n=(0,3) v=(3,0)
例11 求直线x+2y+6=0的斜率和在y轴上的截距
解：由方程x+2y+6=0解出y，得此直线的 斜截式方程
y 1 x3 2
所以，直线的斜率是 是-3。
1 2
，在y轴上的截距
跟踪练习
• 求直线7x+8y+9=0斜率和在y轴上的截 距。
例12 求直线l:4x-3y-12=0与x轴，y轴的交点 坐标，并画出直线L。
(4) 4y+1=0 n (0,4),v (4,0),k 0
课堂练习
根据下列条件写出直线的一般式方程：
(1)过点(2,-3)，一个方向向量是v=(-3,4)
4x+3y+1=0
(2)过点(3,2),一个法向量是n=(3,-4)
3x-4y-1=0 (3)过点(1,4)，斜率k=
1 4
2x+y-6=0
课堂练习
1、求下列直线的一个法向量，一个方向向 量和斜率k（如果斜率存在的话） 1 (1) x-3y+5=0 n13 =(1,-3) v=(-3,-1) k= 3 (2) y=3x+7 n (3,1),v (1,3),k 3 (3) 2x+5=0 n (2,0), v (0,2), k不存在
解：令y=0,得x=3;
y
l
令x=0,得y=-4
A(3,0)
所以，直线与x轴，y轴的交
0 -1
-1
-2
-3
-4
x
点分别为：
-2
A(3,0), B(0,-4) -3
过点A，B的直线就是直线l， -4 B(0,-4)
跟踪练习
• 求直线2x-3y+6=0与x轴和y轴的交点坐 标，并画出直线.
与x轴交点（-3，0） 与y轴交点（0，2）
• 证明：因为直线ＡＢ的一个法向量可取为ｎＡＢ＝ (2,-3)
• 直线ＣＤ的一个法向量可取为ｎＣＤ＝ (4,-6)
1
1
• 显然ｎＡＢ＝ 2 ｎＣＤ，且－７≠ 2 ×５，所以ＡＢ//ＣＤ．
• 又因为直线ＢＣ的一个法向量可取为ｎＢＣ＝ (3,6) ，
• 直线ＤＡ的一个法向量可取为ｎＤＡ＝(1,2)
• 因为ｎＢＣ＝３ｎＤＡ，且-11≠3×(-4)，
9.2 两条直线的位置关系
9.2.1 两条直线的平行
问题
1.在平面上两条直线的位置关系有哪几种？
2.在平面直角坐标系中，怎样根据两条直线的方程 判断这两条直线的位置关系？
y
L2 L1
O
n2 n1
下面来讨论两条直线平行的充要条件， 设两条直线分别为 L1：A1x+B1y+C1=0 L2：A2x+B2y+C2=0 如图所示，直线L1的一个法向量可取 为n 1=(A1，B1)，直线L2的一个法向量 可取为n2=(A2,B2)。 因此如果L1//L2,则n1//n2,即存在一个非 零实数λ，使n1=λn2,且C1≠λC2.上述结 x 论也可用直线方程的系数表示为
得出结论
向量n=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个 法向量，向量v=(B,-A)和(-B,A)都是这 条直线的一个方向向量。
活学活用
例10.写出下列直线的一个法向量和一个方
向向量：
(1)3x-4y-1=0
n=(3,-4) v=(-4,-3)
(2)2x-3=0
n=(2,0) v=(0,-2)
因此可以说每一条直线的方程都是关于 x,y的二元一次方程。
那么是否每个二元一次方 程的图像都是直线呢？
探究分析
若关于x,y的二元一次方程为：
Ax+By+C=0 （A,B不全为零）①
设（x0,y0)是此方程的一个解，即
Ax0+By0+C=0
②
由①-②得
A(x-x0)+B(y-y0)=0
③
这是一条过点p0(x0,y0)，法向量为n=(A,B)的直线