浙江省2+2高等数学(A)答案及评分标准

2005年高等数学（A ）答案及评分标准：一. 填空题 1.41 2. 0 3. 2π- 4.c x yx yx +=+--+11ln 21 5. 9- 6.2243.7)2(3z F + .8 1211 二. 选择题1. C2. A3. D4. B5. D .6 B .7 A .8 C 三. 计算题1.解: 原式)sin 11(1lim 201t ttt xt -=→=2’3sin limtt t t -=→ 3’ 23cos 1limtt t -=→ 5’t t t 6sin lim0→= =617’2.解: 因)0(211lim)1(1lim )111(lim )(lim 2000f x x e x e x e e x x f xx x x x x x x ==--=---=--=→→→→)(x f ⇒在0=x 处连续. 1’xe x xf x f f x x x 21111lim )0()(lim )0('00---=-=→→=)1(2)1(2)1(2lim2-----→xx x x e x e x x e 3’=3222limx xe x e xx x ---→=261limx xe e xx x --→ 121-=5’ 22)1(1)('-+-=xx e e xx f , 0≠x 7’3.解: 原式])1[(ln 212--⎰-=x d x 2’dx x x x x ⎰-+--=111ln 224’c x x x xd xx x +---=⎰--+--=1arcsin 1ln )1(1111ln 222 7’4.解: σσd xe d xy x I Dy D⎰⎰+⎰⎰=-22cos 1’⎰⎰+⎰⎰=-12102102)(cos yy xdxxedy xy d x y x dx 5’ =][211sin 112221222⎰⎰-+⎰--dy ey dyedx x y y)]([211sin 312102122y y e d y dye--⎰+⎰+=)]|([211sin 3121010221222dy e yedyey y y ---⎰-+⎰+==21211sin 31-+e . 7’5.解: 令 )()!23()(113x xg n x x S n n =∑-=∞=- R x ∈ 1’其中 ∑-=∞=-123)!23()(n n n x x g R x ∈ 0)0(=g∑=∞=03)!3()('n nn x x g 1)0('=g∑-=∞=-113)!13()(''n n n x x g⇒1)0(',0)0()()(')(''===++g g e x g x g x g x , 4’231,231012ii --=+-=⇒=++λλλλ 解得: 3)23sin 23cos()(212xxe x c x c e x g ++=- , 5’ 1)0(',0)0(==g g31,3121=-=⇒c c]3)23sin 3323cos31([)(2x xe x x e x x S ++-=-. 7’ 6.解: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-51385322431111111021a b a2’⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--→b a b a 1000201000211011021 4’R b a ∈-≠,1 β可由4321,,,αααα线性表示. 5’⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+++→1100012010000010110001a b a b a b a 6’ ∴ 43111211αααβ+++-+++=a ba b a b a 7’ 7.解: P A P AP AP T T 2)()(= 1’⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000100005400452A 2’ ⇒ 2A 的特征值为: 1,1,1,9. 3’1=λ的特征向量: T T T )1,0,0,0(,)10,0,0(,)0,0,1,1(-9=λ的特征向量: T )0,0,1,1( 5’⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1000100002121002121P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11192P A P T 7’ 8.解: ⎩⎨⎧≤>=-0 ,00,2)(2x x e x f x X , ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它 ,0]3,1[,21)(x y f Y 2’⎩⎨⎧∈+∞∈=-其它 ,0]3,1[),,0( , ),(2),(y x e y x f x Y X 3’{}{}D Y X P Y X P ∈=≤+),(3 4’ dy e dx d y x f xx D⎰⎰⎰⎰==--3022),(σ 6’4224145)3(---=⎰-=e dx e x x . 7’9.解: Y 1 2 3 X 1 422 424 426 2424 422 4263 426 426 426 4’X 1 2 3P4212 4212 42186’ 71542542412)(=++=X E 7’四. 1. 解: 由 x x f xx f 3)(1)('=-得 )3()(c x x x f += 3’ )59233()3()()(2210122++=+⎰⎰==c c dx c x x dx x f c V πππ 5’490)3223()('-=⇒=+=c c c V 令π 6’032)49(''>=-πV 7’ 49-=c 为唯一的极小值点,为最小值点 ∴ )493()(-=x x x f .2. 解: 由 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0000313410323501012112121311 2’ )(II ⇒的通解: T T c c )3,0,1,2()0,3,4,5(21-+ 3’令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--30120345133101112121c c k k 4’⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------000011003010600130102820392025113020033114312511 6’ c c c c c k c k -==-=-=⇒2121,,3,6 7’ )(),(II I 有非零公共解:T c )1,1,1,1( 0≠c . 8’ 3.解: 令 =i A ”取到第i 号球” 3,2,1=i=j B ”在有3+j 张奖劵的盒中抽中奖” 3,2,1=j C =”抽中奖” 3’)()()()()()()()(332211222A C P A P A C P A P A CP A P A CP A P C A P +=⎪⎭⎫⎝⎛ 6’726341524141425241=⋅+⋅+⋅⋅= 8’五. 1. 证: 令 tty tx f t g ),()(=),0(+∞∈t 2’ 0),(),(),( ),()],(),([)('2''2''由已知=-+=-+=⇒tty tx f ty tx tyf ty tx txf t ty tx f ty tx yf ty tx xf t t g ty tx ty tx 5’),()1()()(y x f g t g t g ==⇒=⇒常量 7’),(),(y x f tty tx f =∴. 8’ 2. 证: 设 0)()()(1122111=-++-+-+++k k k k k c c c αααααα0)(212211=+++-+++⇒k k k k c c c c c c αααα 2’由 121,,,+k ααα 线性无关 021====⇒k c c c11112111,,,+=++--=-=∴k k k k ααβααβααβ 线性无关 4’又因 秩(A )=k m -且 k βββ,,21 均为0=Ax 的解 k βββ,,21 ⇒是0=Ax 的一个基础解系 6’ b Ax =∴ 的通解为:12211+++++k k k αβλβλβλ b Ax =⇒ 的任何解γ,有 =γ 12211+++++k k k αβλβλβλ=1212211)1(+-+++-+++k k k k αλλλαλαλαλ 7’。