狄拉克函数
狄拉克函数傅里叶变换
狄拉克函数傅里叶变换狄拉克函数（也称为“单位脉冲函数”）在数学和物理学中都有重要的应用。
而傅里叶变换则是一种常用的数学工具，可以将一个信号（比如音频或图像）分解成不同频率的基本成分。
本文将介绍狄拉克函数在傅里叶变换中的应用。
傅里叶变换可以将一个函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的加权和。
这个过程需要使用一个称为“基函数”的函数集合，通常是正弦和余弦函数。
但是，狄拉克函数也可以被用作基函数之一。
狄拉克函数在数学上被定义为：$$delta(t) =begin{cases}+infty & t = 00 & teq 0end{cases}$$这个函数在$t=0$处是无穷大的，但在其他地方都等于零。
由于这个函数只有一个非零值，所以它可以被看作是一个极窄的脉冲。
使用狄拉克函数作为基函数之一的傅里叶变换被称为“狄拉克傅里叶变换”。
在这种变换中，狄拉克函数被看做是一个特殊的“频率分量”，具有无限高的幅度和无限短的时间。
狄拉克傅里叶变换的表示方法与普通傅里叶变换类似，只是在求和式中加入了狄拉克函数的项。
对于一个函数$f(t)$，它的狄拉克傅里叶变换可以表示为：$$F(omega) = int_{-infty}^infty f(t) delta(t-tau)e^{-iomega t} dt$$其中，$tau$为脉冲函数的位置参数，$e^{-iomega t}$是傅里叶变换中的复指数函数。
狄拉克傅里叶变换的一个重要应用是在信号处理中。
由于狄拉克函数可以看做是一个脉冲，所以它可以用来模拟信号中的突发事件或者尖峰。
通过将信号与狄拉克函数做卷积运算，可以将信号中的尖峰提取出来，从而更好地分析信号的特性。
总之，狄拉克函数在傅里叶变换中的应用虽然不如正弦和余弦函数广泛，但在一些特殊情况下仍然有重要作用。
对于信号处理和物理学等领域的研究者，了解狄拉克函数傅里叶变换的基本原理和应用是非常有必要的。
第二节 狄拉克函数
1.2-1 δ函数定义 (definition of Delta Function)
1. 类似普通函数形式的定义
2. 普通函数序列极限形式的定义
3. 广义函数形式的定义
定义一：类似普通函数形式的定义
例子：理想会聚透镜 平行光经L后成会聚光束，在 L后的平面P上得到一个清晰 的圆形亮斑。随着P向后焦面 趋近，亮斑直径越来越小，照 度A越来越大。 在P的后焦面的极限情况下，屏上的 照度A已无法用普通函数来描述,它 在焦点值为无穷,在焦点以外为零，
x x
0
, y y0 x, y dxdy x0 , y0
2.与普通函数的乘积 (由广义形式的定义直接得到) 设 x, y 在 x0 , y0 处连续，则有：
x, y x x0 , y y0 x0 , y0 x x0 , y y0
x, y lim
n
N2
circ( N
x2 y2 )
贝塞尔函数:
x, y lim N
n
j1 (2N
x2 y2 )
x2 y2
定义三：广义函数形式的定义
x, y x, y dxdy
0,0
x, y 称为检验函数 ， 它是连续的，在一个有限区间外 为0， 并具有所有阶的连续导 数。
1.2-3 comb函数 (Comb Function)
1D comb函数: comb ( x)
n
( x n),
n为整数
Comb(x)
(x)D comb函数是间隔为1的无穷多个δ函数的和。
2D comb函数:
狄拉克函数求导
狄拉克函数求导狄拉克函数是一种常见的函数，可描述简单的变量之间的关系，并可以将曲线的表示拟合到函数上，以计算、求解和预测一系列跟变量关系的问题。
狄拉克函数是在1846年由法国数学家狄拉克发现的，也是第一个能够模拟实际数据的函数，使用起来非常简便高效，因此深受数学家及各学科的喜爱，并被广泛应用。
一般情况下，狄拉克函数可以表示为 y = ax^b形式，其中a为函数的拉伸因子，b为函数的幂次，当b为负数时，函数为递减函数；当b为正数时，函数为递增函数。
该函数的特性是，改变拉伸因子a 和幂次b，可以调整函数的形状，可以自主选择拟合函数的表示形式，以满足特定要求。
根据实际情况，狄拉克函数广泛应用于关系表达，可以用于数据处理、最优化分析、物理模型拟合、情势分析等。
求导是一种常见的数学技术，可以表示非线性的变量关系，而狄拉克函数正是基于这样的关系进行拟合的，因此求导就备受重视。
求狄拉克函数导数十分常见且重要，其求导过程也十分直观，只需要按照常规的导数计算法则，就可以通过代数运算求出狄拉克函数的导数。
首先，根据泰勒定理，狄拉克函数可以表示为 y = f(x) = a*x^(b-1) + b* x^(b-2) + c*x^(b-3) + + z* x^0，故求其导数则可表示为 dy/dx = f(x) = a* (b-1)* x^(b-2) + b* (b-2)* x^(b-3) + c*(b-3)*x^(b-4) + + z* 0*x^(-1)，即 dy/dx= a* b* x^(b-1) + b* (b-1)* x^(b-2) + c*(b-2)*x^(b-3) + + z* 0。
从这里可以看出，当拉伸因子a为常数的情况下，狄拉克函数的导数，都可以用一个比原函数幂次小1的狄拉克函数表示，即 dy/dx= a* b* x^(b-1)。
接着，可以分情况讨论。
当b>0时，则函数为递增函数；当b=0时，则求导结果为0，这是因为狄拉克函数当b=0时，对应的是直线函数，其导数为0；当b<0时，则函数为递减函数。
狄拉克函数的共轭函数
狄拉克函数的共轭函数狄拉克函数是数学中经典的函数之一，它在量子物理学和数学中都拥有广泛的应用。
而狄拉克函数的共轭函数则是与狄拉克函数密切相关的概念，也是很多数学和物理学问题中的一个重要组成部分。
本文将对狄拉克函数的共轭函数进行全面的介绍，帮助读者更好地理解它在数学和物理学中的实际应用。
1. 狄拉克函数的定义狄拉克函数，也称为单位脉冲函数，定义如下：$$\delta(x) =\begin{cases}0, & \mathrm{if}\ x \neq 0 \\\infty, & \mathrm{if}\ x = 0\end{cases}$$$\delta(x)$在$x = 0$处的值是一个无限大的数，但是在其他任何地方都是零，其符号常规地也是写作$\delta(x)$而非$+\infty\delta(x)$。
狄拉克提出了这个函数的概念，并把它应用于物理学中，以表示一个瞬间发生的事件，比如在某一时刻一个物体的位置从某个值变成了另一个值。
狄拉克函数在物理学中的应用相当广泛，涉及到波动方程、量子力学、粒子物理学等多个领域。
狄拉克函数具有许多奇特的性质，可以帮助我们更好地理解它的本质。
狄拉克函数的积分可以表示为：这意味着狄拉克函数的面积为1，也就是说，狄拉克函数的曲线下方围成的面积为1。
狄拉克函数具有平移不变性。
即：这个式子的含义是，对于任意函数$f(x)$，如果对它和狄拉克函数做积分，那么得到的结果就是$f(x_0)$。
也就是说，狄拉克函数可以把函数$f(x)$的值“挖”出来，并把这个值提取出来。
狄拉克函数是一个奇函数，即$\delta(-x) = \delta(x)$。
这表明，狄拉克函数的图像关于原点对称。
狄拉克函数的共轭函数并不是一个独立的函数，而是指在某些情况下与狄拉克函数配对使用的另一个函数。
它在数学和物理学中都有广泛的应用，尤其在量子力学和信号处理中应用最为广泛。
狄拉克函数的共轭函数可以通过狄拉克函数的配对得到。
第八章-狄拉克函数
若 f (x)为任意连续函数，如果
性质来定义。
数学物理方法
性质 2.（对称性）： (x x0 ) (x0 x) 函数是偶函数
证明：设 f (x)为定义在( )的连续函数，则
x0 x
f (x) (x0 x)dx f (x0 ) ( )(d )
数学物理方法
二、 函数的性质
性质 1：若 f (x)是定义在区间(,)的任一连续函数，则
f (x) (x x0)dx f (x0)
—将 (x x0 )乘上 f (x)进行积分，其值为将 f (x)的 x换为 x0或
者说： 函数具有挑选性（把 f (x)在 x x0的值挑选出来）
(x x0)
0
(x x0 ) (x x0 )
(x x0 )dx 1
（5） （6）
数学物理方法
(x x0)
0
(x (x
x0 ) x0 )
（5）
(x x0 )dx 1（6）
根据（5）式，在 x x0时， (x x0 ) 0，所以（6）式左边
——根限形式
证明：（1）当 x 0时,令v xu，且有lim sin v 1 v0 v
sin2 (ux)
lim
v0
x2u
lim u [lim sin(xu)]2
u x0 xu
lim u
u
（2）当 x 为不等于 0 的常数时：
lim
u
sin2 (ux)
数学物理方法
说明：
1. 函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数：
狄拉克函数
0 x
即在上述积分相等的意义下有 H . (称为广义导数)
( x) f ( x)dx
狄拉克函数基础
7
类似地，在积分的意义下，可以证明 函数具有任意阶广义导 数。并且其广义导数具有与 函数类似的性质。 例如：对于一阶连续可导函数f(x)有
1, x 0 H ( x) x0 0, 对于任意的满足：(a)任意阶导数均存在； (b)在某个有界区间外恒为零 的函数f(x).(称为检验函数) 有 H '( x) f ( x)dx H ( x) f ( x) H ( x) f '( x)dx
F[ ( x)] 1
同理可得
狄拉克函数基础
9
利用
F[ ( x a)] eia
F[ ( x a)] eia
和傅里叶变换的线性性可得
ia ia 1 e e cos a F [ ( x a) ( x a)] 2 2 ia ia 1 e e F [ ( x a) ( x a)] sin a 2i 2i 1 从而有公式 F 1[cos a ] [ ( x a) ( x a)] 2 1 1 F [sin a ] [ ( x a) ( x a)] 2i
0 0 )dxdydz
f ( x, y, z) ( x x , y y , z z
f ( x0 , y 0 , z 0 )
狄拉克函数基础
13
狄拉克函数基础
5
函数性质
(1) 抽样性质： 设f(x) 连续
狄拉克 δ 函数
δ 函数的性质
1. I = ∫
∞ -∞
f (x) δ(x - x0) x = f (x0), 对任意的连续函数 f (x)
证明：利用 δ 函数的定义 I=
∞ -∞
f (x) δ(x - x0 ) x = lim+ ε0
x0 +ε x0 -ε
x0 +ε x0 -ε
f (x) δ(x - x0 ) x, 其中 ε 0+ 表示 ε > 0 且 ε 0
x0 +ε
= lim+ ε0
[ f (x) - f (x0)] δ(x - x0) x + lim+ ε0
Δ
x0 -ε
f (x0 ) δ(x - x0 ) x
= Δ + f (x0), Δ = lim+ ε0 ≤ lim+ ε0
ε0 x0 +ε
x0 -ε x0 +ε
∞
-∞
f (x) D1 (x) x =
∞
-∞
f (x) D2 (x) x
⟹ D1 (x) = D2(x)， 其中 f (x) 为任意的连续函数
也就是说 ，这里说的证明 ，与其说是证明 ，不如说是一种理解 、说明。 若希望更严谨的数学论证 ，请参阅 Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions "
δ(t) t ,
φ(xl -ε)
1 = φ′(ξ) 1 φ′(ξ) = ▲ 推论 δ(a x - b) = 1 φ′(x
l )
φ(xl +ε) φ(xl -ε) φ(xl +ε) φ(xl -ε)
狄拉克函数
狄拉克函数1. 引言狄拉克函数（Dirac Delta function）由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在20世纪初提出。
狄拉克函数是一种特殊的分布函数，具有极其奇特的性质，常常用来描述粒子或波的位置、质量、速度等特征。
狄拉克函数在物理学、工程学、数学等领域中有着广泛的应用，是一种非常重要的数学工具。
2. 定义与性质狄拉克函数可以通过多种方式定义，以下是其中一种常用的定义方式：定义 1：狄拉克函数是一种以0为中心，无限高、无限窄的脉冲函数，其函数形式可以表示为：\[ \delta(x-a) = \begin{cases} +\infty, & x = a \\ 0, & xeq a \end{cases} \]其中，a为常数。
根据定义可知，狄拉克函数在除了a以外的所有点上都等于零，而在a点上取无限大值。
由于狄拉克函数具有这种集中无穷大的特性，它被称为一个“广义函数”（generalized function），而非传统意义上的函数。
狄拉克函数有以下一些重要的性质：性质 1：归一性\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \, dx = 1 \]即狄拉克函数在整个实数轴上的积分为1。
性质 2：积分性质对于任意的函数f(x)，有以下积分关系：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \]这个性质表明，在狄拉克函数参与的积分运算中，狄拉克函数会起到“滤波”作用，将函数f(x)在x=a处的值提取出来。
性质 3：位移性质\[ \delta(x-a) = \delta(-x+a) \]这个性质表明，狄拉克函数关于中心点a具有对称性。
性质 4：缩放性质\[ \delta(bx) = \frac{1}{|b|} \delta(x) \]这个性质表明，狄拉克函数可以通过改变自变量的比例来调整脉冲的窄度。
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lim
l 0
l ( x )d x
( x )d x m
从上可见，对于质点，其线密度在 x 0 处为 ，其它 地方为 0，它的积分为 m 。
3
F (k1 ,k2 ,k3 )
f ( x , y , z )e
i ( k1 x k 2 y k 3 z )
dxdydz
成较简洁形式
f (r )
1
ik r F (k )e d k1d k 2 d k 3
F (k )
( 2 )
3
ik r f (r )e dxdydz
1
(r c)e
ik r
dxdydz
F[
1 r
( r c )]
1 ( 2 )
2 3
r0 0
2 0
1 r
(r c )e
ik r c o s
r s in d r d d 1
2
1
( 2 ) ik
(x)
1 2
e
i x
d
（5.3.12）
数学物理方法
上面关于 函数的傅里叶变换（5.3.11）和傅里叶积分 （5.3.12）的导出其实存在问题。事实上 函数并非通 常函数，根本不满足傅里叶积分定理的条件，不存在 傅里叶变换。
可以这样来理解：在积分的意义上， 函数是某种通 常函数系列的极限，如（5.3.8）~(5.3.10)所示，而这些 通常函数的傅里叶变换存在。于是，不妨将这些通常 函数的傅里叶变换系列的极限说成是 函数的傅里叶 变换，这里的极限自然也是从积分意义上来理解。不 过这时已非通常意义的傅里叶变换，而是广义的傅里 叶变换。
K / 无限增高，其宽度无限变窄，其极限不存在。
但是在积分的意义上来看，
K
lim
1 sin K x
d x lim
x
K
1 sin K x
d (Kx)
Kx dy
lim 1
1 sin y y
K
符合函数 的定义。第三个验证同上，略。
数学物理方法
函数的逼近序列举例。
数学物理方法
5.3.4 函数的傅里叶变换 把 函数表为复数形式的傅里叶积分，
(x)
F ( )e
i x
d
其中傅里叶变换
F ( ) 1 2
( x )e
i x
dx
1 2
e
i 0
1 2
(5.3.11)
这样， 函数的傅里叶积分是
(e
ik c
e
ik c
)
数学物理方法
例 5.3.2
解：
计算常值函数1的傅里叶变换。
F [1]
1 2 1 2
1e 1e
i x
dx
i t
dt
( )
数学物理方法
例 5.3.3
解：
计算正弦函数 sin a x 的傅里叶变换。
1 2 1 2 1 (
数学物理方法
第五章 傅里叶变换
数学物理方法
1、 傅里叶级数 2、 傅里叶积分与傅里叶变换 3、 函数
数学物理方法
傅氏变换的简单应用 例1、求具有电动势 f ( t ) 的LRC电路的电流，其中L 是电感，R是电阻，C是电容， f ( t ) 是电动势。
解： I ( t ) 表示 t 时刻的电流， 设 根据基尔霍夫定律，I ( t ) 满 足如下微分方程
(5.3.2)
函数的确切意义应在积分运算下来理解： 函数曲
线的“峰”无限高，但其“宽度”无限窄；曲线下的 面积是有限值 1。
数学物理方法
函 数 将 x 平 移 x0 得 到
见右图。 这样， 位于 x 0 ( x x0 ) ， 的 质 点 m 的 线 密 度 为 电量为 q 的点电荷的 m ( x x0 ) ， 线密度为 q ( x x 0 ) ，作用于瞬时
当 l 0 ，上式的极限不存在。
但是在积分的意义上来看，
lim
l 0
1
r e c t ( ) d x lim l 0 l l
x
r e c t ( ) d 1
符合函数 的定义。
数学物理方法
再验证（5.3.9） 。 函数 s in
Kx
x
当 K ，在 x 0 处的“峰”的高度
F1 ( k 1 ; y , z ) ， y , z 作 为 参 数 出 现 在 其 中 ； 再 将 F1 ( k 1 ; y , z ) 就 y 展为傅里叶积分，其傅 里叶变换为
F 2 ( k 1 , k 2 ; z ) ；最后将之就 z 展为傅里叶积分，这样，
综合三次展开，得到 f ( x , y , z ) 的三重傅里叶积分
x
x
( t ) d t ，从前面定义有
0, ( x 0) H ( x ) (t ) d t 1 .( x 0 )
(5.3.4)
H ( x ) 称为阶跃函数 或亥维赛单位函数。从而 H ( x ) 是
( x ) 的原函数， ( x ) 是 H ( x ) 的导数
(x)
dH ( x) dx
（5.3.5）
数学物理方法
（3）对于任意一个定义在 ( , ) 上的连续函数 f ( x )
f ( x ) ( x x 0 ) d x f ( x 0 )
（5.3.6）
这有时叫做 函数的挑选性。
证明：对于任意 0
数学物理方法
例 5.3.4
解：
分别计算 '( x ) ， ''( x ) 的傅里叶变换。
i 2
f (t )
f ( ) ( t ) d
b a
f ( ) ( t ) d
(5.3.7）
数学物理方法
5.3.3 函数是一种广义函数 从前面 函数的定义， 函数显然不是通常意义的函 数，它是广义函数。具体说，它是某种通常函数系列 的极限，而这个极限是在积分意义上说的。例如
t0 而 冲 量 为 K 的 瞬 时 力 为 K (t t0 ) 。
数学物理方法
5.3.2 函数的一些性质 （1） ( x ) 是偶函数，它的导数是奇函数，
( x) ( x)
'( x ) '( x )
（5.3.3）
（2）研究积分 H ( x )
0, ( x l / 2) l (x) m / l, ( x l / 2)
数学物理方法
将 l ( x ) 对 x 积分，则得到总质量
l ( x )d x
l/2 l /2
m l
dx m
如果让上述线段的长度 l 0 ， 那么得到位于坐标原点 质量为 m 的质点，其线密度 ( x ) 则有
数学物理方法
1 x
例如， ( x ) lim
l
re c t ( ) l l
首先求矩形函数的傅里叶变换，有
F[ 1 re c t ( )] l l 2 x 1 s in ( l / 2 )
l / 2
因而得到 函数的广义傅里叶变换
F [ ( x )] lim
l 0
L dI dt RI 1 C
2
t
Id t f ( t )
对上式两边求导，得到
L d I dt
2
R
dI dt
1 C
I f (t )
'
对上式两边做傅氏变换，并令 I ( ) ， F ( ) 分别 I ( t ) ，
f ( t ) 的傅氏变换，则
数学物理方法
L I ( ) i R I ( )
5.3 狄拉克函数
数学物理方法
5.3.1 函数 物理学中经常要研究一个物理量在空间中分布的 密度，如质量密度、电荷密度、单位时间的力等等。 但物理中又常运用质点，点电荷、瞬时力等抽象模型， 它们不是连续分布与空间，而是集中在某一点，它们 的密度该如何描述呢？
设质量 m 均匀分布在长 l 的线段 [ l / 2, l / 2 ] 上，则其 线密度 ( x ) 可以表为
数学物理方法
对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某点或时 间的某一瞬间的抽象模型，在物理学中引入 函数来 描述其密度。
0, ( x 0) (x) , ( x 0)
（5.3.1）
b a
0 , ( a , b都 0 , 或 都 > 0 ) ( x)dx 1, ( a 0 b )
数学物理方法
f ( x, y,பைடு நூலகம்z )
F ( k
1
1
, k 2 , k 3 )e
i ( k1 x k 2 y k 3 z )
d k 1d k 2 d k 3
其中三重傅里叶变换
) ( 2 引入矢量 r 和 k ， r i1 x i 2 y i3 z ， k i1 k 1 i 2 k 2 i3 k 3 可以将三重傅里叶积分和变换写