浅谈狄拉克函数在数学物理方法课程中的应用

= ut k u xx , = u ( x, 0) ϕ ( x),
t k (iξ ) 2 u , u = (ξ , 0) = ϕ (ξ ). u
解这个常微分方程得
x ∈ R, t > 0, x ∈ R.
t > 0,
采用 Fourier 变换来求解该问题，问题两边对空间变量做 Fourier 变换得
D
0,
∀x, y ∈ D,
利用狄拉克函数的性质知： G ( x, y ) = G ( y, x).
五、 总结 本文通过几个具体生动的例子介绍狄拉克函数在数学物理方法课程中的应用方法， 通过这些 例子， 希望能帮助学生深刻理解掌握狄拉克函数的运算方法和物理意义， 这将为学生学习广 义函数理论建立坚实的基础。
δ ∗ ϕ ( x) = ϕ ( x). lim u ( x, t ) =
t →0
否则，直接利用解的表达式去推导上式，对工科学生来说是一个相当复杂困难的过程[1]。 类似的方法可以用到上半平面的 Laplace 方程的泊松核等问题的分析中去，这里不再详细叙 述。 三、 位势方程基本解与狄拉克函数 考虑全空间的位势方程
下面来证明 −∆φ , v = δ , v 。 事实上， 利用当 x ≠ 0 v( x) = 0 ， ⋅, ⋅ 表示 L2 ( R 3 ) 上的内积。 时 −∆φ ( x) = 0 可得：
−∆φ , v = − ∫ 3 ∆φ ( x)v( x)dx = − lim ∫ ∆φ ( x)v( x)dx ，
−∆(φ ∗ f ) = (−∆φ ) ∗ f = δ ∗ f = f .
如果学生能对上述处理方法有了深刻认识，那么广义函数理论对他们来说就很容易理解了。 我们认为在数学物理方法课程中介绍上述方法是最恰当的时机， 提供了学生对广义函数的最 生动的认识。 四、 Geen 函数对称性与狄拉克函数 Geen 函数法求解区域上位势方程是求解位势方程的一类重要方法，它将区域上位势方程的 解表示为积分表达式，可以比较方便的做数值计算，具有重要的理论意义和实际应用价值。 区域 D 上位势方程的 Geen 函数 G ( x, y ) 满足如下条件：
= −∆u f ,
x ∈ R3 . 1 ，则可以证明 4π | x |
(∗)
这个问题与位势方程基本解紧密联系。记位势方程基本解为 φ ( x) :=
= −∆φ ( x) δ ( x),
x ∈ R3.
容易看到，当 x ≠ 0 时 −∆φ ( x) = 0 ，但是无法直接去计算得到：
∫
R3
−∆φ ( x)dx = 1 ，因而很
参考文献： [1] L.C.Evans. Partial Differential Equations [M]. Rhode Island ， American Mathematial Society, 1998. [2] 王明新. 数学物理方程 [M]. 北京：清华大学出版社，2009. [3] 王元明. 数学物理方程与特殊函数 [M]. 北京：高等教育出版社，2004. [4] W.A.Strauss. Partial Differential Equations: An Introduction [M]. 北京：世界 图书出版公司，2011.
u ( x, t ) =St [ϕ ( x)] =St [δ ∗ ϕ ( x)] =St [δ ( x)] ∗ ϕ ( x) = H ( x, t ) ∗ ϕ ( x)=
∫
+∞
−∞
H ( x − y, t )ϕ ( y ) dy.
利用上述表达式，并结合利用微元法就很容易理解热方程解的表达式了。另外，简单的计算 可得：
从 Green 函数的物理意义来理解该对称性是容易的， 但是一般数学推导却是复杂的， 详见文 献[4]。这里我们给出一个利用狄拉克函数 δ ( x) 和第二 Green 公式的简单推导。取两个不同 点源位置的 Green 函数 G ( x, z ) ， G ( y, z ) 代入到第二 Green 公式中得：
难用狄拉克函数的定义去直接验证。那么如何证明等式 (∗) 呢？这需要对函数有个全新的认
识，将函数看成是分布密度，建立分布意义下的计算方法，这就是广义函数理论，其中的一 个关键想法是：如果
∀v ∈ C0∞ ( R 3 ), −∆φ , v = δ , v ,
∞ 则认为 −∆φ = δ ，其中 v 称为试验函数， v ∈ C0 ( R 3 ) 表示 v 是无穷次可微且在 | x | 很大时
R
ε →0 + Bε
再利用第一 Green 公式[2,3]得：
−∆ = φ , v lim[ ∫ ∇φ ( x) ⋅∇v( x)dx − ∫ v( x)
ε →0 +
Bε ∂Bε
∂φ ( x) dS ] . ∂n
先估计第一个积分，
| ∫ ∇φ ( x) ⋅∇v( x)dx |≤ ∫ | ∇φ ( x) | ⋅ | ∇v( x) | dx ≤ M ∫ | ∇φ ( x) | dx = M ε ,
(ξ , t ) = ϕ (ξ )e − kξ 2t . u
记基本解或热核为
x − 1 [e ] = = H ( x, t ) : F e 4 kt , 2 kπ t
u ( x, t ) H ( x, t ) ∗ ϕ ( x). =
所以热核函数在解的表达式中起到关键的作用， 在解的表达式中， ϕ ( x) 是初始的温度分布， 那么如何来理解热核呢？利用 F [δ ( x)] = 1 , 通过简单的计算可以看到，热核是初始温度取 为点源 δ ( x) 时热方程的解，记问题的解算子为 St ，那么 H ( x, t ) = St [δ ( x)] 。从而
Bε Bε Bε
再利用积分中值定理得:
−∆φ , v = 0 + lim
1 4πε 2
ε →0 +
∫
∂Bε
v( x)dS ]= v(0)=
v, δ .
从上面的推导过程可以看到处理 ∆φ ( x) 在原点处的奇性关键是利用第一 Green 公式将奇性 降低。有了 −∆φ = δ 后，则全空间上位势方程的解为： u= φ ∗ f . 事实上，
δ ∗ f ( x) :=
∫
∞
−∞
δ ( x − y ) f ( y )dy = f ( x).
引入狄拉克函数的重要意义在于帮助我们去理解数学物理问题背后的物理意义， 有时也可以 把复杂的数学推导大大简化。 下面我们通过数学物理方法课程中的几个具体例子来详细说明。 二、 热方程的热核与狄拉克函数 考虑如下的一维热方程初值问题：
+∞, x = 0, lim H ( x, t )= t →0 x ≠ 0, 0,
因而
t →0 +
∫
+∞
−∞
H ( x, t )dx= 1, ∀t > 0,
lim H ( x, t ) = δ ( x).
上述过程说明热核函数在初始时刻时具有奇性，该奇性可以用 δ ( x) 来表示。利用这一点可 以很容易推导
+∞ +∞, x = 0 = , δ ( x) = δ ( x)dx 1. ∫ −∞ x≠0 0,
它在物理上用来表示单位点源的分布密度， 从定义可以看到物理量集中分布在原点处， 其他 地方没有该物理量，而定义中的积分表示该点源总的物理量为 1。高维的狄拉克函数是多个 一维狄拉克函数的乘积，具有相似的性质。狄拉克函数的运算中，卷积是最重要的，容易看 到：
浅谈狄拉克函数在数学物理方法课程中的应用 杨 明 （东南大学 数学系，南京 210096） 摘要： 在工科本科数学课程中狄拉克函数是最具特色的广义函数， 然而由于广义函数的基本 理论超出了工科学校本科数学教学的要求， 学生对狄拉克函数并不能深入理解与应用。 本文 通过介绍了狄拉克函数在数学物理方法课程中的多个关键应用， 希望能让学生认识到狄拉克 函数与基本解的关系， 狄拉克函数可以大大简化各种积分核性质的推导， 并能理解狄拉克函 数背后的物理含义。 我们在本文中的推导只用到基本的微积分知识， 从而避开了广义函数的 基本理论， 我们认为这样可以为学生提供广义函数的一个重要且生动有趣的例子， 为他们以 后学习广义函数打下坚实的基础。 关键字：狄拉克函数，基本解，Green 函数，数学物理方法，教学内容与方法。 一、 介绍狄拉克函数 狄拉克函数（Dirac function）是数学物理中应用最为广泛的一个广义函数，一维的狄拉克函 数定义如下:
∫ G( x, z )∆ G( y, z ) − G( y, z)∆ G( x, z)dz
z z D
∂ ∂ = ∫ G ( x, z ) G ( y, z ) − G ( y, z ) G ( x, z )dS z =0, ∂D ∂n ∂n
所以
∫ G( x, z )δ ( y − z ) − G( y, z )δ ( x − z)dz=
y ) δ ( x − y ), −∆ y G ( x,= = G ( x, y ) 0,
x, y ∈ D , y ∈ ∂D.
这里我们仅在三维空间区域中考虑， 并采用第一类边界条件来研究， 对于其他维数的空间和 其他类型的边界条件方法类似。 G ( x, y ) 中的两个变量，变量 x 是点源位置，另外一个是函 数的自变量 y 。Geen 函数对称性是指这两个变量的位置可以互换，即 G ( x, y ) = G ( y, x).