浅谈狄拉克函数在数学物理方法课程中的应用
狄拉克对物理学的主要贡献
狄拉克对物理学的主要贡献周云波(宝鸡文理学院物理系陕西宝鸡 721007)摘要:论述了狄拉克在量子力学、量子电动力学、相对论性电子理论和反物质理论等四方面作出的贡献,以缅怀他光荣伟大的一生以及为科学而献身奋斗的高尚品德关键词:量子力学 ;哈密顿体系 ;玻色子 ; 费米子; 反物质理论Dirac’s chief contribution in physicsZhou Y un-bo(Dept.Phys.,Baoji Coll. Arts & Sci.,Baoji 721007 Shaanxi China) Abstract:The contyibutions in the aspects of quantum mechantics 、quantum eletrodyramics、the electronic theory of the relativistic and antimatter theory are discussed,in orde to cherish the memory of his whole life with great honor and the noble morality of struggling for science heart and soul.Key words:quantum mechanics; system once of Hamilton ; boson ; fermion ; antimatter theory﹠保罗·狄拉克(Paul Adrien Maurice Dirac)现代著名的理论物理学家,1933年诺贝尔物理学奖获得者.1902年8月8日生于英国布列斯托尔城,1984年10月20日在美国佛罗里达州的达拉哈斯逝世[1]。
狄拉克成名较早,青年时代即在物理学界崭露头角,早在他获得博士学位前后，即1926年，短短两三年，就对物理学作出了四大贡献。
伽马函数和狄拉克函数
伽马函数和狄拉克函数伽马函数和狄拉克函数是数学中重要的特殊函数，它们在许多领域中有着广泛的应用。
本文将介绍伽马函数和狄拉克函数的定义、性质以及它们在数学和物理学中的应用。
一、伽马函数1. 定义伽马函数是一种复变函数，由欧拉在18世纪提出并研究。
伽马函数的定义如下：\[ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt \]其中，z是一个复数，实部大于0。
2. 性质伽马函数具有许多重要的性质，如：（1）\(\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)\)，这是伽马函数的递推公式，可以用来计算任意复数z的伽马函数值。
（2）\(\Gamma(n) = (n-1)!\)，这是伽马函数在自然数上的取值。
（3）当z是实数时，\(\Gamma(z)\)是正数。
（4）伽马函数可以通过数值计算方法进行近似计算。
3. 应用伽马函数在数学和物理学中有着广泛的应用，如：（1）在概率论中，伽马函数与贝塔函数紧密相关，用于描述连续随机变量的概率分布。
（2）在复分析中，伽马函数是复平面上解析函数的重要例子，它具有许多特殊的性质和应用。
（3）在物理学中，伽马函数与量子力学中的束缚态问题密切相关，用于描述粒子在势场中的能量分布。
二、狄拉克函数1. 定义狄拉克函数是一种广义函数，由英国物理学家狄拉克在20世纪提出并研究。
狄拉克函数的定义如下：\[ \delta(x-a) = \begin{cases} +\infty, & x=a \\ 0, & x\neq a \end{cases} \]其中，a是一个实数。
2. 性质狄拉克函数具有许多重要的性质，如：（1）\(\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-a)dx = 1\)，这是狄拉克函数的归一化条件。
（2）狄拉克函数的奇偶性：\(\delta(-x) = \delta(x)\)。
（3）狄拉克函数的平移性：\(\delta(x-a) = \delta(x)-\delta(a)\)。
狄拉克函数的共轭函数
狄拉克函数的共轭函数狄拉克函数是数学中经典的函数之一，它在量子物理学和数学中都拥有广泛的应用。
而狄拉克函数的共轭函数则是与狄拉克函数密切相关的概念，也是很多数学和物理学问题中的一个重要组成部分。
本文将对狄拉克函数的共轭函数进行全面的介绍，帮助读者更好地理解它在数学和物理学中的实际应用。
1. 狄拉克函数的定义狄拉克函数，也称为单位脉冲函数，定义如下：$$\delta(x) =\begin{cases}0, & \mathrm{if}\ x \neq 0 \\\infty, & \mathrm{if}\ x = 0\end{cases}$$$\delta(x)$在$x = 0$处的值是一个无限大的数，但是在其他任何地方都是零，其符号常规地也是写作$\delta(x)$而非$+\infty\delta(x)$。
狄拉克提出了这个函数的概念，并把它应用于物理学中，以表示一个瞬间发生的事件，比如在某一时刻一个物体的位置从某个值变成了另一个值。
狄拉克函数在物理学中的应用相当广泛，涉及到波动方程、量子力学、粒子物理学等多个领域。
狄拉克函数具有许多奇特的性质，可以帮助我们更好地理解它的本质。
狄拉克函数的积分可以表示为：这意味着狄拉克函数的面积为1，也就是说，狄拉克函数的曲线下方围成的面积为1。
狄拉克函数具有平移不变性。
即：这个式子的含义是，对于任意函数$f(x)$，如果对它和狄拉克函数做积分，那么得到的结果就是$f(x_0)$。
也就是说，狄拉克函数可以把函数$f(x)$的值“挖”出来，并把这个值提取出来。
狄拉克函数是一个奇函数，即$\delta(-x) = \delta(x)$。
这表明，狄拉克函数的图像关于原点对称。
狄拉克函数的共轭函数并不是一个独立的函数，而是指在某些情况下与狄拉克函数配对使用的另一个函数。
它在数学和物理学中都有广泛的应用，尤其在量子力学和信号处理中应用最为广泛。
狄拉克函数的共轭函数可以通过狄拉克函数的配对得到。
狄克拉函数
狄克拉函数
狄拉克函数（Dirac function），也称为广义函数，是一种在数学和物理学中常用的函数。
它由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）于20世纪20年代引入并研究。
狄拉克函数通常表示为δ(x)，其中x是自变量。
狄拉克函数的定义如下：
1.若x = 0，则δ(x) = +∞；
2.若x ≠ 0，则δ(x) = 0。
即狄拉克函数在x = 0处“集中”成无穷大的脉冲，而在其他点上为零。
需要强调的是，狄拉克函数并不是一个实际的函数，而是一种分布（分布理论中的概念），常用作数学上的工具。
狄拉克函数具有一些非常有用的性质，例如：
1.归一性：∫δ(x)dx = 1。
狄拉克函数的积分在实数轴上等于1。
2.平移性：δ(x - a)表示在x = a处的狄拉克函数。
通过平移函
数，可以表示在不同的位置上的狄拉克脉冲。
3.放大性：δ(ax) = δ(x) / |a|。
通过放大或缩小自变量，可以
改变狄拉克函数脉冲的幅度。
狄拉克函数在物理学中有重要的应用，特别是在量子力学中的波函数描述中。
例如，它可以用于描述粒子位置的位置本征态、粒子间的相互作用等现象。
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克Δ函数（DiracDeltaFunction）是物理学、工程学和数学等领域的重要概念。
它最初被引入来研究电磁场中的能量流，而后被用于描述各种物理系统的动力学。
此外，它也是数学中离散函数和概率分布的重要工具，甚至是解析函数概念的来源。
在本文中，将详细介绍狄拉克Δ函数的基本概念、特性和应用，不仅让我们了解它，而且可以将它用于研究和解决复杂的物理问题。
一、什么是狄拉克Δ函数？狄拉克Δ函数（Dirac Delta Function）是一种泛函，即一种特殊的函数，它没有原函数，其值只有在某个特定点处才有意义，而在其他任何地方均为零。
这个函数不仅可以用与物理学，还可以应用于数学，其实用性极广。
二、狄拉克Δ函数的定义根据狄拉克Δ函数的定义，狄拉克Δ函数可以由以下表达式定义：Δ(x)=0 (前提 x≠0)Δ(x)= +∞ (前提 x=0)由上式可知，x非零时，狄拉克Δ函数值为零，x为零时，狄拉克Δ函数值无限大。
因此，我们可以得到狄拉克Δ函数的函数图。
三、狄拉克Δ函数的特性1、由于狄拉克Δ函数的定义，我们可以知道它是一个不可积的函数，而且它的积分区间只有一个，也就是[0,0]。
2、狄拉克Δ函数的另一个特性是它的叠加效应，即将狄拉克Δ函数的多个函数叠加，经数学处理后可以得到另一个狄拉克Δ函数的积。
3、狄拉克Δ函数的最后一个特性是它可以用来表达离散函数，这就是何乐私下发明的。
四、狄拉克Δ函数的应用1、在物理学中，狄拉克Δ函数可以用来描述质量点对电场的作用，可以用来描述电流密度。
2、在数学中，狄拉克Δ函数可以用来表示概率分布，可以用来分析离散数据。
3、在工程学中，狄拉克Δ函数可以用来解决微分方程，也可以用来描述信号的传输和吸收特性。
五、总结从上面的内容可以看出，狄拉克Δ函数是一个非常有用的函数，它可以应用于物理学、工程学、数学等领域，可以用来解决各种问题。
然而，由于它的特殊性，在使用它时，也要特别小心，保证它的精确性和可靠性。
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克Delta函数，也被称为狄拉克函数，是一种特殊的函数。
它可以被用来描述和解决在数学、物理和工程等领域的问题。
狄拉克Delta函数的主要特征是改变原始函数中的有限个离散值，转换为有限个连续变量，从而优化计算性能。
本文将通过一系列案例，介绍狄拉克Delta函数的基本原理和应用，以及它的基本特性。
一、狄拉克Delta函数的概念狄拉克Delta函数是一种特殊的函数，它的概念是由希腊数学家雷普洛斯狄拉克发展的。
它的计算方式与一般的数学函数不同，它不是以实数为自变量，而是以一个被称为“自变量域”的一组离散的数字来计算的。
它的计算结果是一个连续的函数，它的值依赖于两个变量，即自变量域和实变量域。
二、狄拉克Delta函数的基本特性a.简洁性：狄拉克Delta函数具有高度的简洁性，它能够简化一般数学运算，减少数学表达式中函数的数量，同时可以改善算法的执行效率。
b.可用性：狄拉克Delta函数可以被用于多种应用领域，它可以用于统计分析、数值分析、机器学习、动态系统模拟等。
c.完整性：狄拉克Delta函数能够将离散的输入变量转换为连续的输出变量，从而构成一个完整的系统，有利于提高计算性能和历史记录的可视化显示。
三、狄拉克Delta函数的应用1.数值分析：狄拉克Delta函数可以应用于数值分析，将一组离散的数据转换为一个连续的函数，从而更好地描述物理现象。
2.机器学习：狄拉克Delta函数可以应用于机器学习，可以将被观察到的数据转换为连续函数，从而更好地进行训练和预测。
3.图形处理和图像处理：狄拉克Delta函数可以将一组离散的像素点转换为一组连续的函数，从而更好地处理图像。
四、结论综上所述，狄拉克Delta函数是一种特殊的函数，它具有简洁性、可用性和完整性等特性，可以用于数值分析、机器学习、图形处理和图像处理等领域。
通过将离散的输入变量转换为连续的输出变量，从而实现优化的计算性能以及可视化的历史记录。
《数学物理方法》第八章 狄拉克 函数
其函数曲线如图8. 1所示．
5
引进一维d函数后，位于x0处，电量为q 的点电荷的线电荷密度可表示为
位于坐标原点，质量为m的质点的线质 量密度为
6
§8.1.2 d函数的性质 性质1 若f(x)是定义在区间(- )的任一连续函
数，则 证明 设e是任意小的正数，因为在区间[x0-e
积分
综合上两式，式( 8.1.18)可写为
将Ck代入式(8.1.15)即得式(8.1.13)
14
若j(x)有重根，则式(8.1. 13)不成立． 如 j(x) =x2有重根 x1= 0 及 x2= 0 ，
这时 式( 8.1.13)的分母为零，没有意义． 利用式(8.1.13)可以得到d函数一系列的性质
21
(2) 、当x为不等于零的常数时
(3)、计算在区间(-∞, ∞)的积分值, 可得 定积分= p (见例4.2.8，P92)
22
2.用阶跃函数(图8.3)的导数表示
阶跃函数的定义为
23
表达式5 d(x)＝H'(x) (8.1.28)
证明 设f(x)是任意的连续函数，则
由f(x)的任意性即得式(8.1.28)
x0+e]之外， d(x-x0) = 0，故
利用了第二中值定理，x是区间[x0-e x0+e]内 某一点。
7
由于e是任意小的正数，当e →0时， x → x0， f (x) → f (x0) ，由此式(8.1.9)得证
特别是，当x0=0时有
请注意，也可以将式(8.1.9)作为一维d函数的 定义式，因为式(8.1.9)与式 (8.1.5)、式(8.1.6) 是完全等价的。
d(x-x0) = d(x0-x) (8.1.10) 9
(精编资料推荐)费米-狄拉克分布函数、解析、图像和应用
各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： ]/)exp[(11)(kT E E E f F -+=f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。
根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。
上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。
而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占有的几率费米分布规律不适用于非平衡状态随着温度的升高，能量略低于E f的量子态被电子占据的概率降低，而略高于E f的量子态被电子占据的概率增大。
狄拉克方程的物理意义
狄拉克方程的物理意义摘要：1.狄拉克方程的简介2.狄拉克方程的物理意义3.狄拉克方程在量子力学中的应用4.狄拉克方程的拓展与优化正文：狄拉克方程是量子力学中描述电子波动方程的重要公式，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出。
其数学表达式包含了电子的波函数及其关于时间的导数，同时还考虑了电子在电磁场中的相互作用。
狄拉克方程的物理意义在于，它准确地预测了电子的能级、自旋、相对论性效应以及电磁相互作用。
首先，狄拉克方程的提出解决了量子力学与相对论之间的矛盾。
在量子力学中，电子的能量是离散的，而根据相对论，电子的能量应该是连续的。
狄拉克方程将这两个理论有机地结合在一起，使得电子的能量表现出了连续性与离散性的统一。
同时，狄拉克方程还预测了电子的自旋，这是一个非常重要的发现。
自旋是电子内禀性质的表现，它使电子成为了一个微型磁铁。
其次，狄拉克方程在量子力学中的应用非常广泛。
通过求解狄拉克方程，可以准确地计算出电子在不同能级之间的跃迁概率，从而为原子物理、分子物理、凝聚态物理等领域的研究提供了理论基础。
此外，狄拉克方程还为粒子物理学提供了重要的理论框架。
例如，通过狄拉克方程的拓展，物理学家们发现了电子的磁偶极矩、电荷矩等性质。
然而，狄拉克方程在描述电子时还存在一定的局限性。
例如，它无法解释电子的波粒二象性，也不能很好地描述强关联体系。
为了克服这些局限性，物理学家们对狄拉克方程进行了不断的拓展与优化。
例如，霍尔斯道夫方程、薛定谔-狄拉克方程等都是在狄拉克方程基础上发展起来的。
这些方程为描述复杂物理体系提供了更为强大的工具。
总之，狄拉克方程在物理学的发展中具有重要地位。
它不仅解决了量子力学与相对论之间的矛盾，还为各个领域的物理研究提供了理论基础。
然而，随着科学研究的不断深入，狄拉克方程的局限性也逐渐显现出来。
狄拉克δ-函数及有关应用
第４０卷第７期大 学 物 理Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．７２０２１年７月ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳＪｕｌｙ２０２１ 收稿日期：２０２－１０－１０；修回日期：２０２０－１１－０５ 基金项目：国家自然科学基金（１２０７１０２１）；北京交通大学研究生课程建设项目（１３４８６９５２２）资助 作者简介：郑神州（１９６５—），男，浙江临海人，北京交通大学理学院教授，博士，博士生导师，主要从事偏微分方程理论和应用研究．狄拉克δ－函数及有关应用郑神州１，康秀英２（１．北京交通大学理学院，北京 １０００４４；２．北京师范大学物理系，北京 １００８７５）摘要：狄拉克δ－函数实际上是离散情况下的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数的连续化，它在数学和物理中都有重要的应用．基于广义函数概念引入狄拉克δ－函数的精确定义，证实狄拉克δ－函数不是通常Ｌｅｂｅｓｇｕｅ局部可积意义下的普通函数；文中分别以单位矩形脉冲函数、高斯函数、钟形函数和Ｓｉｎｃ函数的序列在弱极限意义下来逼近狄拉克δ－函数．另外，验证了狄拉克δ－函数可以作为Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数的广义导数，以及其高价广义导数，并给出狄拉克δ－函数的卷积性质、伸缩性质、复合变换性质、正交性和狄拉克梳函数，最后引入了狄拉克δ－函数与广义傅里叶变换的关系，以及其在泊松方程Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题求解中的应用．关键词：狄拉克δ－函数，广义函数，弱极限，广义傅里叶变换格林函数中图分类号：Ｏ４－１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０７ ００２５ ０５【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００４５６狄拉克δ－函数是一类“奇怪”的函数，有广泛应用．它按照通常古典的函数定义方式是无法做到，实际上它是非通常意义下的“函数”，更准确地称为“广义函数、Ｓｃｈｗａｒｚ分布函数或泛函”，它是以英国理论物理学家狄拉克名字命名的，在数学和物理中有着独特的地位［１，２］．狄拉克δ－函数可以用来描写物理学中一切点量，如：点质量、点电荷、瞬时源等；数学上可以进行微分和积分变换，为处理数学物理问题带来极大的方便．尤其它在偏微分方程、数学物理方程、傅立叶分析和概率论等领域都离不开这个函数的应用［３－７］，有了狄拉克δ－函数，傅立叶变换就不受绝对可积条件限制，通常称为广义傅立叶变换．狄拉克δ－函数具有悠久的历史，这得从Ｋｒｏｎｅ ｃｋｅｒδ－函数讲起，Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数非常简单：δｉｊ＝１，ｉ＝ｊ０，ｉ≠ｊp （１）对于一列数｛ａｉ｝，ｉ＝１，２，．．．有 ｊδｉｊａｊ＝ａｉ，并满足规范化 ｊδｉｊ＝１，对称化δｉｊ＝δｊｉ．将离散的序列｛ａｉ｝转化为连续的函数ｆ（ｘ），将以上式子类似地写成积分式：∫∞－∞ｆ（ｘ）δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝ｆ（ｘ０）（２）（简记：（ｆ δ）（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）δ（ｘ）＝ｆ（０）δ（ｘ））∫∞－∞δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝１（３）δ（ｘ－ｘ０）＝δ（ｘ０－ｘ）（４）从离散过渡到连续，自然地从求和过渡到积分；这看起来两种δ－函数很雷同了．所以狄拉克δ－函数就达到类似于Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数的选择器效果，对于δ－函数的选择器作用是泊松先提出的，后来Ｃａｕｃｈｙ利用它的选择器性质研究了许多应用问题，进一步地傅里叶给出了其无穷级数表示，在此基础上狄拉克对研究量子力学时发现了连续型的δ－函数重要作用．物理上看，狄拉克δ－函数可以看成一些通常意义下函数列的逼近，但严格的数学理论表明：这不是通常意义下的极限（这是泛函意义下的极限，或称“弱收敛”）．事实上，其真正严格意义下的定义方式是在Ｓｃｈｗａｒｚ分布函数［２］（广义函数或泛函）基础上才有的，这表明从此物理上广泛实用的狄拉克δ－函数可做数学严谨的推理了．在物理和工程技术中，常常会碰到单位脉冲函数（狄拉克δ－函数）［３］，如：在电学中，要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流；在力学中，要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况．像这种常用来表示为集中在一点上单位量的质点、点电荷、瞬时力等的密度分布就是狄拉克δ－函数应用的实际背景；其特点是该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等２６ 大 学 物 理 第４０卷于１．这种对又窄又高的尖峰函数的逼近（脉冲）有着特殊的应用，如：球棒撞击棒球接触的瞬间力作用，其密度分布函数δ（ｘ）．物理和工程上的狄拉克δ－函数通常是这样来引入的：δ（ｘ）＝∞ ｘ＝００ ｘ≠０p ，∫∞－∞δ（ｘ）ｄｘ＝１，但这种方式定义在数学上有着明显的缺陷，是无法进行严格推理的．实际上，这不能用通常的函数来理解，严格说狄拉克δ－函数不算是一个普通函数；由于它集中在一点上的值为无穷大（无穷大的任意倍数还是无穷大），其通常函数在一点上的积分为０（没有面积）．本论述从数学严格的狄拉克δ－函数定义出发，综述其基本性质，以及考虑其在数学和物理学科中的重要应用［３－７］；这起抛砖引玉作用，也为狄拉克δ－函数的进一步应用建立起数学理论基础．１ 狄拉克δ－函数作为广义函数定义１）广义函数［２，５］：δ－函数的准确定义需要从广义函数有关概念出发：设函数列φ（ｘ），φｎ（ｘ）∈Ｃ∞０（Ｒ）（无穷光滑的且具有紧支集），若存在Ｍ＞０使得｜ｘ｜＞Ｍ时对任意自然数ｎ有φ（ｘ）＝０，φｎ（ｘ）＝０且对ｋ＝０，１，２，．．满足ｌｉｍｎ→∞ｓｕｐｘ∈［－Ｍ，Ｍ］φ（ｋ）ｎ（ｘ）－φ（ｋ）（ｘ）＝０（５）其中φ（ｋ）（ｘ）表示ｋ阶导数，ｋ＝０表示原函数．则称序列φｎ（ｘ）收敛于φ（ｘ），此时称Ｃ∞０（Ｒ）为基本空间，记作函数Ｄ（Ｒ）；φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）称为试验函数．若ｆ是Ｄ（Ｒ）上的连续线性泛函，称ｆ是Ｄ（Ｒ）上的广义函数．对于试验函数φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），用〈ｆ，φ〉表示它所对应的泛函值，称为对偶积．Ｄ（Ｒ）上广义函数全体记成Ｄ′（Ｒ）．２）狄拉克δ－函数定义［１，５］〈δ，φ〉＝φ（０）， φ∈Ｄ（Ｒ）（６）它是广义函数．事实上：①δ（ｘ）是线性的：对于任意的α、β∈Ｒ以及φ１（ｘ）、φ２（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有〈δ，αφ１＋βφ２〉＝αφ１（０）＋βφ２（０）＝α〈δ，φ１〉＋β〈δ，φ２〉（７）②δ（ｘ）是连续泛函：对于φｎ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），若ｌｉｍｎ→∞φｎ（ｘ）＝φ（ｘ），有ｌｉｍｎ→∞〈δ，φｎ〉＝ｌｉｍｎ→∞φｎ（０）＝φ（０）＝〈δ，φ〉（８）这里要强调的广义函数收敛性一定要在试验函数作用下收敛的，泛函分析中称为弱收敛．３）狄拉克δ－函数不是通常意义下“函数”．首先，普通意义下的函数一定是广义函数，作为一般Ｌｅｂｅｓｇｕｅ意义下的局部可积函数可以等同于广义函数．事实上，实轴上局部可积函数Ｌｌｏｃ（Ｒ）对任意的闭区间［ａ，ｂ］，有∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ＜∞．定义对偶积为〈Ｆ，φ〉＝∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ（９）简单的验证：这是一个线性连续泛函．任一个局部可积函数按以上做法都有唯一的广义函数与之对应，且可证明：不同的局部可积函数对应于不同的广义函数，并保持线性运算不变；这样可以将局部可积函数ｆ等同于与其对应的广义函数Ｆ．反之，狄拉克δ－函数不是通常函数，没有局部可积函数与之对应［１，５］．事实上，反证法：若存在这样的局部可积函数ｆ（ｘ），有〈ｆ，φ〉＝∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝〈δ，φ〉＝φ（０）， φ∈Ｄ（Ｒ）（１０）特别地取特殊的试验函数为φ（ｘ）＝ｅ－１１－ｘ２＋１，ｘ≤１０，ｘ＞１p （１１）则φ（ｎｘ）∈Ｄ（Ｒ），且 ∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ＝φ（０）＝１， ｎ∈Ｎ（１２）但另一方面∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ＝∫１ｎ－１ｎｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ≤∫１ｎ－１ｎｆ（ｘ）ｄｘ→０， （ｎ→∞）（１３）这是一个矛盾，所以狄拉克δ－函数没有局部可积函数与之对应．２ 狄拉克δ－函数的逼近方式上面定义的广义函数有点抽象，下面我们从物理直观上，用各种函数列逼近的方式来理解狄拉克δ－函数，这种逼近也不是通常意义下的极限，而是泛函意义下的逼近，是一种弱形式的极限［１，２，５］．例如：１）用一个积分值为１矩形脉冲函数序列｛Ｈｎ（ｔ）｝序列的弱极限来逼近．从直观上看，函数序列｛Ｈｎ（ｔ）｝是在区间－１ｎ，１ｎy r 上一系列均匀地放置单位质量所产生的质量分布密度，当ｎ趋向无穷时，其广义极限（弱极限）就是在原点上放置单位质量第７期郑神州，等：狄拉克δ－函数及有关应用２７ 所产生的质量分布密度．因此，狄拉克δ－函数就是在原点上放置单位质量所产生的分布密度．数学推导：对任意正整数ｎ，在－１ｎ，１ｎy r 上均匀地放置单位质量的分布密度Ｈｎ（ｔ）＝ｎ２，ｔ＜１ｎ０，ｔ＞１ｎ（１４）显然Ｈｎ（ｔ）∈Ｌｌｏｃ（Ｒ）（积分值不超过１）．对任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有〈Ｈｎ，φ〉＝∫∞－∞Ｈｎ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝ｎ２∫１ｎ－１ｎφ（ｘ）ｄｘ（１５）用积分中值定理于φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）得到ｌｉｍｎ→∞〈Ｈｎ，φ〉＝φ（０）＝〈δ，φ〉．所以δ（ｘ）是Ｈｎ（ｔ）弱极限．同理可以得到逼近δ（ｘ）的其它常用函数列．２）对于任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有：对ρｔ（ｘ）＝１２ａπ槡ｔｅ－ｘ２４ａ２ｔ（高斯函数，或称正态分布密度函数）， ｌｉｍｔ→０＋〈ρｔ（ｘ），φ〉＝ｌｉｍｔ→０＋∫∞－∞１２ａπ槡ｔｅ－ｘ２４ａ２ｔφ（ｘ）ｄｘ＝δ（０）＝〈δ，φ〉．３）对ρａ（ｘ）＝ａπａ２＋ｘ２C o （钟形函数），ｌｉｍａ→０〈ρａ（ｘ），φ〉＝〈δ，φ〉．４）ρｎ（ｘ）＝ｓｉｎｎｘπｘ（Ｓｉｎｃ函数）， ｌｉｍｎ→∞〈ρａ（ｘ），φ〉＝〈δ，φ〉．３ 广义导数（弱导数）和狄拉克δ－函数先给出广义导数定义：对一个广义函数ｆ∈Ｄ′（Ｒ），若存在ｆ′使得〈ｆ′，φ〉＝－〈ｆ，φ′〉， φ∈Ｄ（Ｒ）（１６）则称为广义函数ｆ有一阶广义导数，其广义导数为ｆ′（见文献［１，２，５］）．一般地，定义ｋ－阶广义导数为；若有ｆ（ｋ）使得〈ｆ（ｋ），φ〉＝（－１）ｋ〈ｆ，φ（ｋ）〉， φ∈Ｄ（Ｒ）（１７）称ｆ（ｋ）为广义函数ｆ的ｋ－阶广义导数，ｋ＝１，２，…．注：通常意义下的导数一定是广义导数，其本质就是分部积分公式；反之不对，从定义得知：广义导数不是逐点定义的．例如：Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数Ｈ（ｘ）＝１，ｘ≥００，ｘ＜０p （１８）对于任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），则有〈Ｈ′，φ〉＝－〈Ｈ，φ′〉＝－∫∞－∞Ｈ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝－∫∞０φ（ｘ）ｄｘ＝φ（０）＝〈δ，φ〉（１９）所以狄拉克δ－函数可看作是Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数的广义导数．考虑函数｜ｘ｜的第ｍ阶广义导数（ｍ为不小于１自然数），有〈｜ｘ｜′，φ〉＝－〈｜ｘ｜，φ′〉＝－∫∞－∞｜ｘ｜φ（ｘ）ｄｘ＝∫０－∞ｘφ（ｘ）ｄｘ－∫∞０ｘφ（ｘ）ｄｘ＝－∫０－∞φ（ｘ）ｄｘ＋ｘφ∞０＋∫∞０φ（ｘ）ｄｘ－ｘφ０－∞＝－∫０－∞φ（ｘ）ｄｘ＋∫∞０φ（ｘ）ｄｘ＝∫∞－∞ｇ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝〈ｇ，φ〉（２０）其中ｇ（ｘ）＝１，ｘ≥０－１，ｘ＜０p ．所以｜ｘ｜′＝２Ｈ（ｘ）－１．一般地｜ｘ｜（ｍ）＝２δ（ｍ－１）， ｍ≥２（２１）４ 狄拉克δ－函数性质和广义傅里叶变换［１，３，５］两个已知函数ｆ１（ｔ）、ｆ２（ｔ）卷积定义：ｆ１（ｔ） ｆ２（ｔ）＝∫＋∞－∞ｆ１（τ）ｆ２（ｔ－τ）ｄτ（２２）狄拉克δ（ｘ）函数一些重要性质：１）卷积性质 ∫∞－∞ｆ（ｘ）δ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（０），∫∞－∞ｆ（ｘ－ｘ０）δ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ０）（２３）这里若取ｆ（ｘ）＝１，则有∫∞－∞δ（ｘ）ｄｘ＝１．更一般地，∫ｂａｆ（ｘ）δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝ｆ（ｘ０），ｘ０∈（ａ，ｂ）０，ｘ０（ａ，ｂ）p ．２）积分下作一个变量代换得到伸缩变换：δ（ａｘ）＝１ａδ（ｘ）（ａ≠０）．一般地，狄拉克δ（ｘ）函数的复合：设ａｎ为连续函数ｆ（ｘ）的单零点（即：ｆ（ａｎ）＝０，ｆ′（ａｎ）≠０），则有δ［ｆ（ｘ）］＝ ｎδ（ｘ－ａｎ）ｆ′（ａｎ）．事实上，对于试验函数φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）和ｆ（ｘ）的单零点ａｎ，由于ｆ（ａｎ）＝０，ｆ′（ａｎ）≠０，在每个ａｎ存２８ 大 学 物 理 第４０卷在邻域都是一一对应，作局部的变量代换ｙ＝ｆ（ｘ）∫∞－∞φ（ｘ）δ［ｆ（ｘ）］ｄｘ＝ ｉ∫ａｉ＋εａｉ－εφ（ｘ）δ［ｆ（ｘ）］ｄｘ＝ ｉ∫ｆ（ａｉ＋ε）ｆ（ａｉ－ε）φ［ｆ－１（ｙ）］δ（ｙ）ｄｙ｜ｆ′（ｘ）｜＝ ｉφ（ａｉ）｜ｆ′（ａｉ）｜（２４）从而δ［ｆ（ｘ）］＝ ｎδ（ｘ－ａｎ）ｆ′（ａｎ）（见［６］）．由此ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ａ２） δ（ｘ２－ａ２）＝１２｜ａ｜δ（ｘ－ａ）＋δ（ｘ＋ａ）C o（２５）３）正交性：设｛ ｎ（ｘ）｝是区间（ａ，ｂ）上函数空间的一个完备正交基函数，ｎ（ｘ）为 ｎ（ｘ）的共轭函数，则对于（ａ，ｂ）上任意两个内点ｘ，ｘ０∈（ａ，ｂ），有： ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）＝δ（ｘ－ｘ０）．事实上，由狄拉克δ（ｘ）函数的卷积性质，对于任意的ｆ（ｘ）∈Ｃ∞０（ａ，ｂ），所以只要证∫ｂａｆ（ｘ）ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ｆ（ｘ０）即可．由于｛ ｎ（ｘ）｝是完备正交基，ｆ（ｘ）＝ ｍｃｍｍ（ｘ），ｃｍ＝∫ｂａｍ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ，则Ａ＝∫ｂａｆ（ｘ） ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ ∫ｂａｍｃｍｍ（ｘ） ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ ｍｃｍ ｎ∫ｂａｍ（ｘ） ｎ（ｘ）ｄｘC o ｎ（ｘ０）（２６）考虑｛ ｎ（ｘ）｝是正交基∫ｂａｍ（ｘ） ｎ（ｘ）ｄｘ＝δｍｎＡ＝ ｍｃｍｎδｍｎｎ（ｘ０）＝ ｍｃｍｍ（ｘ０）＝ｆ（ｘ０）（２７）得证．４）狄拉克梳函数［１，８］：平移狄拉克δ（ｘ）－函数的无穷级数Ｃｏｍｂａ（ｘ）＝ ∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）称为狄拉克梳函数（ａ≠０）．对此，我们有Ｆ［Ｃｏｍｂａ（ｘ）］＝Ｃｏｍｂ１ａ（ω）（２８）即狄拉克梳函数的傅里叶变换仍是狄拉克梳函数．事实上，考虑函数列１ａ槡ｅ－２πｉｍｘ／ａp i ∞－∞是周期为｜ａ｜单位正交基（三角函数正交系），狄拉克梳函数Ｃｏｍｂａ（ｘ）是以｜ａ｜为周期的函数，傅里叶级数展开：∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）＝１ａ ∞ｎ＝－∞ｅ－２πｉｎｘ／ａ．所以，由傅里叶变换的平移性质：Ｆ［Ｃｏｍｂａ（ｘ）］＝Ｆ［ ∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）］＝∞ｍ＝－∞ｅ－ｉ２πｍａω＝ ∞ｋ＝－∞δω－ｋ１ａC o＝Ｃｏｍｂ１ａ（ω）（２９）得证．５）三维狄拉克函数：δ（ｘ，ｙ，ｚ）＝δ（ｘ）δ（ｙ）δ（ｚ），即：δ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０， ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≠０∞， ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝０p ，∞－∞δ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝１．类似于一维的性质：∞－∞ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）δ（ｘ－ｘ０，ｙ－ｙ０，ｚ－ｚ０）ｄｘｄｙｄｚ＝ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）， ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｃ（Ｒ３）常见的一些重要函数，如：常数函数，符号函数，单位阶跃函数以及正余弦函数等不满足傅里叶积分定理的绝对可积条件，即不满足条件∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ＜∞，所以一般的傅里叶变换不存在；但引入δ（ｘ）－函数可以求它的广义傅里叶变换．按照经典数学函数的定义，功率信号（比如周期信号，最典型的是正弦余弦函数）的傅里叶变换是不存在的，但如果引入了广义函数概念，则可以求得功率信号的广义傅里叶变换，于是我们就可以方便地进行频谱分析了［１，５，８］．例如：１）δ（ｘ）函数的傅里叶变换为１，即：Ｆ［δ（ｘ）］＝１．事实上Ｆ［δ（ｔ）］＝∫＋∞－∞δ（ｔ）ｅ－ｉωｔｄｔ＝ｅ－ｉωｔｔ＝０＝１．２）Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数Ｈ（ｘ）＝１，ｘ≥００，ｘ＜０p 定义在ｘ轴上不是绝对可积的，但它却有广义傅里叶变换１ｉω＋πδ（ω）．３）又如求正弦函数ｆ（ｔ）＝ｓｉｎω０ｔ的不是绝对可积的，但它的广义傅里叶变换Ｆ（ω）＝Ｆ［ｆ（ｔ）］＝∫＋∞－∞ｅ－ｉωｔｓｉｎω０ｔｄｔ＝第７期郑神州，等：狄拉克δ－函数及有关应用２９ １２ｉ∫＋∞－∞（ｅｉω０ｔｅ－ｉωｔ－ｅｉ（－ω０）ｔｅ－ｉωｔ）ｄｔ＝１２ｉ２πδ（ω－ω０）－２πδ（ω＋ω０）＝ｉπδ（ω＋ω０）－δ（ω－ω０）（３０）一般地，不满足可积性条件函数的广义傅里叶变换，其像函数通常与狄拉克δ－函数有关［８］．５ δ－函数在边值问题中的应用基本解和格林函数是由δ－函数来定义的．这里以拉普拉斯算子为例谈论其在线性偏微分方程中边值问题求解中的应用．若在３维空间中坐标原点放置一个单位正电荷，即电荷密度分布函数为δ－函数，这时电位满足方程－ΔΓ＝δ（ｒ），这里拉普拉斯算子Δ＝ ２ｘ２＋ ２ｙ２＋２ｚ２；则其解（拉普拉斯方程的基本解）为Γ（ｘ，ｙ，ｚ）＝１４πｒ，其中ｒ＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ槡２．事实上，对方程两边同时作傅里叶变换Γ（ρ）＝Ｆ［Γ（ｒ）］＝ Ｒ３Γ（ｒ）ｅ－ｉρ·ｒｄｒ，则有ρ２Γ＝１ Γ＝１ρ２，其中ρ＝｜ρ｜；再作傅里叶逆变换Γ（ｒ）＝Ｆ－１［Γ（ρ）］＝１８π３ Ｒ３Γ（ρ）ｅｉρ·ｒｄρ＝１４πｒ．于是对全空间具有电荷分布为ｆ（ｒ）的泊松方程－Δｕ＝ｆ（ｒ），电位ｕ的解为ｕ（ｒ）＝ Ｒ３１４π｜ｒ－ｒ′｜ｆ（ｒ′）ｄｒ′．而在一个区域Ω Ｒ３内放置一个单位正电荷，并保持边界值为零，即满足－ΔＧ＝δ（ｒ）， ｒ∈ΩＧΩ＝０， ｒ∈ Ωp ，这样的解函数称为格林函数．格林函数在偏微分方程中有重要的作用，对于线性问题，不论外力项和边界值，该问题求解统一化为求只与区域形状有关的格林函数，当其区域比较特殊时，利用物理意义（如镜像法）可以解出其格林函数具体表达式．这时－Δｕ＝ｆ（ｒ）， ｒ∈Ωｕ Ω＝φ（ｒ）， ｒ∈ Ωp 的解就可以表示为：对于任意ｒ∈Ω，有ｕ（ｒ）＝ ΩＧ（ｒ，ｒ′）ｆ（ｒ′）ｄｒ′＋ ΩｎＧ（ｒ，ｒ′）φ（ｒ′）ｄＳｒ′（３１）其中ｎ为 Ω上的外单位法向向量．参考文献：［１］ ＨｏｓｋｉｎｓＲＦ．Ｄｅｌｔａｆｕｎｃｔｉｏｎｓ：ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｓｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｍ］．２ｎｄｅｄ．ＷｏｏｄｈｅａｄＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇＬｉｍｉｔｅｄ，２０１０．［２］ Ｌ施瓦兹．广义函数论［Ｍ］．姚家燕，译．北京：高等教育出版社，２０１０．［３］ 梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２０１０．［４］ 库朗，希尔伯特．数学物理方法：１、２卷［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１．［５］ 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，等．数学物理方程讲义［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００７．［６］ 姜礼尚．偏微分方程选讲［Ｍ］．北京：高等教出版社，１９９７．［７］ 谷超豪，李大潜，陈恕行．数学物理方程［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２０１２．［８］ ＢｒａｄＧ．Ｏｓｇｏｏｄ．ＬｅｃｔｕｒｅｓｏｎｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，ＲｈｏｄｅＩｓｌａｎｄ：ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２０１９，３３．Ｄｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｒｅｌａｔｅｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓＺＨＥＮＧＳｈｅｎ ｚｈｏｕ，ＫＡＮＧＸｉｕ ｙｉｎｇ（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉｊｉｎｇＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００４４，Ｃｈｉｎａ；２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｔｉｓｉｎｄｉｃａｔｅｄｔｈａｔＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓａｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅＫｒｏｎｅｃｋｅｒδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｐｌａｙｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｂｏｔｈｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｐｈｙｓｉｃｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｐｒｅｃｉｓｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｎｄｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｎｏｔａｕｓｕａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｈｅＬｅｂｅｓｇｕｅｓｅｎｓｅｏｆｌｏｃａｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｏｎｅ．Ｔｏｔｈｉｓｅｎｄ，ｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｈｅｒｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｉｎｔｈｅｓｅｎｓｅｏｆｗｅａｋｌｉｍｉｔｂｙｍａｋｉｎｇｕｓｅｏｆｔｈｅｓｅｑｕｅｎｃｅｓｏｆｔｈｅｕｎｉｔｒｅｃｔａｎｇｌｅｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｇａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｂｅｌｌ（下转７７页）第７期胡 立：硬币“跳舞”的动力学分析７７ 同时，实验所测得的全过程时间比较短，这是因为实验过程中液膜破裂并不完全，瓶口与硬币的接触部分仍有一部分残留的液膜．倘若在理论模型中的液膜破裂后运动过程也加入部分表面张力，则理论模型的全过程时间会更接近实验测定值．图５ 等差地改变放置误差Δｘ时Ｈ与ｔ的理论关系曲线在图５中，等差地改变放置误差Δｘ，发现硬币所能达到的最大高度Ｈｍａｘ随着Δｘ的增大而增大．这与我们的物理直觉是相符的，放置误差越大，瓶内压强提供的向上支持力力臂（Ｒ＋Δｘ）越大，硬币翘起的角加速度就越大，硬币更容易翘起且翘起更快，进而在液膜破裂时积累了更大的角速度，能够达到的最大高度Ｈｍａｘ也随之增大．３ 结论本文通过提出“放置误差”这一重要概念，从动力学的角度，对硬币“跳舞”的过程进行了分析，推导出硬币运动的二阶常微分方程，通过数值计算发现硬币翘起的最大高度与转动全程时间都与放置误差存在密不可分的联系．放置误差越大，硬币翘起的最大高度就越大，转动全程所花的时间越少，并且通过实验验证了理论模型的正确性．参考文献：［１］ 庆秉承，刘萍，袁识博，等．置于冷瓶口硬币的弹起现象研究［Ｊ］．大学物理，２０１９，３８（１１）：５２ ５６．［２］ 陶封邑，庄洋，黄敏，等．一个有趣的热力学问题：硬币何时“翩翩起舞”［Ｊ］．大学物理，２０１９，３８（１２）：５８ ６１．［３］ 漆安慎，杜婵英．普通物理学教程力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９７：２０１ ２０７．ＤｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｄａｎｃｉｎｇｃｏｉｎＨＵＬｉ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍｔｈｅｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｏｆｄｙｎａｍｉｃｓ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｎｄｕｃｔｓａｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｈｅｔｈｉｒｄｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅ２０１８ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＹｏｕｎｇＰｈｙｓｉｃｉｓｔｓ’Ｔｏｕｒｎａｍｅｎｔ（ＩＹＰＴ２０１８），“ＤａｎｃｉｎｇＣｏｉｎ”，ａｎｄｏｂｔａｉｎｓｔｈｅｃｈａｎｇｅｉｎｔｈｅｈｅｉｇｈｔｏｆｔｈｅｃｏｉｎｏｖｅｒｔｉｍｅｄｕｒｉｎｇａｓｉｎｇｌｅｂｅａｔｉｎｇ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆ“ｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ”ｉｓｐｒｏ ｐｏｓｅｄ，ａｎｄｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｃｏｉｎｐｌａｃｅｅｒｒｏｒｏｎｔｈｅｃｏｉｎ’ｓｔｉｌｔｉｎｇｈｅｉｇｈｔｉｓｆｕｒｔｈｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｉｔｉｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｇｒｅａｔｅｒｔｈｅｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ，ｔｈｅｆａｓｔｅｒｔｈｅｃｏｉｎｗｉｌｌｒｏｔａｔｅａｎｄｔｈｅｇｒｅａｔｅｒｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｈｅｉｇｈｔｏｆｔｈｅｃｏｉｎｗｉｌｌｂｅｒｅａｃｈｅｄ．Ｉｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｃｏｉｎｄａｎｃｉｎｇｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｌａｃｅｅｒｒｏｒｓｗａｓｒｅｃｏｒｄｅｄｗｉｔｈａｈｉｇｈ－ｓｐｅｅｄｃａｍｅｒａ，ａｎｄｓｏｆｔｗａｒｅｔｒａｃｋｅｒｗａｓｕｓｅｄｔｏｔｒａｃｋ．Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｖｅｒｉｆｉｅｓｔｈｅｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｙｎａｍｉｃｓ；ＩＹＰＴ；ｄａｎｃｉｎｇｃｏｉｎ；ｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ（上接２９页）ｓｈａｐｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄＳｉｎｃ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｉｔｉｓｃｈｅｃｋｅｄｔｈａｔｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄａｓａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｏｆｔｈｅＨｅａｖｉｓｉｄｅｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄｉｔｓｈｉｇｈｅｒｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｉｓａｌｓｏｓｈｏｗｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｓｃａｌｅｓ，ｃｏｍｐｏｕｎｄｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ，ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｔｙａｎｄＣｏｍｂＤｉｒａｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅｒｅｃａｌｌｅｄ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｉ ｎａｌｌｙ，ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ａｎｄｗｅｐｒｅｓｅｎｔａｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅＤｉｒｉｃｈｌｅｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅＰｏｉｓｓｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｗｅａｋｌｙｌｉｍｉｔｓ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ；Ｇｒｅｅｎｆｕｎｃ ｔｉｏｎ。
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= ut k u xx , = u ( x, 0) ϕ ( x),
t k (iξ ) 2 u , u = (ξ , 0) = ϕ (ξ ). u
解这个常微分方程得
x ∈ R, t > 0, x ∈ R.
t > 0,
采用 Fourier 变换来求解该问题，问题两边对空间变量做 Fourier 变换得
D
0,
∀x, y ∈ D,
利用狄拉克函数的性质知： G ( x, y ) = G ( y, x).
五、 总结 本文通过几个具体生动的例子介绍狄拉克函数在数学物理方法课程中的应用方法， 通过这些 例子， 希望能帮助学生深刻理解掌握狄拉克函数的运算方法和物理意义， 这将为学生学习广 义函数理论建立坚实的基础。
δ ∗ ϕ ( x) = ϕ ( x). lim u ( x, t ) =
t →0
否则，直接利用解的表达式去推导上式，对工科学生来说是一个相当复杂困难的过程[1]。 类似的方法可以用到上半平面的 Laplace 方程的泊松核等问题的分析中去，这里不再详细叙 述。 三、 位势方程基本解与狄拉克函数 考虑全空间的位势方程
下面来证明 −∆φ , v = δ , v 。 事实上， 利用当 x ≠ 0 v( x) = 0 ， ⋅, ⋅ 表示 L2 ( R 3 ) 上的内积。 时 −∆φ ( x) = 0 可得：
−∆φ , v = − ∫ 3 ∆φ ( x)v( x)dx = − lim ∫ ∆φ ( x)v( x)dx ，
−∆(φ ∗ f ) = (−∆φ ) ∗ f = δ ∗ f = f .
如果学生能对上述处理方法有了深刻认识，那么广义函数理论对他们来说就很容易理解了。 我们认为在数学物理方法课程中介绍上述方法是最恰当的时机， 提供了学生对广义函数的最 生动的认识。 四、 Geen 函数对称性与狄拉克函数 Geen 函数法求解区域上位势方程是求解位势方程的一类重要方法，它将区域上位势方程的 解表示为积分表达式，可以比较方便的做数值计算，具有重要的理论意义和实际应用价值。 区域 D 上位势方程的 Geen 函数 G ( x, y ) 满足如下条件：
= −∆u f ,
x ∈ R3 . 1 ，则可以证明 4π | x |
(∗)
这个问题与位势方程基本解紧密联系。记位势方程基本解为 φ ( x) :=
= −∆φ ( x) δ ( x),
x ∈ R3.
容易看到，当 x ≠ 0 时 −∆φ ( x) = 0 ，但是无法直接去计算得到：
∫
R3
−∆φ ( x)dx = 1 ，因而很
参考文献： [1] L.C.Evans. Partial Differential Equations [M]. Rhode Island ， American Mathematial Society, 1998. [2] 王明新. 数学物理方程 [M]. 北京：清华大学出版社，2009. [3] 王元明. 数学物理方程与特殊函数 [M]. 北京：高等教育出版社，2004. [4] W.A.Strauss. Partial Differential Equations: An Introduction [M]. 北京：世界 图书出版公司，2011.
u ( x, t ) =St [ϕ ( x)] =St [δ ∗ ϕ ( x)] =St [δ ( x)] ∗ ϕ ( x) = H ( x, t ) ∗ ϕ ( x)=
∫
+∞
−∞
H ( x − y, t )ϕ ( y ) dy.
利用上述表达式，并结合利用微元法就很容易理解热方程解的表达式了。另外，简单的计算 可得：
从 Green 函数的物理意义来理解该对称性是容易的， 但是一般数学推导却是复杂的， 详见文 献[4]。这里我们给出一个利用狄拉克函数 δ ( x) 和第二 Green 公式的简单推导。取两个不同 点源位置的 Green 函数 G ( x, z ) ， G ( y, z ) 代入到第二 Green 公式中得：
难用狄拉克函数的定义去直接验证。那么如何证明等式 (∗) 呢？这需要对函数有个全新的认
识，将函数看成是分布密度，建立分布意义下的计算方法，这就是广义函数理论，其中的一 个关键想法是：如果
∀v ∈ C0∞ ( R 3 ), −∆φ , v = δ , v ,
∞ 则认为 −∆φ = δ ，其中 v 称为试验函数， v ∈ C0 ( R 3 ) 表示 v 是无穷次可微且在 | x | 很大时
R
ε →0 + Bε
再利用第一 Green 公式[2,3]得：
−∆ = φ , v lim[ ∫ ∇φ ( x) ⋅∇v( x)dx − ∫ v( x)
ε →0 +
Bε ∂Bε
∂φ ( x) dS ] . ∂n
先估计第一个积分，
| ∫ ∇φ ( x) ⋅∇v( x)dx |≤ ∫ | ∇φ ( x) | ⋅ | ∇v( x) | dx ≤ M ∫ | ∇φ ( x) | dx = M ε ,
(ξ , t ) = ϕ (ξ )e − kξ 2t . u
记基本解或热核为
x − 1 [e ] = = H ( x, t ) : F e 4 kt , 2 kπ t
u ( x, t ) H ( x, t ) ∗ ϕ ( x). =
所以热核函数在解的表达式中起到关键的作用， 在解的表达式中， ϕ ( x) 是初始的温度分布， 那么如何来理解热核呢？利用 F [δ ( x)] = 1 , 通过简单的计算可以看到，热核是初始温度取 为点源 δ ( x) 时热方程的解，记问题的解算子为 St ，那么 H ( x, t ) = St [δ ( x)] 。从而
Bε Bε Bε
再利用积分中值定理得:
−∆φ , v = 0 + lim
1 4πε 2
ε →0 +
∫
∂Bε
v( x)dS ]= v(0)=
v, δ .
从上面的推导过程可以看到处理 ∆φ ( x) 在原点处的奇性关键是利用第一 Green 公式将奇性 降低。有了 −∆φ = δ 后，则全空间上位势方程的解为： u= φ ∗ f . 事实上，
δ ∗ f ( x) :=
∫
∞
−∞
δ ( x − y ) f ( y )dy = f ( x).
引入狄拉克函数的重要意义在于帮助我们去理解数学物理问题背后的物理意义， 有时也可以 把复杂的数学推导大大简化。 下面我们通过数学物理方法课程中的几个具体例子来详细说明。 二、 热方程的热核与狄拉克函数 考虑如下的一维热方程初值问题：
+∞, x = 0, lim H ( x, t )= t →0 x ≠ 0, 0,
因而
t →0 +
∫
+∞
−∞
H ( x, t )dx= 1, ∀t > 0,
lim H ( x, t ) = δ ( x).
上述过程说明热核函数在初始时刻时具有奇性，该奇性可以用 δ ( x) 来表示。利用这一点可 以很容易推导
+∞ +∞, x = 0 = , δ ( x) = δ ( x)dx 1. ∫ −∞ x≠0 0,
它在物理上用来表示单位点源的分布密度， 从定义可以看到物理量集中分布在原点处， 其他 地方没有该物理量，而定义中的积分表示该点源总的物理量为 1。高维的狄拉克函数是多个 一维狄拉克函数的乘积，具有相似的性质。狄拉克函数的运算中，卷积是最重要的，容易看 到：
浅谈狄拉克函数在数学物理方法课程中的应用 杨 明 （东南大学 数学系，南京 210096） 摘要： 在工科本科数学课程中狄拉克函数是最具特色的广义函数， 然而由于广义函数的基本 理论超出了工科学校本科数学教学的要求， 学生对狄拉克函数并不能深入理解与应用。 本文 通过介绍了狄拉克函数在数学物理方法课程中的多个关键应用， 希望能让学生认识到狄拉克 函数与基本解的关系， 狄拉克函数可以大大简化各种积分核性质的推导， 并能理解狄拉克函 数背后的物理含义。 我们在本文中的推导只用到基本的微积分知识， 从而避开了广义函数的 基本理论， 我们认为这样可以为学生提供广义函数的一个重要且生动有趣的例子， 为他们以 后学习广义函数打下坚实的基础。 关键字：狄拉克函数，基本解，Green 函数，数学物理方法，教学内容与方法。 一、 介绍狄拉克函数 狄拉克函数（Dirac function）是数学物理中应用最为广泛的一个广义函数，一维的狄拉克函 数定义如下:
∫ G( x, z )∆ G( y, z ) − G( y, z)∆ G( x, z)dz
z z D
∂ ∂ = ∫ G ( x, z ) G ( y, z ) − G ( y, z ) G ( x, z )dS z =0, ∂D ∂n ∂n
所以
∫ G( x, z )δ ( y − z ) − G( y, z )δ ( x − z)dz=
y ) δ ( x − y ), −∆ y G ( x,= = G ( x, y ) 0,
x, y ∈ D , y ∈ ∂D.
这里我们仅在三维空间区域中考虑， 并采用第一类边界条件来研究， 对于其他维数的空间和 其他类型的边界条件方法类似。 G ( x, y ) 中的两个变量，变量 x 是点源位置，另外一个是函 数的自变量 y 。Geen 函数对称性是指这两个变量的位置可以互换，即 G ( x, y ) = G ( y, x).