《数学物理方法》第二章 解析函数

v u x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理2.1 函数f ( z ) u( x , y ) iv( x, y )在区域D上一
点( x , y )可微的必要条件是 : u( x, y ), v( x, y )的偏导数 u u v v , , , 在点( x, y )存在,且满足C-R条件. x y x y
1 u v v u i i y y y y
f ( z )存在 u v v u i i x x y y u v x y
方程

u x v x
记忆
v u x y
u y v y
u v x y
2.函数可微的充分必要条件
定理2.2 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，
则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
u v x y

(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
注： z 0 z 0
但：可以有下列情形之一 (1)x 0, y 0; (2)x 0, y 0 0; (3)x 0 0, y 0 0
由以上讨论 P ( z ) a0 a1 z a n z n在 整 个 复 平 面 上 处 处 导 可； P(z) R( z ) 在 复 平 面 上 （ 除 分 母0 为 点外）处 Q( z ) 处可导 .
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，
用定理2.1虽不能判定函数的可微性，但却可以 判定函数的不可微性，即：不满足定理条件的函数 是不可微的
u 例如f ( z ) z , 这里u( x , y ) x , v( x , y ) y.而 1, x u v v 0, 0, 1, 均存在且连续,但处处不满足C-R y x y
但是 : x y f ( z ) f (0) k lim lim x 0 x 0 x i y z 1 ik y k x y k x 明显与k有关,即z沿不同的方向趋于0时,上述极限值 不同,即上述极限值在z=0不存在,或说函数不可微.
0 当y 0, x 0时 x lim 不存在！ z 0 x i y 1 当x 0, y 0时

(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为Δz→0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。
z x iy可导, 则 f ( z z ) f ( z )
存在wk.baidu.com
若沿平行于实轴的方式 z z z(y 0)
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z [u( x x , y ) iv( x x , y )] [u( x , y ) iv( x , y )] lim x 0 x u( x x , y ) u( x , y ) v ( x x , y ) v ( x , y ) lim i lim x 0 x 0 x x
2 2
解
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z x x 2( y y )i ( x 2 yi ) lim z 0 x i y
x 2yi 1 当y 0, x 0时 lim 不存在 ! z 0 x yi 2 当x 0, y 0时 故函数f ( z ) x 2 yi处处不可导.
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
( z z ) Re (z z ) z Re z 证明 l i m z 0 z z Re (z z ) z Re z lim z 0 z z Re z lim 0 z 0时 z 0 z x l i m(Re (z z ) z )不 存 在! z 0时 x i y z 0
一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
设函数w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点
z [u( x x, y y ) iv( x x, y y )] [u( x, y ) iv( x, y )] x iy
③
设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)， [f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f ( z ) ' f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) , ( g( z ) 0) g( z ) 2 g (z)
第二章 解析函数

第一节
解析函数的概念及哥西—黎
曼条件

第二节 解析函数与调和函数

第三节 初等函数
第一节 解析函数的概念及哥 西—黎曼条件
§2.1.1 复变函数的导数
1.导数定义
定义2.1 设函数w=f (z) , z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 如果极限 存在，则称函数 z 0 z
----实函数中求导法则的推广 ① 常数的导数 c=(a+ib)=0.
② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明 对于复平面上任意一点z0，有 n z n z0
z lim
z z0
lim
z z0
z z0
n 1 ( z z0 )(z n1 z n 2 z0 z0 ) n 1 lim nz0 z z0 z z0
z 0
lim f ( z0 z ) f ( z0 ), 所 以f ( z )在z0连 续
§2.1.2哥西—黎曼条件
1.函数可微的一个必要条件（哥西—黎曼条件）
问题 如何判断函数的可微性呢？ 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的
上述条件满足时,有
v u x y
f ' ( z ) ux iv x ux iuy v y iuy v y iv x
条件,根据定理2.1,函数f ( z ) z在复平面上处处不可微.
下面的例子可以说明，该条件不是充分的，即 该条件的满足并不足以保证函数的可微性。
例题3 函数f ( z ) u( x , y ) xy 在z 0点满足定理2.1的所有条件, 但在z 0点函数不可微. xy , v ( x , y ) 0, u( x , 0) u(0, 0) ux (0, 0) lim 0 v y (0, 0) x 0 x u(0, y ) u(0, 0) u y (0, 0) lim 0 v x (0, 0) x 0 y 所以函数f ( z )在z 0满足定理2.1的所有条件.
3.可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
?
证 明: 若f ( z )在z0可 导, 则 0, 0, f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 使得当 0 z , 时, 有 f ( z 0 ) , z f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 令 z f ( z0 ), 则 lim z 0, z 0 z 由此可得 f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z z z ,
u v i x x
若沿平行于虚轴的方式 z z z(x 0)
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z [u( x , y y ) iv ( x , y y )] [u( x , y ) iv ( x , y )] lim y 0 i y u( x , y y ) u( x , y ) v ( x , y y ) v ( x , y ) lim i lim y 0 y 0 i y i y

( x ) ( y )2 0
2
lim
f ( x0 x iy0 i y ) f ( x0 iy0 ) x i y
f ( x0 x iy0 i y ) f ( x0 iy0 ) lim x 0 x i y y 0
其中w=g(z)。
1 ⑤ 反函数的导数 f ' ( z ) ，其中: w=f (z) '(w)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。

思考题
2
实函数中 , f ( x ) x 在( , )内 可 导 ; 复函数中 , f (z) z 的 可 导 性 ?
2
1 例2 已 知 f ( z ) ( z 5 z ) ， 求f ' ( z ) z 1 1 2 解 f ( z ) 2( z 5 z )(2 z 5) ( z 1)2 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
x 0 lim lim 0 x 0 x i y y 0 i y y 0
当 z取实数趋于 0时 , f z 1;
f lim 不存在 . z 0 z 0; 当 z取纯虚数趋于 0时 , f z
2.求导公式与法则
当 0 z 时: f ( z 0 z ) f ( z 0 ) A , A f ( z0 ) z 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在 区域D内可导.
任意点z的导数 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z 称为导函数，或简称导数
例1 证明 : f ( z ) Re z在平面上的任何点都不可导.
f Re (z z ) Re (z ) 证 明: z z x x x x x iy x iy
x x lim lim 1 x 0 x i y x 0 x y 0 x 1 lim x 0 x i y 1 ik y k x
f (z)在点z0处可导(可微)。称此极限值为f (z)在z0的导
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) dw lim 数，记作 f ' ( z0 ) dz z z0 z 0 z
等价形式有：
f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 z ) f ( z0 ) lim lim z z0 z 0 z z