数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数
数学物理方法第一章
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
大学物理与数学方法总结
n z不同，Sin z=1 =ïïîïïí춶-=¶¶¶¶=¶¶x v yu y v x u这是复变函数可导的必要条件。
函数可导的充要条件是：函数f(z)的偏导数yvx v yux u ¶¶¶¶¶¶¶¶,,,存在且连续，并且满足柯西—黎曼方程。
在极坐标系下的柯西—黎曼方程：ïïîïïí춶-=¶¶¶¶=¶¶r jr jr r v u v u11四 解析函数若函数f(z)在点0z 及其领域上处处可导，则称f(z)在0z 点解析。
又若f(z)在区域B 上每一点都解析，则称f(z)是区域B 上的解析函数。
上的解析函数。
解析函数是一类特殊的复变函数，具有以下主要性质： 1. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则上解析，则 u(x,y)=1C ,v(x,y)=2C(1C ,2C 为常数)是B 上的两组正交曲线族。
2. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则u,v 均为B 上的调和函数。
由性质2可以知道，若给定一个二元调和函数，若给定一个二元调和函数，我们可以将它看做某个解析函数我们可以将它看做某个解析函数的实部的实部（或虚部）（或虚部），利用柯西—黎曼方程求出相应的虚部黎曼方程求出相应的虚部（或实部）（或实部），也就是确定这个解析函数。
这个解析函数。
dy y v dx x v dv ¶¶+¶¶=根据柯西—黎曼方程，上式可变为，上式可变为 dy x u dx y u dv ¶¶+¶¶-=于是利用曲线积分法、凑全微分显示法或不定积分法可确定这个解析函数。
数学物理方法习题解答_Tex
(3) cos 5ϕ． 解：由乘幂的公式
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ).
及二项式定理
(a + b)n = an + nan−1 b + n(n − 1) n−2 2 n! a b + ··· + an−k bk + · · · . 2! (n − k )!k !
4
√ √ 3
a2
a2
2 2
a2 + b2 + a + i
a2 + b2 − a
(2)
i． i = 1 cos π π + 2nπ + i sin + 2nπ 2 2 π 2 + nπ + i sin 6 3 √ 3 i = ei( 6 + 3 nπ) .
π 2
解：因
,
所以
√ 3 i= √ 3 1 cos π 2 + nπ 6 3 ,
z = cos 3π 3π + i sin . 2 2
指数式：
z = ei 2 .
3π
3. 计算下列数值（a、b和ϕ为实常数）． √ (1) a + ib. √ (2) 3 i. (3) cos 5ϕ. (1)
√ a + ib．
解：先化a + ib为三角式
a + ib = cos ϕ = √ xiangap@ a2 + b2 (cos ϕ + i sin ϕ), sin ϕ = √ b . a2 + b2 供教学参考
指数式：
z = i = ei 2 .
π
(1) −i． 解：−i本身即为代数式． 三角式：
大学高数第一章函数和极限
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2 lim x 1
x1
x1
312 2 11 2
可见，上例求极限，可以直接用定理 1.1 中的(1).
只须将 x x0 之 x0 代入函数中的 x 处运算即可。
例 求 limx(x 2) x2 x2 1
解：lx im 2 x(xx2 12)
limx(x2) xl i2m (x2 1)
必经过点(0,1)
f(x)log2 x
f (x)log0.5 x
正弦、余弦函数基本性质
解析式: ysinx/cosx
基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正
周期T为 2
正切、余切函数基本性质
解析式: ytanx/cotx
基本性质:正切函数定义域为 {x|x2k,,余kZ}
医用高等数学
第1章 函数和极限
1.1 函数 1.1.1函数的概念
定义 1.1 设 X ,Y 是非空数集，对于集合 X 中的任意一个数 x ， 在集合 Y 中均有确定值 y 与其对应，则称 y 是 x 的函数，记为：
y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量，
其中，集合 X 称为定义域，集合 Y 称为值域。
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是 变量 x 的函数，即： y f (u)， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
例 讨论函数 f (x) | x | 当 x 0 时的极限. x
初等解析函数和多值函数.ppt
(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
点，则连续Байду номын сангаас变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
解析函数的充要条件初等函数
一. 解析函数的充要条件
设函数 w f( z ) u ( x ,y ) iv ( x ,y ) 在点 z x iy 可导 , 则
f(z z) f(z) z
[ u ( x x , y y ) iv ( x x , y y ) [ ] u ( x , y ) iv ( x , y )] x i y
v v v x y x y 3 4 x y
x 0 y 0
其 lim 中 0 , ( k 1 ， 2 , 3 , 4 ) k
f ( z z ) f ( z ) u i v u v u v ( i ) x ( i ) y ( i ) x ( i ) y 1 3 2 4 x x y y
所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.
" "（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即： u u u x y x y 1 2 x y
lim ( z )0
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为 Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy) 因此 Δu=aΔxbΔy+1Δx2Δy , Δv=bΔx+aΔy+2Δx1Δy
初等函数
初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic初等函数function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometic function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。
英文：elementary function它是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。
初等函数在其定义区间内连续。
常数函数初等函数图形对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。
幂函数形如y＝x^a的函数，式中a为实常数。
指数函数形如y＝a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。
对数函数指数函数的反函数，记作y＝loga a x，式中a为不等于1的正常数。
指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax＝x。
三角函数即正弦函数y＝sinx ，余弦函数y＝cosx ，正切函数y＝tanx，余切函数y＝cotx ，正割函数y＝secx，余割函数y＝cscx（见三角学）。
反三角函数三角函数的反函数——反正弦函数y ＝ arc sinx ，反余弦函数 y ＝arc cosx （－1≤x≤1，初等函数0≤y≤π），反正切函数 y=arc tanx ，反余切函数 y ＝ arc cotx（－∞＜x＜＋∞，θ＜y＜π）等。
以上这些函数常统称为基本初等函数。
双曲正弦或超正弦sinh x =(e^x- e^（-x)）/2双曲余弦或超余弦cosh x =(e^x + e^(－x))/2双曲正切tanh x =sinh x / cosh x双曲余切coth x = 1 / tanh x双曲正割sech x = 1 / cosh x双曲余割csch x = 1 / sinh x一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如，三角函数 y＝sinx 可以用无穷级数表为初等函数可以按照解析表达式分类为：初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。
《初等解析函数》课件
初等解析函数是数学中重要的基础概念，对理解和应用许多数学和物理学原理具有重要意义等函数 （包括幂函数、指数函数、对数函数、三角 函数和反三角函数）经过有限次的代数运算 得到的函数。
2 常见的初等函数有哪些？
常见的初等函数包括多项式函数、有理函数、 指数函数、对数函数、三角函数和反三角函 数等。
双曲函数的性质
双曲函数具有一系列有趣的性质，如双曲函数的导 数、反函数和幂函数等，这些性质在数学和物理中 具有广泛的应用。
初等解析函数的运算
1 求和、差、积、商、复合等运算
初等解析函数可以进行基本的运算，如求和、求差、求积、求商和进行复合等运算，这些运算有助于 分析和求解复杂函数。
应用
1
初等解析函数在实际问题中的应
参考资料
• 高等数学教材 • 《初等解析函数》教材 • 数学网站
三角函数的性质与图像
三角函数具有周期性、对称性和单调性等特点，它 们的图像能够帮助我们分析函数的行为。
指数函数
指数函数的定义与图像
指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底的幂函 数，它的图像呈现出指数增长或指数衰减的趋势。
指数函数的性质
指数函数具有指数运算的性质，如乘方法则、对数 关系和指数法则等，这些性质对于求解方程和研究 增长和衰减过程非常重要。
《初等解析函数》PPT课 件
欢迎大家来到《初等解析函数》PPT课件。本课程将深入介绍初等解析函数的 概念、分类和运算，并探讨其在实际问题中的应用。
引言
什么是初等解析函数？
初等解析函数是指可用初等函数（包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数等）以及有限次四则运算所得到的函数。
复合函数
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1.4 初等解析函数
二、初等多值函数
例1 讨论
w ( z a)( z b) 的支点
y
za
1
1.4 初等解析函数
答：支点为a,b
a oΒιβλιοθήκη z z b2b
x
思考： 函数 w 3 z 2 4 z 2 1 是几值函数？ 有何支点？
答：6值，支点
1,2,
二、初等多值函数
2.对数函数
（1）定义
若z
1.4 初等解析函数
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
ew
则
w Lnz
（2）多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系 （3）支点 0 , （4）单值分枝 Lnz ln z i(arg z 2k ) , k 0,1,2,
Q( z) 0
1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数（图）
w z
3
一、初等单值函数
2.指数函数 （1）定义
1.4 初等解析函数
w e z e x iy e x (cos y i sin y)
复平面
z1 z2 z1 z 2
（2）解析区域
z
（3）与实函数相同的性质
（5）支割线 （6）黎曼面 （7）解析性 （8）性质 连接 0 , 割开z平面的线 无穷多叶 每一单值支均解析
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
二、初等多值函数
2.对数函数（图） 问：
1.4 初等解析函数
Lnz Lnz ？ 2Lnz N Ln( z z )？ Lnz Lnz ？ 0 N
多值函数的支点一定是函数的奇点。
z
r
c1
二、初等多值函数
1.4 初等解析函数
z（二） 3
z（一）
W2
W1
二、初等多值函数
1.4 初等解析函数
z（二）
4
z（一） 2 0
W1 W2 W1
2
二、初等多值函数
根式函数（图）
1.4 初等解析函数
w3 z :
二、初等多值函数
黎曼面
1.4 初等解析函数
w z : 支点为 z 0, ；一阶。
则记 w n z 称根式函数
#
(n 2,3,) （2）多值性的体现 体现在z 的 幅角与w 的幅角的对应关系上
z
（3）支点
当变量绕其一周时函数值会改变的点
绕其 n 周后函数值还原的支点为n-1阶支点
（4）单值分支 限制z的变化范围得到的若干单值函数 c2 （5）支割线 连接支点割开z平面的线 （6）黎曼面 互相交叠的若干叶z平面 （7）解析性 每一单值支均解析
（2）解析区域 复平面 （除分母为0外） （3）与实函数相同性质
（4）新性质
(sin z )' cos z, (cos z )' sin z sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2
sin z 和 cos z 可大于任何正数
#
一、初等单值函数
3. 三角函数（图）
1.4 初等解析函数
w sin z
w cos z
一、初等单值函数
4. 双曲函数
（1）定义
1.4 初等解析函数
e z e z e z e z sinh z , cosh z 2 2 sinh z cosh z tanh z , coth z , cosh z sinh z 1 1 sec hz , csc h z cosh z sinh z
§1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数
（1）定义
w z (n 0, 1, 2,)
n
（2）解析区域
除了z=0的复平面。
（3）与实函数相同的性质
z z z
m n
m n
;
（4）新性质 P( z ) a0 a1 z a2 z 2 an z n w (an , bm 0) 2 m Q( z ) b0 b1 z b2 z bm z
小结
一、初等单值函数
n
1.4 初等解析函数
w z (n 0, 1, 2,) z x iy x w e e e (cos y i sin y)
e z e z e z e z sinh z , cosh z 2 2 sinh z coth z tanh z , coth z , cosh z sinh z 1 1 sec hz , csc h z cosh z sinh z
eiz e iz eiz e iz sin z , cos z 2i 2 sin z cos z 1 1 tan z , cot z , sec , csc cos z sin z cos z sin z
二、初等多值函数
1.根式函数 若 w
n
小结
1.4 初等解析函数
z
则记 w n z 称根式函数
则
2.对数函数 若 z e w 概念：
（1）支点 （2）单值分枝 （3）支割线 （4）里曼面 （5）解析性
w Lnz
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
当变量绕其一周时函数值会改变的点
绕其 n 周后函数值还原的支点为n-1阶支点
e 0; e e e
（4）新性质
;
e
z i 2 kπ
e (k 0, 1, 2, )
z
e
z
的实部不一定大于0
#
一、初等单值函数
2.指数函数（图）
1.4 初等解析函数
we
z
一、初等单值函数
3. 三角函数
1.4 初等解析函数
eiz e iz eiz e iz , cos z （1）定义 sin z 2i 2 sin z cos z 1 1 tan z , cot z , sec , csc cos z sin z cos z sin z
限制z的变化范围得到的若干单值函数
连接支点割开z平面的线 互相交叠的若干叶z平面 每一单值支均解析
z=cplxgrid(30); cplxmap(z,z.^2); colorbar('vert'); title('z^2')
本节作业
1.4 初等解析函数
习题1.4
6（2）；7（3）
（2）解析区域
复平面
（3）与实函数相同的性质 cosh 2 z sinh 2 z 1;
一、初等单值函数
1.4 初等解析函数
初等单值函数与相应实函数的定义 在形式上相同；
在其定义域内均解析； 除具有某些新性质外具有与相应实 函数所具有的性质。
二、初等多值函数
1.根式函数 n 若 （1）定义 w