人教版中考数学考点聚焦《第23讲：圆的基本性质》课件
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圆的基本性质九年级上ppt课件
B =OA2-OP2
OP ∙ OQ=OP ∙(OP+PQ) =OP2-OP ∙ PQ =OP2- PC ∙ PB
弦相交定理
D
B
M
N
P
A
C
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 即：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD
连接BD、AC，则∠B=∠C，∠A=∠D ∴ △PBD ∽△PBA ∴ PA·PB＝PC·PD
根据分析，添加辅助线
找出各等量角
∠ACB=∠AFB=∠AFC=∠ABC(等弧对应等圆周角） ∠BED=2∠CED=BAC（已知）
∠BFC+∠BAC=180°（内接四边形对角互补）
条件中存在“两角互 补”，且2倍关系
三角形中角平分线割成的两个 三角形的边的关系如下图
2 ∠EFC+ 2∠CED=180°
∵ CD过圆心O，∴ ∠CAD=90° ∵ ∠B=∠D（同圆共弧） ∴ ∠OCA=∠BPF ∵ ∠OCA=∠OAC ∠2=∠BPF ∴ ∠2=∠OAC (使两△相似的条件）
下面从相交弦定理（圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段的积相等。)试试。
Q
CG 2P
O
A
1
F
E
∵ PC ∙ PB=PG ∙ PE =(OA-OP)(OA+OP)
M A
E
F
O∙
B
DC
外心：三角形三条边的垂直平方线 的交点，三角形外接圆的圆心。
【分析】OA是半径，要证明EF⊥OA，只要 证明EF平行于OA的切线即可。
证明：作AM⊥OA，垂直为A
由题意，得：∠BFC=∠CEB=90° ∴ B、C、F、E四点共圆 ∴ ∠AEF=∠ACB
OP ∙ OQ=OP ∙(OP+PQ) =OP2-OP ∙ PQ =OP2- PC ∙ PB
弦相交定理
D
B
M
N
P
A
C
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 即：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD
连接BD、AC，则∠B=∠C，∠A=∠D ∴ △PBD ∽△PBA ∴ PA·PB＝PC·PD
根据分析，添加辅助线
找出各等量角
∠ACB=∠AFB=∠AFC=∠ABC(等弧对应等圆周角） ∠BED=2∠CED=BAC（已知）
∠BFC+∠BAC=180°（内接四边形对角互补）
条件中存在“两角互 补”，且2倍关系
三角形中角平分线割成的两个 三角形的边的关系如下图
2 ∠EFC+ 2∠CED=180°
∵ CD过圆心O，∴ ∠CAD=90° ∵ ∠B=∠D（同圆共弧） ∴ ∠OCA=∠BPF ∵ ∠OCA=∠OAC ∠2=∠BPF ∴ ∠2=∠OAC (使两△相似的条件）
下面从相交弦定理（圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段的积相等。)试试。
Q
CG 2P
O
A
1
F
E
∵ PC ∙ PB=PG ∙ PE =(OA-OP)(OA+OP)
M A
E
F
O∙
B
DC
外心：三角形三条边的垂直平方线 的交点，三角形外接圆的圆心。
【分析】OA是半径，要证明EF⊥OA，只要 证明EF平行于OA的切线即可。
证明：作AM⊥OA，垂直为A
由题意，得：∠BFC=∠CEB=90° ∴ B、C、F、E四点共圆 ∴ ∠AEF=∠ACB
人教版九年级上册数学第二十三章圆课件PPT
• 学习重点： 垂径定理及其推论．
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？ 哪些弧相等？
九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第3课时）
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个 重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．
C A
D
B
O
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
D B
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
A
C
D
B
6．利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
∠AOB=∠COD
（3）如果∠AOBA=B∠CODCD，那么_______A_，B=_C_D_____； ∠AOB=∠COD
（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE
与 OF 相等吗？为什么？
AB= CD
AB=CD
相等．
因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD．
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？ 哪些弧相等？
九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第3课时）
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个 重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．
C A
D
B
O
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
D B
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
A
C
D
B
6．利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
∠AOB=∠COD
（3）如果∠AOBA=B∠CODCD，那么_______A_，B=_C_D_____； ∠AOB=∠COD
（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE
与 OF 相等吗？为什么？
AB= CD
AB=CD
相等．
因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD．
[初三数学]第23讲 圆的性质
![[初三数学]第23讲 圆的性质](https://img.taocdn.com/s3/m/437e33dd48d7c1c708a145d0.png)
中考步步高
课
对
前
接
必
中
读
考
圆的问题不算难，常把半径直径连；
易
网
错
络
有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；
防
构
范
建
直径是圆最大弦，直圆周角立上边；
课
考
直径垂直平分弦，垂径相似在心间；
时 跟
点
踪
梳 理
圆周角、圆心角，细找关系把线连；
检 测
同弧圆周角相等，证题用它最多见.
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中考步步高
课
对
前
接
必
中考步步高
课 【例题1】 (2011·山东济宁改
对
前
必
编)如图，AD为△ABC外接
接 中
读
考
圆的直径，AD⊥BC，垂足
易
网 络
为点F，连接BD、CD.求证：
错 防
构 建
BD＝CD.
范
课
时
考
跟
点
踪
梳 理
检
分析 根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明． 测
证明 ∵AD 为直径，AD⊥BC，∴
，
∴BD＝CD.
建
3．连接圆上任意两点的线段叫做_弦_，经过圆心的弦
课
考
叫做_直__径__．
时 跟
点
踪
梳 理
4．圆上任意两点间的部分叫做_弧_，大于半圆的弧叫
检 测
做_优__弧__，小于半圆的弧叫做_劣__弧__．
5．从圆心到弦的距离叫做_弦__心__距__．
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中考步步高
课
对
前
接
圆的有关概念及性质PPT课件
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
中考数学专题复习之圆的基本性质 课件
(4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一__半___． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的 弧__相__等___． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角___；90°的圆周角所对的弦是 __直__径___．
[对应训练] 1．(1)(2014·南宁)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后， 截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为( A ) A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
(2)(2016·安顺)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB ＝8，CD＝6，则 BE＝__4_－____7___．
[对应训练] 3．(1)(2015·河池)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD ＝48°，则∠BAC的大小是( D ) A．60° B．48° C．30° D．24°
(2)(2015·梧州)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连
接AC，BC，CD，OD.若∠DOB＝140°，则∠ACD＝( A )
【例3】 (2016·南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA， CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( B )
A．140° B．70° C．60° D．40°
【点评】 当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或 圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等 的弧把角联系起来．
A．20°
B．30°
C．40°
D．70°
(3)(2016·河池)如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC＝ 50°，则∠BDC的大小是____4_0_°_．
中考数学 第一部分 教材知识梳理 第六单元 第23课时 圆的基本性质课件
拓展1 （’15天水）如图，边长 为1的小正方形构成的网格中，半
径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 1 正切值为 . 2 _____
【解析】由题意得，∠AED = ∠AED ，∵ ⊙O 在边长为1的网格格点上，∴AB =2，AC =1,则 AC 1 1 tan ABC , tanAED . AB 2 2
圆及其相关概念
1. 圆的基本概念（参考图（1）） (1)圆的定义：平面内到定点距 离等于定长的所有点组成的图形 圆心 ， 叫做圆，这个定点叫做①_____ 定长叫做半径，OA 为半径. (2)弦及直径连接圆上任意两点的线段叫做弦,
AE 为弦；经过②______ 圆心 的弦叫做直径，EF 为
直径.
最新中小学教案、试题、试卷、课 件 3
（3）弧、劣弧、优弧 圆上任意两点间的部分 叫做圆弧，简称弧.其中，小于半圆的部分叫做 ︵ 劣弧，AF 为劣弧；③______ 大于 半圆的部分叫做优 ︵ 弧，AEF 为优弧. （4）圆心角：顶点在圆心，角的两边都与圆 ︵ 相交的角叫做圆心角，∠AOF 叫做AF 所对的 圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，角的两边都与圆 相交的角叫做圆周角，∠AEF 为圆周角.
最新中小学教案、试题、试卷、课 件 7
考点3 圆周角定理及其推论（高频考点） 1. 定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数 一半 . 的⑩______
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
8
2. 推论： （1）在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所 对的圆周角
11
______ 相等 ；相等的圆周角所对
最新中小学教案、试题、试卷、课 件 6
失分点15 判断：
一条弦对应两个圆周角问题
⑧圆中一条弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角 为30°. （ × ） ⑨圆中一条弦长所对的圆心角为40°，则这条弦所对的 圆周角为20° . （ × ）
中考数学复习讲义课件 第6单元 第23讲 圆的基本性质
8．(2021·宿迁)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点 B， ︵
C 在⊙O 上，边 AB，AC 分别交⊙O 于 D，E 两点，点 B 是CD的中点，则 ∠ABE＝ 13° ．
︵ 9．(2021·湖州)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，∠ACD 是AD所对的圆周角， ∠ACD＝30°. (1)求∠DAB 的度数； 解：连接 BD．∵∠ACD＝30°， ∴∠B＝∠ACD＝30°.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴∠DAB＝90°－∠B＝60°.
圆周角定理及其推论(10 年 5 考) ☞例 如图，BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上，A︵B＝A︵D，AC 交 BD 于点 G.若∠COD＝120°，则∠AGB 的度数为( B )
A．96° C．107°
B．105° D．114°
[解析] ∵BD 是⊙O 的直径，∠COD＝120°， ∴∠BOC＝180°－∠COD＝60°. ∴∠BAC＝12∠BOC＝30°.∵BD 是⊙O 的直径，A︵B＝A︵D， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD． ∴△ABD 为等腰直角三角形．∴∠B＝45°. ∴∠AGB＝180°－∠B－∠BAG＝180°－45°－30°＝105°. 故选 B．
第一编 中考考点全攻略
第六单元 圆
第23讲 圆的基本性质
1 知识梳理 素养形成 2 考法聚焦 素养提升
知识梳理素养 形成
考法聚焦素养 提升
垂径定理及其推论(10 年 1 考) 1．(2011·衡阳)如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠EOD＝40°， 则∠FCD 的度数为 20° ．
2.(2021·自贡)如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 F，OE⊥AC 于点 E，若 OE＝3，OB＝5，则 CD 的长度是( A )
人教版九年级上册数学第二十三章圆课件PPT(2)
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
C
（1）如何证明？
试一试
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A
O
B
D
C
A
D
B
C
O
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
D
A
B
E
O
A
DB
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
练习 1.如图所示:
C
A M└
B
(1)若CD⊥AB, CD是直径,
●O
则 AM=BM 、A⌒D=B⌒D
⌒⌒ 、AC=BC
.
(2)若AM=MB, CD是直径,
D
则 CD⊥AB 、 A⌒D=B⌒D 、A⌒C=B⌒C .
绕它固定的一个端点O旋转一
周，另一个端点所形成的图
形叫做圆（circle）．
小练习
如何在操场上画一个半径是5m的圆？
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个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内
部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形 的外部． (7)圆的内接四边形：
互补 ． 圆内接四边形的对角________
常见的辅助线
(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、 弦的一半、弦心距
为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；
命题点2：圆周角定理
2．(2017·毕节)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝
30°，则∠BAD为( C )
A．30° B．50° C．60° D．70°
命题点 3：圆心角、弧、弦的关系 3．(2017· 宜昌)如图，四边形 ABCD 内接⊙O，AC 平分∠BAD，则下列 结论正确的是( B ) A．AB＝AD B．BC＝CD ︵ ︵ C.AB＝AD D．∠BCA＝∠DCA
(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： ①点P在圆上⇔_________ d ＝r ； d<r ； ②点P在圆内⇔________ d>r ③点P在圆外⇔_________ ．
(6)过三点的圆： ①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆． ②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做 垂直平分线 的交点 ， 这 三角形的外心；三角形的外心是三边 _______________
垂径定理及其推论
【例1】 (1)(2017·广州)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦， AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中 正确的是( D ) A．AD＝2OB B．CE＝EO C.∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
(2)(2017· 西宁)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP＝2， BP＝6，∠APC＝30°，则 CD 的长为( C ) A. 15 B．2 5 C．2 15 D．8
2．圆的有关性质
(1)圆的对称性：
①圆是__________ ． 轴对称 图形，其对称轴是__________________________ 过圆心的任意一条直线 ②圆是______________ 图形，对称中心是_______ 中心对称 圆心 ． ③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图 形重合．
(2)(2017· 襄阳)在半径为 1 的⊙O 中，弦 AB，AC 的长分别为 1 和 2， 15°或105° 则∠BAC 的度数为____________________ ．
(2)有关直径的问题，常通过辅助线构造直径所对的圆
周角是直角来进行证明或计算． (3)有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的 圆周(心)角．
命题点 1：垂径定理 1．(2017· 泸州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E.若 AB ＝8，AE＝1，则弦 CD 的长是( B ) A. 7 B．2 7 C．6 D．8
【点评】 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 ．解题时，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形往往是解题的
关键．
[对应训练]
1．(1)(2017·金华)如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8
cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( C ) A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
命题点4：圆内接四边形的性质
4．(2017·潍坊)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB 与DC相交于点 G ，AO⊥CD ，垂足为 E ，连接BD ， ∠GBC＝50° ，则∠DBC的度数为( C ) A．50° B．60° C．80° D．90°
命题点 5：三角形的外接圆与外心 5．(2017· 陕西)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C＝30°，⊙O 的半径为 5，若点 P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB＝AB，则 PA 的长为( D ) A．5 5 3 B. 2 C．5 2 D．5 3
做____ 弦 ，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的____ 弦 ．
(3)圆心角：顶点在_______ 圆心 ，角的两边与圆相交的角叫做圆心角．
圆上 ，角的两边与圆相交的角叫做圆周角． (4)圆周角：顶点在_______
重合 的弧叫做等弧． (5)等弧：在___________________ 中，能够完全________ 同圆或等圆
(2)垂径定理及推论： 平分弦所对的两条弧 平分弦 ，并且________________________ 垂径定理：垂直于弦的直径_________ ． 垂径定理的推论：
①平分弦(不是直径)的直径___________ 垂直于弦 ，并且_____________________ 平分弦所对的两条弧 ； 经过圆心 ，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线_____________ ③平分弦所对的一条弧的直径 ，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
(4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的________ 一半 ． 圆周角定理的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的
弧________ 相等 ． 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 ②半圆(或直径)所对的圆周角是________ ________ 直径 ．
第23讲 圆的基本性质
1．主要概念 (1)圆：平面上到________ 定点 的距离等于_______ 定长 的所有点组成的图形叫做圆 ．________ 定点 叫做圆心，________ 定长 叫做半径，以O为圆心的圆记作⊙O.
弧 ，连接圆上任意两点的线段叫 (2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做____
(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：
①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等 ，所对的弦_______：在同圆或等圆中，如果两个_________ 圆心角 、_________ 两条弧 、
两条弦 ___________ 、_________________ 中有一组量相等，那么它们所对应 两条弦心距 的其余各组量都分别相等．