几何画板与解题研究

第23卷 第1期 延边教育学院学报 Vol.23 No.1 2009年02月 Journal of Yanbian Institute of Education Feb . 2009几何画板与解题研究周国华（延边第二中学，吉林 延吉 133000）摘要：高中数学研究的主要对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面，“数”与“形”两者之间并不是孤立的，而是有着密切的联系。

几何画板可以很好的将两者有机的联系起来，对解题有很大的帮助。

关键词：高中数学教学；几何画板；解题研究；数形结合中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1673－4564(2009)01－0113－04《几何画板》软件是由美国Key Curriculu m Press 公司制作并出版的优秀教育软件，1996年该公司授权人民教育出版社在中国发行该软件的中文版。

正如其名“21世纪动态几何” ，它能够动态地展现出几何对象的位置关系、运行变化规律，是数学教师制作课件的有利工具。

它还有较强的作图功能,笔者还经常用它来辅助解题。

特别是一些有关函数的含有参量的问题，可以借助于几何画板做出图象，观察图象的动态变化，进而把“数”的问题转化为“形”的问题，把抽象的问题转化为直观的问题，对解题有很大的帮助。

特别是近几年的一些高考试题，可以试用几何画板来帮助分析，如2007年与2008年高考中有关函数与导数的试题。

例1：已知函数3()31f x ax x =−+（0a ≠），()0f x ≥在[1,1]x ∈−恒成立，求a 的范围。

在解本题时，学生想到是参数分离法，也可以用函数的方法来解，具体解法如下：,)(332−=′ax x f 当0a<则'()0f x <，函数在[1,1]−上单调递减，()0f x ≥在[1,1]x ∈−恒成立只需(1)0f ≥，解出2a ≥，又a <，所以a >。

令'()0f x =则x =用几何画板可以得到函数()f x 的图象大致如下图。

则只需(1)00f f ⎧−≥⎪⎨≥⎪⎩解得4a =。

图1延边教育学院学报 2009年 当然在考试时没有计算机作图，可是我们可以借助函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性来做图，这样也可以把问题解决，同时通过平时的训练可以提高学生的做图能力，使学生对函数的性质有更深的理解。

例2．（2008年四川）已知函数2()16ln(1)10f x x x x =++−，若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。

解：()()()216ln 110,1,f x x x x x =++−∈−+∞，()()2'2431x x fx x−+=+， 当()()1,13,x ∈−+∞∪时，()'0f x >，当()1,3x ∈时，()'0f x <所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,−+∞，()f x 的单调减区间是()1,3所以()f x 的极大值为()116ln 29f =−，极小值为()332ln 221f =−因此()()21616101616ln 291f f =−×>−=()()213211213f e f −−<−+=−<所以在()f x 的三个单调区间()()1,1,1,3,−()3,+∞，直线y b =有()yf x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29−−。

本题在解答时，学生会问为什么分析()16f 与 ()1f 的关系，()21f e −−与()3f 的关系，经过对图象的分析，我们可以看到只要分析在()3,+∞内函数单调增加，且函数值可以比()1f 大，在()1,1−函数单调增加，且函数值可以比()3f 小即可，要想让直线y b =与函数()y f x =的图象的有3个交点，当且仅当()()31f b f <<。

当然我们不一定比较()16f 与()1f 的关系，()21f e −−与()3f 的关系，只要说明()1f 不是最大值，()3f 不是最小值就可以了。

例3：（2008全国Ⅱ）设函数sin ()2cos x f x x=+。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围。

在解本题时，第二个问题是难点，本题有不少同学用参数分离法来做，但是太难，以至于没有做出。

本题的平均分为1.90分,而本题得9分的0.3％,10分的0.2％,11分的0.1％,12分的0.1％，难度系数为0.16。

如果本题用图象来分析就较容图2第1期 周国华：几何画板与解题研究易，用几何画板可以做出函数sin ()2cos xf x x=+的图象。

（图3）这样只要分析函数在0x=处的切线的斜率即可，这样即得出13a ≥。

在历年的高考中有一些类似的题也可用这种方法来解。

如(2006全国Ⅱ)设函数()(1)ln(1).f x x x =++若对所有的0,x≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。

（解答过程略）（2007全国Ⅰ）设函数e e ()x xf x x−−=．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x ′≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．解：令()()g x f x ax =−， 则()()e e x x g x f x a a −′′=−=+−，（Ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a −′=+−>−≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（Ⅱ）若2a>，方程()0g x ′=的正根为1x =1(0)x x ∈，，则()0g x ′<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是(]2−∞，．这是这道题的标准解法，但是学生在解答的过程中易把第二种情况忽略。

在分析本题时我先用几何画板做了()e e x x f x −=−的图象（如图4），用函数的切线的斜率来解答，进而又做了函数e e ()x xf x x−−=的图象（如图5），可以直接看出结论。

以上两道试题与2008年的高考试题极为相似，只不过06年考察的是对数函数，07年考察的是指数函数，08年考察的是三角函数，但从本质上看考察的就是函数的性质。

而要想研究性质，最直接的方法就是利用函数的图象，我们在分析这类问题时，提高了学生对图的重视程度，特别是让学生学会利用性质作图、利用图象来分析函数性质，培养了学生的数形结合思想。

图3图4图5延边教育学院学报 2009年 例4：（2007广东）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+−−，如果函数()y f x =在区间[]11−，上有零点，求a 的取值范围。

本题的标准解答较复杂，分类的情况较多，学生讨论不全面，如果本题用参量分离与图象法来分析则较易解出。

2(21)32a xx −=−，当2210x −≠时，23221x a x −=−，[1,1]x ∈−。

则只需分析函数232()21x f x x −=−，[1,1]x ∈−。

可以很容易得出1a≥或32a ≤−。

本题在做图时，要注意图象分三段，特别是在x =的情况要引起注意，通过这个问题的分析，学生对做图有进一步的理解，提高学生的做图能力。

练习：1.已知函数12=+=x bx axx f 在)(处取得极值2.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）m 满足什么条件时，函数)(x f 在区间（m ，2m +1）上为单调递增函数？ （Ⅲ）若bx axx f y x p +=200)(),(,为的图象上的任意一点，直线l 与bx axx f +=2)(的图象切于P 点，求直线l 的斜率的取值范围。

2．（2008辽宁）设函数f (x )=ln ln ln(1).1xx x x−+++ （Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ,使得关于x 的不等式f (x )≥a 的解集为（0,+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由.几何画板还可以帮我们研究一些探究性的问题，如2007年辽宁高考试卷的21题，用几何画板可以很直观的分析出所给的带参量的函数的变化情况，可以辅助我们从本质上理解问题，不断提高数形结合能力，提高我们的解题能力。

(上接112页) 参考文献：[1]普通高中数学课程标准(实验)[S].北京：人民教育出版社,2003.[2]问题解决”教学法.http://www. google. Com.[3]周吾仁.课堂教学中实施“问题教学”的尝试.http://www. goog,le. Com.[4]肖秉林.圆锥曲线焦点弦的性质[J]. 中学数学教学参考,2006,(6).图5。